7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné vnásobit dva vektor a získat opět vektor? Co b takové násobení muselo pro výsledek určit? Takové násobení musí jednoznačně určit výsledný vektor, ted jednak velikost (jako u násobení čísel a skalárního násobení vektorů) a poté směr (to je novinka) Takový postup eistuje a nazývá se vektorový součin Nejdříve si řekneme jeho význam a pak se ho naučíme spočítat pomocí souřadnic Př : Rozhodni, zda následující definice může být použita jako definice vektorového součinu dvou vektorů: Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce, je nulový vektor Vektorový součin dvou vektorů u, v, které neleží na jedné přímce, je vektor w, který má tto vlastnosti: Vektor w je kolmý k oběma vektorům u, v Platí: w u v sinα, kde α je úhel vektorů u a v Vektorový součin w vektorů u a v značíme u v, ted w u v Předchozí definice není správná Vektor w podle ní není určen jednoznačně Pokud b vektor u a v ležel ve vodorovné rovině, mohl b výsledný vektor w směřovat buď svisle vzhůru nebo svisle dolů w v u w Do definice musíme doplnit pravidlo, které b jednu z možností zakázalo například, že vektor tvoří pravotočivou bázi Správná definice vektorového součinu Vektorový součin dvou vektorů, které leží na jedné přímce, je nulový vektor Vektorový součin dvou vektorů u, v, které neleží na jedné přímce, je vektor w, který má tto vlastnosti: Vektor w je kolmý k oběma vektorům u, v Vektor u, v, w tvoří pravotočivou bázi
Platí: w u v sinα, kde α je úhel vektorů u a v Vektorový součin w vektorů u a v značíme u v, ted w u v Upozornění: Eistují dva způsob násobení vektorů: skalární součin (výsledek číslo) u v, vektorový součin (výsledek vektor) u v, proto při zápisu záleží na tom, který znak píšeme Při jeho záměně totiž počítáme něco úplně jiného Pedagogická poznámka: Předchozí upozornění není zbtečné Studenti oba tp v zápisu často zaměňují (a dělají to bohužel i po upozornění) Př : Rozhodni, zda je vektorové násobení komutativní Vektorové násobení není komutativní, pokud prohodíme pořadí vektorů u a v, obrátí se směr výsledného vektoru w Pro každé vektor u, v platí v u u v Př : Navrhni důvod, proč je vektorovým součinem vektorů ležících na jedné přímce nulový vektor Směrů kolmých k jedné přímce je v prostoru nekonečně mnoho vektorový součin b nebl jednoznačně určitelný Pro vektor na jedné přímce platí: α 0 w u v sinα u v sin 0 0 Podíváme se na velikost vektorového součinu w u v sinα opačný vzorec než u skalárního součinu, čím větší úhel mezi vektor, tím větší výsledek vektorového součinu Jaký má geometrický význam? V R v v sina P u U Geometrický význam: součin w u v sinα udává obsah rovnoběžníku PURV Př 4: Pomocí geometrického významu čísla w u v sinα rozhodni, jak se změní vektorový součin pokud: a) k vektoru v přičteme násobek vektoru u, b) pokud jeden z vektorů vnásobíme reálným číslem k a) k vektoru v přičteme násobek vektoru u Vektorový součin se nezmění, protože se nezmění ani obsah rovnoběžníku PURV
V R v P u U Rovnoběžník se přičtením násobku nakloní, ale jeho obsah zůstane stejný b) pokud jeden z vektorů vnásobíme reálným číslem k Rozdělíme si podle znaménka k k > 0 Pokud jeden z vektorů vnásobíme kladným číslem k, změní se jeho velikost k krát, úhel mezi vektor se nezmění vektorový součin se vnásobí číslem k k 0 Pokud jeden z vektorů vnásobíme 0, bude mít nulovou velikost vektorový součin bude nulový vektorový součin se vnásobí číslem k k < 0 Pokud jeden z vektorů vnásobíme záporným číslem k, změní se jeho velikost k krát a jeho směr se obrátí, úhel mezi vektor se nezmění vektorový součin se zvětší k krát a obrátí se jeho směr vektorový součin se vnásobí číslem k Ve všech případech platí, že vektorový součin se vnásobí číslem k Pedagogická poznámka: Pokud je málo času, doporučuji bod b) konstatovat bez delšího rozebírání Odpovídá běžné studentské představě Podobně jako u ostatních součinů i u vektorového usnadňují počítání speciální vlastnosti Př 5: Doplň větu Pro každé vektor a, b, c a pro každé číslo t R platí: + a tb a) a ( b c ) b) ( ) Pro každé vektor a, b, c a pro každé číslo t R platí: a b + c a b + a c, ( ) ( t ) ( t ) t ( ) a b a b a b Vztah dokážeme později Teď konečně odvodíme vztah pro vektorový součin pomocí souřadnic Zvolíme si kartézskou pravotočivou soustavu souřadnic Oz Os mají takový směr, ab vektor, které mají jejich směr, tvořil pravotočivou bázi Každý vektor můžeme v této soustavě vjádřit pomocí jednotkových vektorů se směru jednotlivých os Značíme je: e ( ;0; 0) (nebo také e ), ( 0;; 0) ( ) e (nebo také e ), e 0; 0; (nebo také e z )
Př 6: Nakresli obrázek kartézské soustav souřadnic Oz a vznač do ní vektor e, e a z e e e e Př 7: Urči vektorové součin e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e : součin dvou stejných (rovnoběžných) vektorů e e o e e : dva různoběžné vektor jejich vektorový součin je nenulový, velikost: w u v sinα e e sin 90 půjde opět o jednotkový vektor, z e e směr: vektor e, e, w tvoří pravotočivou bázi: vektor w má stejný směr jako osa z hledaným vektorem je vektor e (má jednotkovou velikost a směr os z) e e e e e : dva různoběžné vektor jejich vektorový součin je nenulový, velikost: w u v sinα e e sin 90 půjde opět o jednotkový vektor, e 4
z e směr: vektor e, e, w tvoří pravotočivou bázi: vektor w má opačný směr než osa hledaným vektorem je vektor e (má jednotkovou velikost a směr opačný k ose os ) e e e Stejným způsobem určíme ostatní součin e e o e e e e e e e e e e e o e e e e e e e e e e e o Pedagogická poznámka: Součin e e určí studenti většinou sami, součin e e je potřeba většině z nich ukázat (proto s ním u tabule příliš nečekám), zbtek pak již dopočítají Někteří mají potíže se znaménk Například vektor ( ;; ) u můžeme napsat jako u e + e e Vjádříme vektor a a b pomocí vektorů e, e, e ( ; ; ) ( ; ; ) a a a a a e + a e + a e b b b b b e + b e + b e Teď oba vektor vnásobíme a použijeme pravidla na roznásobení a b a e + a e + a e b e + b e + b e ( ) ( ) a e b e + a e b e + a e b e a e b e + a e b e + a e b e a e b e + a e b e + a e b e Přerovnáme pořadí čísel a vektorů v součinech a b e e + a b e e + a b e e ( ) ( ) ( ) ( e e ) + ( e e ) + ( e e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) a b a b a b a b + a b + a b Spočítáme vektorové součin v závorkách (podle tabulk výše) e e 5
( ) ( ) a b o + a b e + a b e ( ) a b e + a b o + a b e a b e + a b e + a b o Dáme k sobě násobk stejných vektorů a b a b e + a b a b e + a b a b e ( ) ( ) ( ) Teď už můžeme snadno určit souřadnice vektoru ( a b a b ; a b a b ; a b a b ) a b Př 8: Vzorec pro výpočet vektorového součinu ze souřadnic je velmi složitý Zkus najít mnemotechnickou pomůcku pro jeho zapamatování Řešení na začátku příští hodin Pedagogická poznámka: Předchozí odvození samozřejmě nezkouším a může se zdát zbtečné (vektorové součin budou studenti v příští hodině počítat samozřejmě jinak) Na druhou stranu pokud ho studenti dělají sami a neopisují ho z tabule je to krásný příklad zdlouhavého výpočtu náročného na přesnost Pokud odvození nestihneme dopočítat do konce, nic se neděje Příští hodinu se k němu nevracíme, jenom ho ukážu s projektoru Kdo o něj stojí dodělá si ho sám, pro ostatní velkou cenu nemá Shrnutí: Vektorovým součin dvou nerovnoběžných vektorů získáme vektor na oba kolmý 6