GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového středového úhlu, terému na jednotové ružnici odpovídá oblou dély. Poznáma: Jednotová ružnice je ružnice s poloměrem o veliosti jedna. 80 rad 60 rad 60. rad α. rad ---------------------------------- 60 80 α rad 57,9578 57 7 45 Převodové vzorce: α úhel ve stupních β úhel v radiánech převod z radiánů na stupně převod ze stupňů na radiány β 80 α α β 80 stupně 0 45 60 90 0 50 80 0 40 70 00 0 60 radiány 6 4 5 6 7 6 4 5 6
Znaména goniometricých funcí v jednotlivých vadrantech Jednotová ružnice: sin - II. III. 0 I. IV. cos. vadrant... ( 0, 90 ). vadrant... ( 90, 80 ). vadrant... ( 80, 70 ) - 4. vadrant... ( 70, 60 ) I. II. III. IV. sin + + - - cos + - - + tg + - + - cotg + - + - Tabula hodnot goniometricých funcí 0 45 60 sin cos tg cotg
Vlastnosti goniometricých funcí Funce y sin Graf: Zdroj obr.: www.vysoesoly.cz/.../geometricefunce.htm Vlastnosti funce: periodicá s periodou (60 ) D ( f ) R H ( f ), +, + sin sin rostoucí: +, + lesající: lichá funce: ( ) ( ) omezená shora i zdola má maimum i minimum, Z, Z, graf funce je souměrný podle počátu soustavy souřadnic
Funce y cos Graf: Zdroj obr.: www.vysoesoly.cz/.../geometricefunce.htm Vlastnosti funce: periodicá s periodou (60 ) D ( f ) R H ( f ),, Z 0, Z cos cos rostoucí: +, + lesající: +, + sudá funce: ( ) ( ) omezená shora i zdola má maimum i minimum, graf funce je souměrný podle osy y
Funce y tg Graf: Zdroj obr.: www.vysoesoly.cz/.../geometricefunce.htm Vlastnosti funce: periodicá s periodou (80 ) D( f ) H ( f ) R R +, Z rostoucí: +, + tg tg lichá funce: ( ) ( ) není omezená nemá maimum, ani minimum, Z, graf funce je souměrný podle počátu soustavy souřadnic
Funce y cotg Graf: Zdroj obr.: www.vysoesoly.cz/.../geometricefunce.htm Vlastnosti funce: periodicá s periodou (80 ) D( f ) R { }, Z H ( f ) R lesající: (, + ), Z lichá funce: cot g( ) cot g( ) souřadnic není omezená nemá maimum, ani minimum, graf funce je souměrný podle počátu soustavy
Záladní vztahy mezi goniometricými funcemi: sin cos cos sin tg cot g cot g tg sin + cos cos cot g sin sin tg tg cot g cos Vzorce pro dvojnásobný argument: sin sin cos cos cos sin cot g cot g cot g tg tg tg Vzorce pro poloviční argument: sin cos + cos cos cos tg + cos cot g + cos cos Součtové vzorce: sin cos ( ± y) sin cos y ± cos sin y tg( ± y) ( ± y) cos cos ym sin sin y cot g( ) tg ± tgy m tg tgy cot g cot gym ± y cot g ± cot gy Vzorce pro součet a rozdíl goniometricých funcí: + y y sin + sin y sin cos + y y cos + cos y cos cos ( ± y) sin tg ± tgy cos cos y + y y sin sin y cos sin + y y cos cos y sin sin ( ± y) sin cot g ± cot gy ± sin sin y
Goniometricé rovnice Jsou rovnice, v nichž se vysytují goniometricé funce neznámého úhlu. Každý úhel, terý vyhovuje rovnici, je řešením rovnice.. Záladní goniometricé rovnice: Řešené úlohy: Přílad : Řešte v množině R rovnici cos Řešení: cos podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel Do 4. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 60 60 z tabuly zjistíme pomocný úhel I. vadrant: 60 + 60 IV. vadrant: 00 + 60 Z perioda funce osinus je 60 funce osinus je ladná v. a 4. vadrantu Přílad : Řešte v množině R rovnici sin Řešení: sin Do. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel přičteme 80 podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel Do 4. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 60 45 z tabuly zjistíme pomocný úhel III. vadrant: 5 + 60 IV. vadrant: 5 + 60 Z perioda funce sinus je 60 funce sinus je záporná ve. a 4. vadrantu
Přílad : Řešte v množině R rovnici tg Řešení: tg podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel Do. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 80 Do 4. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 60 0 z tabuly zjistíme pomocný úhel 50 + 80 0 + 80 perioda funce tangens je 80 II. vadrant: funce tangens je záporná ve. a 4. vadrantu IV. vadrant: 50 + 80 Z Obě řešení leží na přímce můžeme je nahradit jedním řešením. Goniometricé rovnice řešené substitucí: Řešené úlohy: Přílad : Řešte v množině R rovnici cos Řešení: t zavedeme substituci (nahrazení) cost přepíšeme rovnici pomocí substituce podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel Do. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 80 Do. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel přičteme 80 0 z tabuly zjistíme pomocný úhel II. vadrant: t 50 + 60 funce osinus je záporná ve. a. vadrantu
III. vadrant: t 0 + 60 perioda funce osinus je 60 t t ze substituce vyjádříme t 75 + 80 t 05 + 80 do substituce dosadíme zpět za t Z Přílad : Řešte v množině R rovnici sin Řešení: t zavedeme substituci (nahrazení) sin t přepíšeme rovnici pomocí substituce t 70 + 60 úhel zjistíme z jednotové ružnice perioda funce sinus je 60 t t + t + 6 do substituce dosadíme zpět za t 5 + 60. Další typy goniometricých rovnic: Přílad : Řešte v množině R rovnici Řešení: sin sin cos sin sin cos 0 sin cos ( ) 0 sin sin Použijeme vzorec sin sin cos levou stranu rovnice vyjádříme ve tvaru součinu sin 0 cos 0 dostaneme goniometricé rovnice sin 0 0 + 80 úhel zjistíme z jednotové ružnice obě řešení (úhly 0 a 80 ) leží na p římce můžeme je nahradit jedním řešením
cos 0 cos podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel Do 4. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 60 60 z tabuly zjistíme pomocný úhel I. vadrant: 60 + 60 IV. vadrant: 00 + 60 Z perioda funce osinus je 60 funce osinus je ladná v. a 4. vadrantu Rovnice má řešení: 0 + 80 60 + 60 00 + 60 Přílad : Řešte v množině R rovnici tg 7tg + 0 0 Řešení: součin tg t zavedeme substituci (nahrazení) t 7t + 0 0 přepíšeme rovnici pomocí substituce t t 5 vadraticou rovnici řešíme rozladem na ( ) ( ) 0 t 5 t do substituce dosadíme zpět za t tg tg 5 dostaneme goniometricé rovnice tg funce tangens je ladná v. a. vadrantu podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel obě řešení leží na přímce stačí napsat řešení v. vadrantu I. vadrant: 6 7 + 80 pomocný úhel zjistíme pomocí alulačy
tg 5 funce tangens je ladná v. a. vadrantu podle znaména před číslem určíme vadranty podle hodnoty určíme pomocný úhel I. vadrant: 78 4 + 80 pomocný úhel zjistíme pomocí alulačy obě řešení leží na přímce stačí napsat řešení v. vadrantu Zadaná rovnice má řešení: 6 7 + 80 78 4 + 80 + Přílad : Řešte v množině R rovnici sin cos 4sin 0 Řešení: sin sin sin ( sin ) + sin 4sin + 0 4sin + 0 4sin + 0 Upravíme rovnici ta, aby obsahovala jen funci Použijeme vzorec cos sin sin t t 4t + 0 D b 4 a c D 6 4 4 b ± D t, a 4 ± 4 t, 6 4 + t 6 t 4 6 zavedeme substituci přepíšeme rovnici pomocí substituce vyřešíme vadraticou rovnici do substituce dosadíme zpět za t sin sin dostaneme goniometricé rovnice řešení zjistíme na jednotové ružnici 90 + 60 perioda funce sinus je 60
podle znaména před číslem určíme vadranty sin podle hodnoty určíme pomocný úhel Do. vadrantu se dostaneme ta že, pomocný úhel odečteme od 80 9 8 pomocný úhel zjistíme pomocí alulačy 9 8 + 60 funce sinus je ladná v. a. vadrantu 60 + 60 perioda funce sinus je 60 I. vadrant: II. vadrant: Zadaná rovnice má řešení: 90 + 60 9 8 + 60 60 + 60 ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU SINOVÁ VĚTA: Poměr déle stran v trojúhelníu ABC je roven poměru sinu úhlů, teré leží proti těmto stranám. a sinα b sin β a sinα a b b c a c Jiný zápis: b sin β c sinγ c sin γ sinα sin β sin β sinγ sinα sin γ Poznáma: Při použití věty musíme vzít v úvahu možnost dvou řešení (napřílad sin / 0, 50 ) a na záladě trojúhelníové nerovnosti a věty o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníu rozhodnout o počtu řešení. KOSINOVÁ VĚTA: V trojúhelníu ABC se stranami a, b c a jeho vnitřními úhly a, platí: α β, γ b + c bc cosα b a + c ac cos β c a + b ab cosγ Větu většinou používáme v případě, dy jsou dány dvě strany trojúhelníu a úhel, terý svírají, a chceme zjistit délu zbývající strany. OBSAH TROJÚHELNÍKU ABC: S ab sin γ, S bcsinα, S acsin β PRO POLOMÉR KRUŽNICE OPSANÉ ABC PLATÍ: a b c r sinα sin β sinγ
UŽITÍ TRIGONOMETRIE Trigonometrie je oblast goniometrie zabývající se užitím goniometricých funcí při řešení úloh o trojúhelnících. Řešené úlohy: Přílad : V jaém zorném úhlu se jeví předmět 70 m dlouhý pozorovateli, terý je od jednoho jeho once vzdálen 50 m a od druhého once 80 m? Řešení: 80 m α 70 m 50 m 70 80 + 50 80 50 cosα úhel zjistíme pomocí osinové věty 80 50 cosα 80 + 50 70 8000 cosα 6400 + 500 4900 8000 cosα 4000 cos α α 60 Pozorovatel vidí předmět v zorném úhlu 60. Přílad : Cíl C je pozorován ze dvou dělostřelecých pozorovatelen A, B, teré jsou od sebe vzdáleny 975 m, přitom je veliost úhlu α 6 a veliost úhlu 48. Vypočítejte vzdálenost AC. β Řešení: C Vypočítáme úhelγ : γ 80 - (6 +48 ) 69 A 6 48 975 m B sin 48 975 sin 69 sin 48 975 sin 69 776m Vzdálenost AC měří přibližně 776 metrů. Vzdálenost zjistíme pomocí sinové věty. Poměr déle stran je roven poměru sinu úhlů, teré leží proti těmto stranám
Přílad : Na vrcholu opce stojí rozhledna 5m vysoá. Patu i vrchol vidíme z určitého místa v údolí pod výšovými úhly o veliosti 8 a. Ja vysoo je vrchol opce nad rovinou pozo rovacího místa? Řešení: V 59 5 m P y 8 P... pata rozhledny V... vrchol rozhledny L... pozorovací místo K L ( 90 + ) 80 59 Z trojúhelníu KLV vypočítáme úhel u vrcholu V y sin 59 5 sin sin 59 Poměr déle stran je roven y 5 sin poměru sinu úhlů, teré leží proti těmto stranám sin 59 y 5 sin y 57, m sin 8 57, 57, sin 8 69, m + 5 69, + 5 04, m Z trojúhelníu PLV pomocí sinové věty zjistíme y Vrchol opce je 04, metrů nad rovinou pozorovacího místa.
PRACOVNÍ LIST. Následující úhly uveďte v oblouové míře: 0 0 0 60 0 5 40 45 60 50 70 5 90 80 0 70. Veliosti úhlů dané v míře stupňové vyjádřete v míře oblouové: 56 8 5 54 7 6 5 05. Veliosti úhlů dané v míře oblouové vyjádřete v míře stupňové: 4 5 7 0 5 4 9 0,6 0,64,7,58,4
. Vypočtěte bez pomocí alulačy: PRACOVNÍ LIST první část a) sin 0 b) cos ( 80 ) c) tg 40 d) cot g ( 00 ) e) tg 5 f) sin 0 g) cos 40 5 sin 6 cos 4 h) i) 5 tg 4 cot g 4 cos 7 sin 4 cot g j) ) l) m) n). Pomocí alulačy zjistěte: a) sin 4 5 b) cos 7 4 c) sin (- 6 ) d) sin e) sin 4, f) tg 5 6 g) tg(- 60 ) h) tg 475. Vypočtěte bez použití alulače: a) tg 0 cot g0 sin 0 tg60 4 sin b) cos + 8 tg c) a sin + b cos0 + ab cos d) cos + 6 cot g 5 sin
PRACOVNÍ LIST druhá část 0 sin cos e) tg + cot g 9 cot g tg cot g tg 7 8 f) ( ) g) tg cot g 4 4 sin cos( 4 ) 4 h) tg cot g 6 i) sin cos cos sin cos sin cos 4 4 j) 4 6 ) tg cot g
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ I.. Načrtněte grafy funcí: a) y sin + h) y sin + b) y sin + i) y sin + 4 c) y sin * j) y sin * ) y sin d) y sin e) y sin * l) y sin + 6 f) y cos 4 * m) y cos g) y cos * n) y cos +. Zjednodušte následující výrazy a uveďte podmíny, za terých jsou definovány: a) cos + sin + cos + cos b) ( )( ) c) d) + tg + cot g sin sin cos cos sin + cot g sin tg + tg e) f) g) ( sin + cos ) sin cos h) sin cos + sin cos sin + cos + sin i) ( ) ( ) j) 4 sin sin 4 cos cos sin cot g + sin ) l) cos tg + cos m) cos ( tg + cot g) n) o) p) q) cos cos + sin + sin cot g + tg + cot g sin + cos + + cos sin tg + cot g + tg r) ( sin + cos ) sin s) cos + sin t) u) v) + sin cos sin cos cos cos + sin + cos
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ II.. Uveďte podmíny, za terých jsou následující rovnosti definovány, a pa je doažte: sin + cos sin cos tg sin tg sin + tg cos + cot g sin tg sin tg sin cot g sin cot g + + tg + cot g + ( ) a) b) c) d) e) f) g) h) cos tg cot g sin cos i) j) tg + tg cot g + cot g sin cos sin + cos + tg cot g sin tg cos cos sin cot g sin ) l) + sin sin + cos + cos n) cot g sin sin + sin o) tg + cos + cos sin cos cot cos sin tg q) cos + tg m) ( ) p) g. Určete hodnoty zbývajících goniometricých funcí, aniž byste zjišťovali veliost úhlu: a) sin,, 5 b) tg, 0, c) d) 4 cos, 0, 5 7 cot g,, 4. Zjednodušte (použitím součtových vzorců a vzorců pro součet a rozdíl goniometricých funcí): a) sin + b) cos c) cos cos + 6 6 d) sin + sin 4 4 4. Vypočtěte (použitím součtových vzorců a vzorců pro součet a rozdíl goniometricých funcí): a) b) sin 65 + sin 5 cos80 + cos 40 cos50 cos70 sin 70 sin 50 c) cos 76 cos64 + sin 76 sin64 d) sin 88 cos 60 + cos88 sin 60 e) cos 54 cos4 + sin 54 sin4 f) cos54 cos 746
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ III.. Řešte rovnice: a) sin b) cos c) sin( ) + cos cos cos tg + tg d) 0 e) 0 f) 0 g) tg sin cos h) 0 i) sin 4 sin + cos tg + cot g j) 0 ) 0 l) tg + 4cos 7 m) sin sin 0 n) 4cos cos o) sin + sin 0 p) cos + sin cos q) sin cos + sin 0 *. Řešte rovnice: sin cos sin a) ( ) b) ( sin + cos ) c) sin cos + cos sin 4cos d) ( ) e) cos sin f) sin cos g) cos sin *. Řešte nerovnice: a) sin sin < 0 b) c) tg d) g cot >
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ IV.. Určete dély všech stran a veliosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníu ABC, je-li dáno: a) c 0cm, α 45, β 05 b) a, 6dm, c 9dm, α 65 0 c) a 5cm, b 6cm, c 7cm d) b 64mm, c 9mm, α 47 e) a 8cm, b 48cm, α 7 f) b 5cm, c 5cm, γ 45, b 6, 8cm, γ 60 g) a, 4cm. Vypočítejte obvod trojúhelníu, terý je vepsán do ružnice o poloměru 5 cm a jehož vnitřní úhly mají veliosti 45 a 60.. Vypočítejte obsah trojúhelníu ABC, je-li a 5, cm β., α 6, 8 4. Vypočítejte poloměr ružnice opsané trojúhelníu ABC, je-li a 6, 5cm a : β : γ : : 4 α. 5. Z pozorovatelny 5 m vysoé a vzdálené 0 m od břehu řey se jeví šířa řey v zorném úhlu 5. Vypočtěte šířu řey. 6. Letadlo letí ve výšce 500 m pozorovatelně. V oamžiu prvního měření bylo vidět pod výšovým úhlem α 8, při druhém měření pod výšovým úhlem β 50. Určete vzdálenost, terou letadlo proletělo mezi oběma měřeními. 7. Sílu o veliosti F 465 N rozložte na dvě složy ta, aby s ní svíraly úhly o veliostech α 69 0 a 74 0. Vypočítejte veliosti slože. β 8. Ze dvou míst K, L na vodorovné rovině vzdálených od sebe, m byl pozorován mra nad spojnicí obou míst ve svislé rovině ve výšových úhlech α 78 40 a 6 50. Ja vysoo byl mra? 9. Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výšovém úhlu α 9. Přijdeme-li směrem jeho patě o 50 m blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výšovém úhlu β 58 4. Ja vysoá je věž? β