Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) z přispění finnčních prostředků EU státního rozpočtu České republiky. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 1 / 32
Obsh 1 Určitý (Riemnnův) integrál Definice vlstnosti Výpočet Aplikce 2 Wolfrm Alph c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 2 / 32
Definice vlstnosti Definice (Dělení intervlu) Uvžujme uzvřený intervl I = [, b], < < b <. Dělením intervlu I rozumíme konečnou posloupnost D = {x 0, x 1,..., x n } bodů z intervlu I tkových, že = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. čísl x 0, x 1,..., x n nzýváme děĺıcí body. Normou ν(d) dělení D rozumíme mximální vzdálenost sousedních děĺıcích bodů, tedy ν(d) = mx{x i x i 1, i = 1,..., n}. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 4 / 32
Definice vlstnosti Definice (Integrální součet) Necht f je funkce definovná ohrničená n uzvřeném intervlu I = [, b] necht D = {x 0, x 1,..., x n } je dělení intervlu I R = {ξ 1, ξ 2,..., ξ n } je posloupnost čísel z intervlu I tkových, že Potom součet x i 1 ξ i x i, i = 1,..., n. σ(f, D, R) = n f (ξ i )(x i x i 1 ) nzýváme integrální součet funkce f příslušný dělení D výběru reprezentntů R. i=1 c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 5 / 32
Definice vlstnosti c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 6 / 32
Definice vlstnosti Jk je vidět n předchozím obrázku, geometricky je integrální součet kldné funkce roven součtu obshů obdélníků, jejichž zákldny mjí délku rovnu délce jednotlivých podintervlů v dělení D jejichž výšk je rovn funkční hodnotě v reprezentntu z příslušného podintervlu. Je-li funkční hodnot v reprezentntu záporná, tedy obdélníček je pod osou x, potom je smozřejmě příspěvek tohoto obdélníčku (podintervlu) do integrálního součtu záporný. Obecně je tedy integrální součet roven součtu obshů obdélníků nd osou x zmenšený o obsh obdélníků pod ní. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 7 / 32
Definice vlstnosti c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 8 / 32
Definice vlstnosti Definice (Určitý (Riemnnův) integrál) Necht f je funkce definovná ohrničená n uzvřeném intervlu I = [, b]. Dále necht D n je posloupnost dělení intervlu I tková, že lim n ν(d n ) = 0 R n posloupnost reprezentntů z těchto dělení. Řekneme, že funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n I, jestliže existuje číslo R R tkové, že lim σ(f, D n, R n ) = R. n Číslo R nzýváme Riemnnův (určitý) integrál funkce f n intervlu I znčíme jej f (x) dx. Číslo nzýváme dolní mez číslo b horní mez Riemnnov integrálu. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 9 / 32
Definice vlstnosti Riemnnův integrál tedy pro funkci f spojitou n intervlu I = [, b] získáme tkto: Intervl rozděĺıme n podintervly. Z kždého podintervlu vybereme reprezentnt určíme integrální součet. Dělení zjemníme (vybereme nové dělení s menší normou) postup opkujeme. Dělení zjemňujeme dokud se integrální součty neustáĺı. Hodnot, n které se ustáĺı je Riemnnův integrál funkce f n intervlu I. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 10 / 32
Definice vlstnosti Vět (Aditivit vzhledem k mezím) Necht f je funkce integrovtelná n intervlu [, b] necht c (, b). Potom je f integrovtelná n intervlech [, c] [c, b] pltí f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. c c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 11 / 32
Definice vlstnosti Vět (Linerit vzhledem k funkci) Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu [, b] necht c R. Pk pltí [ f (x) + g(x) ] dx = cf (x) dx = c f (x) dx + g(x) dx, f (x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 12 / 32
Definice vlstnosti Definice Necht < b. b f (x) dx = f (x) dx, f (x) dx = 0. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 13 / 32
Definice vlstnosti Vět (Monotonie vzhledem k funkci) Necht f g jsou funkce integrovtelné n intervlu [, b] tkové, že pro x (, b) je f (x) g(x). Pk pltí f (x) dx g(x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 14 / 32
Definice vlstnosti Důsledek (Integrál z nezáporné funkce) Uvžujeme-li v předchozí větě f 0 dostneme, že integrál z funkce nezáporné n celém intervlu, přes nejž integrujeme, je nezáporný. Poznámk Obdobné tvrzení sndno obdržíme pro funkci nekldnou. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 15 / 32
Definice vlstnosti Vět (Postčující podmínky integrovtelnosti) Funkce f je Riemnnovsky integrovtelná n intervlu I = [, b], jestliže splňuje spoň jednu z následujících podmínek. Funkce f je n I spojitá. Funkce f je n I monotonní. Funkce f je n I ohrničená má n I konečný počet bodů nespojitosti. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 16 / 32
Výpočet Vět (Newton Leibnizov formule) Necht je funkce f Riemnnovsky integrovtelná n intervlu I = [, b]. Dále necht je funkce F n intervlu (, b) primitivní funkce k funkci f je spojitá n I. Pk pltí f (x) dx = [ F (x) ] b = F (b) F (). 5 2 [ x x 2 3 dx = 3 ] 5 2 = 53 3 ( 2)3 3 = 133 3. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 18 / 32
Výpočet Vět (Metod per prtes pro určitý integrál) Necht jsou funkce u, v jejich derivce spojité n intervlu [, b]. Pk pltí u(x)v (x) dx = [ u(x)v(x) ] b u (x)v(x) dx. 3 1 u = ln x x ln x dx = v = x = ( 9 2 ln 3 1 ) 2 ln 1 1 2 = 9 2 ln 3 1 2 u = 1 [ x x 2 v = x2 2 = 2 ln x 3 1 x dx ( 9 2 1 ) = 9 2 2 ln 3 2 ] 3 1 3 1 x 2 1 x 2 dx c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 19 / 32
Výpočet Vět (Substituční metod pro určitý integrál) Necht jsou funkce f, ϕ ϕ spojité n příslušných intervlech necht je funkce ϕ ryze monotonní. Pk pltí f (ϕ(x))ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f (t) dt, f (x) dx = ϕ 1 (b) ϕ 1 () f (ϕ(t))ϕ (t) dt. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 20 / 32
Výpočet 5 1 t = 2x 1 x = 5 t = 9 2x 1 dx = dt = 2 dx x = 1 t = 1 dx = 1 2 dt = 9 1 t 1 2 dt = 1 2 9 = 1 2 [ ] t 3 9 2 2 3 = 1 26 (27 1) = 1 3 3 1 [ ] t 1 1 t 3 9 2 2 dt = 2 3 2 1 c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 21 / 32
Výpočet 1 0 t = 5 2x 3 x = 1 t = 3 x 2 (5 2x 3 ) 4 dx = dt = 6x 2 dx x = 0 t = 5 x dx = 1 6 dt = = 1 6 3 5 ( t 4 1 ) dt = 1 6 6 [ t 5 5 ] 5 3 3 5 t 4 dt = 1 6 5 = 1 30 (55 3 5 ) = 2882 30 = 1441 15 3 t 4 dt c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 22 / 32
Aplikce Ploch podgrfu kldné funkce n intervlu [, b]: f (x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 24 / 32
Aplikce Ploch mezi grfem funkce f osou x n intervlu [, b]: f (x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 25 / 32
Aplikce Příkld Určete plochu ohrničenou grfem funkce f (x) = x 2 x 2 osou x n intervlu I = [ 2, 3]. Protože x 2 x 2 = 0 má kořeny x 1 = 1 x 2 = 2, sndno zjistíme, že funkce f je n intervlu I kldná pro x ( 2, 1) (2, 3) záporná pro x ( 1, 2). P = = 3 2 1 f (x) dx 2 3 + f (x) dx + 2 =... = 49 6 f (x) dx 2 1 ( f (x)) dx c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 26 / 32
Aplikce Délk křivky grfu funkce f n intervlu [, b]. l = 1 + f 2 (x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 27 / 32
Aplikce Objem povrch pláště rotčního těles (rotce nezáporné funkce f kolem osy x n intervlu [, b]). P = 2π f (x) 1 + f 2 (x) dx, V = π f 2 (x) dx. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 28 / 32
Aplikce Příkld Určete plochu ohrničenou grfy funkcí f (x) = x 2 + 1 g(x) = x + 3. f (x) = g(x) x 2 + 1 = x + 3 x 2 x 2 = 0 x 1 = 1, x 2 = 2 2 1 g(x) f (x) dx = 2 1 (x+3) (x 2 +1) dx = 2 1 2+x x 2 dx =... = 9 2. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 29 / 32
Aplikce Příkld Určete objem těles vzniklého rotcí plochy omezené grfy funkcí f (x) = x 2 + 1 g(x) = x + 3 kolem osy x. 2 V = π = π = 1 2 1 2 1 2 g 2 (x) dx π f 2 (x) dx 1 (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx 8 + 6x x 2 x 4 dx =... = 117 5. c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 30 / 32
Wolfrm Alph Určitý integrál. integrte (x^3-2)^2 cos(x) for x from 2 to 5 integrte sin(x)/(cos(x)+2) for x from -pi to 0 c Petr Hsil (MENDELU) Určitý integrál Mtemtik MT 32 / 32