Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl
OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti 3 3 Způsoby zdáí posloupostí 4 Rekuretí určeí poslouposti 4 3 Vlstosti posloupostí 5 3 Mootóost poslouposti 5 3 Omezeost poslouposti 7 4 Mtemtická idukce 8 Aritmetické geometrické poslouposti 0 Aritmetická posloupost 0 Zákldí vlstosti ritmetické poslouposti 0 Užití ritmetické poslouposti Geometrická posloupost Zákldí vlstosti geometrické poslouposti 3 Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí 3 Limity posloupostí ekoečé řdy 5 3 Limit poslouposti 5 3 Zvedeí pojmu 5 3 Vlstosti limit posloupostí 6 3 Aritmetické poslouposti 7 3 Geometrické poslouposti 7 33 ***Užití limit posloupostí 7 33 Výpočet čísl π 7 33 Výpočet čísl e 9 333 Výpočet druhé odmociy reálých čísel 9 3 Nevlstí limit poslouposti 0 33 Nekoečá geometrická řd Text je psá pomocí ěkolik zvláštích stylů: Běžý text, odvozováí vzthů, výsledé vzthy, D EFINICE DŮ LEŽITÝCH MATEMATICKÝCH POJMŮ, ZNĚ NÍ MATEMATICKÝCH VĚ T Kometář, který probírou látku rozšiřuje, upřesňuje či doplňuje Zjedodušeá tvrzeí pro lepší pochopeí, která jsou tedy z mtemtického hledisk epřesá, le která mohou pomoci k lepšímu pochopeí probíré látky Text v ěkterých částech překrčuje běžě probírou středoškolskou látku z mtemtiky Tyto rozšiřující poztky mohou přispět k hlubšímu pochopeí látky těm žákům, kteří budou mtemtiku studovt i vysoké škole ( to eje techického změřeí) Text eprošel odborou i jzykovou korekturou Nrzíte-li chyby, prosím jejich upozorěí Předem děkuji Jroslv Reichl
0BPOSLOUPNOSTI A JEJICH VLASTNOSTI Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jsou speciálím přípdem fukcí, proto budeme čsto při vyšetřováí vlstostí posloupostí využívt zákldích zlostí fukcí (mootoie, limity, ) 3BPojem posloupost 3BPřipomeutí fukcí Vzhledem k tomu, že posloupost je zvláštím přípdem fukce, bylo by dobré připomeout defiici fukce F UNKCE f JE ZOBRAZENÍ LIBOVOLNÉ NEPRÁZDNÉ MNOŽINY A DO MNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL Obecě fukcí tedy může být př přiřzeí, které dému člověku přiřdí jeho výšku Člověk vybíráme z určité možiy lidí (ve třídě, ve městě, ) výšk je urče obecě reálým číslem Tkže to fukce je Speciálím přípdem pk je reálá fukce (jedé reálé proměé): R EÁLNÁ FUNKCE ( JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚ NNÉ) JE ZOBRAZENÍ Z PODMNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL DO MNOŽINY REÁLNÝCH Č ÍSEL V přípdě reálé fukce jedé reálé proměé již eí možé vybírt př z možiy lidí, předmětů, Obě možiy (jk t, z íž zobrzujeme, tk t, do které zobrzujeme) musí být podmožiou možiy reálých čísel Nyí zkusíme vykreslit ěkolik příkldů fukcí, kterých si ukážeme, jk se liší fukce od poslouposti Ilustrčí příkld: Nčrtěte pěkě grf fukce =, kde {,, 3, 4, 5, 6} f : y x x Řešeí: Grf, který je řešeím zdé úlohy, je zobrze Xobr X Grf připomíá grf fukce y = x, le v tomto přípdě je dá moži, z íž zobrzujeme, pouze výčtem prvků Proto grfem ebude spojitá křivk, jk jsme byli zvyklí v přípdě fukcí, le pouze jedotlivé body obr obr Příkld: Je dá fukce h: y = + ( ), kde Zobrzte její body do soustvy souřdic Řešeí: Grf fukce h je zobrze Xobr X Opět jsou výsledkem jedotlivé body e spojitá křivk Nvíc v tomto přípdě vykzují body grfu fukce jistou periodicitu I tkové fukce (resp poslouposti) se v mtemtice občs vyskytou 4BDefiice poslouposti Obě fukce zmíěé v odstvci XX mjí jedo společé: jejich defiičím oborem je moži přirozeých čísel ebo její část Tkové fukce se zývjí poslouposti K AŽDÁ FUNKCE, JEJÍMŽ DEFINIČ NÍM OBOREM JE MNOŽINA VŠECH P Ř IROZENÝCH Č ÍSEL, SE NAZÝVÁ NEKONEČ NÁ POSLOUPNOST Skutečě jediou odlišostí fukce poslouposti je defiičí obor U fukcí je defiičím oborem +, ) jejím grfem je spojitá křivk U posloupostí moži reálých čísel (ebo její část - př \{ 0}, je defiičím obrem moži přirozeých čísel resp její část grf tvoří jedotlivé body K AŽDÁ FUNKCE, JEJÍMŽ DEFINIČ NÍM OBOREM JE MNOŽINA VŠECH PŘ IROZENÝCH Č ÍSEL 0, KDE 0 JE PEVNĚ DANÉ Č ÍSLO Z MNOŽIY PŘ IROZENÝCH Č ÍSEL, SE NAZÝVÁ KONEČ NÁ POSLOUPNOST Koečá posloupost je tedy defiová pouze pro část přirozeých čísel Tkovou posloupost je pk možé vyjádřit výčtem prvků (viz podroběji v odstvci X3X), to v přípdě, že dá posloupost má 5, 0 3
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 ebo 000 čleů Pricipiálě je tedy možé vypst všechy její čley To u ekoečé poslouposti možé eí! Bude-li ze souvislosti zřejmé, jestli se prcuje s koečou resp ekoečou posloupostí, stčí mluvit je o poslouposti Skutečost, že fukčí hodot př fukce f : y = x v bodě je rov 8, se zpisuje ve tvru f ( ) = 8 Vzhledem k tomu, že předpis f : y = x (defiový v odstvci XX) ovšem eurčuje fukci, le (koečou) posloupost (defiičím oborem je totiž moži, která tvoří část možiy přirozeých čísel), používá se jiý způsob zápisu: 8 f = čte se druhý čle poslouposti f je rove 8 Dlší rozdíl oproti fukcím je ve způsobu zápisu: tk př místo zápisu h: y = + ( ) se používá ( ) ozčeí + ( ) resp ( ) = h ; ( = ) h = + Tyto zápisy čteme: posloupost ( ) jedé do ekoeč resp posloupost h, kde probíhá od jedé do ekoeč, Obdobým způsobem je možé vyjádřit i koečou posloupost 4 + pro od + h se rová ( ) V tom přípdě by se místo zku pro ekoečo v horím idexu objevilo kokrétí mximálí 0, pro které je posloupost defiová Alogicky je možé defiovt posloupost pro přirozeá čísl zčíjící ž od určitého čísl, které je větší ež jed V právě uvedeých příkldech říkáme, že posloupost je urče vzorcem pro -tý čle Nyí uvedeme ěkteré příkldy posloupostí, by bylo zřejmé, že defiice poslouposti může být i komplikovější: ( ) ( ) ( ) = = ( b ) 3 ( ) c 4 ( ) 5 = ; = + = = ; =, kde c = pro liché ; c = pro sudé d = 3, d = 3 3,4 d =, 5 5 d, kde = { } { } 3 5BZpůsoby zdáí posloupostí Existuje ěkolik způsobů zdáí poslouposti: vzorcem pro -tý čle - viz koec odstvce XX; tbulk uspořádých hodot poslouposti - teto způsob zdáí poslouposti lze použít je pro koečé poslouposti; 3 grf uspořádých hodot poslouposti (viz př Xobr X) - opět je možé teto způsob zdáí poslouposti použít je pro koečé poslouposti; 4 rekuretí určeí poslouposti - viz odstvec XX Mezi jedotlivými způsoby zdáí poslouposti lze přecházet je tedy možé jedu tutéž posloupost vyjádřit ěkolikerým způsobem S rekuretím vyjádřeím bývá občs problém eí možé jej v ěkterých přípdech středoškolské úrovi hrdit vyjádřeím pro -tý čle Přesto je teto způsob zdáí poslouposti pro řdu (většiou speciálích) posloupostí důležitý 4BRekuretí určeí poslouposti Rekuretě určit posloupost, zmeá uvést prvích ěkolik jejích čleů potom -tý (resp ( + )-í, ( + )-hý, ) čle vyjádřit pomocí vzorce, v ěmž vystupují čley předcházející Npř: =, + = 3 + ; To tedy zmeá, že určíme tkto: = + = 3 + = 3+ = 5 Pro 3 bude pltit = = 3 + = 3 5 + = 6, Neí možé tedy určit rovou př 50tý čle poslouposti 3 + ( ) Abychom teto čle určili, musíme zát všech 49 předcházejících čleů ;
b = 3, b = 5, b+ = b b+ ; 3 c =, c =, c 3 =, ( ) + c = c + c ; + 3 + + Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 4 Některé rekuretí poslouposti je možé vyjádřit vzthem pro -tý čle, le e všechy Opčě, tj posloupost dou vzthem pro -tý čle vyjádřit rekuretě, to je možé vždy Itlský kupec mtemtik Leordo Pisáský (si 70 - si 50) zvý Fibocci (tj sy Bocciův ) uvádí ve své kize Liber bci (z roku 0) tuto úlohu: Kdosi umístil pár králíků místě ze všech str ohrzeém zdí, by pozl, kolik párů králíků zde bude z rok, jestliže u králíků je tomu tk, že pár králíků přivede měsíčě svět jede pár že králíci počíjí rodit ve dvou měsících svého věku S přípdy uhyutí se epočítá Prví pár králíků umístěý do ohrdy je strý právě jede měsíc Pokusme se tuto úlohu vyřešit Po vypočítáí počtu králíků v ohrdě koci prvího měsíce ( pár), druhého měsíce ( páry), třetího měsíce (3 páry) čtvrtého měsíce (5 párů), se zčíá situce komplikovt zčli bychom se ztrácet v počtu párů králíků Proto si ozčíme počet párů králíků koci ( + )-ího měsíce + N koci ( + )-ho měsíce bude v ohrdě + strých párů králíků (tj párů králíků z koce ( + )-ího měsíce), le kromě toho se ještě rodí tolik párů králíků, kolik jich bylo koci -tého měsíce Nrodí se tedy párů králíků Jik řečeo, pro počet párů koci ( + )-ho měsíce dosteme vzth + = + + () Hledý počet párů králíků koci roku proto eí možé vypočítt přímo: musíme určit všechy mezikroky, tj počty párů koci kždého měsíce Tk postupě dostáváme: =, =, 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 3, 7 =, 8 = 34, 9 = 55, 0 = 89, = 44 = 33 N koci roku tedy bude v ohrdě 33 párů králíků Uvedeá posloupost, kterou je možé vyjádřit rekuretím vzthem X()X, se zývá Fibocciho posloupost Fibocciho rekuretí posloupost je možé vyjádřit tké vzthem pro -tý čle Po výpočtu, který zde ebudeme uvádět, eboť vyžduje hlubší zlosti posloupostí, získáme vzth 5 + + 5 5 () + = 5 Ačkoliv ve vzthu X()X vystupují ircioálí čísl, kždý čle poslouposti popsé tímto vzthem, je celočíselý odpovídá příslušému čleu Fibocciho poslouposti Fibocciho posloupost je důležitá pro teoretickou mtemtiku, kombitoriku dlší odvětví mtemtiky 3 5BVlstosti posloupostí Vzhledem k tomu, že posloupost (jk koečá, tk ekoečá) je speciálím přípdem fukce (o čemž bylo pojedáo v odstvcích XX XX), budou i vlstosti posloupostí velmi podobé vlstostem fukcí 3 6BMootóost poslouposti P OSLOUPNOST ( ) = r, s PLATÍ: JE- LI r P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r SE NAZÝVÁ ROSTOUCÍ, PRÁVĚ TEHDY KDYŽ PRO VŠECHNA < s, PAK r < s SE NAZÝVÁ KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s < s, PAK r > s Z právě uvedeých defiicí vyplývjí i věty, které jsou užitečé pro prktické počítáí s posloupostmi V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE ROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = < + (3) V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = Příkldem rostoucí poslouposti je př posloupost ( ) = 3X Posloupost ( b ) + = = > + (4) = = 3 =, jejíž grf je zobrze Xobr, jejíž grf je zobrze Xobr 4X, je příkldem klesjící poslouposti 5
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 obr 3 obr 4 Poslouposti, logicky jko fukce, mohou obshovt kosttí úseky Proto je uté defiici mootoie posloupostí rozšířit P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r < s, PAK r s P OSLOUPNOST ( ) = PLATÍ: JE- LI r SE NAZÝVÁ NEKLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s SE NAZÝVÁ NEROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA r, s < s, PAK r s Pro prktické počítáí jsou opět užitečější ásledující věty V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE NEKLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = + (5) V Ě TA: POSLOUPNOST ( ) JE NEROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO VŠECHNA JE = Příkldem eklesjící poslouposti může být př posloupost ( ) + (6) c = defiová pro {,, 3} předpisem c = pro 4 předpisem c d = defiová pro 6 předpisem d = + 3 pro 7 předpisem c = je příkldem erostoucí poslouposti Její grf je zobrze Xobr 6X =, jejíž grf je zobrze Xobr 5X Posloupost ( ) obr 5 obr 6 Neklesjící posloupost tedy může být kosttí ebo rostoucí - esmí v žádém přípdě klest! Alogicky erostoucí posloupost esmí ikdy růst - může být tedy kosttí ebo klesjící S využitím vzthů X(3)X ž X(6)X v právě uvedeých větách, které vyplývjí z uvedeých defiic, lze rozhodovt o mootoii poslouposti Zákldí úvhu ukážeme vzthu X(3)X, icméě tto úvh pltí pro osttí tři uvedeé vzthy Vzth X(3)X můžeme přepst buď do tvru + < 0 (7) ebo (pokud budeme mít jistotu, že všechy čley poslouposti jsou pro libovolé přirozeé eulové) do tvru (8) < + Budeme tedy porovávt rozdíl dvou libovolých po sobě jdoucích čleů poslouposti vzhledem k ule ebo podíl dvou libovolých po sobě jdoucích eulových čleů poslouposti vzhledem k jedičce Vzthy logické vzthům X(7)X X(8)X lze odvodit i ze vzthů X(4)X ž X(6)X 6
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Důležité je, by čley ásledovly po sobě, tj jejich pořdí se lišilo o jedičku = Příkld: Zjistěte mootoii poslouposti ( ) = 6 Řešeí: Při určováí mootoie dé poslouposti vyjdeme ze vzthu X(7)X, který pltí pro rostoucí posloupost Do tohoto vzthu dosdíme tedy -tý ( + )-í čle zdé poslouposti Pltí: ( ) 7 = 6 = + + = 6 (tj všude, kde se vyskyte v zdáí poslouposti dosdíme v přípdě ( + )-ího čleu ( + ) + Můžeme tedy dosdit do vzthu X(7)X: + = 6 6 Uprvíme tk, bychom mohli rozhodout o tom, zd uvedeý vzth je větší ebo meší ež ul Dosteme tedy: 6 + + 6 + = + = = Vzhledem k tomu, že z doszujeme přirozeá čísl (tj čísl větší ež 0), je zřejmé, že pltí + = < 0 To zmeá, že zdá posloupost je rostoucí, eboť její dv libovolé po sobě jdoucí čley splňují podmíku X(7)X Alogicky můžeme použít vzth X(8)X = Příkld: Zjistěte mootoii poslouposti ( b ) + = Řešeí: Nyí vyjdeme ze vzthu X(8)X, který pltí pro rostoucí posloupost Stejě jko v miulém příkldu + budeme potřebovt vyjádřeí -tého čleu ( + )-ího čleu zdé poslouposti Pltí: b = + ( + ) + b b+ = Po doszeí do vzthu X(8)X dosteme = Teto vzth uprvíme tk, bychom + b + + + + mohli rozhodout o mootoii zdé poslouposti Postupými úprvmi tedy získáme + b ( + ) + + + = = = = + = + Vzhledem k tomu, že vybíráme b + + + ( + ) + + + + + z možiy přirozeých čísel, je zlomek vždy kldý, proto pltí + > Dospěli jsme tedy + + b k závěru = + >, tedy b > b + To zmeá, že zdá posloupost je klesjící b + + Skutečost, zd použijeme ke zjišťováí mootoie poslouposti vzth X(7)X ebo vzth X(8)X závisí tom, v jkém tvru je dá posloupost zdá Některé tvry zdáí jsou sdější úprvu pomocí rozdílu dvou po sobě jdoucích čleů, jié pomocí podílů těchto dvou čleů Dále tké pltí ásledující věty V Ě TA: K AŽDÁ ROSTOUCÍ POSLOUPNOST JE NEKLESAJÍCÍ A KAŽDÁ KLESAJÍCÍ POSLOUPNOST JE NEROSTOUCÍ P OSLOUPNOSTI, KTERÉ JSOU NEROSTOUCÍ NEBO NEKLESAJÍCÍ, SE NAZÝVAJÍ MONOTÓNNÍ POSLOUPNOSTI 3 7BOmezeost poslouposti = Stejě jko u fukcí, i u posloupostí můžeme mluvit o jejich omezeosti: P OSLOUPNOST ( ) = REÁLNÉ Č ÍSLO h TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA JE P OSLOUPNOST ( ) = REÁLNÉ Č ÍSLO d TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA JE P OSLOUPNOST ( ) = SE NAZÝVÁ SHORA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ EXISTUJE h SE NAZÝVÁ ZDOLA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ EXISTUJE SE NAZÝVÁ OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ JE OMEZENÁ SHORA A ZÁROVEŇ JE OMEZENÁ ZDOLA d
v Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Příkldem poslouposti omezeé zdol jsou poslouposti, jejichž grfy jsou zobrzeé Xobr 4X, Xobr 5X Xobr 6X odstvci X3X Příkldem omezeé poslouposti je posloupost, jejíž grf je zobrze Xobr X v odstvci XX 4 6BMtemtická idukce Mtemtická idukce je jede z typů důkzů, který se v mtemtice velmi čsto používá Zčeme ilustrčím příkldem poté vysvětlíme zákldí postup při dokzováí mtemtických tvrzeí mtemtickou idukcí Ilustrčí příkld: Uvžujme posloupost ( ), která je urče rekuretě tkto: = =, pro Určete tuto posloupost vzthem pro -tý čle 8 + = + Řešeí: Při výpočtu čleů této poslouposti vytvoříme posloupost:,,,,, N zákldě toho lze 4 9 6 5 vyslovit doměku (hypotézu), že pro -tý čle zdé poslouposti pltí = S určitostí to le tvrdit emůžeme, protože ejsme schoposti doszeím do rekuretího vzthu ověřit pltost této doměky (hypotézy) pro všech přirozeá čísl Přirozeých čísel je totiž ekoečě moho, proto eí ověřeí pro všech přirozeá čísl možé Ze zlosti, že uvedeá doměk je správá př pro = 00, lze přesto už sdo (podle zdého rekuretího vzthu) dokázt, že teto vzth pltí i pro = 0 Zkusíme yí dokázt obecější tvrzeí: pltí-li uvedeý rekuretí vzth pro libovolé přirozeé číslo k, pk pltí tké pro číslo k + Předpokládáme tedy, že pltí k = Pro čle k + pk podle rekuretího vzthu k pltí: k k k+ = k= = ( k ) k ( k ) k + + + N zákldě doszováí jsme zjistili, že vzth = pltí pro ěkolik prvích přirozeých čísel Pomocí právě dokázého tvrzeí pro libovolé přirozeé číslo k už víme, že uvedeý vzth pltí pro kždé dlší přirozeé číslo N právě uvedeém příkldu jsme se sezámili s ovým typem důkzu, který se zývá mtemtická idukce (resp důkz mtemtickou idukcí) Mtemtickou idukcí se dokzují věty typu: Pro všech V vyjdřuje vlstost přirozeých čísel, která je přirozeá čísl pltí vzth (resp tvrzeí) V ( ) Přitom ( ) vyjádře ějkou rovicí ebo erovicí Důkz mtemtickou idukcí se skládá ze dvou sebe vzujících částí (kroků): Důkz poždového tvrzeí V ( ) pro = Pro kždé přirozeé číslo k dokážeme: Jestliže pltí V ( k ), pk pltí ( ) V k + Důkz mtemtickou idukcí je podobý domiovým kostkám, které postvíme ve správých vzdáleostech od sebe do řdy poté do prví kostky v řdě cvrkeme Postupě tk spdou všechy osttí Přesě stejým způsobem fuguje důkz mtemtickou idukcí: důkz pro = je oo počátečí cvrkutí druhý krok důkzu odpovídá tomu, že když spde k-tá kostk, spde i (k + )-í kostk Prví krok důkzu je prosto ezbytý, přestože se může zdát, že je pouze formálí Je totiž utý k tomu, by bylo možé vyvolt domiový efekt, tj by byl důkz provede pro prví krok O jeho ezbytosti svědčí ásledující příkld: Příkld: Dokžte, že pro všech přirozeá pltí: Výrz ( ) V = + + je pro kždé sudý Řešeí: Vyecháím prvího kroku důkzu lze tuto větu mtemtickou idukcí dokázt sdo: Předpokládejme, že číslo V ( k) = k + k + je sudé Pk i číslo V ( k ) ( k ) ( k ) Rozpisem čísl V ( k + ) dosteme: ( ) ( ) ( ) + = + + + + je sudé V k+ = k+ + k+ + = k + k+ + k+ + Přeuspořádáme-li čley součtu dosteme: V ( k ) k k k V ( k) k V ( k) ( k ) k sudému číslu ( V ( k ) je dle předpokldu číslo sudé) číslo sudé (číslo ( ) sudé + = + + + + + = + + = + + Přičteme-li k + je sudé), dosteme opět číslo Bohužel, vět uvedeá v zdáí příkldu epltí Ověříme-li prví krok mtemtické idukce, dosteme: V () = + + = 3 Prví krok je tedy velmi důležitý! Zde jsme zjistili, že pro = dostáváme číslo liché
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 tedy se celý ásledující důkz provedeý mtemtickou idukcí eí pltý, eboť jeho prví krok ukázl, že tvrzeí epltí pro = Skutečost, že čísl ve tvru ( ) důkzem přímým V = + +, jsou pro kždé přirozeé lichá, lze dokázt př 9
jko BARITMETICKÉ A GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Aritmetické poslouposti (viz odstvec XX) ptří spolu s geometrickými posloupostmi (viz odstvec XX) ke zvláštím přípdům posloupostí, pro které pltí jedoduchá početí prvidl Aritmetické geometrické poslouposti umožňují též jedoduché řešeí řdy prktických úloh (př z fičí mtemtiky, ) Dříve, ež zčeme tyto poslouposti vyšetřovt, je třeb si uvědomit, že moži všech posloupostí se edělí ritmetické poslouposti (ozčeé ve schémtu Xobr 7X AP) geometrické poslouposti (ozčeé jko GP) Některé poslouposti ejsou i ritmetické i geometrické Dokoce se mohou vyskytovt poslouposti, které jsou zároveň jk ritmetické, tk geometrické Přehledé schém je Xobr 7X 7BAritmetická posloupost obr 7 8BZákldí vlstosti ritmetické poslouposti S reálými příkldy, které se djí mtemticky popst pomocí ritmetické poslouposti, se setkáváme i v prxi: - velikost rychlosti šířeí zvuku ve vzduchu je popsá rovicí v = ( 33+ 0, 6t) ms, kde t je teplot vzduchu udává ve stupích Celsi S rostoucí teplotou se tedy velikost rychlosti zvuku ve vzduchu rovoměrě zvyšuje rováí kozerv v obchodě do pyrmidy ; 3 Aritmetická posloupost je tedy zvláštím přípdem poslouposti, v íž se kždé dv její po sobě jdoucí čley liší o kosttu P OSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = EXISTUJE TAKOVÉ REÁLNÉ Č ÍSLO d, ŽE PRO KAŽDÉ PŘ IROZENÉ Č ÍSLO PLATÍ: d Č ÍSLO d SE NAZÝVÁ DIFERENCE ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI : + = + (9) V ritmetické poslouposti se tedy kždé dv po sobě jdoucí čley liší o stejou kosttu - o difereci d V Ě TA: V ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = Důkz: mtemtickou idukcí r, s : ( ) S DIFERENCÍ d PLATÍ PRO KAŽDÉ = + d (0) Tto vět tedy svzuje -tý čle ritmetické poslouposti s jejím prvím čleem V Ě TA: V ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = ( ) S DIFERENCÍ d PLATÍ PRO VŠECHNA r = s + r s d () Důkz: vyplývá z předchozí věty Vzth X()X je zobecěím vzthu X(0)X Vzth X(0)X pltí pouze pro prví -tý čle ritmetické poslouposti, ztímco vzth X()X pltí pro libovolé dv čley (dokoce i pro přípd r = s) V řdě přípdů je důležité zát součet prvích čleů ritmetické poslouposti Proto si yí ukážeme, jk tkový součet reltivě sdo určit TJ PRO V Ě TA: P RO SOUČ ET i i= s = + + + = PLATÍ: s PRVNÍCH Č LENŮ ARITMETICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) =, 0
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 () s = ( + ) Vzth X()X lze dokázt metodou, kterou předvedl (údjě) v prví třídě geiálí ěmecký mtemtik Crl Friedrich Guss (777-855), ebo mtemtickou idukcí Gussov metod vychází ze skutečosti, že součet s = + + + prvích čleů ritmetické poslouposti lze rozepst s využitím vzthu X(0)X dvěm způsoby: s = + + + + = + ( + d) + + ( + ( ) d) + ( + ( ) d) (3) s = + + + + = + d + + d + + + d + (4) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Jedu tu smou posloupost tedy rozepíšeme jedou popředu podruhé odzdu Ob součty jsou pochopitelě totožé Sečteím těchto vzthů X(3)X X(4)X dosteme: s = + d + + d + + + d + + d = + d Dále ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) můžeme tedy psát s = ( + + ( ) d) = ( + ), odkud vyplývá s ( ) = +, což je hledý vzth X()X 9BUžití ritmetické poslouposti Jk už bylo uvedeo zčátku odstvce XX, s ritmetickou posloupostí (resp úlohmi, které ritmetickou posloupost vedou) je možé se setkt i v prxi K úspěšému vyřešeí zdé úlohy je třeb převést zdáí úlohy do pojmů, které byly vysvětley v souvislosti s ritmetickou posloupostí v odstvci XX 8BGeometrická posloupost 0BZákldí vlstosti geometrické poslouposti Příkldem geometrické poslouposti, s íž je možé se setkt v prxi, je jderý rozpd rdioktivího uklidu To je proces, během kterého se z určitý čs (tzv poločs přeměy) rozpde (přeměí) přesě polovi jder, která ještě v dé látce zbývjí Nyí se podíváme geometrické poslouposti ovšem obecě P OSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = EXISTUJE TAKOVÉ REÁLNÉ Č ÍSLO q, ŽE PRO KAŽDÉ PŘ IROZENÉ Č ÍSLO PLATÍ: + = q (5) Č ÍSLO q SE NAZÝVÁ KVOCIENT GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI Existují speciálí přípdy geometrické poslouposti: je-li = 0, pk pro kždé je = 0 ; je-li q = 0, pk pro kždé tkové, že, je = 0 V geometrické poslouposti (v íž je 0 q 0 ) je tedy podíl kždých dvou po sobě jdoucích čleů kosttí je rove kvocietu q V Ě TA: V GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = KAŽDÉ : Důkz: mtemtickou idukcí S KVOCIENTEM q PLATÍ PRO = q (6) Tto vět dává tedy ávod výpočet -tého čleu geometrické poslouposti pomocí jejího prvího čleu V Ě TA: V GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) = VŠECHNA r, s : S KVOCIENTEM q PLATÍ PRO r s r = s q (7) Důkz: vyplývá z předchozí věty Vzth X(7)X je zobecěím vzthu X(6)X Vzth X(6)X pltí pouze pro prví -tý čle, ztímco vzth X(7)X pltí pro libovolé dv čley geometrické poslouposti Stejě jko u ritmetických posloupostí (viz odstvec XX), tk i u geometrických posloupostí je důležitý vzth pro součet prvích čleů geometrické poslouposti
TJ PRO V Ě TA: P RO SOUČ ET i i= s = + + + = PLATÍ: JE- LI q =, PAK JE- LI q, PAK Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 s PRVNÍCH Č LENŮ GEOMETRICKÉ POSLOUPNOSTI ( ) s =, = ; (8) q s = q (9) Důkz pltosti vzthů X(8)X X(9)X můžeme provést buď mtemtickou idukcí ebo úprvou výrzu s = + + + Pltost vzthu X(8)X pro přípd q = je zřejmý Vzhledem k tomu, že v tomto přípdě je = = =, pk skutečě s = Vzth X(9)X (tj součet prvích čleů geometrické poslouposti, pro jejíž kvociet pltí q ) můžeme dokázt logicky, jko jsme dokázli pltost vzthu X()X pro ritmetickou posloupost (viz odstvec XX) Součet prvích čleů geometrické poslouposti můžeme psát ve tvru s = + + + -+ = + q+ + q + q (0) Vzth X(0)X můžeme yí vyásobit kvocietem q dosteme qs = q+ q + + q-+ q = q+ q + + q + q () Odečteím vzthů X(0)X X()X dosteme s qs = + q + + q + q q q q q = q Máme tedy vzth q q s ( q) = ( q ), z ěhož po vyděleí eulovým výrzem q dosteme s = = q q A to je vzth X(9)X, jehož pltost jsme měli dokázt Výrz q je oprvdu eulový Uvžujeme totiž pouze tkové geometrické poslouposti, pro jejichž kvociet q pltí q 3 9BVlstosti ritmetických geometrických posloupostí Vlstosti ritmetických geometrických posloupostí rozebereme postupě Zčeme s ritmetickou posloupostí Ilustrčí příkld: Zobrzte grfy ritmetických posloupostí, které jsou dáy prvím čleem diferecí: ) ( ), = = 3, d =, 5 ; b) ( ) b, b = = 4, 0,5 c d = ; c) ( ) Řešeí: Grfy zdých posloupostí jsou zobrzey Xobr 8X, c = =, d = 0 ž Xobr 0X obr 8 obr 9 obr 0
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Jk už bylo řečeo, je možé poslouposti vímt jko zvláští přípd fukce (viz odstvec XX) Proto je možé zákldě právě sestrojeých grfů určit omezeost mootoii uvedeých posloupostí vyslovit ásledující věty: V Ě TA: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST S DIFERENCÍ d JE: ROSTOUCÍ PRO d > 0, KLESAJÍCÍ PRO d < 0, 3 KONSTANTNÍ PRO d = 0 V Ě TA: PRO ARITMETICKOU POSLOUPNOST S DIFERENCÍ d PLATÍ: JE- LI d > 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ ZDOLA, ALE NENÍ OMEZENÁ SHORA; JE- LI d < 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ SHORA, ALE NENÍ OMEZENÁ ZDOLA; 3 JE- LI d = 0, PAK JE DANÁ POSLOUPNOST OMEZENÁ ( TJ JE OMEZENÁ SHORA I ZDOLA) V přípdě, že pltí d = 0, jedá se o kosttí ritmetickou posloupost, jejíž jedotlivé čley se eměí Proto je omezeá shor i zdol tedy je omezeá Nyí se pokusíme podobé věty vypozorovt z grfů geometrických posloupostí Ilustrčí příkld: Zobrzte grfy geometrických posloupostí, které jsou dáy prvím čleem kvocietem: ) ( ), = =, q = ; b) ( b ), b = = 0,5, q = 0,5 ; c) ( c ), c = = 0,5, q = 0,5 ; d) ( d ), d = =, q =, 5 Řešeí: Grfy zdých posloupostí jsou zobrzey Xobr X ž Xobr 4X obr obr obr 3 obr 4 N zákldě uvedeých příkldů je opět možo vyslovit ásledující věty: V Ě TA: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) S KVOCIENTEM q JE: = ROSTOUCÍ, PRÁVĚ KDYŽ > 0 q > NEBO < 0 0< q <, KLESAJÍCÍ, PRÁVĚ KDYŽ > 0 0< q < NEBO < 0 q > V Ě TA: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) = S KVOCIENTEM q : > 0 q > ; JE OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ q NEBO = 0 ; JE OMEZENÁ ZDOLA, ALE NENÍ OMEZENÁ SHORA, PRÁVĚ KDYŽ 3
< 0 q > ; 0 q < Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 3 JE OMEZENÁ SHORA, ALE NENÍ OMEZENÁ ZDOLA, PRÁVĚ KDYŽ 4 NENÍ ANI SHORA OMEZENÁ ANI ZDOLA OMEZENÁ, PRÁVĚ KDYŽ Příkldem poslouposti, která eí omezeá i shor i zdol je př posloupost ( ), = =, q =, jejíž grf je Xobr 5X obr 5 4
3 BLIMITY POSLOUPNOSTÍ A NEKONEČNÉ ŘADY Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Stejě tk jko je možé vyšetřovt limitu u fukcí, je možé hovořit o limitě i u posloupostí Pomocí limity poslouposti je totiž možé rozšířit zobecit jistým způsobem pojem součtu poslouposti ekoečý počet sčítců Tk je možé dospět k defiici ekoečé řdy k defiici jejího součtu (viz odstvec X33X) 3 0BLimit poslouposti 3 BZvedeí pojmu Dříve, ež vyslovíme defiici limity poslouposti, pokusíme se zákldě grfu, ve kterém jsou zobrzey čley určité kokrétí poslouposti, ituitivě pojem limity poslouposti pochopit Ilustrčí příkld: Vypište prvích šest čleů poslouposti ( ), ( ) + = = vyzčte jejich obrzy do grfu Řešeí: Postupým doszováím lze určit: = 0, 3 5 4 7 =, 3 = =, 4 =, 5 = =, 6 = 4 6 3 8 0 5 Příslušý grf je Xobr 6X Z grfu ( výpočtu) je zřejmé, že se jedotlivé čley zdé poslouposti stále více blíží k číslu Jiými slovy vzdáleost obrzů jedotlivých čleů poslouposti od obrzu čísl se postupě zmešuje, čley poslouposti se od tohoto čísl stále méě liší Uvedeé vzdáleosti dého čleu poslouposti od čísl eí složité spočítt: =, =, 4 6 3 =, 4 =, 5 8 =, 6 0 = Z právě provedeých výpočtů lze ukázt, že př pro všech přirozeá čísl 7 je < Pro -tý čle zdé poslouposti totiž pltí: ( ) + ( ) = = = Výrz ( ) bývá hodot + ebo -, proto pltí ( ) = Číslo vybíráme stále z možiy přirozeých čísel Má-li být právě určeá vzdáleost = meší ež, musí pltit: = <, odkud dostáváme < tedy > 6, tj 7 obr 6 5
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Obdobým způsobem bychom mohli jít te čle, od kterého dále počítje se dlší čley liší od čísl o méě ež 00, 000, N zákldě právě uvedeého příkldu je možé vyslovit defiici pojmu limit Č ÍSLO SE NAZÝVÁ LIMITA POSLOUPNOSTI ( ) KLADNÉMU Č ÍSLU ε EXISTUJE 0 PLATÍ:, PRÁVĚ KDYŽ KE KAŽDÉMU = TAK, ŽE PRO VŠECHNA PŘ IROZENÁ Č ÍSLA 0 < ε TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM lim = () Defiici limity je možé formulovt tké tk, že místo podmíky ekvivletí: ( ε; ε ) + < ε uvedeme podmíku s í U posloupostí se edefiuje jiá limit, ež limit pro Při výpočtu limit ebo při ituitivím uhádutí limity z grfu poslouposti ás zjímá, jk se chovjí čley poslouposti pro velká, tj v prvé části grfu Levá část grfu je pro výpočet limit epodsttá! Právě defiová limit se zývá vlstí limit (tj touto limitou jsou čísl z možiy reálých čísel) Výsledkem vlstí limity tedy eí ± Podle toho, jkou limitu dá posloupost má, můžeme poslouposti dělit dvě skupiy P OSLOUPNOST ( ) = POSLOUPNOST ( ) SE NAZÝVÁ KONVERGENTNÍ POSLOUPNOST, PRÁVĚ KDYŽ = MÁ VLASTNÍ LIMITU, TJ lim P OSLOUPNOSTI, KTERÉ NEJSOU KONVERGENTNÍ, SE NAZÝVAJÍ DIVERGENTNÍ = Divergetí poslouposti mjí evlstí limitu (viz odstvec X3X) ebo jejich limit eexistuje Vlstosti limit posloupostí dále upřesňují dlší věty V Ě TA: KAŽDÁ POSLOUPNOST MÁ NEJVÝŠE JEDNU LIMITU V Ě TA: KAŽDÁ KONVERGENTNÍ POSLOUPNOST JE OMEZENÁ Pozor! Právě uvedeou větu eí možé obrátit To zmeá, že omezeá posloupost emusí být utě Tto posloupost je omezeá (její čley bývjí střídvě hodot ( ) kovergetí - př posloupost ( ) = míus jed plus jed, proto je zdá posloupost omezeá), le eí kovergetí, protože eexistuje limit defiová vzthem X()X Limit vlstě dává předstvu o tom, k jkému číslu se přibližují čley dé poslouposti v ekoeču ( ) (tj pro velká ) V přípdě poslouposti ( ) tuto předstvu edosteme - víme je, že pro velká = budou bývt čley poslouposti hodoty + ebo - A to je málo k tomu, bychom řekli, že tto posloupost má limitu (dou vzthem X()X) Podroběji je o ěkterých typech omezeých posloupostí pojedáo v úvodu odstvce X3X 3 BVlstosti limit posloupostí Následující věty umožňují určovt limity složitějších posloupostí zákldě limit posloupostí jedodušších lim V Ě TA: J ESTLIŽE POSLOUPNOSTI ( ) = = A lim b ( ± b) A PLATÍ: = A ( b ) = = b, PAK JE KONVERGENTNÍ I POSLOUPNOST: ( ) ( b) = A PLATÍ: ( ) 3 ( c ) = A PLATÍ: JSOU KONVERGENTNÍ A PŘ ITOM lim ± b = lim ± lim b = ± b; (3) lim b = lim lim b = b ; (4) 6
se KDE c ; 4 A PLATÍ: b = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 lim c = clim = c, (5) ( ) Řecký mtemtik Archimedes (87 př l - př l) ukázl, že pro číslo π pltí erovost 3 < π < K tomuto závěru dospěl tk, že délku kružice porovávl s obvody prvidelých -úhelíků, 7 7 které jsou vepsáy resp opsáy dé kružici Později byl jeho původí odhd čísl π zpřesňová tím, že mtemtici volili stále větší počet str těchto mohoúhelíků Pokusme se teto postup zopkovt 7 lim lim = = b lim b b ZA PŘ EDPOKLADU, ŽE b 0 A b 0 PRO VŠECHNA Jk již bylo řečeo, zvláštím přípdem posloupostí jsou ritmetické poslouposti (viz odstvec XX) geometrické poslouposti (viz odstvec XX) Proto se podíváme z hledisk limit tyto dv druhy posloupostí (viz odstvce X3X X3X) 3 4BAritmetické poslouposti Aritmetické poslouposti s diferecí d = 0 jsou kovergetí (protože jsou kosttí), ritmetické poslouposti s diferecí d 0 ejsou omezeé, proto jsou divergetí Vyšetřováí limit ritmetických posloupostí je tedy většiou ezjímvé 3 5BGeometrické poslouposti Geometrická posloupost ( q ) =, ve které je: q >, eí omezeá, proto eí kovergetí; q =, je kovergetí (je to posloupost kosttí) její limit je ; 3 q =, je divergetí (čley poslouposti oscilují mezi - ); 4 q <, je kovergetí V Ě TA: G EOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) KONVERGENTNÍ A JEJÍ LIMITA JE ROVNA 0 q = (6), PRO KTEROU JE q <, JE Tto vět je velmi důležitá pro vyšetřováí vlstostí ekoečých řd (viz odstvec X33X) V Ě TA: K AŽDÁ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST ( ) PLATÍ q <, JE KONVERGENTNÍ A PLATÍ lim 0 =, PRO JEJÍŽ KVOCIENT q = (7) 33 3B***Užití limit posloupostí Nejprve uvedeme tři věty, které se ukáží jko velmi užitečé u dlších uváděých příkldů (viz odstvce X33X ž X0X) V Ě TA: JE-LI OMEZENÁ POSLOUPNOST MONOTÓNNÍ, PAK JE KONVERGENTNÍ Pro eklesjící resp erostoucí posloupost odtud plye: V Ě TA: J E-LI POSLOUPNOST NEKLESAJÍCÍ A PŘ ITOM SHORA OMEZENÁ, PAK JE KONVERGENTNÍ V Ě TA: J E-LI POSLOUPNOST NEROSTOUCÍ A PŘ ITOM ZDOLA OMEZENÁ, PAK JE KONVERGENTNÍ V odstvcích X33X ž X0X budeme zbývt výpočtem ěkterých ircioálích čísel Jejich výpočet je zlože ásledující větě: V Ě TA: P RO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO r EXISTUJE NEKLESAJÍCÍ POSLOUPNOST RACIONÁLNÍCH Č ÍSEL ( ) = TAK, ŽE PLATÍ 33 6BVýpočet čísl π A NEROSTOUCÍ POSLOUPNOST RACIONÁLNÍCH Č ÍSEL ( ) b = lim = lim b = r (8)
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 posloupost Uvžujme kružici o jedotkovém poloměru, jejíž obvod tedy je π Ozčme ( o ) = obvodů prvidelých -úhelíků vepsých do kružice ( ) posloupost prvidelých -úhelíků o = opsých kružici Z geometrického pohledu situci je zřejmé, že posloupost ( o ) je rostoucí omezeá = (je omezeá obvodem kružice) posloupost ( ) je klesjící omezeá (omezeá je opět obvodem o = kružice) Obě jsou mootóí omezeé, tedy kovergetí Je možé ukázt, že pro kždé pltí: o < π < o (9) víc lim o = π = lim o (30) Nyí vyjádříme -tý čle obou posloupostí ( ) o = o zákldě Xobr 7X, kterém je = zázorě jed str prvidelého -úhelík vepsého do kružice i jed str prvidelého -úhelík opsého kružici Prvidelý -úhelík je možé rozdělit rovormeých trojúhelíků, jejichž úhel proti zákldě (tj proti strě uvžového -úhelík) má velikost 360 Pro dlší odvozeí budou důležité prvoúhlé trojúhelíky APS CQS, které jsou vytvořey spuštěím výšky z bodu S stru AB resp CD Úhel 360 80 při vrcholu S má v obou trojúhelících velikost = ( ) Vzhledem k tomu, že chceme tímto výpočtem získt hodotu kostty π, eí možé vyjdřovt úhly v míře obloukové, tj v ásobcích π Tuto kosttu totiž máme určit bylo by mtemticky esmyslé chtít jí určit pomocí sm sebe Proto je uté hodoty úhlů vyjdřovt ve stupích obr 7 80 V prvoúhlém trojúhelíku APS pltí: si = = Odtud pro délku stry -úhelík vepsého 80 do kružice dostáváme = si pro obvod uvžového vepsého -úhelík pk pltí 80 (3) o = si 80 V prvoúhlém trojúhelíku CQS pltí: tg = = Odtud pro délku stry -úhelík opsého 80 kružici dostáváme = tg pro obvod uvžového opsého -úhelík pk pltí 80 (3) o = tg 80 80 Dosdíme-li yí vzthy X(3)X X(3)X do vzthu X(9)X, dosteme: si < π < tg, odkud po vyděleím soustvy erovic číslem dosteme 80 80 si π tg (33) < < Alogicky můžeme dosdit tké vzthy X(3)X X(3)X do vzthu X(30)X dosteme 80 80 lim si = π = lim tg Tyto vzthy můžeme dále postupě uprvit Nejdříve podle vzthu 8
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 80 80 X(5)X vytkeme z limit kosttu dosteme lim si = π = lim tg Po vyděleí touto kosttou získáme vzth 80 80 lim si = π = lim tg (34) Postupým doszováím z je možé určit π libovolý počet desetiých míst Npř pro = 0000 dostáváme π = 3,459, tj s přesostí pět desetiých míst V součsé době se přesé výpočty čísl π provádějí výkoých počítčích pomocí ekoečých řd (viz odstvec X33X), které byly pro te účel odvozey 33 7BVýpočet čísl e S Eulerovým číslem e jsme se již setkli v učivu o expoeciálích fukcích přirozeých logritmech Toto ircioálí číslo, které hrje důležitou roli při řešeí řdy plikčích úloh v přírodích vědách techice, lze defiovt tké pomocí limit poslouposti = =, 5 poslouposti: b = 4 b = 3, 375 Uvžujme posloupost ( ), = = + Určíme yí prvích ěkolik čleů této poslouposti: 3 =, 370370 4 =, 44406 0 =, 59374 00 =, 70483 000 =, 7693 0000 =, 7845 Je možé ukázt, že posloupost ( ) je rostoucí omezeá, je tedy i kovergetí Pltí: = Dále je možé uvžovt posloupost ( ) b 3 = 3,60494 b 4 = 3, 05758 (35) lim e = + b +, b = = + Určíme yí prvích ěkolik čleů této b 0 =,8537 b 00 =, 7386 b 000 =, 7964 b 0000 =, 7848 Je možé ukázt, že posloupost ( b ) je klesjící omezeá, je tedy i kovergetí A dále pltí = e = lim + N zákldě limit X(35)X X(36)X tedy pro všech tedy pltí + < e < + + lim + = e = lim + + +, proto Právě uvedeý výpočet čísl e koverguje k přesé hodotě e pomleji, ež výpočet čísl π uvedeý v odstvci X33X 333 8BVýpočet druhé odmociy reálých čísel Chceme-li vypočítt druhou odmociu z kldého reálého čísl, zvolíme ejprve kldé číslo x, jehož druhá moci je větší ež Pk je x větší ež číslo je meší ež Tj pltí x Pro číslo x tedy pltí x > Z toho plye, že x (36) (37) x x < < (38) > (čísl i x jsou kldá, proto eí uté psát ikde bsolutí hodotu) Vydělíme-li číslo číslem x, které je větší ež, dosteme číslo meší ež Pltí totiž: = - když budeme dělit číslem větším, ež je, získáme číslo meší ež x = Uvžujme dále posloupost ( ), která je dá rekuretě tkto: 9
x + = + x x O poslouposti defiové vzthem X(39)X lze dokázt, že pltí: pro kždé je x x < < ; poslouposti x = posloupost ( ) 3 posloupost ( ) 4 posloupost ( ) x = x = je klesjící; je omezeá; je kovergetí x = Skutečost, že je posloupost ( ) Poslouposti ( ) ( ) = x x + = Posloupost ( ) x + = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 (39) kovergetí vyplývá z předchozích dvou vlstostí této mjí stejou limitu, kterou ozčíme c pro kterou pltí lim x = lim x = c (40) se od poslouposti ( ) + x = liší pouze přečíslováím svých čleů o jedičku A vzhledem k tomu, že pro výpočet limity poslouposti je důležité chováí čleů poslouposti pro hodě velká, je zřejmé, že poslouposti ( ) ( ) = x x + = mjí stejou limitu Uvědomíme-li si, že pro hodě velká přirozeá čísl můžeme místo x x + doszovt c (jk vyplývá z limit X(40)X), můžeme defiičí vzth X(39)X poslouposti ( x ) psát ve tvru c = c = + Teto vzth c můžeme dále uprvit Vyásobeím dvěm dosteme c = + c Převedeím c levou stru získáme c = c c po vyásobeí eulovým c dosteme c =, tedy c = (4) Porováím vzthů X(40)X X(4)X zjistíme, že limitou posloupostí ( ) ( ) = jsme chtěli určit x x + = je číslo, které Při přibližém výpočtu druhé odmociy z čísl tedy stčí zvolit z prví čle poslouposti ( ) x = dé rekuretě vzthem X(39)X libovolé kldé číslo x, jehož druhá moci je větší ež Poté je možé již dopočítávt dlší čley pomocí vzthu X(39)X, které budou velmi rychle kovergovt ke hledému číslu Velmi rychle kovergovt zmeá, že se dé čley budou rychle blížit k hledé odmociě Tj čley vypočítávé poslouposti se rychle přestou prvích desetiých místech z desetiou čárkou měit Měit se budou číslice místě tisíci, desetitisíci, stotisíci, - podle toho, s jkou přesostí dou odmociu budeme chtít určit 3 BNevlstí limit poslouposti Pojem evlstí limity poslouposti vysvětlíme ilustrčím příkldu Ilustrčí příkld: Uvžujme posloupost ( ), = Zjistěte, pro která přirozeá čísl je = > 00 Řešeí: Podle zdáí je třeb vyřešit erovici: > 00 pro Exktí řešeí této erovice získáme zlogritmováím dekdickým logritmem, čím dosteme erovici ve tvru log > log00 Levou stru erovice uprvíme podle prvidel pro počítáí s logritmy, prvé strě vypočteme Získáme tk erovici log >, z íž již vyjádříme > 6,64 Řešeím této erovice je tedy kždé přirozeé číslo 7 log Nerovici > 00 můžeme řešit rychleji odhdem Uvědomíme-li si, že 6 = 64 7 = 8, je zřejmé, že erovice > 00 je splě pro 7 Uvedeá posloupost má tu vlstost, že bychom podobým způsobem mohli hledt čley poslouposti, 6 které jsou větší ež 000, 0, zkrátk větší ež jkékoliv reálé číslo, v kždém přípdě bychom šli přirozeé, od kterého dále jsou čley poslouposti vyšší ež zdé číslo 0
Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Alogickým postupem bychom mohli vyšetřovt př i posloupost ( b ), b = = 4 0,5 zkoumt, 9 kdy jsou její čley meší ež -00, 0, N zákldě právě uvedeých příkldů zákldě toho, že poslouposti jsou zvláštími přípdy fukcí, je možé zvést pojem evlstí limit poslouposti: Ř ÍKÁME, ŽE POSLOUPNOST ( ) = MÁ NEVLASTNÍ LIMITU PLUS NEKONEČ NO, PRÁVĚ KDYŽ PRO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO K EXISTUJE 0 TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA > K TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM P Ř IROZENÁ Č ÍSLA 0 JE lim = (4) Alogicky můžeme zvést evlstí limitu, která je rov Ř ÍKÁME, ŽE POSLOUPNOST ( ) = MÁ NEVLASTNÍ LIMITU MÍNUS NEKONEČ NO, PRÁVĚ KDYŽ PRO KAŽDÉ REÁLNÉ Č ÍSLO L EXISTUJE 0 TAKOVÉ, ŽE PRO VŠECHNA < L TUTO SKUTEČ NOST ZAPISUJEME ZÁPISEM P Ř IROZENÁ Č ÍSLA 0 JE lim = (43) Poslouposti, které mjí evlstí limitu jsou divergetí poslouposti Pro kždou posloupost ( ) stává právě jede z ásledujících přípdů: = posloupost je kovergetí její limitou je reálé číslo, tj pltí lim = ; posloupost je divergetí má evlstí limitu, tj pltí lim = ; 3 posloupost je divergetí má evlstí limitu, tj pltí lim = ; 4 posloupost je divergetí přitom emá i evlstí limitu i evlstí limitu ( ) Příkldem tkové poslouposti je př ( ) =, která stále měí zmék přitom její čley v bsolutí hodotě rostou Limitu le emá, protože pro velká evíme, jestli bude hodot dého čleu kldá ebo záporá 33 BNekoečá geometrická řd Pojem ekoečá řd velmi úzce souvisí s geometrickou posloupostí (viz odstvec XX) Ilustrčí příkld: Uvžujme geometrickou posloupost ( ), = = Vytvoříme yí dlší posloupost Půjde tedy o tk, by pro kždé byl její -tý čle rove součtu prvích čleů poslouposti ( ) posloupost ( ) s, s = = + + + Určete limitu této poslouposti = Řešeí: Vypočítejme yí prvích ěkolik čleů této poslouposti (s využitím toho, že posloupost ( ) je = 3 7 5 3 63 geometrická posloupost, což lze sdo dokázt): s =, s =, s 3 =, s 4 =, s 5 =, s 6 =, 4 8 6 3 7 s 7 =, Zdá se, že limit poslouposti ( ) 64 s je číslo To se dá dokázt pomocí vět o počítáí s = limitmi (viz odstvec X3X) Pro součet prvích čleů uvžové geometrické poslouposti ( ) = vzth X(9)X ve tvru q s = q postupými úprvmi získáme výsledý vzth: Po doszeí prmetrů poslouposti ( ) = s = = dosteme s pltí =
s = Hledou limitu uvžové poslouposti ( ) lim = lim = lim = ( 0 ) = s Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 tedy můžeme psát ve tvru Nyí můžeme vyslovit větu, která zobecňuje to, co jsme vypočítli v miulém kokrétím příkldě V Ě TA: J E-LI ( ) = q <, PAK POSLOUPNOST ( ) GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST, PRO JEJÍŽ KVOCIENT q PLATÍ s, s = = + + + JE KONVERGENTNÍ A PŘ ITOM PLATÍ lim s = q Důkz: Právě uvedeou větu je možé dokázt rozepsáím posloupostí ( ) ( ) = q lim = lim s q s = (44) vypočteím limity Důkz bude probíht stejě jko ilustrčí příkld tohoto odstvci, je budeme uvžovt obecé s = poslouposti ( ) ( ) = V úvodu tohoto odstvce jsme řešili úlohu, kdy jsme od zdé poslouposti ( ) = poslouposti ( s ), kde s = = + + + (jde tedy o součet prvích čleů poslouposti ( ) zkoumli jsme, zd je ově vytvořeá posloupost ( ) součtu ekoečé řdy s = přešli k = ), kovergetí V tomto přípdě hovoříme o určováí N EKONEČ NOU Ř ADOU SE NAZÝVÁ SYMBOL + + + + = = Nekoečou řdou se v mtemtice oprvdu zývá právě uvedeý součet Nekoečou řdou eí žádé číslo, fukce, je to prostě součet ekoečě moh čleů ějké poslouposti Nekoečá řd, která je zpsá ve formě právě uvedeého součtu, epředstvuje ve skutečosti příkld sčítáí, le příkld hledáí limity Neí totiž možé sečíst ekoečě moho sčítců Mohou stt dv přípdy: Posloupost ( s ) je kovergetí, pk říkáme, že ekoečá řd = X(45)X je kovergetí Limitu X(44)X ozčujeme symbolem s zýváme jí součet ekoečé řdy, přičemž tuto skutečost zpisujeme zápisem = s Posloupost ( ) = Je-li posloupost ( ) = s = je divergetí, pk říkáme, že ekoečá řd X(45)X je divergetí (45) geometrická její kvociet je q, zýváme příslušou ekoečou řdu X(45)X ekoečá geometrická řd s kvocietem q Z výše uvedeého vyplývá tto vět: V Ě TA: N EKONEČ NÁ GEOMETRICKÁ Ř ADA, PRO KTEROU JE 0, JE KONVERGENTNÍ, PRÁVĚ KDYŽ PRO JEJÍ KVOCIENT q PLATÍ q < V TOM PŘ ÍPADĚ PRO JEJÍ SOUČ ET PLATÍ s = q Teto vzth je velmi podobý vzthu pro součet prvích čleů geometrické poslouposti, le chybí v ěm čle q To je dáo tím, že uvžujeme NEKONEČNOU geometrickou řdu, pro jejíž kvociet q pltí q < A číslo meší ež jed umocěé velmi velké číslo je rovo skoro ule (je to mličké číslo ležící číselé ose v blízkosti uly) Pomocí ekoečé geometrické řdy můžeme řešit i určitý typ rovic (46)
4x 3 Příkld: Řešte v možiě reálých čísel rovici = x 3x 4 = Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Řešeí: Levou stru rovice ze zdáí si přepíšeme tk, bychom měli předstvu o jedotlivých čleech 0 4 ekoečé řdy: = + + + = + + + Ačkoliv je z tohoto zápisu jsě vidět, x x x x x = x čemu je rove kvociet dé geometrické poslouposti, je mtemticky korektější ho vyjádřit pomocí -tého ( + )-ího čleu geometrické poslouposti Ze zdáí úlohy je zřejmé, že = Z toho vyplývá, že x + = x Pro kvociet q geometrické poslouposti pltí + q = Po doszeí tedy dosteme: x q = = = x x x To je zřejmé i z rozpisu levé stry zdé rovice: kždý dlší čle je rove miulému čleu vyásobeému zlomkem Ale právě provedeé odvozeí je mtemticky korektější x Nyí si uvědomíme, že ekoečá geometrická posloupost je kovergetí (tj má součet vyjádřeý reálým číslem), pokud pro její kvociet q pltí q < To zmeá, že e pro všech reálá x bude mít ekoečá geometrická řd ze zdáí úlohy defiový součet T reálá x, pro které existuje reálý součet (tj zdá posloupost je kovergetí) musí splňovt podmíku x < Tuto erovici postupě vyřešíme: x < tedy x > To zmeá, že pouze pro x ( ; ) ( ; ) má ekoečá geometrická řd součet tedy pouze tomto itervlu můžeme řešit dou rovici Pro součet ekoečé geometrické řdy, jejíž prví čle je q = tedy dostáváme: x x s = = = = Nyí už můžeme řešit zdou rovici: q x x x x = 4x 3 = x 3x 4 x 4x 3 = x 3x 4 3x 4x = 4x 3x 8x+ 6 x 7x+ 6= 0 ( x )( x ) 6 = 0 Dostáváme tedy dv kořey to x = x = 6 4 Nyí je uté určit defiičí obor dé rovice Ze zdáí je zřejmé, že musí být x 0 zároveň x 3 Součsě le musíme vzít v úvhu podmíku, která zručí, že zdá ekoečá řd bude kovergetí, tj x ; ; podmíku ( ) ( ) Nyí již můžeme vyslovit závěr: O =, D = ( ; ) ( ; ) { 6} P = 3