STAOVEÍ POMĚRÉ PLOŠÉ DRSOSTI POVRCHU J. Tesř, J. Kuneš ové technologie výzkumné centrum, Univerzitní 8, 06 4, Plzeň Ktedr fyziky, Fkult plikovných věd, Zápdočeská univerzit, Univerzitní, 06 4, Plzeň Abstrkt Hodnocení povrchu mteriálu je prováděno podle hodnoty drsnosti, stndrdně střední ritmetickou odchylkou profilu R, která je měřen mechnickými nebo optickými metodmi. Pro komplenější vystižení drsnosti lze použít poměrnou plošnou drsnost, která je dán poměrem plochy geometrického průmětu plochy nerovného povrchu. Pro určení poměrné plošné drsnosti je potřeb znát prostorové rozložení povrchových bodů, které bylo změřeno rstrovcím profilometrem n vzorku otryskné oceli vzorku s cermetem. Výpočet poměrné plošné drsnosti byl proveden v MATLABu metodou trojúhelníků ( ), pomocí metody Monte Crlo (MC) přímou integrcí (PI). Principy uvedených metod jsou detilně popsány jejich výsledky porovnány pro různé prmetry zjemnění mříže. Úvod Jednou z nejdůležitějších vlstností kždého mteriálu jsou jeho povrchové vlstnosti, mezi nimi i drsnost, která ovlivňuje koeficient tření. Z mikroskopické perspektivy je tření způsobeno interkcí mezi nerovnostmi povrchů. Povrchy krystlických látek, které se zdjí být zcel hldké, jsou ve skutečnosti poněkud hrubé. Jediný skutečný kontkt mezi dvěm povrchy se nchází ve vzbách mezi nerovnostmi ploch těsného kontktu je mlá. Z mkroskopického hledisk je tření nezávislé n zdánlivé ploše kontktu. Při bližším zkoumání všk skutečná ploch kontktu oprvdu ovlivňuje tření. Jk ztížení přitlčuje povrchy k sobě, tk vzrůstá deformce drsností tím vzrůstá skutečná ploch kontktu následně i sttická třecí síl []. Drsnost povrchu je stndrdně chrkterizován střední ritmetickou odchylkou, která je definován [] l n R = y( )d l ; R = & y( ), () n i kde ( ) 0 y popisuje odchylku od zákldní čáry profilu. Tto veličin všk nestčí n úplné popsání třecího povrchu, le jsou potřebné dlší údje o velikosti, tvru, bsolutní reltivní četnosti mikronerovností i údje o celkové morfologii topogrfii povrchu. Dlší informci dává poměrná plošná drsnost ve tvru bezrozměrného kritéri rough i= Ag f rel =, f rel 0; () A kde A g je ploch vymezená geometrickým rozměrem A rough je ploch určená nerovností povrchu. Měření profilu povrchu Měření profilu povrchu bylo provedeno n mechnickém rstrovcím profilometru DEKTAK 8 od firmy Veeco []. Smotné zřízení je umístěno n plovoucí stolek, který brání přenosu vibrcí z okolního prostředí. hrotu snímče DEKTAK je dimntová kuličk o poloměru r =,5 µm, která kopíruje povrch vzorku generuje signál nesoucí informci o profilu. Tento signál je zesílen přenesen do počítče. Měřeny byly dv vzorky: ) ocel 48 otryskná korundem (stndrdní otryskání částicemi korundu Al O ), b) vzorek s otěruvzdornou vrstvou cermetu Cr C icr nnesenou n ocel 48 metodou HVOF (High Velocity Oygen Fuel).
Obr. : ) vzorek oceli otryskné korundem, b) vzorek s vrstvou cermetu CrC icr Pro vytvoření vztžné roviny byl část obou vzorků obroušen. Měřená oblst se skládá z obroušené části, přechodové části vlstního měřeného povrchu vzorku. Pro získání prostorového obrzu povrchu bylo měřeno 0 scnů profilu v délce 000 µm ve vzdálenosti µm od sebe, nsnímná oblst má rozměr 000 00 µm. scn délky 000 µm připdá 4500 vzorkovcích bodů, vzdálenost mezi jednotlivými body ve směru osy je tedy 0,667 µm. Souřdnice jednotlivých bodů se ukládjí do souboru po nčtení je lze v MATLABu zobrzit do D grfu (obr. ). Obr. : Povrch vzorku cermetu zchycujíci obroušenou část (modrá brv), přechodovou část smotný cermet (žlutá červená) Obr. : Povrch vybrné části vzorku cermetu otryskné oceli o velikosti 00 00 µm
Určení plochy pomocí trojúhelníků ejjednodušší metod, jk určit plochu zvlněného povrchu ze známých souřdnic ve směru osy z z jednotlivých bodů (výšek), je pomocí trojúhelníků. Rozestupy mezi sousedními body jsou konstntní, ve směru osy je to 0,667 µm ve směru osy y µm. Souřdnice bodů ve směru osy z se liší. Podle obr. 4 je možné spočítt přibližný obsh plochy mezi čtyřmi body A, B, C D rozdělením obrzce ABCD n trojúhelníky. Obsh těchto trojúhelníků se spočítá podle Heronov vzorce z velikostí úseček mezi jednotlivými body, které se určí Pythgorovou větou. Z trojúhelníku AOB se určí délk strny z trojúhelníku BPC délk strny b z trojúhelníku AQC délk strny e = AO + BO, () b = BP + CP (4) e = AQ + CQ. (5) Obsh trojúhelníku ABC je potom S = s ( s ) ( s b) ( s e), (6) ABC bc bc kde + b + e s bc =. (7) Obdobně se postupuje i u osttních strn ploch trojúhelníků. Celková ploch povrchu je dán součtem ploch všech tkovýchto trojúhelníků ve vybrné oblsti, průchod přes vybrnou oblst se zjistí cyklem. Změnou uvžovných trojúhelníků z ABC ACD n ABD BCD lze obecně dostt jinou velikost plochy. bc bc Obr. 4: Znázornění bodů trojúhelníků v prostoru Výpočet se provede procedurou vytvořenou v progrmu MATLAB, kde lze zdt část z celkového povrchu počátečním bodem M (, y ) koncovým bodem (, y ). Plochu průmětu vybrné části povrchu do roviny y lze jednoduše spočítt jko plochu obdélníku = y. (8) A g ( ) ( ) y
4 Odvození vzthu pro nlytické určení plochy V jednorozměrném přípdě, pro výpočet délky úsečky, lze pro element délky psát dl = d + dy, (9) odkud dy d pk může být vyjádřen jko určitý integrál ( ) viz [4]. Výrz f ( ) = oznčuje derivci funkce ( ) dl = + f, (0) l = f podle proměnné. Celková délk křivky + f ( )d. () Zobecněním této úvhy n D problém lze elementární plošku ds vyjádřit jko (, y) f ( y) ds = dl dl y = + f y,, () ( ) ( ) + kde dl ( ) je element délky ve směru osy dl ( y) element délky ve směru osy y. Celkovou plochu lze spočítt jko dvojný integrál přes celé intervly hodnot y S = y (, y) f (, y) d dy + f + y. () y 5 Určení plochy pomocí metody Monte Crlo Vypočítt integrál () může být složitý numerický problém. Jednoduše ho všk lze řešit metodou Monte Crlo [5]. Úkolem je totiž spočítt objem těles pod plochou dnou výrzem ds. Element plochy ds se vsdí do kvádru o výšce větší než je mimální hodnot funkce ds. Objem těles pod ploškou elementu ds lze určit provedením velkého počtu náhodných umístění bodů do prostoru vymezeného kvádrem. Poměr počtu bodů pod ploškou ds k celkovému počtu bodů odpovídá poměru objemu pod ploškou ds k celkovému objemu kvádru, tj. úsp V =, (4) V pok úsp oznčuje počet bodů (úspěšných pokusů), které pdnou pod element plošky ds, pok celkový počet bodů (pokusů), V objem pod elementem plošky ds V celk objem kvádru. ejprve je nutné uprvit dt získná měřením. Dt se ve formě funkce ( y) f, interpolují v MATLABu kubickým splinem n jemnější mříži. Získná funkce je podle své definice spojitě f, y diferencovtelná minimálně do prvního řádu. Proto eistují spojité první derivce ( ) ( y) f y,, které jsou zpotřebí při výpočtu plochy S. Pro výpočet funkcí se použije MATLABovská funkce grdient. yní je možné plikovt metodu Monte Crlo určit tk objem pod plochou ds. Postup je následující:. Čítč počtu pokusů pok počtu úspěchů úsp se nství n nulu.. Vygenerují se tři náhodná čísl γ, γ, γ s rovnoměrným rozdělením, γ,, γ γ 0, m imum ( ds) y, y celk. Horní mez třetího intervlu lze přípdně neptrně zvýšit (v progrmu je zvětšen o 0%), by progrm počítl se všemi hodnotmi, což zručuje stbilitu progrmu (výpočet probíhá numericky nečekné mimum nelze vyloučit). γ,γ je větší než hodnot čísl γ. Pokud no, pk se zvětší čítč pokusů pok čítč úspěchů úsp o jednotku, pokud ne, zvětší se o jednotku pouze čítč pokusů.. Otestuje se, zd hodnot funkce ds v bodě [ ]
4. Opkují se kroky ž se hodnot podílu čítčů úsp pok příliš nemění. Získná hodnot vynásobená objemem těles, ve kterém byly generovány náhodné body, tj. hodnotou V celk = ( ) ( y y ) ( mimum ( ds ) 0) (5) odpovídá hledné velikosti plochy S (objemu V úsp ) úsp S = V = Vcelk. (6) Získná hodnot plochy S (S = A rough ) ploch průmětu do roviny y chrkterizují poměrnou plošnou drsnost vzorku f rel podle vzthu (). Prmetrem metody Monte Crlo je počet provedených pokusů o umístění náhodného bodu pod plochu ds. Se vzrůstjícím počtem pokusů hodnot dná vzthem (6) konverguje ke skutečné hodnotě velikosti plochy S. ejedná se všk o konvergenci tk je znám z teorie řd, le o prvděpodobnostní konvergenci. pok Obr. 5: Prvděpodobnostní konvergence metody Monte Crlo Z obr. 5 je ptrné, že po 0 tisích pokusech již nedochází k výrzné změně v hodnotě velikosti plochy S. Tto hodnot pok je povžován jko minimální počet pokusů, které je použito hlvně v přípdech většího zjemnění mříže, které má z následek i větší čsovou náročnost výpočtu. 6 Určení plochy přímou integrcí Integrál () lze v MATLABu vypočítt pomocí funkce dblqud, která je definován [6] q = dblqud(fun,min,m,ymin,ym,tol) kde fun je hndle funkce f (, y), prmetry min,m,ymin,ym vymezují integrční oblst - obdélník dný body min,m,ymin ym. Prmetr tol určuje bsolutní chybovou tolernci, jejíž defult hodnot je,0e-6. Větší hodnoty prmetru tol mjí z následek méně vyhodnocení funkcí rychlejší výpočet, le méně přesné výsledky. Funkce dblqud je dvourozměrnou podobou funkce qud, která k výpočtu používá rekurzivní dptivní Simpsonovu kvdrturu. Zákldním principem odvození Simpsonovy metody (pro D přípd) je proimce funkce f n intervlu b p nejvýše druhého stupně. Potom pltí ( ), polynomem ( ) b ( ) d p ( ) b f d. (7) Polynom p je zvolen tk, že se s funkcí f shoduje lespoň ve třech bodech, b 6). + b c = (viz obr.
Obr. 6: Princip proimce funkce f ( ) y = polynomem druhého stupně n intervlu, b V [7] je odvozen postup, kterým lze dospět k výrzu b h p ( ) d = [ f ( ) + 4 f ( c) + f ( b) ], (8) kde b h =. Velký intervl nelze proimovt njednou, postupuje se tk, že pro kždé sudé přirozené číslo b n = m je rozdělen intervl, b n n stejných dílků délky h = dělícími body i, i = 0,, n, n. Oznčí se y i = f( i ), i = 0,,, n v kždém z intervlů < i, i + >, i = 0,,, m se užije proimce (9), tj. i + i f h ( ) d ( y + y y ) i 4 + i+ i+, (9) Sečtou-li se vzthy (9) přes všechny dvojdílky, výsledkem je vzth i + h f ( ) d [ y0 + yn + 4( y + y + K + yn ) + ( y + y4 + K + yn )], (0) i Při oznčení h Sn potom pltí pro kždé sudé přirozené číslo n [ y + y + 4( y + y + + y ) + ( y + y + K y )] = 0 n n 4 + n K, () b lim S = f ( )d. () n 7 Závislost plochy n zjemnění mříže n Pro zvýšení přesnosti určení plochy zvlněného povrchu byl v MATLABu zjemněn síť nměřených bodů přidáním jednoho bodu mezi dv sousední ve směru os (zjemnění ), dvou bodů (zjemnění ) td. ž do osminásobného dvcetinásobného zjemnění pro výpočet přímou integrcí pomocí metody Monte Crlo, resp. metodu trojúhelníků. ově vzniklým bodům byly dopočítány výšky interpolcí kubickým splinem. Tto úprv dodává povrchu relističtější vzhled bez ostrých hrn, které se obecně vyskytují jen zřídk. Zvyšující se zjemňování mříže má z následek zvětšení plochy S rough tudíž zmenšení poměrné plošné drsnosti f rel. Závislost n zjemnění mříže při geometrické ploše A g = 0000 µm pro všechny metody vyjdřuje obr. 7. Při výpočtu přímou integrcí byl použit prmetr tol = 0,. Při výpočtu pomocí metody Monte Crlo bylo při jednonásobném zjemnění mříže provedeno 00 tisíc pokusů, při
dvojnásobném čtyřnásobném zjemnění mříže 50 tisíc pokusů při osminásobném zjemnění 0 tisíc pokusů z důvodu zvyšující se čsové náročnosti výpočtu. Obr. 7: Závislost velikosti plochy S rough cermetu n koeficientu zjemnění mříže pro metody, PI MC Při výpočtu pomocí trojúhelníků dosáhne velikost plochy S tkové hodnoty, že dlší zvyšování koeficientu zjemnění mříže již nemá dlší vliv n velikost této plochy S. Podobný průběh se dá očekávt i u přímé integrce, výpočet všk nebyl proveden z důvodu velké čsové náročnosti. U metody Monte Crlo je zobrzeno vždy několik bodů pro jednu hodnotu zjemnění mříže, protože se jedná o prvděpodobnostní metodu při kždém výpočtu je dosženo jiného výsledku. 8 Výsledky Hodnoty poměrné plošné drsnosti byly vypočteny n vzorku cermetu otryskné oceli. Tbulk zobrzuje porovnání hodnot f rel pro osminásobné zjemnění mříže. Tb. : HODOTY POMĚRÉ PLOŠÉ DRSOSTI PRO VZOREK CERMETU A OTRYSKAÉ OCELI 9 Závěr Vzorek Metod f rel (-) Cermet Otrysk ná ocel 0,798 MC 0,7899 PI 0,780 0,7 MC 0,755 PI 0,78 Vypočtené hodnoty poměrné plošné drsnosti různými metodmi vykzují mlý rozptyl. Bylo zjištěno výškové rozložení povrchu vzorku cermetu otryskné oceli zobrzeno ve D grfu. Poměrná plošná drsnost byl vypočten metodou trojúhelníků, pomocí metody Monte Crlo přímou integrcí. Byl ukázán závislost velikost zvlněné plochy n koeficientu zjemnění mříže.
Litertur [] J. Bečk. Tribologie. ČVUT, Prh, 997 [] P. Blškovič, J. Bll, M. Dzimko. Tribológi. Alf, Brtislv, 990 [] http://www.veeco.com/products/metrology_nd_instrumenttion/stylus_profilers/dektk_8/inde. sp?prodgroup=0 [4] J. Tesř. Sbírk úloh z mtemtiky pro fyziky. JU České Budějovice, 995 [5] R. Hrch. Počítčová fyzik I, Ústí nd Lbem, 00 [6] http://www.mthworks.com; MATLAB Help dblqud, qud [7] J. Vilhelm. Zprcování geofyzikálních dt, Prh, 006 [8] J. Tesř, J. Kuneš. Termomechnik v tribologických procesech n povrchových vrstvách. Diplomová práce, Plzeň, 006 Jiří Tesř Termomechnik technologických procesů ové technologie výzkumné centrum Zápdočeská univerzit Univerzitní 8, 06 4, Plzeň tesr@ntc.zcu.cz Josef Kuneš Ktedr fyziky Fkult plikovných věd Zápdočeská univerzit Univerzitní, 06 4 Plzeň kunes@kfy.zcu.cz