8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž 3 automobilů. Na začátku směy bylo ve skladu (po předchozí směě) 5 eodvezeých automobilů. Kolik hotových automobilů bude a skladě a koci směy (po 8 hodiách), pokud v jejím průběhu žádý hotový automobil eodvezou? Příklad řeš jako rekuretí posloupost. Budeme sledovat počet automobilů po hodiách: a (a začátku směy) 5 a a + 3 5 + 3 8 a3 a + 3 8 + 3 a4 a3 + 3 + 3 4 a5 a4 + 3 4 + 3 7 a6 a5 + 3 7 + 3 0 a7 a6 + 3 0 + 3 3 a8 a7 + 3 3+ 3 6 a9 a8 + 3 6 + 3 9 Na koci směy bude ve skladu 9 automobilů. Př. : V zemské troposféře platí, že s rostoucí výškou klesá teplota. Vzrůst admořské výšky o km zameá pokles teploty o 6,5 C. Urči teplotu v admořské výšce 5 km, pokud je při hladiě moře 5 C. Příklad řeš jako rekuretě zadaou posloupost. Postupujeme podobě jako v předchozím příkladě, postupě počítáme teploty v jedotlivých výškách: t 5 (při hladiě moře) t t 6,5 5 6,5 8, 5 t3 t 6, 5 8,5 6, 5 t4 t3 6,5 6, 5 5,5 t5 t4 6, 5 5,5 6, 5 t6 t5 6, 5 6, 5 7,5 Ve výšce 5 km je teplota 7,5 C. Př. 3: Najdi společou speciálí vlastost obou předchozích posloupostí. U obou předchozích posloupostí platí, že rozdíl mezi dvěma sousedími čley v poslouposti je kostatí (v prvím případě jsme pořád přičítali stejé číslo, ve druhém případě jsme stále stejé číslo odečítali).
Posloupost s uvedeou vlastostí se azývá aritmetická. Posloupost ( a ) se azývá aritmetická právě když existuje takové číslo d, že pro každé přirozeé číslo platí a+ + d. Číslo d se azývá diferece poslouposti. Pro difereci platí: d + a a tím se vysvětluje i její volba ázvu. Př. 4: Urči diferece aritmetických posloupostí z příkladů a. a) v příkladu platí: a a + + 3 d 3 b) v příkladu platí: a a + 6,5 d 6,5 Pedagogická pozámka: Jako obvykle v těchto situacích. Příklad eí zbytečý, ěkteří teprve yí začíají vímat předchozí defiici. Př. 5: Načrti grafy aritmetických posloupostí z příkladů a. Jaký typ fukce je aalogií aritmetické poslouposti? a) 30 5 0 5 0 5 b) 3 4 5 6 7 8 9 30 0 0-0 3 4 5 6-0
V obou případech leží všechy body grafu v přímce aritmetická posloupost je speciálí případ lieárí fukce. Dodatek: Předchozí závěr je zřejmý i faktu, že diferece (tedy rozdíl mezi ásledujícími hodotami) je stále stejá. Př. 6: Rozhodi, zda daá tři čísla tvoří tři po sobě jdoucí čley ějaké aritmetické poslouposti. Pokud ao urči difereci. a) ; 7 ; 6 b) x 3; ( x ) ;( x ) pokud zadaá trojice čísel tvoří tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti, musí být jejich rozdíl stejé číslo a) ; 7 ; 6 7 7 5 a a 6 7 7 5 a+ a Jde o tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti s diferecí 5. b) x 3; ( x ) ;( x ) ( ) ( ) a a x x x x + x 4x + 4 x 3 a a x 3 x x + 3 x x + x 4 Nejde o tři po sobě jdoucí čley aritmetické poslouposti, rozdíly po sobě jdoucích čísel jsou růzé. Př. 7: Dokaž, že posloupost ( 3 ) je aritmetická. Hledáme v defiici aritmetické poslouposti podmíku, která odlišuje aritmetickou posloupost od ostatích posloupostí musíme dokázat, že platí: a a + + d. 3 a a+ 3( + ) 3 + Dosadíme: a+ a 3 + 3 3 d Rozdíl dvou po sobě jdoucích čleů je kostatí posloupost ( 3 ) diferecí 3). je aritmetická (s Pedagogická pozámka: I když ejde o ic jiého ež zopakováí příkladu 6, mají studeti se 7 začé problémy. Aritmetická posloupost je speciálí případ lieárí fukce, průběh aritmetické poslouposti je pravidelý měl by existovat vzorec pro -tý čle. 3
Př. 8: Najdi vzorec pro -tý čle posloupostí z příkladů a. Vyslov hypotézu o vzorci aritmetické poslouposti: a; a a + + d; N. a) zkusím si upravovat čley posloupost tak, aby byl každý vyjádře pomocí a a d: a 5 (a začátku směy) a a + 3 a + 3 8 a a + 3 a + 3 + 3 5 + 3 3 a a + 3 a + 3 + 3+ 3 5 + 3 3 4 4 3 a5 a4 + 3 a + 3 + 3 + 3+ 3 5 + 4 3 7. a + 3 5 + ( ) 3 Zdá se, že posloupost by mohla být dáa vzorcem 5 + ( ) 3. b) zkusím si upravovat čley posloupost tak, aby byl každý vyjádře pomocí a a d: t 5 (a hladiě moře) t t 6,5 t 6,5 8,5 3 t t 6,5 t 6,5 6,5 t + 6,5 t t 6,5 t 6,5 6,5 6,5 t + 3 6,5 5,5 4 3 t t 6,5 t 6,5 6,5 6,5 6,5 t + 4 6,5 5 4. t t 6,5 t + 6,5 Zdá se, že posloupost by mohla být dáa vzorcem 5 + ( ) ( 6,5) Oba odvozeé vzorce mají stejý tvar: je dáa vzorcem + ( ) a d. a + d zřejmě platí: Aritmetická posloupost Pedagogická pozámka: Tady je potřeba hlídat studety (spíše ty chytřejší). Často odvozují vzorec ve tvaru [ ] a + d a teto vzorec jim dokoce dává i správé výsledky, protože v příkladech jako je ebo idexují od 0. Například počet aut ve skladu po osmi hodiách práce pro ě eí a 9, ale a 8 (bezpochyby je to i logičtější). Je uté, aby si studeti ujasili, že u posloupostí začíme a prví čle, tedy čle, ke kterému se diferece epřičítala ještě ai jedou a proto se při cestě ke čleu a přičítala pouze ( ) krát (idex zkrátka esouvisí s počtem přičítáí diferece, ale umístěím čleu v řadě). O správosti aší hypotézy se musíme přesvědčit. Zkusíme důkaz matematickou idukcí: 4
Př. 9: Dokaž větu: V aritmetické poslouposti ( a ) a a + ( ) d. s diferecí d platí pro každé N. Ověříme platost pro a a + d a + 0 d a pro vzorec platí. Předpokládáme, že vzorec platí pro k a dokazujeme, že platí i pro k + a a + k d Víme: k Chceme dokázat: a k a + + k + d a + k d Určitě platí rekuretí vztah pro aritmetickou posloupost: a k a + + k d a a + k d : Dosadíme do rekuretího vyjádřeí za k a a ( k ) d d a kd d d a kd k + + + + + + - to jsme chtěli Podařilo se ám vztah dokázat. Pedagogická pozámka: Pokud estíháme, předchozí příklad vyecháváme a důkaz buď rychle udělám a tabuli ebo ho úplě přeskočíme. Teď už můžeme apsat s jistotou: V aritmetické poslouposti ( a ) a a + ( ) d. s diferecí d platí pro každé N Př. 0: U ásledujících aritmetických posloupostí sestav vzorec pro -tý čle, ajdi rekuretí vyjádřeí a urči a 3. a) a 4, d b) a 8; d 5 + c) 7 ( ) a π; a a + π ; N d) + + e) [ 3] a) a 4, d rekuretí vyjádřeí: a 4; a+, N a a + d 4 + vzorec pro -tý čle: a 3 4 + ( 3 )( ) 0 b) a 8; d 5 ejdříve si určíme a : a a + d a a d 8 5 3 rekuretí vyjádřeí: a 3; a+ + 5, N vzorec pro -tý čle: a a + ( ) d 3 + ( ) 5 a 3 3+ ( 3 ) 5 63 5
c) 7 + ( ) posloupost je zadaá vzorcem pro -tý čle a 7, d rekuretí vyjádřeí: a 7; a+ +, N vzorec pro -tý čle už máme a + 3 7 ( 3 ) 3 d) a π; a+ + π ; N rekuretí vyjádřeí už máme a π, d π vzorec pro -tý čle: a a ( ) d π ( ) a π + ( ) π π 3 3 5 + + π e) [ + 3] pozor, to eí vzorec pro -tý čle musíme vztah upravit do tvaru vzorce pro -tý čle + 3 3 + 3 + 3 + 3 + 3 a, d 3 rekuretí vyjádřeí: a ; a+ + 3; N vzorec pro -tý čle už máme a + 3 ( 3 ) 3 37 Př. : Petáková: straa 67/cvičeí 9 a) straa 67/cvičeí 0 a) straa 67/cvičeí a) b) c) straa 67/cvičeí 5 a) b) straa 68/cvičeí 7 a) b) Shrutí: Posloupost jejíž po sobě ásledující čley se liší o stejé číslo se azývá aritmetická. Při výpočtu jejího -tého čleu přičítáme k prvímu čleu difereci krát. 6