7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí : : VV V TV V součet vektorů souči čísl vektoru Řekeme že V je vektorový prostor d tělesem T s vektorovými opercemi právě když pltí iomy vektorového prostoru : S) Komuttiví záko pro vektorové sčítáí : V bv b b S) Asocitiví záko pro vektorové sčítáí : V bv cv ( bc) ( b) c
7..06 Vektorový prostor S) Eistece ulového vektoru : θ θ V V S) Eistece opčého vektoru : θ b b V V Opčý vektor k vektoru zčíme obvykle uárím míus tj. = -b. N) Asocitiví záko pro ásobeí vektoru číslem: N) Násobeí jedičkou : ) ( ) ( V T T V Vektorový prostor T Buď T číselé těleso přirozeé číslo moži V pk moži -tic ve tvru: kde α ž α jsou čísl z těles T. Defiujme operce jko b Jelikož všechy operce se provádějí jko stdrdí po složkách složky jsou čísl iomy vektorového prostoru jsou splěy (čísl je evidetě splňují). Speciálě pro těles R ebo C zčíme prostory R ebo C. N středí škole se studeti setkávjí s vektorovými prostory R ebo R.
7..06 Vektorový prostor šipek Buď T = R reálé číselé těleso moži V moži všech geometrických orietových úseček. Její prvky jsou tedy jkési šipky. Defiujme operce tkto: b součet defiujeme pomocí rovoběžíkového prvidl ásobeí defiujeme jko γ-ásobé prodloužeí Pltí v tkto defiovém prostoru iomy? Bezesporu o. Stejě se dá defiovt prostor šipek i v D. Prostor šipek je vhodý zejmé při vizulizci. Lieárí kombice Buď V vektorový prostor d tělesem T. Souborem vektorů délky rozumíme uspořádou -tici (tj. závisí pořdí): Říkáme že vektor je lieárí kombicí souboru ( ) právě když eistuje tková -tice ( α α ) čísel z těles T tk že i i i Čísl α i zýváme koeficiety lieárí kombice. Jsou-li všech ulová říkáme tkové kombici triviálí výsledek je ulový vektor.
7..06 4 Lieárí obl Nechť je soubor vektorů z V. Možiu všech lieárích kombicí tohoto souboru zýváme jeho lieárím oblem zčíme Lieárí obl ) ) ) Proházíme-li vektory v souboru jeho lieárí obl se ezměí. 4) Nechť je soubor vektorů z V. Pltí: θ y y y y T Poz. Lieárí obl souboru vektorů je rověž vektorovým prostorem. Předchozí vět ukzuje že operce ěm jsou uzvřeé pltí-li iomy celém prostoru tím spíše pltí jeho podmožiě (což lieárí obl je).
7..06 Báze dimeze Nechť je soubor vektorů z V. Pokud pltí ) ) Soubor je lieárě ezávislý V říkáme že prostor V má koečou bázi soubor zýváme bází prostoru V. Nechť V je vektorový prostor. Pokud eistuje tkové přirozeé číslo že eistuje - čleý LN soubor vektorů z V libovolý + prvkový soubor vektorů z V je lieárě závislý říkáme že prostor V má koečou dimezi defiujeme dim V =. Pokud tkové číslo eeistuje tj. lze jít LN soubor vektorů o zcel libovolém počtu prvků říkáme že prostor V má ekoečou dimezi defiujeme dim V =. Buď V vektorový prostor. Pltí dim V N Ve V eistuje -čleá báze. Báze dimeze prostoru T Tvrdíme že dim T =. K tomu je třeb lézt ějkou bázi o čleech. Soubor vektorů e e e e e e e e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ve tvru je tzv. stdrdí bází T. Soubor je LN zcel zjevě -čleý je tké kždý vektor lze pomocí ěj vyjádřit jko i ei i 5
7..06 Souřdice Zvolíme-li bázi pk se ám operce s jkýmkoliv vektorovým prostorem redukují operce s -ticemi číslic souřdicemi. To zmeá že všechy vektorové prostory o shodé koečé dimezi s tělesem T jsou v lgebře ekvivletí s prostorem T. 8 7 6 5 4 (4) (66) (4) Vět zjišťuje že můžeme 4 5 6 7 8 používt 9 0 podobé 4ákresy 5 jko teto. Předpokládáme při ich utomticky že souřdice v obou prostorech jsou ve stdrdích bázích. Sklárí souči vektorů.b výsledkem je reálé číslo (sklár) v roviě: v prostoru dim : ( ; ) ( ; ;...; ) b ( b ; b ) b ( b; b;...; b ). b b. b.. b. b. b.... b odchylk vektorů cos. b. b 6
7..06 Vektorový souči b - je defiová je v prostoru dim (e v roviě) - výsledkem je vektor w b w (. b. b;. b b ;. b. b ) - pro výsledý vektor w pltí w w b Obsh S rovoběžíku určeého vektory b je velikost vektorového součiu b S GeoGebr Vectory v R A = () B = () u = A v = B w = B A w = u + v dotprod = u*v m u = Legth[u] Velikost (orm )vektoru je urče sklárím součiem. Velikost vektorového součiu ( sg) crossprod = u w 7
7..06 R. Descrtes: Geometrie 67 (český překld 947 00) Geometrie předstvuje prví revoluci v geometrii od tiky spočívjící v řešeí geometrických problémů lgebrickými prostředky. Poprvé se zde objeví še ezámá rovice křivek v deší podobě. N rozdíl od tické ázoré geometrie která prcuje s obrzy bodů přímek roviých útvrů lytická geometrie řeší úlohy početě. Tk lze zkoumt i složitější křivky řešeí jsou libovolě přesá lze je hledt v prostorech o více dimezích. Afií prostor Eukleidovský prostor Jedozčé určeím bodu v prostoru pomocí souřdic uspořádé -tice reálých čísel.. A ( ; ;...; ) B ( b ; b ;...; b ) AB b i Všechy úlohy geometrie lze sdo převést tkové k jejichž řešeí stčí zát pouze délky ěkterých úseček. R. Descrtes: Géométrie kih I s.97 67. i 0 b y z D D D y 8
7..06 Eukleidovský prostor "A ffie spce is othig more th vector spce whose origi we try to forget bout by ddig trsltios to the lier mps Mrcel Berger V Vektorový prostor (změřeí) eprázdá moži bodů P P V; v B A Eistuje bod O pro který je zobrzeí P V : A O vzájemě jedozčé. A ( ; ;...; ) B ( b ; b ;...; b ) AB b i i Eukleidovský podprostor Uvžujme eukleidovský prostor s možiou bodů P změřeím V. Podprostor je moži bodů z P tvru O w; ww kde O je bod z P d W je vektorový podprostor V. Podprostor je jedozčě urče svým změřeím jedím bodem. Dimeze eukleidovského prostoru = dimeze změřeí. 9
7..06 Prmetrická rovice přímky Přímk je dá bodem A směrovým vektorem u..u X u X X = A + u X = A +.u X X = A +.u A Prmetrická rovice přímky Všechy body X = A + t.u kde t je z R leží přímce. Všechy body této přímky lze tkovým způsobem vyjádřit. X p u X X = A + u X = A +.u X 5 X 6 A X X 4 X p X A t u ; t R X = A +.u X 4 = A + /. u X 5 = A + (-). u X 6 = A + (- /). u 0
7..06 Dělící poměr AC BC ; je kldé pro bod C ležící vě ůsečky AB je záporé pro bod C ležící uvitř ůsečky AB. Číslo které jedozčě udává polohu bodu přímce vzhledem ke dvěm pevě dým bodů. Defiice: Nechť A B C jsou tři kolieárí body. Potom číslo φ defiové vzthem C A ( C B) Nzýváme dělícím poměrem bodu C vzhledem k bodům AB. Pozámk: Pro libovolý bod C = A + t (B - A) přímce eistuje vzájemě jedozčý vzth mezi hodotou prmetru t dělícím poměrem. t t Brycetrické souřdice Vyjdřují polohu vzhledem k dým bodům ezávisle soustvě souřdic. C A ( C B) C( ) A B C A B C A t( B A) X ( t) A tb Bod C leží přímce AB právě tehdy když eistují dvě čísl b b tková že pltí: C b A b B Čísl b b zýváme brycetrickými souřdicemi vzhledem k bodům A B. https://www.geogebr.org/m/dnf9qr#mteril/hpcvhmx
7..06 Příkld GeoGebr-primk.ggb https://www.geogebr.org/m/dnf9qr#mteril/hpcvhmx Lieárí kombice Nechť V je vektorový prostor d R. Vektor V je dá uspořádou -ticí. Vektor je lieárí combicí vektorů e e právě tehdy když eistuje uspořádá -tice ( α α ) reálých čísel pro ěž e e e e i i i Afií kombice bodů (brycetrické souřdice) Pro lib. bod A v fiím (eukleidovském) prostoru (O <e e e >) A O O e ; kde e E O i i i i i A O E O E O E O A E E... E O i i
7..06 Afií kombice bodů O E E Libovolý bod A v fiím prostoru (O<e e e >) můžeme vyjádřit jko lieárí kombici bodů A E E... E O i A E E... E O kde 0 i i0 i Koveí kombice bodů O E E (SIMPLEX) - Afií kombice bodů pro ezáporé koeficiety e E O i i A E E... E O where 0 d 0 i i i0 Koveí kombice bodů O E E 4 A E E E 4E4 0Oi kde i 0 i0 https://www.geogebr.org/book/title/id/dnf9qr#mteril/z8dzrv
7..06 Prmetrická rovice roviy X X v u + v v A u u X X = A + u X = A + v X = A + u + v RNDr. Jiří Kocourek Prmetrická rovice roviy v Všechy body X = A + t u + s v kde ts jsou libovolá reálá čísl leží v jedé roviě. Všechy body této roviy lze vyjádřit tkovým způsobem. A u X X A t u sv; t s R RNDr. Jiří Kocourek Vektorový souči 4
7..06 Obecá rovice přímky X p by c 0 p ( ; b) ( X P) X[ ; y] X p P[ p ; p] X P (pokud X P) X P 0 p y p b 0 by p bp 0 P... pevě zvoleý bod přímce p X... libovolý bod přímky p... kolmý (ormálový) vektor k přímce p (v roviě ž ásobek urče jedozčě) (pltí i pro X=P) p bp c ozčíme: Obecá rovice roviy ( b c) X by cz d 0 ( X P) P[ p p p] X X P (pokud X P) X P 0 (pltí i pro X=P) p y p b z p c 0 by cz p bp cp 0 ozčíme: p bp cp d X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor) 5
7..06 X by cz d 0 Obecá rovice roviy v prostoru b c d R; 0b 0 c 0 ( b c) P[ p p p] ( X P) X[ y z] P... pevě zvoleý bod v roviě X... libovolý bod roviy... kolmý (ormálový) vektor k roviě (v prostoru ž ásobek urče jedozčě) Pozámk: p P X Pro přímku v prostoru epltí: X p X P V prostoru elze vyjádřit přímku obecou rovicí! Npříkld rovice y 5 0 je v prostoru rovicí roviy ikoli přímky. 6
Příkzy v GeoGebře 7..06 GeoGebr Rovi ve D A = () B = (0) O = (000) u = A v = B w = u + v = Ple[ABO] = NormlovyVektor[] dotprod = *u 7
7..06 Průsečice rovi : y z 0 (CFH) : y z 0 (BDG) r t; t; t R 8