Příklady k přednášce 5 - Identifikace Michael Šebek Automatické řízení 07 5-3-7
Jiná metoda pro. řád bez nul kmitavý Hledáme ωn Gs () k s + ζωn s + ωn Aplikujeme u( ) us () s. Změříme y( ), A, A, Td y( ) A T d A yt (). Vypočteme k y( ) A µ π u( ) A 4 + T, µ ln, ζ, ω n π µ d ζ Klasické názvosloví: A A faktor útlumu, T0 časová konstanta µ tzv. logaritmický dekrement útlumu Pro zajímavost A ζω nt A π d dále platí e, µ ln ζωntd, ωd A n A T Michael Šebek Pr-ARI-05-05 n d
Jiná metoda - odvození ωn u( ) ζωn y( s) k y( t) ku( ) e sin ( ) t ω n ζ t + ϕ s + ζωns+ ωn s ζ V limitě je závorka rovna nule, takže y( ) ku( ) k y( ) u( ) Z definic je π π π Td ω n ω ω ζ T ζ d n d Při překmitu má závorka maximální hodnotu (tj. sin -), takže ζω nta A y( ta ) ku( ) ku( ) + e ku( ) ku( ) e ζ ζ ζωn( ta + T d) A y( ta + T d) ku( ) ku( ) e ζ ζωnta A e ζω nt A π d a z toho e µ ln ζωnt ζω d ζ n( ta + T A d) e A ζ n A ( ) 4 4 + µ µζ πζ µ π µ ζ ζ µ 4π + µ Michael Šebek Pr-ARI-05-05 3 ζω t
Strejcova metoda identifikace Pro aperiodické průběhy Najdeme inflexní bod, změříme T u (doba průtahu) a (doba náběhu ) T n a vypočteme parametr T τ T u n Podle jeho velikosti aproximujeme průběh různými přenosy τ < 0. Gs ( ) τ 0. Gs ( ) ( Ts+ )( Ts+ ) k ( Ts + ) k n Michael Šebek Pr-ARI-05-05 4
Strejcova metoda Případ τ < 0., kdy hledáme parametry přenosu k Gs () Ts + Ts + v těchto krocích y( ) ) k u( ) ) t: yt ( ) 0.7 y( ) t 3) T+ T.564 4) t 0.3574( T+ T) 5) yt ( ) T 6) τ T 7) T, T ( )( ) y(t ) τ y(t ) τ 0.30 0.000 0. 0.83 0.9 0.03 0. 0.9 0.8 0.043 0.0 0.64 0.7 0.063 0.9 0.3 0.6 0.084 0.8 0.403 0.5 0.05 0.7 0.538 0.4 0.8 0.6.000 0.3 0.54 Michael Šebek Pr-ARI-05-05 5
Strejcova metoda Případ τ 0., kdy hledáme parametry přenosu v těchto krocích k Gs () y( ) ) k ( Ts + ) n u( ) ) Skokovou odezvu normujeme na y( ) Tu 3) Sestrojíme tečnu v inflexním bodě a určíme τ 4) Podle hodnoty určíme v tabulce nejbližší Tn vyšší řád n a přesnější souřadnici inflexního bodu y i n 3 4 5 6 7 8 9 0 τ 0.04 0.8 0.39 0.4 0.493 0.57 0.64 0.709 0.773 y i 0.64 0.37 0.359 0.37 0.384 0.394 0.40 0.407 0.43 5) Z grafu určíme t: yt ( ) y i i i 6) T t i n Michael Šebek Pr-ARI-05-05 6
Vyšší řád a nuly - nekmitavý případ Monotónní hladká odezva (dobře funguje pro odezvy tvaru S ) αt βt γt y() t y( ) + Ae + Be + Ce + Odečteme ustálenou hodnotu a předpokládáme, že -α je nejpomalejší pól αt y() t y( ) Ae ln ( yt () y( ) ) ln A αtln e ln A αt To je rovnice přímky: směrnice určuje α a průsečík s osou určuje A Umístíme-li ji na graf (nebo ln ( y( ) yt ()) ln pro yt () y( ) A < 0 ) A určíme konstanty α, a Pak totéž opakujeme pro t ( y + ae ) y() t ( ) ( ) Be α βt Další detaily a vlastnosti na příkladových slajdech Michael Šebek ARI-05-05 7 yt () Pokud je yt () y( ) < 0 (jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je A < 0. Pak postup modifikujeme ln y( ) y() t Ae ln A ( y( ) yt ()) Zjistíme A a přidáme znaménko - αt α αt
Další detaily k metodě logaritmování yt () y( ) < 0 Pokud je (jako v prvním kroku a možná v některém z dalších), je A < 0. Pak postup modifikujeme yt () αt y( ) y() t Ae ln y( ) yt () ln A αt ( ) A Zjistíme a přidáme znaménko - Místo výpočtu logaritmů je možno přímo kreslit na semilogaritmický papír ty bývají pro log 0 takže je lépe užít dekadický logaritmus. Pozor na log 0 e ~ 0.4343 Metoda je citlivá na nastavení přímek. V rozumných případech (kvalitní data s málo šumem), dává dobrý fit odezvy Což ale neznamená, že jsme dobře trefili časové konstanty Hezký příklad s ukázkou numerických problémů je v učebnici Franklin-ed.6, s. 4, sekce 3.7 α Michael Šebek Pr-ARI-05-05 8
Identifikace z frekvenční odezvy. Mezi 00-000 rad/s amplituda klesá (Dorf ed.- 8.3 s 57) cca -0 db/dekádu, G( j 300) 3dB odhadujeme pól p 300. Fáze strmě roste (+80 ) a ϕ ( j540) 0 odhadujeme pár komplex. nul v ω n 450 3. Směrnice amplitudy se vrací k 0, za ω 50,000 tušíme další pól: Tento pól je na p 0, 000 protože G( j 0, 000) 3dB a fáze je tam +45 4. Zakreslíme asymptoty na máme Gs () ( s ωn) + ζωns+ ( s p + )( s p + ) 5. Rozdíl hodnoty asymptot od skutečné 6. na rohové frekvenci ω n 450 je 0dB, z toho ζ 0.6 Michael Šebek Pr-ARI-05-05 9
Identifikace z frekvenční odezvy V kroku 5 vycházíme z převráceného grafu pro rezonanční špičku podle tlumení komplexní póly komplexní nuly [ + (ζ/ω n ) jω+ ( jω/ω n ) ] - [ + (ζ/ω n ) jω+ ( jω/ω n ) ] Michael Šebek Pr-ARI-05-05 0
Identifikace z frekvenční odezvy Tedy nám celkem vyšlo Gs () ( s 450) ( 0,3 450) s ( s 300 + )( s 0000 + ) + + s + 780s + 6000000 s + 0000s + 6000000 Po změně časového měřítka kontrola: sτ s t 6000000 τ t 6000000 Dostaneme hezčí čísla Gs ( ) τ s s + 0.3s + + 8.s + Michael Šebek Pr-ARI-05-05
Atomic Force Microscope - Piezoelectric drive (Astrom, Murray 008, s. 85) Spektrální analyzátor naměřil (za s) Minima frekvence nul Maxima frekvence pólů Dobrý fit v okolí maxim a minim tlumení, násobnosti nul a pólů Po dobrém fitování amplitudové části se najde dopravní zpoždění nastavením fázové části Bodeho grafu Tak dostaneme ( )( ) sτ kωωω 3 5 s + ζω s+ ω s + ζω 4 4s+ ω e 4 Gs () ωω 4 ( s + ζω s+ ω)( s + ζω 3 3s+ ω3 )( s + ζω 5 5s+ ω5 ) kde ω a k π fk f.4 khz, ζ 0.03, f.4 khz, ζ 0.03, f3.4 khz, ζ3 0.03, f.4 khz, ζ 0.03, f.4 khz, ζ 0.03 4 4 5 5 Michael Šebek Pr-ARI-05-05
Identifikace z Nyquistova grafu Označme K ϕ G( jω ), ϕ arg G( jω ) ϕ ϕ ω 80 ω 0 0 hodnoty ω, ω, K, K, K jsou důležité pro řízení 90 80 0 90 80 K 80 K 0 Gain ratio (podíl zesílení) udává obtížnost řízení K K 80 κ 0 G( ω ) 80 G(0) ω 90 Pro model Gs () k +Ts Gs () k + Ts e st d určíme parametry z k K, T 0 κ ω 80 T d π arctan κ ω 80 Michael Šebek ARI-05-05 3
Příklad - Nejmenší čtverce Pro Minimalizujeme A 0, 0 b 0 m ( n ) ax ij j bi ( x ) + ( x+ x) + ( x + ) j i min x Vypočteme parciální derivace a položíme je rovné nule 0x x 4 0, x 0x + 4 0 x x Z toho x 3, x 3 r 3 + 3 + 3 0.8 ( ) ( ) ( ) Michael Šebek ARI-05-06 4
Příklad - Nejmenší čtverce Pro A 0, 0 b 0 je T T 5 0 5 5 3 x ( AA) Ab 0 5 0 5 4 5 3 Pak Tedy x 0 3 3 3 r Ax b 0 3 0 3 3 0 3 3 ( ) ( ) ( ) 3, x 3 r 3 + 3 + 3 0.8 Michael Šebek ARI-05-06 5
Příklad - Data fitting interpolací Zadání: Napasuj polynom gt () na funkci f() t na intervalu [-,] + 5t Řešení interpolací stejný počet vzorků jako počet koeficientů polynomu. Vyber m n bodů t, a vypočti [ ]. Interpoluj přesným řešením Ax b 3. Výsledek i ( ti ) f( t ) + 5 i čárkovaně: f plnou čarou: g Kroužky: body t, f( t) gt ( ) ( ) i i i Větší počet n m zřejmě nezlepší kvalitu napasování Michael Šebek ARI-05-07 6
Stejný příklad jinak - Data fitting aproximací Řešení aproximací větší počet vzorků než počet koeficientů polynomu. Vyber polynom stupně n a n m 50 bodů ti, a vypočti. Napasuj polynom minimalizací Ax b f( ti) + 5t 3. Výsledek čárkovaně: f plnou čarou: g kroužky: body t, f( t) gt ( ) ( ) i i i [ ] ( i ) Dostáváme zřejmě mnohem lepší výsledek než při interpolaci Michael Šebek ARI-05-07 7
Příklad - identifikace Michael Šebek ARI-05-06 8
Pokračování příkladu - identifikace Michael Šebek ARI-05-06 9
Příklad řád modelu Michael Šebek ARI-05-06 0
Příklad validace modelu na jiných datech Michael Šebek ARI-05-06