. TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI V prax se můžeme setat s dvojím typem procesů. Jeda jsou to procesy determstcé, u terých platí, že př dodržeí orétích vstupích podmíe obdržíme přesý, předem zámý výslede (te můžeme často určt a záladě přesých formulí, jao apřílad rychlost, dráhu a tla ve fyzce, objem oule v matematce, atd.). Nezřída se vša setáváme s procesy, jejchž přesý výslede předem určt ejde, eboť podléhají celé řadě epatrých, často eměřtelých ebo dooce ezjsttelých vlvů. Ty jsou příčou toho, že avzdory zachováí stejých vstupích podmíe může teto proces (apř. hod ostou) dávat poaždé jé výsledy. Tyto procesy, teré azýváme stochastcé, jsou předmětem studa dvou matematcých dscplí - teore pravděpodobost a matematcé statsty... NÁODNÝ POKUS, NÁODNÝ JEV Záladím pojmy teore pravděpodobost jsou áhodý pous a áhodý jev. Náhodý pous (NP) - je aždý děj, jehož výslede eí předem jedozačě urče podmíam, za terých probíhá. Navíc se předpoládá, že je, alespoň teoretcy, eomezeě opaovatelý. Př: hod ostou, hod mcí, losováí Sporty, oupě ového auta, Záladí prostor Ω - je moža všech možých výsledů NP taová, že po provedeí NP astae právě jede prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6} NP hod mcí; Ω = {rub,líc} NP oupě ového auta; Ω = {bezporuchové,poruchové} Elemetárí jev - je aždý prve Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; =, =,, 6 = 6 NP hod mcí; Ω = {rub,líc}; = rub, = líc Náhodý jev A - je aždá podmoža Ω. Př: NP hod ostou; Ω = {,,3,4,5,6}; A = {}, A = {,4,6}, - jev emožý eastae dy (A = Ø) - jev jstý (oz. I ) astae vždy (I = Ω) - jev opačý jevu A (oz. A ) astae právě tehdy, dyž eastae jev A ( A = Ω Jelož áhodé jevy jsou podmožam záladího prostoru Ω, lze zavést relace mez jevy a operace s jevy pomocí symboly zámé z teore mož. Relace mez jevy ) Jev A je podjev jevu B - začíme A B A B : ( ( -
- z astoupeí jevu A plye astoupeí jevu B ) Rovost jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - jev A astae právě tehdy dyž astae jev B Jevy A a B jsou eslučtelé (dsjutí) emohou astat současě ( A B Ø) Jevy A, =,, jsou avzájem (po dvou) eslučtelé jsou eslučtelé všechy dvojce jevů A, A j pro j Jevy A,, A tvoří úplý systém eslučtelých jevů jsou po dvou eslučtelé a jejch sjedoceím je moža Ω. Operace s jevy ) Sjedoceí jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí aspoň jedoho z jevů A a B (A ebo ) Prů jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - společé astoupeí jevů A a B (A a zároveň 3) Rozdíl jevů A a B - začíme A B - A B : ( ( - astoupeí A a současé eastoupeí B Přílad..: Mějme áhodý pous hod dvěma ostam, červeou a modrou. Záladí prostor Ω pa lze zapsat tato: Ω = {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}. Moža Ω má celem prvů, jsou to elemetárí jevy = (,), = (,),, = (6,6). Předpoládejme, že prví (resp. druhé) číslo udává počet o a červeé (resp. a modré) ostce. Každý z elemetárích jevů pa lze zapsat slovy, apř. = padla jedča a červeé a dvoja a modré ostce. Jao přílady áhodých jevů s zde můžeme uvést tyto:
A pade šesta a červeé; A = {(6,), (6,),, (6,6)} 6 prvů A pade jedča a modré; A = {(,), (,),, (6,)} 6 prvů A 3 pade šesta a červeé a zároveň jedča a modré; A 3 = A A ={(6,)} prve A 4 pade šesta a červeé ebo jedča a modré; A 4 = A A = {(6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (,), (,), (3,), (4,), (5,)} prvů A 5 pade šesta a červeé a zároveň epade jedča a modré; A 5 = A A = = {(6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 5 prvů A 6 a červeé epade šesta; A 6 = A (jev opačý jevu A ; A 6 = Ω - A ) 30 prvů A 7 pade součet ; A 7 = Ω (jev jstý) prvů A 8 pade součet > ; A 8 = Ø (jev emožý) 0 prvů A 9 pade a obou ostách sudé číslo; A 9 = {(,), (,4), (,6), (4,), (4,4), (4,6), (6,), (6,4), (6,6)} 9 prvů A 0 pade a obou ostách lché číslo; A 0 = {(,), (,3), (,5), (3,), (3,3), (3,5), (5,), (5,3), (5,5)} 9 prvů A pade a jedé ostce sudé a zároveň a druhé lché číslo; A = {(,), (,4), (,6), (3,), (3,4), (3,6), (5,), (5,4), (5,6), (,), (,3), (,5), (4,), (4,3), (4,5), (6,), (6,3), (6,5)} 8 prvů Všměme s, že jevy A 9 a A 0 jsou eslučtelé (emohou astat současě; A 9 A 0 Ø), ale ejsou sobě opačé (A 9 A0). Netvoří tedy úplý systém eslučtelých jevů, protože jejch sjedoceím eí moža Ω. Úplý systém eslučtelých jevů tvoří trojce jevů A 9, A 0, A (jsou to jevy avzájem eslučtelé a A9 A0 A= Ω) a rověž dvojce jevů A, A 6... PRAVDĚPODOBNOST, JEJÍ DEFINICE A VLASTNOSTI ) Klascá (Laplaceova) defce pravděpodobost Defce..: Je-l záladí prostor Ω = {,,, } oečá eprázdá moža elemetárích jevů, teré mají stejou šac výsytu, pa pravděpodobost, že př realzac m áhodého pousu astae jev A, je, de m je počet výsledů přízvých jevu A a je počet všech možých výsledů. Přílad..: V souladu s lascou defcí pravděpodobost mají jevy z Příladu... ásledující pravděpodobost: 6 P ( A ), 6 6 P ( A ), 6 P ( A 3 ), P ( A 4 ),..., 8 P ( A ) Přílad..: V oloě osm vozdel jedou tř červeé automobly. Jaá je pravděpodobost, že červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou? Řešeí: Ozačme jev A... 3 červeá vozdla jedou bezprostředě za sebou. 3
Každé auto má stejou šac být a lbovolé pozc, proto pro výpočet pravděpodobost použjeme lascou defc pravděpodobost. Počet všech možostí, ja lze uspořádat všech 8 vozdel, odpovídá permutac z 8 prvů, tz. 8! Nyí musíme určt počet přízvých možostí (tj. 3 červeá za sebou a ostatích 5 lbovolě). 3 červeá auta mohou být za sebou a 6 růzých pozcích (prví z trojce může být v oloě a jedé z pozc -6), v aždé pozc mohou být uspořádáa 3! způsoby, tz. pro uspořádáí červeých aut dostáváme 6 3! možostí. Ke aždé této možost exstuje 5! způsobů, ja uspořádat auta zbývající, tz. že všech přízvých možostí je m 63!5!. 63!5! 6 Pravděpodobost jevu A je tedy: P ( 0, 07. 8! 56 ) Geometrcá defce pravděpodobost Defce..: V rově (resp. a přímce ebo v prostoru) je dáa oečá oblast Ω a její podmoža A. Pravděpodobost jevu A, terý spočívá v tom, že áhodě zvoleý bod v A oblast Ω leží v oblast A, je P (, de A, Ω jsou míry oblastí A a Ω. Přílad..3: Jaá je pravděpodobost, že meteort dopade a pevu, víme-l, že peva má rozlohu 49 000 000 m a moře 000 000 m? 49 Řešeí: P ( 0, 9 49 Přílad..4: Dva zámí se domluví, že se sejdou a určtém místě mez 3. a 4. hodou, přčemž doba čeáí je 0 mut. Jaá je pravděpodobost, že se př této dohodě setají? Řešeí: Ozačme A zámí se setají, ( jev, jehož pravděpodobost ás zajímá) x čas příchodu osoby a, y čas příchodu osoby b. Potom {[ x, y]: 0 x 60 0 y 60}, ( moža všech možých případů) A {[ x, y]: x - y 0}. ( moža všech případů přízvých jevu Možy A a Ω můžeme grafcy zázort jao plochy v rově, ja to vdíme a Obr.... Obr...: y 60 40 0 A Ω 4 0 0 40 60 x
V souladu s geometrcou defcí má pa jev A pravděpodobost A 60 40 5 P ( 0,556. 60 9 3) Statstcá defce pravděpodobost Defce..3: Nechť A je hromadý jev. Nastae-l teto jev v pousech právě f rát, f defujeme jeho pravděpodobost vztahem lm. Číslo f se azývá absolutí f četost jevu A a číslo relatví četost jevu A a v pousech. Přílad..5: V áhodě vybraé supě 40 mužů ve věu 40-50 let se vysytl rzový fator "zvýšeý cholesterol" (jev ve 37 případech. Odhaděte pravděpodobost výsytu jevu A v této věové supě mužsé populace. 37 Řešeí: P ( ~ 0, 64. 40 Axomatcá (Kolmogorovova) defce pravděpodobost Axomatcá defce pravděpodobost vychází z toho, že pravděpodobost je objetví vlastost áhodého jevu, terá ezávsí a tom, zda j umíme ebo eumíme měřt. Je přtom dostatečě obecá, taže lascá, geometrcá a statstcá defce pravděpodobost jsou jejím specálím případy. Defce..4: Jevové pole a je moža všech růzých podmož záladího prostoru Ω, terá splňuje tyto podmíy:. I leží v a (jev jstý je prvem a),. leží-l A a B v a, pa A B, A B, A-B, A, B leží v a. Přílad..6: Nechť je dá záladí prostor Ω = {a, b, c, d} a áhodé jevy A = {a} a B = {c, d}. Vytvořte co ejmeší jevové pole, teré bude obsahovat áhodé jevy A a B. Řešeí: Jevové pole musí obsahovat Ω a Ø. S aždým jevem obsahuje opačý jev, musí tedy obsahovat jevy Ā = {b, c, d}, B = {a, b}. S aždým áhodým jevy obsahuje jejch prů a sjedoceí: A B = C = {a, c, d}, A B = Ø. S áhodým jevem C musí obsahovat jev ěmu opačý: C = {b}. Pomocí opačého jevu, sjedoceí a průu už žádý další áhodý jev edostaeme, tedy a ={Ø,{a}, {b}, {a, b}, {c, d}, {b, c, d}, {a, c, d}, Ω}. 5
Defce..4: Nechť a je jevové pole. Pravděpodobost jevu A je reálé číslo, pro ěž platí:. 0, A a ( axom ezáporost). I) = ( axom jedoty) 3. jsou-l A, A,..., A,... a avzájem eslučtelé jevy, potom platí: A A... A...) = A ) + A ) +... + A ) +... ( axom adtvty) Vlastost pravděpodobost Věta..: (o vlastostech pravděpodobost). Ø) = 0. A ) = - 3. Jestlže A B, pa 4. Jestlže A B, pa B - = - 5. A = + - A B ) Přílad..7: Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 6, b) součet růzý od 6, c) a obou ostách sudé číslo, d) a obou ostách sudé číslo a zároveň součet 6, e) a obou ostách sudé číslo ebo součet 6. Řešeí: Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam byl popsá v Příladě.., víme tedy, že má celem prvů. Ozačme jevy, jejchž pravděpodobost ás zajímají, po řadě A, B, C, D a E. Řešeí vychází z lascé pravděpodobost a Věty..: 5 a) P ( b) c) d) e) 5 B A 9 P ( C) D C A; D) 9 5 E C A E) C C) C 3.3. PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST A NEZÁVISLÉ JEVY Defce.3.: Podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B (ebo tay pravděpodobost jevu A za předpoladu resp. podmíy, že astal jev, se začí P ( A a defuje se tato: 6
A A, de P ( 0. Pozáma: ) Pro B : 0 se podmíěá pravděpodobost jevu A jevem B edefuje ) Defčího vzorce se často užívá ve tvaru A A 3) Nastoupeí jevu B může změt šac astoupeí ěterých jých jevů. Vezměme s apřílad áhodý pous hod ostou a jevy: A padlo číslo 6, A padlo číslo, B padlo číslo < 5. Pravděpodobost jevů A a A jsou: P ( A ) A ), ale podmíěé pravděpodobost 6 těchto jevů jevem B jsou P ( A 0; A 4. Nastoupeí jevu B tedy zmešlo šac jevu A (a hodotu 0) a aopa zvětšlo šac jevu A (a hodotu 0,5). 4) Poud jev B eměí šac astoupeí jevu A, říáme, že jev A a jevu B ezávsí. Poud ezávsí jev A a jevu B, ezávsí rověž jev B a jevu A a oběma jevům říáme ezávslé. Defce.3.: Platí-l A, azýváme jevy A a B ezávslé. Pozáma: ) Nezávslost jevů A a B zameá, že astoupeí jedoho z těchto jevů emá žádý vlv a astoupeí jevu druhého ) Jevy A a B jsou ezávslé A 3) Jsou-l A a B eslučtelé jevy s eulovým pravděpodobostm, pa jsou závslé Přílad.3.: Ověřte, že př hodu dvěma ostam je jev A a prví ostce padlo číslo 5, ezávslý a jevu B a druhé ostce padlo číslo < 3. Řešeí: 6 6 A A 6 jevy A a B jsou ezávslé Přílad.3.: ážeme dvěma ostam. Vypočítejte pravděpodobost toho, že a) dyž a. ostce padlo číslo, padl součet větší ež 6, b) dyž a obou ostách padlo sudé číslo, padl součet větší ež 9. Řešeí: Zavedeme-l ásledující ozačeí: A padl součet větší ež 6, B a. ostce padlo číslo, A padl součet větší ež 9, B a obou ostách padlo sudé číslo, máme za úol vypočítat podmíěé pravděpodobost P A B ) a P A B ). ( ( 7
Záladí prostor Ω áhodého pousu hod dvěma ostam jž záme z Příladu... Je tedy zřejmé, že: - v případě a) máme dva přízvé případy z šest možých, tz. P ( A B ), 6 3 3 - v případě b) máme tř přízvé případy z devít možých, tz. P ( A B ). 9 3 Defce.3.3: Jevy A,..., A jsou vzájemě ezávslé, jestlže pro aždou jejch podmožu platí, že pravděpodobost průu zastoupeých jevů je rova souču jejch pravděpodobostí. Pozáma: ) Jsou-l jevy A,..., A vzájemě ezávslé, jsou taé po dvou ezávslé. Opačé tvrzeí ovšem eplatí. Přílad.3.3: Jaá je pravděpodobost, že a hrací ostce pade třrát za sebou pěta? Řešeí: Je zřejmé, že př opaovaém hodu ostou jsou jedotlvé hody a sobě ezávslé (výslede žádého hodu emá vlv a to, co pade příště). Zavedeme-l ozačeí: A pade třrát za sebou pěta, A pade pěta v. hodu, A pade pěta ve. hodu, A 3 pade pěta ve 3. hodu, potom platí: A A A3 ) A ). A ). A3 ) 0, 005. 6 6 6 Pravděpodobost, že ve třech po sobě jdoucích hodech ostou pade třrát pěta, je 0,5%..4. ÚPLNÁ PRAVDĚPODOBNOST A BAYESOVA VĚTA Věta.4.: (o úplé pravděpodobost) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ). Důaz: Je zřejmé, že lbovolý jev,...,. Pa pro lbovolý jev A A můžeme vyjádřt jao sjedoceí eslučtelých ( jevů A ),( A ),...,( A ), tedy A ( A ). Jelož pravděpodobost sjedoceí eslučtelých jevů je rova součtu jejch pravděpodobostí, platí A ). Do tohoto vztahu už je dosadíme A ) A ). ) (plye z defce podmíěé pravděpodobost) a dostáváme uvedeý vztah. 8
Obr..4.: 3 A 5 4 Přílad.4.: V prodejě jsou výroby 3 podů v počtech 450, 850 a 000 usů. Zmetovtost dodáve jedotlvých podů je po řadě 4%, 3% a 5%. Určete pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete. Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... vybraý výrobe je zmete,... výrobe byl dodá -tým podem, A... výrobe je zmete, za předpoladu že byl dodá -tým podem. Ze zadáí víme, že 450 450 9 P ( ), 450 850 000 300 46 850 7 P ( ), 300 46 P ( A ) 0,04, P ( A ) 0,03, P ( A 3) 0,05. Z věty o úplé pravděpodobost pa vyplývá, že 9 7 0 P ) 0,04 0,03 0,05 0, 04 46 46 46 3 ( A ) 000 0 P ( 3), 300 46 Pravděpodobost toho, že výrobe áhodě vybraý z těchto 300 usů je zmete, je tedy 4,%. Věta.4.: (Bayesova) Mějme úplý systém vzájemě eslučtelých jevů platí: A ) ),,..,. A ) ),..., a lbovolý jev A. Pa Pozáma: Vzorec uvedeý ve Větě.4. se azývá Bayesův vzorec. Vyplývá z defce podmíěé pravděpodobost, jejímž užtím dostáváme A ) ), a z věty o úplé pravděpodobost, jejíž vzorec dosadíme do jmeovatele. Přílad.4.: V továrě a výrobu eletrocých součáste pracují tř stroje, přčemž. stroj produuje 0%,. stroj 30% a 3. stroj 50% všech součáste. Zmetovtost součáste je u jedotlvých strojů po řadě %, % a 3%. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá 9
součásta vyrobeá tímto závodem je zmete? Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem? Řešeí: Zaveďme pro jevy z ašeho příladu ásledující ozačeí: A... áhodě vybraá součásta je zmete,... áhodě vybraá součásta byla vyrobea -tým strojem, A... áhodě vybraá součásta je zmete, poud byla vyrobea -tým strojem. Ze zadáí víme, že P ( ) 0,0, P ( ) 0, 30, P ( 3) 0, 50, P ( A ) 0,0, P ( A ) 0,0, P ( A 3) 0,03, ás zajímá P ( a. P ( vypočteme z věty o úplé pravděpodobost: 3 P ( A ) ) 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 0,03 Pravděpodobost toho, že áhodě vybraá součásta je zmete, je tedy,3%. vypočteme užtím Bayesovy věty: A ) ) 0,0.0,30 3 0, 6 0,0.0,0 0,0.0,30 0,03.0,50 A ) ) Pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe, terý je zmete, byl vyrobe. strojem, je 6,%. 0
Přílady procvčeí: Ke aptole.:. Volíme áhodě trojcferý ód. Jaá je pravděpodobost, že má a) všechy cfry růzé, b) aspoň dvě cfry stejé?. Písmea K, K, O, O, S sládací abecedy sládáme áhodě za sebou. Jaá je pravděpodobost, že jsme složl slovo KOKOS? 3. Jaá je pravděpodobost, že př hodu dvěma ostam pade a) součet 0, b) součet 8? 4. Marášové arty dělím a polovu. Jaá je pravděpodobost, že a) v obou polovách je stejý počet červeých a čerých aret, b) v jedé z polov jsou tř esa? 5. Staovte pravděpodobost výhry ve Sportce v -tém pořadí (pro =,..., 5). 6. Jaá je pravděpodobost, že se ve supě 0 osob ajdou aspoň, teré mají arozey ve stejý de? 7. ody, teré ebyly včas atažey, se po určté době zastavly. Jaá je pravděpodobost, že se velá ručča achází mez šestou a devítou? 8. Na zastávu MD přjíždí autobus aždých 7 mut a zdrží se 0,5 muty. Jaá je pravděpodobost, že přjdu a zastávu a autobus zasthu? 9. V osudí jsou 4 čeré a 6 modrých oulí. Náhodě vybereme supu pět oulí. Jaá je pravděpodobost, že ve vybraé supě budou a) oule čeré a 3 modré, b) aspoň 3 oule čeré? 0. Studet je přprave a 5 ze 30 zušebích otáze. Jaá je pravděpodobost, že s u zoušy vytáhe otázy, teré zá?. V rabc je 6 hracích oste očíslovaých od do 6. Jaá je pravděpodobost, že př jejch postupém vytažeí dostaeme z jejch čísel rostoucí posloupost?. Obča čeá doma a telegram, terý může být doruče dyol mez 6. a 0. hodou. Urč pravděpodobost toho, že ebude čeat déle ež hody. Ke aptole.3:. V urě je 5 bílých a 7 čerých ulče. Vytáheme ulčy, přčemž po prvím tahu se
ulča do ury a) vrací, b) evrací. Jaá je pravděpodobost, že obě vytažeé ulčy budou bílé?. Uvažujme 3 přístroje zapojeé a) paralelě, b) sérově. Selháí jedotlvých přístrojů echť jsou ezávslé jevy s pravděpodobostm p, p, p 3. Urč pravděpodobost selháí obou le. 3. V továrí hale pracuje ezávsle a sobě 6 automatů. Pravděpodobost, že automaty ebudou v průběhu směy potřebovat opravu, jsou po řadě 0,8; 0,75; 0,95; 0,9; 0,7; 0,85. Urč pravděpodobost toho, že v průběhu směy a) a jede automat ebude potřebovat opravu, b) aspoň jede automat ebude potřebovat opravu, c) aspoň jede automat bude potřebovat opravu. 4. Tř střelc střílí ezávsle a sobě a tetýž cíl. Pravděpodobost zásahů jedotlvých střelců jsou 0,8; 0,7 a 0,6. Každý vystřelí po jedé střele. Jaá je pravděpodobost, že cíl a) zasáhou všch tř, b) ezasáhe a jede, c) zasáhe aspoň jede, d) zasáhe právě jede. 5. Urč, jaá je pravděpodobost, že př pět ezávslých, po sobě jdoucích hodech ostou pade a) šesta př. a 4. hodu, př ostatích e, b) šesta př. hodu a př ostatích lché číslo, c) šesta právě dvarát. 6. Pravděpodobost arozeí chlapce je 0,55. Urč pravděpodobost toho, že mez čtyřm po sobě arozeým dětm budou a) prví dva chlapc a další dvě děvčata, b) právě dva chlapc. 7. Z celové produce závodu je 4% zmetů a z dobrých je 75% stadardích. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý výrobe je stadardí. 8. Z výrobů určtého druhu dosahuje 95% předepsaou valtu. V jstém závodě, terý vyrábí 80% celové produce, vša předepsaou valtu dosahuje 98% výrobů. Mějme áhodě vybraý výrobe předepsaé valty. Jaá je pravděpodobost, že byl vyrobe ve vzpomíaém závodě? 9. Dva střelc střílí současě a terč. Pravděpodobost zásahu prvím z ch je 0,7, druhým 0,8. Jaá je pravděpodobost, že prví střelec zasáhe a současě druhý me? 0. Př zásahu cíle se rozsvítí žárova. Urč pravděpodobost, že se žárova rozsvítí, jestlže a terč současě vystřelí dva střelc, jejchž pravděpodobost zásahu jsou 0,7 a 0,9.
. Studet A, B a C sládají přjímací zoušu. Jejch šace a úspěch odhadujeme po řadě a 70, 40 a 60%. Jaá je pravděpodobost, že a) všch tř uspějí, b) a jede euspěje, c) uspěje je studet A, d) uspěje právě jede z ch, e) euspěje je studet B, f) uspějí právě dva. Ke aptole.4:. Ze 3 sérí výrobů, teré obsahují postupě 00, 50 a 00 usů, vybereme áhodě jede výrobe. Urč pravděpodobost toho, že je valtí, víme-l, že pravděpodobost valtího výrobu je u prví sére 0,8, u druhé sére 0,9 a u třetí sére 0,7.. Ve studjí supě je 5 studetů. Pravděpodobost složeí zoušy v prvím termíu je u 6 studetů rova 0,9, u 7 studetů 0,6 a u studetů 0,. Urč pravděpodobost toho, že áhodě vybraý studet složí zoušu v. termíu. 3. V teréí soutěž zůstalo 8 motocylů začy A s 80% spolehlvostí a 6 motocylů začy B s 70% spolehlvostí. Posledí de edojel do cíle jede motocyl. Jaá je pravděpodobost, že byl začy A? 4. Ve společost je 45% mužů a 55% že. Vysoých ad 90 cm je 5% mužů a % že. Náhodě vybraá osoba je vyšší ež 90 cm. Jaá je pravděpodobost, že je to žea? 5. Meza VŠB zaoupla chladče z. závodu, 0 chladče z. závodu a 8 chladče z 3. závodu. Pravděpodobost, že chladča je výboré jaost, pochází-l z. závodu, je 0,9, z. závodu 0,6 a z 3. závodu 0,9. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá chladča bude výboré jaost? 6. Součásty, ze terých se motují stroje, dodávají tř závody. Je zámo, že prví má 0,3% zmetů, druhý 0,% zmetů a třetí 0,4% zmetů. Prví závod dodal 000, druhý 000 a třetí 500 součáste. Jaá je pravděpodobost, že áhodě vybraá součásta bude zmete? 3