Uniezit Plckého Olomouci Pedgogická fkult Kted mtemtiky Rdek Holmn. očník pezenční studium Oo: Mtemtik ýcho ke zdí se změřením n zděláání Učitý integál e steeometii Bklářská páce Vedoucí páce: doc. RND. Jitk Litochoá, CSc. Olomouc
Pohlšuji, že jsem klářskou páci n tém Učitý integál e steeometii ypcol smosttně použil jen uedených pmenů litetuy. V Kostelci u Holešo dne 4..
Děkuji pní doc. RND. Jitce Litochoé, CSc. z odoné edení páce, poskytoání d mteiáloých podkldů k páci tké šem osttním, kteří poskytli někteé dlší cenné infomce dy.
Osh Úod... 5 Učitý integál... 7. Definice, geometický ýznm... 7. Způsoy ýpočtu učitých integálů... 8.. Zákldní zoce... 9.. Metod pe ptes sustituční metod... 9. Využití mtemtice..... Výpočet oshu oinného útu..... Učení ojemu oshu pláště otčního těles..... Osttní mtemtické plikce... Zákldní otční těles.... Rotční álec.... Rotční kužel.... Koule... 5.. Části koule kuloé plochy... 5 Rotční álec... 8. Ojem álce... 8. Osh pláště.... Poch... 4 Rotční kužel... 4. Ojem kužele... 4. Osh pláště... 4 4. Poch... 6 5 Komolý otční kužel... 7 5. Ojem těles... 7 5. Osh pláště... 9 5. Poch... 6 Koule... 6. Ojem koule... 6. Poch... 4 6. Části koule kuloé plochy... 5 6.. Ojem kuloé úseče... 6 6.. Osh kuloého chlíku... 7 Záě... 9 Seznm použité litetuy... 4
Úod Vážení čtenáři, předložená páce s názem Učitý integál e steeometii, kteá se Vám nyní dostáá do ukou, je změřen n steeometii otčních těles tkoých, s nimiž se žáci seznmují hodinách mtemtiky již n zákldní škole. Získné pozntky o těchto tělesech si později ozíjejí pohluují ámci uči středoškolské mtemtiky, přípdně mtemtiky po gymnázi či střední odoná učiliště. Pní kpitol je ěnoán témtu učitého integálu, kteý je součástí polemtiky integálního počtu. S učitým integálem se někteří z nás setkli již n střední škole, ošem ětšin studentů se s touto olstí mtemtiky (olstí integálního počtu) popé střetne ž n ysoké škole. V této pní kpitole připomínám definici učitého integálu, jeho geometickou intepetci možnosti jeho mtemtických plikcí. Uádím zde tké zákldní integční metody, někteé zákldní zoce po integoání hlní pidl po počítání s integály. Úkolem duhé kpitoly je poskytnout přehledu zákldní infomce o zákldních otčních tělesech, tj. álec, kužel, komolý kužel, koule její části. Ústředním cílem celé páce je ukázt, jk souisí postooá geometie ýše jmenoných otčních těles s integálním počtem, konkétně s učitým integálem. Tuto souislost jednoznčně pokzuje t skutečnost, že jsme schopni pomocí jistých zoců učit ojem, osh pláště poch lioolného otčního těles. V dlších několik kpitolách jsou tyto zoce odozeny ysětleny. Jednotlié úhy někteé dílčí koky doplňuji oázkoou ilustcí. Při ytáření této páce mně šlo hlně o to, y čtenář po jejím postudoání poozuměl nejen dným zocům pincipům jejich odozoání, le y dokázl tyto pincipy upltnit plikot předeším při řešení klsických školních úloh, jenž se týkjí uedených otčních těles. A páě z tohoto důodu zřzuji do téměř kždého témtu konkétní řešený příkld, tedy úlohu s,, konkétními čísly. Dlším cílem páce je, y si čtenář souislosti s ústřední polemtikou tetu ožiil, zopkol pocičil postupy integoání někteých zákldních elementáních funkcí tím poukázt n motici tyto postupy znát umět. S ohledem n tento cíl jsou tetu někteé učité integály řešeny podoně, šk postup ýpočtu, podoně ysětlený předchozím řešeném příkldu, dlších příkldech ždy neopkuji. Někdy uádím pouze odoláky n příkldy s podoným postupem řešení. 5
Tto moje klářská páce může sloužit npříkld jko příučk po studenty středních škol, po ysokoškolské studenty mtemtických ooů, po něž je toto tém přitžlié tktiní, le dopoučil ych ji tké učitelům mtemtiky n středních, le i n zákldních školách ůec šem osttním příznicům přátelům mtemtiky. Auto 6
Učitý integál V tomto článku si připomeneme nám již známý neo lespoň částečně známý pojem zákldní lstnosti učitého integálu. Učitý integál předstuje elmi důležitou součást integálního počtu, což je mtemtická disciplín stá několik stoek let. Kořeny ncházíme již 7. století, kdy nglický mtemtik Isc Newton německý mtemtik Gottfied Wilhelm Leiniz nezáisle n soě zedli difeenciální integální počet. Ašk yl to páě Newton, kdo jko pní z těchto zkldtelů ojeil e sé páci zfomulol zákldní zth deice integálu. Tuto páci ohužel nepulikol. Tolik k histoii pojďme se nyní n učitý integál podít o něco íce očim součsnosti.. Definice, geometický ýznm Při definoání učitého integálu se přidžíme Newton, podle něhož je tké následoně definoný integál nzán sice jko Newtonů učitý integál. Definice. Nechť f () je funkce definoná intelu I. Kždá funkce F (), kteá je difeencotelná intelu I splňuje něm onost () F ( ) f ( ), se nzýá pimitiní funkce k funkci f () intelu I. Definice. Nechť F je pimitiní funkce k funkci f intelu I. Rozdíl funkčních hodnot funkce F odech, tohoto intelu se nzýá učitý integál funkce f mezích od do znčí se f ( ) d. Z definice pk plyne zákldní zth po ýpočet učitého integálu: f ( ) d =F() F(), (.) kde funkci f nzýáme integndem, číslo dolní mezí číslo honí mezí integce. Při smotném ýpočtu tedy učíme pimitiní funkci F k funkci f dosdíme meze integce do zthu (.). Po lepší oientci přehlednost je hodné použít ještě před doszením příslušných mezí zápis ( = F() f ) d. 7
N zákldě pochopení definice si dále uědomíme ozdíl mezi učitým integálem neučitým integálem. Ztímco pod neučitým integálem jsme ozuměli množinu šech pimitiních funkcí k dné funkci f(), učitý integál je eálné číslo dné funkcí f mezemi,. Geometický ýznm učitého integálu Budeme předpokládt, že funkce f je n intelu, spojitá že <. Pk učitý integál učuje osh plochy omezené gfem funkce f, osou (y = ) přímkmi o onicích =, =, kteé jsou onoěžné s osou y ( = ). Tyto přímky se někdy oznčují jko tkzné pořdnice. (Viz o..) o.. Poznámk V následujících kpitolách udeme užot jen spojité funkce.. Způsoy ýpočtu učitých integálů Při ýpočtu ycházíme z definice tk, že njdeme pimitiní funkci F k funkci f. Učitý integál pk spočítáme odečtením funkční hodnoty funkce F dolní mezi integálu od funkční hodnoty této funkce jeho honí mezi. K učení pimitiní funkce F yužíáme někteé zákldní zoce, pomocí nichž nlezneme funkci F poměně sndno, le eistují tké funkce, ke kteým se funkce pimitiní hledá otížně. V tkoých přípdech musíme zést hodnou sustituci (iz sustituční metod), smozřejmě pokud nějká tkoá sustituce eistuje, přípdně použít metodu pe ptes. Nemůžeme-li přímo zést hodnou sustituci, musíme nejdříe funkci f 8
upit tk, y ylo možno sustituční metodu použít (ozkld cionální funkce pciální zlomky j.). Dále íme, že množin šech pimitiních funkcí k funkci f je neučitým integálem k funkci f, což zpisujeme f ( ) d = F() + C. Nejčstěji po jednoduchost použíáme tu pimitiní funkci, kde C =. Podoně jko u neučitých integálů pltí i po počítání s učitými integály jistá pidl, kteá si nyní uedeme. Vět. Nechť f() g() jsou funkce definoné n intelu,, kteé jsou n tomto intelu integotelné nechť k R je lioolná konstnt. Pk pltí: kf ( ) d = k f ( ) d (.) ( ) g( d = ) d f ) ) g( ) d f ( ) d f ( g( ) d (.) f ( g( ) d (.4).. Zákldní zoce Po potřey nšeho dlšího studi ueďme jen jeden zoec po učení pimitiní funkce. d + C., R (.5) Těchto zoců eistuje ještě íce lze je njít jkékoli učenici o integálním počtu, esp. o zákldech integálního počtu... Metod pe ptes sustituční metod Podle zthů uedených e ětě. jsme schopni spočítt učitý integál součtu dou funkcí, ozdílu dou funkcí součinu konstnty s funkcí. Polém le nstne momentu, kdy je potře integot součin dou funkcí. K řešení tkoých učitých integálů můžeme použít metodu integoání pe ptes, což překldu znmená po částech. 9
Vět. Jsou-li u funkce poměnné, kteé n intelu, mjí spojité deice, pk pltí u d u ' u' d. (Důkz ěty lze nlézt npříkld Mtemtická nlýz - Integální počet (4)). Poznámk Po neučité integály je zoec e tu u ' d u u' d Lze tedy postupot i tk, že touto metodou učíme nejpe pimitiní funkci pk jen dosdíme meze, do zthu (.). Sustituční metod Vět. Jsou-li funkce t = g() její pní deice spojité uzřeném intelu, je-li záoeň spojitá i funkce f(t) po šechn t = g(), kde,, pk pltí g ( ) f ( g( )) g'( ) d f ( t) dt. g ( ) (Důkz ěty lze nlézt npříkld Mtemtická nlýz - Integální počet (4)). Při použití sustituční metody po učitý integál tedy zádíme noou poměnnou t. Součsně s tím se mění dolní i honí mez integálu. Podle ěty o sustituci (ět.) učíme noé meze jko funkční hodnoty g() g(). I zde šk můžeme tento poměně sndno,,pokzitelný postup oejít tím, že sustituční metodou učíme nejdříe pimitiní funkci pk, doszením příslušných mezí, do zthu (.), spočítáme hodnotu učitého integálu. Doplňující psáž: Vhodnou plikcí účelnou komincí těchto dou metod (pe ptes, sust. metod) můžeme dokázt pltnost následujících tzení (zoců), kteé nám mohou očs usndnit námhu uychlit ýpočet: d csin (.9) d ln, (.) d csin, (.) d ln (.) (Poedení důkzů těchto, mohli ychom říci,,dlších zákldních zoců, je ponecháno n ůli, ktiitě, zídosti potřeách čtenáře).
. Využití mtemtice Užitečnost učitého integálu spočíá jeho plikcích. Učitý integál se již doách sého zodu stl důležitým áženým pojmem, ponědž nšel šioké upltnění mtemtických disciplínách, e fyzice, chemii jiných příodních ědách. Stl se tké ýznmným pomocným nástojem mnohých technických ooů, jímž je i dnes. My si šk této kpitole ukážeme pouze možnosti jeho použití mtemtice. Učitým integálem můžeme spočítt npříkld osh oinného útu, učit ojem neo osh pláště otčního těles dlší... Výpočet oshu oinného útu Zákldní úhu postup ýpočtu popisuje následující příkld. Příkld Učete osh ozce ohničeného křikmi y =, y = Řešení: Osh křikmi ohničené plochy učíme jko ozdíl učitých integálů ( ) d ( ) d, neoť funkce y = nýá n intelu, ětších hodnot. (Honí dolní meze těchto integálů můžeme učit tké jko -oé souřdnice půsečíků zdných funkcí). Výpočet: Ze zoce (.4) plyne: ) d ( ) d ( ) ( ) ( d Dostááme tk ( 4) d. Nyní učíme pimitiní funkci F() k funkci y ( 4) : ( 4) d d 4d 4 C C, odtud F() = tedy ( 4) d 6 6 Odpoěď: Osh oinného ozce ohničeného dnými křikmi je j.
(Symol j znčí oecně jednotku oshu)... Učení ojemu oshu pláště otčního těles Vět.4 Ojem V otčního těles, jehož plášť znikne otcí gfu spojité funkce y=f() definoné n intelu, kolem osy, se ypočte podle zoce V f ( ) d. (.) (Důkz ěty lze nlézt npříkld Mtemtická nlýz - Integální počet (4)). Vět.5 Osh S pláště otčního těles, kteý znikne otcí křiky y = f() kolem osy, je dán zthem S f ( ) f ' ( ) d. (.4) (Důkz ěty lze nlézt npříkld Mtemtická nlýz - Integální počet (4))... Osttní mtemtické plikce Zde připomeneme pouze jeden zth sice zth po ýpočet délky oinné křiky. Vět.6 Je-li křik l gfem funkce y = f(), kde, má-li funkce f n tomto intelu spojitou deici, je schopná ektifikce po délku d olouku jejího gfu n intelu, pltí d f '( ) d. (.5) (Důkz ěty lze nlézt npříkld Mtemtická nlýz - Integální počet (4)). Úkol po zájemce: Z mtemtiky ZŠ šichni elmi doře známe zth po ýpočet délky kužnice. Víme, že pltí o. Zkuste si nyní smi s použitím zoce (.5) efektiní plikcí pozntků o učitém integálu tento zth ododit. V souislosti s tím oněž zdůodněte pozici konstnty e zthu, tzn. odpoězte n otázku: Jk se konstnt do tohoto zthu dostl, odkud se zl?
Zákldní otční těles Rotčním tělesem oecně ozumíme tkoé těleso, kteé získáme otcí oinného ozce kolem přímky. Dnou přímku nzýáme osou otčního těles. Někteá otční těles jsme již důěně poznli při nšem dříějším studiu mtemtiky, ť už n zákldní neo střední škole. Zde si zopkujeme jejich názy stučně uedeme někteé zákldní chkteistiky.. Rotční álec Těleso lze získt otcí jistého odélníku kolem osy o, n níž leží jedn jeho stn. Mějme dán odélník ABCD, kde os o = BC (iz o..). Rotcí úseček AB CD kolem osy o zniknou kuhoé podsty otcí úsečky AD znikne plášť álce. Délk úsečky, kteá náleží ose o jejímiž kjními ody jsou středy podst, je ýšk álce. Polohy, kteé při otci zujímá úsečk AD, nzýáme stnmi álce. Pokud kždou tkoouto stnu podloužíme přímku, dostneme út zný otční álcoá ploch (iz o..) posto, kteý tto ploch ymezuje, se nzýá otční álcoý posto. (Mtemtik po gymnázi Steeometie ()). Osoým řezem álce, jenž znikl otcí odélníku kolem osy o, je odélník. Speciálním přípdem otčního álce je onostnný álec zniklý otcí čtece kolem osy o, jehož osoým řezem je pochopitelně čteec. S otčním álcem se ěžně setkááme nšem kždodenním žiotě - někteé nádoy, lhe, konzey, le i školní pomůcky, dětské hčky jiné předměty mjí tento t. Válec má šk šioké upltnění i technické pi, kde toří npříkld zákld někteých stojních součástek tp.. Rotční kužel.
Rotcí poúhlého tojúhelníku kolem osy o, kteá oshuje jeho jednu oděsnu, znikne těleso, kteé se nzýá otční kužel. Předstme si poúhlý tojúhelník ABV (iz o..), kde os o = BV. Rotcí jeho oděsny AB kolem osy o zniká kuhoá podst. Plášť kužele znikne otcí přepony AV. Výškou těles ozumíme délku úsečky náležící ose o, jejímž jedním kjním odem je chol V duhým kjním odem je střed S podsty. Úsečky, jejichž jedním odem je chol V duhým odem je lioolný od hnice podsty, se nzýjí stny kužele my je ětšinou oznčujeme písmenem s. Je tedy zřejmé, že plášť otčního kužele je sjednocením šech stn s kužele. A opět, podloužíme-li kždou stnu kužele přímku, dostneme otční kuželoou plochu.(iz o..4) Posto omezený touto plochou je otční kuželoý posto. (Mtemtik po gymnázi Steeometie ()). V přípdě otce poúhlého lichoěžníku ABCD (iz o..5) kolem osy o, n kteé leží jeho ktší meno, zniká komolý otční kužel. Rotcí záklden tohoto lichoěžníku zniknou kuhoé podsty komolého kužele o poloměech,, kde zpidl. Výšk komolého kužele je délk ktšího men otujícího poúhlého lichoěžníku. Stny s jsou zde učeny jednotliými polohmi delšího men. I n tto dě těles čsto žiotě nážíme stejně jko álec mjí elký ýznm po techniku, půmysl, le i po mtemtiku, geometii, ozíjení postooé předstiosti jiné olsti lidské činnosti. 4
. Koule Mějme dánu přímku o půlkuh k, jehož půmě d leží n přímce o. Necháme-li půlkuh k otot kolem přímky o, dostneme otční těleso zné koule, kteé je jednoznčně učeno sým poloměem středem S. Středem koule je střed půlkuhu k její polomě je dán jko kuloá ploch. d. Hnice koule je ětšinou oznčoán pojmem.. Části koule kuloé plochy ) Kuloý chlík- je část kuloé plochy omezená kužnicí k, kteá je hnou kuloého chlíku. Kuloý chlík znikne jko půnik kuloé plochy polopostou s oinou, jejíž zdálenost l od středu S kuloé plochy je menší než polomě kuloé plochy. Roin ozdělí kuloou plochu n d kuloé chlíky s ýškmi, pltí l; l (iz o..6) 5
) Část koule, kteou ohničuje kuloý chlík kuh, se nzýá kuloá úseč. Pochem kuloé úseče je tedy součet oshu kuloého chlíku kuhoé podsty. c) Půnikem kuloé plochy sty s oinmi,, kteé mjí zdálenosti od středu menší než polomě, je kuloý pás. (iz o..7) Výšk pásu je dán zdáleností oin,. d) Kuloá st 6
Z kuloou stu požujeme tu část koule, kteou ohničuje kuloý pás společně se děm kuhy. Tyto kuhy jsou podstmi kuloé sty. Poch kuloé sty je potom předstoán součtem oshů oou podst kuloého pásu. e) Kuloá ýseč je sloučením kuloé úseče otčního kužele, jehož chol S je záoeň středem příslušné koule jehož podst je společná s podstou dné kuloé úseče. (iz o..8) Hnici kuloé ýseče epezentuje plášť kužele kuloý chlík. Z tohoto pohledu si můžeme kuloou ýseč předstot jko tkoou část koule, kteá je sjednocením šech úseček SY, kde od S je středem koule od Y je odem kuloého chlíku. 7
Rotční álec Nyní se dostááme k pnímu součsně nejznámějšímu otčnímu tělesu - álci. V předešlém článku jsme získli nejdůležitější infomce o tom, jk otční álec zniká, jk ypdá, z jkých částí se skládá jký má ýznm po pktický žiot. Už 8. třídě zákldní školy, kdy jsme se s álcem potkli popé, nás pn učitel či pní učitelk nučil() jisté zoce, kteé i dnes umíme použít k ýpočtu ojemu álce, oshu jeho pláště pochu. A páě n ně se teď společně změříme, íce je poznáme pozkoumáme z pohledu mtemtické nlýzy.. Ojem álce Jk jsme již zjistili, álec získáme otcí odélníku (čtece) kolem dné přímky. Z osu otčního álce (stejně i u dlších těles) udeme požot osu ktézské souřdnicoé sousty y. Ploch otujícího odélníku je potom omezen osou, gfem lineání funkce y q definoné n intelu,, kde je ýšk álce, osou y smozřejmě přímkou o onici. (Viz o..) o.. Z těchto podmínek plyne ze zoce (.) zth po ojem álce V q d q q. Položíme-li q, dostneme zoec konečné podoě V. (.) Důležité: Ze zoce (.) je zřejmé, že ojem lioolného otčního álce záisí n jeho ýšce poloměu jeho kuhoých podst, tzn.: změní-li se elikost 8
ýšky, změní se tké jeho ojem. Zětšením či zmenšením ýšky se změní honí mez integálu funkce y q. Tuto skutečnost si lépe uědomíme při řešení následujícího příkldu. Příkld O kolik pocent se zětší ojem álce, jestliže se jeho polomě zětší o % jeho ýšk o %? Řešení: Máme dán půodní álec o ýšce, jehož kuhoé podsty mjí polomě. Zětšíme-li pmety, souldu s podmínkmi zdání, udou mít podsty noého álce polomě s, ýšk álce h,.tkoý álec znikne otcí odélníku ohničeného osmi, y, gfem funkce y, přímkou, kolem osy. Po jeho ojem n,, V pltí V d n, Výpočet:, d,,, Ojem p, V p půodního álce yl pochopitelně V, poto je 45,% % 45,% Odpoěď: Ojem álce se zětší o 45,%.,45. V n tk předstuje 45,% V p Postupem, kteým jsme ododili zoec (.), můžeme komě klsických školních úloh řešit i ůzné příkldy z technické pe, kteé se někdy polínjí s fyzikou neo s někteou z jejich olstí. Příkld Učete hmotnost 5 m dlouhé ouy, jejíž nější půmě je 5 mm, nitřní půmě 6 mm hustot mteiálu, z něhož je zhotoen, je 78 kg m. Řešení: Dná ou je tořen álci, kteé mjí společnou ýšku 5 m, le ůzné poloměy podst. Aychom mohli učit hmotnost m ouy, potřeujeme znát její ojem V. Hodnotu ojemu pk dosdíme do zthu po ýpočet hmotnosti m V. Ojem V spočítáme odečtením ojemuv užšího álce od ojemu V šišího álce. 9
Vzthy po učení V, V : tetu. V V 5 49 d 6 ycházejí z úhy předchozí části 5 69 d Výpočet:.způso: V 5 49 49 d 5 6 6 5 49 45 6 6 m V 5 69 69 d 6 6 5 m 5 69 6 845 6 V V V 45 845 4 6 6 98. m 78 6, 86kg 6 6 45 5 98 m 6 6 6 6.způso: 5 5 49 69 V d d 4 6 6 96 5 98 6 m 6 6 6 98. m 78 6, 86kg 6 6 5 49 6 4 d Odpoěď: Hmotnost ouy je přiližně 6,86 kg. 5 5 69 49 d 6 6 4 69 d 6. Osh pláště Osh pláště otčního álce můžeme učit poměně sndno jko osh odélníku, jehož jedn stn je on elikosti oodu podsty duhá elikosti ýšky těles. Osh pláště je potom S pl o. V pní kpitole jsme si uedli zth po ýpočet oodu kuhu ( o ). Lze tedy psát. (.) S pl
K hodnotě S jsme s to dospět, i když si dnou chíli n o nezpomeneme. pl Podle ěty.5 je totiž osh pláště lioolného otčního těles S f ( ) f ' ( ) d. Po álec máme S q d q q opět, je-li q, je S pl. pl Příkld Osoým řezem álce je čteec o oshu 56,5 cm. Vypočítejte osh jeho pláště. Řešení: Jedná se o onostnný álec zniklý otcí čtece kolem osy. Potože u onostnného álce je potože nšem přípdě 56,5 7, 5cm, je dný čteec omezen přímkou y, 75, osmi,y přímkou 7, 5. 7,5 S pl,75 d Výpočet: 7,5 S pl,75 d,75 76, 75cm 7,5. Odpoěď: Osh pláště dného álce je zokouhleně 76,75cm.. Poch Tzení. Po ýpočet pochu P otčního álce pltí P ( ). (.) Chápeme-li poch otčního álce jko součet oshů oou jeho kuhoých podst s oshem pláště, můžeme pdiost tzení oěřit důkzem. Konstukci důkzu pk poedeme e třech kocích: () Nejdříe musíme učit osh jedné kuhoé podsty. Při učoání oshu kuhu k(s;) je hodné ozlišit přípdy: ) S, ) S m, n
d ) Plochu kuhu omezují křiky y, y jeho osh je (dle.) = ) ( ) csin( csin csin d S d ) V tomto přípdě je ploch půlkuhu omezen jednk křikou n m y ) ( jednk gfem konstntní funkce n y n intelu m m,. Osh S je tedy ) ( n n d n d n m S m m m m (Anlogicky jko u d ) Tím jsme jednoznčně pokázli, že osh kuhu záisí pouze n jeho poloměu, konstntě nikoli n středu S. () Odození ýpočtu oshu pláště( S pl ) jsme již ukázli článku.. () ) ( S S P pl, což dokzuje pltnost tzení.
4 Rotční kužel Dlším tělesem, kteým se udeme zýt, je otční kužel. Možná si někteří z ás, podoně jko kdysi já, položili otázku:,,poč je ojem otčního kužele o poloměu jeho podsty o ýšce oen zon ojemu álce o stejné ýšce o stejném poloměu podst? Tkoá otázk je zcel opáněná, je nposto logická nízí se již při pním střetnutí se zocem po učení ojemu kužele. Odpoěď n tuto otázku stejně tk i n někteé dlší získáte postudoáním následujících řádků této kpitoly. 4. Ojem kužele Z kpitoly. íme, jk toto těleso zniká. Užoný tojúhelník je tořen oděsnmi přeponou. Jednou jeho oděsnou je úsečk o délce, jenž náleží ose, kde předstuje ýšku otcí znikjícího kužele. Duhou oděsnou je úsečk o délce, kde je polomě znikjícího kužele, jejímiž kjními ody jsou C,, B, úsečk AB, kde A,, B,, kteé náleží přímce p:. Přeponou je pk. Tto úsečk náleží přímce s, kteá je gfem lineání funkce y k definoné n intelu I,. (Viz o. 4.). o.4. Dále íme, že ojem lioolného otčního těles je dán zthem (.).
Nezýá nám tedy nic jiného, než do tohoto zthu dosdit potřené údje. Po doszení pk máme: V d tedy V (4.) Poznámk n dokeslení Ronici přímky lze yjádřit e směnicoém tu y k q, kde k je tz. směnice, po níž pltí k tg ( je úhel, kteý síá dná přímk s kldnou poloosou ), poto je nšem přípdě q. k. A potože přímk s pochází počátkem KSS, je Uedenou úhou se nyní pokusíme yřešit klsickou úlohu po ZŠ. Příkld Vypočítejte ojem otčního kužele, je-li ood jeho podsty 5,6 cm stn s má délku 5 cm. Řešení: Dný kužel získáme otcí tkoého poúhlého tojúhelníku ABC, jehož oděsn BC má délku 5,6, což je přiližně cm oděsn AC je délky 5, tedy 5 AC cm jehož přeponou je stn c AB o délce 5 cm, přičemž c s. Přímku s lze z těchto okolností popst onicí 4 y. Hodnotu ojemu V již sndno zjistíme doszením do zoce. yřešením dného integálu. Výpočet: V 5 4 6 6 5 d 9 7 5. 68cm Odpoěď: Ojem otčního kužele je přiližně 68 cm. 4. Osh pláště Při odozoání zoce po ýpočet udeme užot tk, že se n celé těleso otčního kužele podíáme jko n ojekt zniklý otcí poúhlého tojúhelníku kolem osy (iz předchozí úh kp. 4.). Doszením do zoce (.4), kteý je uniezálním zthem po ýpočet oshu pláště otčních těles, yřešením integálu 4
dostneme zoec, kteým lze spočítt osh pláště otčního kužele. Doszením dostááme S pl d potože s,je S pl s s s s (4.) Výhodou tohoto pohledu je získání zthu (4.), pomocí něhož můžeme spočítt osh pláště otčního kužele, jenž záisí přímo úměně n délce stny s n poloměu podsty, ychle sndno. V následujícím příkldu, esp. při jeho řešení, si íce přilížíme pktické yužití ýše uedeného postupu. Příkld Vypočítejte osh pláště otčního kužele o ýšce cm, jehož stn s má od oiny podsty odchylku. Řešení: Tento kužel znikne otcí poúhlého tojúhelníku, jehož ploch je ohničen oděsnou cm, oděsnou přeponou s (stejná úh jko u ojemu). Přeponu s můžeme popst onicí y k, kde Dále pltí : () sin, odtud s cm s sin (), odtud cm Přepon s je tedy gfem lineání funkce Po osh pláště pk pltí: S pl d k. y definoné n intelu I,. Výpočet: S pl d cm Odpoěď: Osh pláště dného otčního kužele je cm, tj. přiližně 88,8 cm 5
4. Poch Pochem P otčního kužele ozumíme součet hodnoty oshu jeho pláště oshu jeho kuhoé podsty. Po poch P potom pltí P s ( s) (4.) 6
5 Komolý otční kužel Jestliže jsme předešlé kpitole popisoli znik těles otčního kužele, sttegii odozoání zoců po ýpočet jeho ojemu, oshu pláště pochu, pk musíme hoořit i o komolém otčním kuželu e stejném duchu jej pozkoumt. S tímto tělesem již máme poměně ohté zkušenosti, kteé jsme získli při řešení ůzných mtemtických, espektie ůzných mtemtických steeometických úloh n SŠ, přičemž mnohé z těchto zkušeností máme dze zplcené npříkld šptnými známkmi z písemek testů n toto tém, to jen díky nedosttkům chyám, kteých jsme se při řešení dopustili někdy jen z pouhé nepozonosti, le čstěji íce důsledku nepochopení někteých zásdních pincipů řešení či postupů ýpočtů nepřesností při doszení do zoců, jež jsme si mnohdy i šptně zpmtoli neo se je nučili chyně. Ošem je to elice indiiduální, kždý máme s touto polemtikou jiné zkušenosti i zth k ní je u studentů, učitelů fnoušků mtemtiky odlišný. Jsem šk toho názou, možná i někteří z ás - čtenářů se mnou udou souhlsit, že komolý otční kužel je těleso přece jen tochu jiné náočnější než předchozí otční těles, stejně tk i úlohy, kteé se k němu zthují zoce užíné při jejich řešení. Peně ěřím to, že Vám yšší mtemtik osžená i tomto tetu poslouží jko doý pomocník ádce po hluší lepší pochopení jk podstty řešení tkoýchto úloh, tk postupů nutných ýpočtů hlně podstty zniku potřených zoců. 5. Ojem těles Víme, že po ojem lioolného otčního těles pltí: V f ( ) d. Dále íme, že komolý otční kužel znikne otcí poúhlého lichoěžníku kolem osy. Dný lichoěžník pk ohničuje os ( y ), os y ( ), přímk o onici hlně úsečk s y k q C, ; D (iz o.5.), :, kteá pochází ody přičemž funkce y k q je definoán n intelu,. T zákldní úh je nposto stejná jko u předchozích těles., 7
o.5. Do zthu d f V ) ( dosdíme z q k y f : ) (, přičemž q k Po tomto doszení dostááme: d d V, odtud ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( V (5.) Příkld N zákldě získných pozntků učete ojem komolého otčního kužele, kteý má podsty s půměy 5 d cm 86 d cm. Odchylk stny s od oiny podsty je 8' 5. Řešení: Dný komolý kužel znikne otcí lichoěžníku ohničeného souřdnicoými osmi, přímkou úsečkou q k y, kde k kde q. Je tedy potře učit k. : 8
)Výšku učíme jko 8 8' 5 tg, odtud cm (zokouhleno n celé číslo) ) 745, 4 5 k ( zokouhleno n desetinná míst) c) Dný lichoěžník je tedy ohničen jednk těmi souřdnicoými osmi, jednk přímkou tké úsečkou 4,745 y, kteá pochází ody,4 C,5 D Vše potřené již máme můžeme tedy přejít k smotnému ýpočtu ojemu. Výpočet: 849 64,7,5555 4,745 d d V 849 64,7,5555 849 64,7,5555 68,58,597 8759 cm Odpoěď: Ojem dného komolého otčního kužele je přiližně 68,58 cm. 5. Osh pláště Po osh pláště otčního těles pltí: d f f S pl () ) ( ) ( stejným stylem, kteým jsme ododili zoec (5.), ododíme: d d S pl = s d d s s s s s s s s s s s s s s s s (5.) Příkld U příkldu kp. 5. učete osh pláště komolého otčního kužele délku jeho stny s. Řešení: (Viz Příkld ) 9
4 68 68 4 68 Výpočet: S pl 4 d 4d 55 5 5 55 5,9978975 5,6955 74,7676cm Délk stny s: s 5 4 7, 58 cm Odpoěď: Osh pláště je zhu 7,58cm. 74,7676cm délk stny s je přiližně 5. Poch Po poch P komolého otčního kužele pltí: P potože S s, je S pl pl s P (5.)
6 Koule Koule, to je poslední otční těleso, kteým se e sé páci zýám. Komě toho, že se jedná o poslední těleso ze skupiny zákldních otčních těles, tk je to tké těleso ze šech těles této skupiny nejzjímější. Koule je zjímá nejen po sůj dokonle zolený t ez cholů, hn podst, le i po někteé dlší zláštnosti zejmén při učoání jejich pmetů hlně ojemu pochu. Těchto zláštností si šimneme už při čtení zápisů oněch zoců, nejen my, studenti mtemtiky, le i někteří ystří žáci SŠ. A páě to mohu doložit jednou skutečnou příhodou: Při ýuce mtemtiky, někdy ke konci duhého pololetí e duhém očníku n jedné nejmenoné SŠ, poíl yučující ámci témtu steeometie kouli. Po tom, co yložil oecné infomce ysětlil odlišnosti od osttních těles, zmínil d zoce, sice zoec po ýpočet ojemu zoec po ýpočet pochu koule. Jko pní npsl n tuli 4 V (zoec po ýpočet ojemu). V tom okmžiku zedl uku žák sedící pní lici poté, co mu ylo učitelem dáno sloo, znesl dotz:,,pne pofesoe, (tehdy ještě ěžné osloení tmního středoškolského učitele) nemáte tom zoci chyu? Nemá tm ýt místo 4? 4 náhodou Učitel odpoěděl:,,ne, ten zoec je npsán spáně, opdu jsou tm 4. N to žák egol:,,to je nějké diné, 4, tkoé zláštní číslo e zoečku, 4 4 y ypdly lépe. Poč tm jsou zon ty? Po této žákoě otázce se učitel n doých třicet sekund odmlčel, le nkonec popdl dech odpoěděl:,,no, totiž celá t polemtik odozoání těch zoců je poměně složitá. Aych mohl n tu otázku jednoznčně přesně odpoědět, museli yste umět počítt deice hlně pk integály, což smo o soě je dost těžké. Zde jsme to nepoíli do konce šeho studi ni poít neudeme. Tkže nemá ýznm se tímto ž tk podoně zýt. Po ás chci jen to, yste se ten zoec nučili uměli jej použít při řešení příkldů, což si ukážeme z chíli. Dále pokčol učitel sloy:,,stejně tk y jste se mohli ptát i n ten dlší zoec P 4. Jk to, že poch koule předstuje 4 - násoek plochy kuhu o poloměu dné koule? Ale i n tkoý dotz ych musel odpoědět stejně.
Tolik příhod nyní si zkusme jen n okmžik předstit, že y ten žák n konci duhého očníku uměl deiot počítt jednoduché integály (učité i neučité). T předst, myslím, není neeálná. Vždyť po úspěšném soloání pního očníku pního pololetí duhého očníku žáci znjí celou lineání i kdtickou funkci, umí upot ýzy s logitmy, řešit logitmické, eponenciální i goniometické onice neonice. Znjí tedy šechny důležité funkce, dokonce mjí i zákldní znlosti z plnimetie. Poč tedy n to nenázt limitmi, deicemi integály? Zládli y to? Pochopili y to? Osoně ěřím, že no, le to je možná odážné tzení položené otázky jsou nepochyně předmětem dlouhé diskuse. Ať už to je, neo není možné, předstme si, že y to žák z nší příhody uměl. Pk y t jednoznčná přesná odpoěď pn učitele mohl ypdt npříkld tkto: 6. Ojem koule Mějme dán souřdnicoý systém Oy půlkuh k. Po jednoduchost udeme užot půlkuh k se středem počátku, Plochu půlkuhu pk ohničuje úsečk P souřdnicoého systému s poloměem. AB, kde A,, B,, přičemž AB křik l : y neoli l : y. (Viz o. 6.) o.6. Smotná koule pk znikne otcí tohoto půlkuhu kolem osy.
Ojem V jkéhokoli otčního těles, tedy i koule, je dán jko V f ( ) d. Mluíme - li o ojemu koule, pk f() je y definoná n intelu I,, poto je,. Po ojem V potom pltí: d d d d V (6.) 4 Poznámk Ze zoce (6.) je ptná záislost ojemu koule n jejím poloměu. Pouze n poloměu záisí ojem koule to přímo úměně. Ojem koule nezáisí n jejím postooém umístění, esp. n postooém umístění jejího středu. Při řešení úloh n toto tém je ýhodné odozený zoec (6.) znát. V opčném přípdě ychom museli upltnit stejný postup jko při jeho odozoání, tentokát šk již s doszením konkétních čísel následným yřešením integálu. A páě jeden tkoý příkld si nyní ukážeme: Příkld Ozdoná žuloá koule má ood sého nejětšího půřezu, 57 m. Jká je hmotnost koule? Řešení:. Nejdříe učíme ojem dné koule: ) Zjistíme polomě ze zoce po ood kuhu o. Je-li o, 57, potom je, 5 (zokouhleno) ) Dnou kouli získáme otcí půlkuhu k se středem npříkld počátku KSS poloměem, 5, jehož ploch je ohničen úsečkou AB, kde A,5,, B,5, křikou l : y, 5 kolem osy.,5 c) V,5 d,5
. Učíme hmotnost koule podle zthu m V, kde je hustot mteiálu. Výpočet: V nšem přípdě je 8kg m,5. V,5 d,5,5,65 d,8,65449846m,5. m 8,65449846 8, 6 kg (zokouhleno n desetinná míst). Odpoěď: Hmotnost koule je přiližně 8,6 kg. 6. Poch V přípdě koule není potře ozlišot pojmy - osh pláště poch, neoť jde o těleso ez podst. Osh pláště je záoeň pochem. Aplikot udeme tutéž úhu jko u odození ýpočtu ojemu. Rozdíl je jen použitém zthu. Ztímco yl po odození zoce (6.) použit zth V f ( ) d, () po odození ýpočtu pochu použijeme zth S f ( ) f ( ) d f () ( ). Po doszení máme: pl, kde S pl P d (6.) = d d 4 Poznámk I hodnot pochu koule je přímo úměně záislá n poloměu i při řešení těchto úloh je ýhodné si zoec (6.) zpmtot. Pkliže se tk nestne, můžeme úlohy yřešit tím smým způsoem, jkým jsme zoec (6.) ododili. Tímto způsoem jsme schopni řešit i komplikonější úlohy, e kteých je potře poch koule ypočítt. Jedno z tkoých možných zdání může znít: Příkld 4
Je dán koule o poloměu 6 dm. Učete polomě podsty otčního kužele, jehož ýšk je jehož poch se oná pochu dné koule. Řešení:. Učíme poch P koule pomocí ýše uedeného postupu. Zjistíme polomě u otčního kužele z onosti P u u s, kde pá stn onice předstuje poch otčního kužele o poloměu u podsty. Celá onost je mtemtickým zápisem pní podmínky zdání:,,poch kužele je oen pochu dné koule. Z. podmínky:,,ýšk kužele je plyne P u u Výpočet:. 6 u s 6 u, odtud je pk 6 6 6 P 6 d 6 6 44 d 6 6 6 6 6 6 7 76 po úpě 4 u. 44 u u 6 u Odpoěď: Polomě podsty otčního kužele je 8 dm. odtud u 8 dm To je še k polemtice ojemu pochu koule. Vátím-li se k nšemu žákoi z úodní příhody, pk jsem toho mínění, že y mu tet osžený kpitolách 6. 6. při zákldních znlostech deioání integoání, jko odpoěď n jeho otázky, stčil. 6. Části koule kuloé plochy Zde si poíme ještě něco o částech koule kuloé plochy, esp. o učoání jejich ojemů oshů. Stučný přehled jsme si nstínili již kpitole.., kde jsme si je definoli ysětlili, jk znikjí. N části koule se můžeme tké dít jko n smosttná otční těles, neoť je dostneme, komě řezů koule oinmi, i otcí jistých ohničených oinných útů kolem osy. Stejně jko u celé koule můžeme i u jejich částí počítt ojem osh pláště (ten je záoeň oshem příslušné části kuloé plochy) podle zoců. 5
Nedá se šk říct, že jsou to smosttná otční těles jko npř. kužel neo álec. Jsou to jen části toho hlního těles, kteým je koule, poto si je neudeme ozeít úplně šechny. Po zjímost uedeme ozeeeme jen jednu z nich sice kuloou úseč. 6.. Ojem kuloé úseče N oázku 6. idíme yšfonou část plochy kuhu k P,, kde P je počátek souřdnicoého systému. Ploch ozce je ohničen přímkou p :, úsečkou CD, kde C,, D,, přičemž CD předstuje ýšku otcí znikjícího těles křikou l, kteá je gfem funkce y definoné n intelu I,. Rotcí yšfoné olsti kolem osy získáme kuloou úseč, kteá je částí koule o poloměu. o.6. Ojem V úseče je pk: V d 6
(6.) Poznámk K tomu, ychom mohli učit ojem kuloé úseče, potřeujeme znát polomě koule, ze kteé je,,uříznut ýšku úseče. Doszením do zoce (6.) následným ýpočtem získáme hodnotu ojemu. V úlohách šk nemíáme čsto zdán polomě koule, le polomě podsty úseče. Po tyto přípdy njdeme litetuře jiný zoec sice V, (6.4) 6 kteý můžeme přímo, pokud si jej pmtujeme, použít. Není to le nutné. I k tomuto zoci jsme s to dojít pomocí zoce (6.), kteý uď známe, neo ododíme. Tohle tzení je šk hodné podložit důkzem: Důkz: () Po, pltí: () Vyjádřením z onice je () Výz. Ronost je zřejmá již z o. 6. dosdíme do zoce (6.) Ojem je potom V Poedený důkz i předešlé odození zoce (6.) lze chápt jko náod k řešení příkldů, nichž nemáme zdán polomě koule, le polomě podsty úseče po přípd neznlosti zoce (6.4). Řešení tkoé úlohy je pk elmi jednoduché, jedná se jen o doszení pmetů, do odozeného zoce (6.4), poto zde neudeme uádět žádný řešený příkld. 6 6.. Osh kuloého chlíku Kuloý chlík je, jk íme, částí kuloé plochy s poloměem. Jeho osh S je záoeň oshem pláště úseče koule o stejném poloměu. Aplikujeme-li stejnou úhu jko kp.6.. použijeme-li uniezální zth (.4), dostneme: 7
S d (iz kp. 6.) (6.5) Funkčnost pdiost úlohy: Příkld odození zoce (6.5) si můžeme oěřit yřešením následující Roin potne kouli o poloměu 9, 8 dm kuhu o poloměu 7, 9 dm.vypočtěte poch příslušné kuloé úseče. Řešení: Poch úseče učíme jko součet oshu jejího pláště oshu kuhoé podsty.. Osh pláště učíme jko osh kuloého chlíku. K tomu potřeujeme znát ýšku úseče, kteou zjistíme z onosti (iz důkz kp. 6..) Odtud je pk. Učíme osh S pláště úseče doszením mezí do zthu (.4) f ( ) : y příslušných. Učíme osh S k podsty úseče jko S k 4. Dopočítáme poch P úseče jko P S S k Výpočet:. 9,8 9,8 7,9 4dm (se zokouhlením) zokouhlením) 9,8 9,8 S 9,8 d 9,8 5,8 9, 46,dm (se 9,8. 5,8. 4. S k 7,9 96,dm P 46, 96, 44,4dm Odpoěď: Poch příslušné kuloé úseče je 44,4dm. 8
Záě A to je, ážení čtenáři, z mé stny už še. V páci jsem se snžil předstit Vám integální počet nikoli jko něco náočného složitého, co je potře oládt, chceme li ozumět mtemtice lépe než jiní, le spíše předstit jej jko zjímou mtemtickou disciplínu, kteou má smysl studot zýt se jí. Zjímou z hledisk yužití hlně e školské mtemtice, konkétně z hledisk yužití e steeometii otčních těles, kteou udeme několikát, jkožto udoucí učitelé mtemtiky, ámci uči 8. 9. třídy zákldní školy někteří tře i ámci uči. očníku střední školy yučot. Jk jsme zjistili, úlohy n tém ojem, osh pláště poch otčního těles, kteé mimochodem neptří u žáků k nejíce olíeným, nejsou e skutečnosti tk otížné zákeřné, jk se ohužel mnohým žákům studentům jeí. Jk jsme ukázli, stčí jen umět pcot se zákldními elementáními funkcemi, ýt schopni počítt deice těchto funkcí dokázt je integot lespoň n té nezytně zákldní úoni. Z tohoto předpokldu jsme schopni nějkou tkoou steeometickou úlohu yřešit ždy spáně s přehledem, přičemž ni nepotřeujeme mít nám doře známou ědomostní ýu podoě cc 5 zoečků po ojemy, oshy plášťů pochy. Výhodou je páě edukce oněch ptnácti zoců n pouhé d zoce, s jejichž pomocí učíme poždoný pmet (ojem, osh pláště) otčního těles poměně sndno, jk osttně dokumentují jednotlié řešené příkldy, oázky úhy. Vždy je důležité uědomit si, jk dné těleso zniká, kteé údje při tom hjí důležitou oli smozřejmě znát d uniezální zthy po ýpočet, nichž figuuje páě ten učitý integál. Vše osttní, tedy doszení, úpy smotný ýpočet, je již utinní technickou záležitostí, le opkuji, je tře to umět, jink se ýsledku nedoeeme. Pkliže to šk umíme, pk neudeme mít s řešením ůec žádný polém. Relit je le tkoá, že se žáci předeším n SŠ seznmují nejdříe s otčními tělesy, zoci po ýpočet, jež se jim mnohdy motjí pletou, tepe ž e 4. očníku se dozí něco o limitách, deicích integálech to jen n někteých školách. Někde dokonce ukončí mtemtiku komintoikou, pděpodoností, zákldy sttistiky dál nepokčují. Výsledkem toho je pk nepopulit steeometie, nechuť k tomuto témtu, neuspokojié znlosti žáků této ptii s tím souisející jejich šptné zpomínky n dou, kdy se těles, ojemy pochy těles mtemtice poíly. A to je elká škod. Možná někteé z Vás, kteří jste měli n střední škole steeometii ádi tk jko já, moje páce inspiol k tomu, yste zth žáků ke steeometii otčních těles chtěli změnit k lepšímu snžili se njít k tomu hodné metody. Pokud se tk stlo, pk t kátká páce splnil sůj účel nd ámec ytyčených cílů. 9
Seznm použité litetuy () Pomykloá, E. Mtemtik po gymnázi Steeometie. Ph: Pometheus, 8. () Huý, D., Kuát, J. Mtemtik po gymnázi Difeenciální integální počet. Ph: Pometheus, 6. () Jiásek, F., Bend, J. Mtemtik po klářské studium. Ph: Ekopess, 6. (4) Litochoá, J. Mtemtická nlýz Integální počet. Olomouc: Uniezit Plckého Olomouci,. (5) Polák, J. Přehled středoškolské mtemtiky. Ph: Pometheus, 5. (6) Petákoá, J. Mtemtik příp k mtuitě k přijímcím zkouškám n ysoké školy. Ph: Pometheus, 8. (7) Fuchs, E., Pocházk, F., kolekti. Stnddy testoé úlohy z mtemtiky po střední odoné školy. Ph: Pometheus,. (8) Běloun, F., kolekti. Sík úloh z mtemtiky po zákldní školu. Ph: Pometheus,. (9) Kuát, J. Sík úloh z mtemtiky po přípu k mtuitní zkoušce k přijímcím zkouškám n ysoké školy. Ph: Pometheus, 4. 4
ANOTACE Jméno příjmení: Rdek Holmn Kted: Kted mtemtiky Vedoucí páce: doc. RND. Jitk Litochoá, CSc. Rok ohjoy: Náze páce: Učitý integál e steeometii Náze ngličtině: Definite integl t solid geomety Anotce páce: Ústředním témtem páce jsou plikce učitého integálu e steeometii. Hlní náplň předstuje odození ysětlení zoců po ýpočet ojemů, oshů plášťů pochů otčních těles, k čemuž yužíám učitý integál jkožto klitní efektiní nástoj. Roněž poukzuji n možnosti jeho použití při řešení úloh, kteé souisejí s dnou polemtikou. Cílem páce je ukázt ýznm integálního počtu, zejmén učitého integálu jk po odození zmíněných zoců, řešení ýpočty příkldů, tk i po efektinější ýuku steeometie jko mtemtické disciplíny, tím i po pozitiní zpětnou zu učitele od jeho žáků. Klíčoá slo: Anotce ngličtině: Funkce, učitý integál, otce, steeometie, otční těleso, zoec, odození The min topic of this thesis is the ppliction of definite integl t solid geomety. The min content is deition nd eplntion of the fomuls fo clcultion of olume, content of the sufce of otting odies using definite integl s qulittie nd effectie tool. I lso point out the posiility of its ppliction in soling tsks elted to this topic. The gol of this thesis is to show the impotnce of the integl, especilly definite integl oth fo the deition of these fomuls, soling nd clcultions of the tsks, nd fo moe effectie teching of solid geomety s mthemticl discipline nd thus the positie feedck fom the students.
Klíčoá slo ngličtině: Function, definite integl, ottion, solid geomety, otting ody, fomul, deition Přílohy ázné páci: Rozsh páce: Jzyk páce: 4 stn Český