5. Derivace. (1) f (n) (a):=(f (n 1) ) (a),
|
|
- Mária Křížová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 5. Derivace Derivaceoboustranná, zprava, zleva reálné funkce f reálné proměnné v bodě a Rbyladefinovánavkapitole4vizřádky9a9±;tatoderivacesepodrobněji nazýváderivaceřádu.oboustrannéderivaceřádu n,kde n >jepřirozenéčíslo, se definují indukcí, v níž zbývá provést indukční krok: Je-lia Ramá-lifunkce fvkaždémbodě jistéhookolíuaderivacif n řádu n,definujemederivaci f n ařádu nfunkce fvbodě arovností f n a:=f n a, má-lipravástranasmysl.dodejme,žederivacířádu0vbodě aležícímvdefiničním oborufunkce fbudemerozumětčíslofa.kroměnázvu derivaceřádun seběžně užíváitermín derivacen-téhořádu.jednostrannéderivaceřádůn >nebudeme nikde potřebovat, a proto je ani nebudeme definovat. Říkáme, že funkce f je diferencovatelná v bodě a, eistuje-li konečná derivace f a;říkáme,že f jediferencovatelnávmnožině M R,je-lidiferencovatelná v každém bodě této množiny. Přechod od f ke konečné derivaci f se nazývá diferencovánífunkce f. Připomeňme, že funkce diferencovatelná v bodě a je v tomto bodě spojitá, že obrácené tvrzení neplatí, a zopakujme dobře známá základní pravidla derivování: Věta5.oderivacisoučtuarozdílu.Eistují-liderivace f a, g a,je f ±g a=f a±g a, má-lipravástranasmysl. Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.o diferencování součinu. Jsou-li funkce f, g diferencovatelné v bodě a,platítotéžosoučinu fg,přičemž 3 fg a=f aga+fag a. Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.3o diferencování podílu. Jsou-li funkce f, g diferencovatelné v bodě aaje-li ga 0,jeipodíl f/gdiferencovatelnývbodě a,přičemž 4 f a= f aga fag a g g. a Analogická tvrzení platí pro derivace zprava a zleva. Věta 5.4o diferencování superpozice. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě aafunkce gvbodě fa,jesuperpozice g fdiferencovatelnávbodě a,přičemž 5 g f a=g faf a. 50
2 Poznámka 5.. Všimněme si, že větu o derivaci součturozdílu lze na rozdíl od vět užítizaněkterýchsituací,kdyjsouderivacenekonečné. Jeproto zcela korektní napsat např { } = 3 / /5 pro =+ pro =0 Větu5.všaknelzeužítkvýpočtuderivacerozdílu h:= 3 5 vbodě 0, protože bychom dostali výraz + +, který nemá smysl. To samozřejmě nevyvrací eistenci této derivace; vzhledem k tomu, že 3 5 = /3 4/5 = 4/5 /5 pro 0, je h 0=. Příklad5..Prvníderivacífunkce f:=lg+vintervalu,+ je funkce / +. Předpokládáme-li platnost identity 7 f n = n n! prokaždé,+ + n aněkteré n N,ihnedvidíme,že f n+ =f n = n n n! n! + n+= n + n+ všudev,+ ;tímjeplatnost7dokázánaprokaždé n N. Příklad5..Jaksnadnonahlédneme,platívšudevRaprovšechnaceláčísla n 0identity 8 8 sin 4n =sin, sin 4n+ =cos, sin 4n+ = sin, sin 4n+3 = cos, cos 4n =cos, cos 4n+ = sin,cos 4n+ = cos, cos 4n+3 =sin. Příklad 5.3. Aplikujeme-li dvakrát větu o diferencování superpozice, dostaneme identitu arctgeptg = eptg+ eptg cos platnouvšudevr { k+π;k Z}.V.5.4 lzeužít,protožekaždázetří zúčastněných funkcí je diferencovatelná všude ve svém definičním oboru. Zdůraznilijsmetotím,žejsmevěty5. 5.4nazvalivětamiodiferencovánísoučinu,podílu a superpozice. 5
3 VevětěV.5.4semluvíjeno oboustranné diferencovatelnosti jinoujsmeani nezavedli; jednostranné a nekonečné derivace pomocí ní počítat nelze. Často však lze užít následující jednoduché a velmi užitečné tvrzení, k němuž se uchylujeme zejména v případech, kdy se pro výpočetoboustranné nebo jednostranné derivace nehodí žádná ze zatím uvedených vět. Věta5.5.Je-li a R,je-li fspojitávjistém UaU + a, U aaje-lilimita f a±f a+, f a rovna A R,eistujeiderivace f af + a, f aa rovnáse A. Zprávěuvedenévětyihnedplyne,ženapř. 9 arcsin + =arcsin =+, arccos + =arccos =. Příklad5.4.Prokaždé,0 0, nechťje 0 f:= arccos + lg +. Funkcearccosa jsoudiferencovatelnévkaždémbodě,, zlomekvlogaritmujekladný,je-linavíc 0,funkcelgjediferencovatelnávR +. Je-litedy0 < <,jsousplněnyvšechnypředpokladyv.5.4ajeproto f = arccos Přidiferencováníprvníhozlomkuv0jsmedalipřednostvětěV.5. před větou V. 5. 3; logaritmus zlomku na pravé straně jsme před diferencováním rozložili na rozdíl logaritmu čitatele a jmenovatele, což je možné, protože jak čitatel, tak i jmenovatel jsou kladné funkce. Protože výraz ve druhé řádce je roven /,dokázalijsmezatím,že f = arccos, je-li 0 < <. Oboustranné derivace funkce f v bodech ± neeistují např. proto, že definiční obor funkce f neobsahuje žádné oboustranné okolí žádného z těchto bodů; zbývá všakrozhodnout,zdalieistujíjednostrannéderivace f + af +.Jakjsme jižřekli,větu5.4nelzeaplikovat. Mohlibychomsesicepokusitpostupovatpodle definice,aledalekojednoduššíjeaplikovatv.5.5;tojemožné,protože Nejenproto,žeoboustrannéderivacenejsoukdispozici,aležejednostrannéderivacefunkcí arccosa jsouvbodech ±nekonečné.znemožnostiaplikovatvětu5.4samozřejmě neplyne, že uvedené derivace neeistují. 5
4 funkce fjespojitájakv,0,takiv0, ; eistují limity lim + f = π, lim f =0. ZV.5.5protoplyne,že f + = π, f =0. Je-lifunkce f dánanějakým vzorcem,budemejivyšetřovatvmaimálních intervalech,vnichžmá vzorec smysl.sjednocenívšechtěchtointervalůbudeme považovatzadefiničníoborfunkce f;označímejej Df.Vdalšímbudemeřešit úlohy, které krátce nazveme vyšetření spojitosti a derivace dané funkce. Úloha se standardně bude skládat z těchto částí: Nalezenídefiničníhooboru Dffunkce f. Nalezení všech maimálních intervalů, v nichž je f spojitá. Nalezení všech bodů Df,vnichž fneníspojitáoboustranně,zprava,zleva.nalezeníoboustrannýchresp.jednostrannýchlimitfunkce fvbodech Df,vnichž fnení spojitá a v nichž tyto limity eistují. 3 Nalezeníoboustranné resp. jednostranné derivace funkce f ve všech bodech, kde eistuje. Protožezeistencekonečnéderivace f f +, f funkce f plynejejí spojitostzprava, zleva, není nutné o ní v takových bodech eplicite mluvit; spojitost je však důležitá v bodech, v nichž konečná derivace neeistuje. Podobně není nutné mluvit o jednostranných derivacích v bodech, v nichž eistuje derivace oboustranná. Budeme říkat, že funkce f je spojitá ve svém definičním oboru, je-li spojitá v každém maimálním intervalu, z nichž se skládá její definiční obor. Při vyšetřování spojitosti bychom se jen stěží obešli bez znalosti těchto tvrzení: Věta5.6..Jsou-lifunkce f, gspojitéoboustranně,zprava,zlevavbodě a, platítotéžofunkcích f, f ±g, fg,atakéofunkci f/g,pokudje ga 0..Jsou-lifunkce f, gspojitévintervalu I R,platítotéžofunkcích f, f ±g, fg,atakéofunkci f/g,pokudje g 0všudevI. Věta5.7..Je-lifunkce fspojitávbodě aafunkce gvbodě fa,jesuperpozice g fspojitávbodě a..je-lifunkcefspojitávintervaluiafunkcegvnějakémintervalujobsahujícím fi,jesuperpozice g fspojitávi. Poznámka 5.. V některých případech lze při vyšetřování spojitosti a derivace využít specifických vlastností dané funkce, jako je sudost, lichost nebo periodicita. Přestože předpokládáme, že tyto tři pojmy jsou čtenáři dobře známy, připomeneme jejich přesné definice: Splňuje-limnožina M Rpodmínku M M,říkáme,žefunkce f definovanávmjesudáresp.lichá,platí-liprokaždé Mrovnostf =f resp. f = f. 53
5 Je-lip R + asplňuje-limnožinam Rpodmínku M ±p M,říkáme, žefunkce fdefinovanávm je p-periodickánebožemáperiodu p,platí-lipro každé Mrovnost f±p=f. Při počítání derivací nám část práce mohou ušetřit tato tři tvrzení: Věta5.8.Sudánebolicháfunkce f: M Rjevbodě a Mspojitázprava zleva, právě když je spojitá v bodě a zlevazprava. Důsledek.Sudánebolicháfunkce f: M Rjespojitávbodě a M,právě kdyžjespojitávbodě a. Věta5.9.Je-li f: M Rsudálicháfunkceaje-li a M,je f + a= f a f +a=f a,má-lijednastranarovnostismysl. Důsledek.Je-lisudálicháfunkcef: M RdiferencovatelnávM,je f funkce lichásudá. Věta5.0.Nechť p R + anechť f: M Rje p-periodickáfunkce;pakplatí tato dvě tvrzení:.je-li fspojitávbodě a Mzlevazprava,oboustranně,platítotéžvkaždém bodě a+np,kde n Z..Prokaždé a Makaždé n Zje f +a=f +a+np, f a=f a+np, f a=f a+np,má-lijednastranapříslušnérovnostismysl. Příklad 5.5. Funkce 3 f:= 3 sin jespojitávcelém R,aleV.5.4 lzeaplikovatjenvbodech 0mod π,protože Id /3 0=+ av.5.4předpokládádiferencovatelnost.protože 4 f = cos 3 3 sin provšechna / {nπ; n Z}, protoželim nπ cos =cosnπ = n aprotože 3 sin konvergujek0pro nπajekladnávšudekroměbodů nπ,jepodlev.5.5 { } { } + sudá 5 f nπ= lim nπ f = pro všechna n. lichá Příklad5.6.Jednostrannéderivace π-periodickéfunkce f:= 3 sin lze vbodě0počítatpřímozdefinice: f +0= lim 0+ 3 sin =+, f 0= lim 0 3 sin = ; podlev.5.0jevdůsledkutoho f + nπ=+, f nπ= prokaždé n Z. Příklad 5.7. Funkce 6 f:=lg 54
6 jespojitáasudávesvémdefiničnímoboru,,+ ;snadnozjistíme, žeje lg = v,+ aže f + =f +=.PodleV.5.9jejejíderivacelichá,tedyrovná/ v,,anavícje f =+. Příklad 5.8. Funkce 7 f:= coslg sinlg jespojitávesvémdefiničnímoboru R +.Protožeabsolutníhodnotaidentitynemá derivacivpočátku,nelzev.5.4aplikovatvžádnémbodě R +,vněmžjebuď coslg=0,nebosinlg=0,tedyvžádnémbodě a n :=epnπ/,kde n Z. Není-li R + rovnožádnémuzčísel a n,je 8 f = coslg sinlg sgncoslg sinlg +sgnsinlg coslg =sgncoslgcoslg sinlg sgnsinlgcoslg+sinlg. Vzhledemkπ-periodicitěfunkcí cos, sin platíidentity 9 fe ±π = coslge ±π sinlge ±π = coslg±π sinlg±π = coslg sinlg =f provšechna R +.Zrovnosti a n± = a n e ±π kde n Zsnadnoplyneplatnost identity 0 f a n± =f a n resp. f a n± +=f a n + zapředpokladu,žejednajejístranamásmysl.podlev.5.5 jsoutatočíslarovna f a nresp. f + a n.zřejměprotostačívypočítatlimity f a 0, f a 0 +, f a, f a +,pokudovšemeistují;je-litomutak,jsoupořaděrovny f a 0, f + a 0, f a, f +a aobecnějitakérovny f a n, f +a n, f a n+, f +a n+ pro každé n Z.Tímbudenašeúlohaúplněvyřešena. Protožejesgncoslg=,sgnsinlg= va,a 0,jevtomtointervalu f =coslgpodle4,avdůsledkutoho f a 0 =coslg=. Podobnězjistíme,že f = sinlgva 0,a,takže f a 0 +=0, f a =,aže f = coslgva,a,takže f a +=0. Tímjedokázáno,žeprokaždé n Zplatírovnosti f a n=, f + a n=0, f a n+=, f + a n+=0. 55
7 Pro výpočet derivací vyšších řádů součinu dvou funkcí lze velmi často užít toto tvrzenípřipomínající binomickou větu: Věta5..Leibnizůvvzorec.Eistují-likonečné n-téderivacef n, g n funkcí f, gvbodě a R,jevtomtobodě n n fg n = f k k g n k. 3 Příklad5.9.Je-li λ R,0 µ R, n N,platíprokaždé Rrovnosti λ e µ n n n = λ k e µ n k k = e µ n = e µ n n k λλ λ k+ λ k µ n k n λ k! k k λ k µ n k. Připomeňmektomu,žetzv.binomickékoeficientyjsouprokaždé λ Rdefinovány vzorcem λ λλ λ k+ pro k N 4 := k! k pro ; všimněmesipřitom,žeprokaždéceléčíslo λ 0aprokaždé k > λjebinomický koeficient4 rovný 0. Příklad5.0.Prokaždé Rje 3 sin 9 = 9 9 k 3 k sin 9 k = 3 9 k 3 k sin 9 k = 3 cos+9 3 sin 36 6 cos 84 6 sin = 6cos+93 56sin. Příklad5..Indukcísesnadnodokáže,žeprokaždé n Nje 5 lg n = n n! n prokaždé R +. Ztohoihnedplyne,žeprokaždé R + jenapř. lg = 0 lg lg 6 + lg 5 = 66! ! 6+ 44! 5=
8 Cvičení Zapředpokladu,že a R +, b R +, < α < β <+,vyšetřetespojitosta derivacitěchtofunkcí: lg lg lg +lglg cotgarcsin 5.0. sin arctgtg arctg arccos 5.8. arccotg sin+cos sin cos 5.9. argcoshlg 5.0. arcsinlg arccoslg 5.. arcsin 5.3. arcsin 5.4. lgarcsin 5.5. lg arccos a b a b 5.6. b a 5.7. arctg 5.8. lg+ sin 5.9. arcsinsin arctge cos lg arccos cos / lg 3 Uněkolikapříkladůmůžebýtvýpočetjednostrannýchderivacívkrajníchbodechpříslušných intervalů dost obtížný, smíme-li užít jen dosud vyslovené věty. Čtenář, kterému jde jen o zvládnutí základních postupů, může proto tuto část úkolu vynechat; čtenář, kterému by vadilo, že příklad nedovede rozřešit v plném rozsahu, může zkusit vrátit se k řešení, až se seznámí s obsahem kapitoly 6, v níž jsou vyloženy méně elementární metody výpočtu limit. 57
9 5.37. lg lg lg arctg arccos 5.4. sin cos 5.4. e arcsin lg + lg sin lg +sin e + sin cos argcosh e lglge + +e arctg lg arcsin lg + e 5.5. arctge lg e a aarccos a arcsin lg argsinh lg 3 +a lg +a +arctg a arccos lg+sin sinarctgsin arctg lg + arctg arcsin + arcsin lg + lg arctg lg 3 + αβ +β αarctg α β V bodech uvedených v závorkách vypočítejte n- té derivace těchto funkcí: n e α, kde α R R e sin = , sincos R lg + =
10 5.69. Nechť { } ep / pro 0 6 f:=. 0 pro =0 Dokažteindukcí,žeeistujípolynomy a n tak,žerovnost 7 f n =a n ep platíprovšechna n Navšechna 0;pakdokažte,že f n 0=0provšechna n N.Rada.Substitucí =±/ tpřeveďtelimitupro 0±pravéstrany7 nalim t + a n ± tep t;podle6zkapitoly4jetatolimitarovnanule. Dodefinujeme-litedyfunkci7vbodě0nulou,budespojitávcelém Rastačí aplikovatv Zjistěte,prokterá n Nmáfunkce n sin pro 0 8 f:= 0 pro =0 vbodě0derivaciprvníhoresp.druhéhořáduaprokterá n Njeprvníresp.druhá derivace v bodě 0 spojitá. Řešení Funkcezpříkladů značímevtomtoseznamuřešení f.všechnyjsou spojité ve svém definičním oboru; tuto informaci u jednotlivých příkladů již neuvádíme Df= R; f = + v R 5.0. Df=,+ ; f = v,+ ; f + = Df= 0,+ ; f = Df=,+ ; f = v R +; f +0=+ 4 v,+ ; f + = Df= 0,+ ; f = v R +; f +0=+ 4 Vkapitole7budemevyšetřovatifunkce,kterévněkterýchbodechspojiténejsou. 59
11 5.06. Df= 0,+ ; f =+ 3 3 v R +; f +0= Df= R; f + = 3 3, je-li 3 ; + 3 f 3=, f = Df=,+ ; f = lg + lg v Df Df=,0 0, ; f =, je-li 0 < <; f + =f = 5.0. Df= R; f =3sgnsinsin cos v R. Pozor! V.5.4nelzeaplikovat, je-li 0 mod π,aleuvedený výsledekjepodlev.5.5správnýivtěchtobodech. 5.. Df=R { n+π; n Z}; f = sin sin 4 +cos 4 v Df 5.. Df= R; f = sgn, je-li ; f =f =, f + =f += Df=,,+ ; f = 3 je-li ; f =, f + =+ sgn /+ + 3, 5.4. Df=,3 3,+ ; f 5 = , 4 je-li 3; f = 5.5. Df=,,+ ; f =, je-li Df=,,,+ ; f = = , je-li ± ; f = Df=,,+ ; f =, je-li >; f =f + =+ 60
12 5.8. Df=R {n+ 4 π; n Z}; f vdf 5.9. Df= e,+ ; f = 5.0. Df= /e,e ; f = f + /e=f e=+ lg ve,+ ; f + e=+ 3lg lg 6 v/e,e; 5.. Df= e, /e ; f =, lg je-li e < < /e; f + e=f /e=+ 5.. Df=, ; f = sgn, je-li 0 < <; f + =, f ± 0=±, f = Df=, ; f = sgn, je-li < a 0 ±; f ± =, f ± =f ±=±, f ±0= 5.4. Df=,, ; f = sgn arcsin, je-li,, ; f + =, f = Df=,+ ; f = arccos/ v Df 5.6. Df= R + ; f =f lg a b + b a v Df 5.7. Df=R {± }; f = sgn Df=R; f = sgnsincos + sin f ± nπ=±provšechna n Z v Df, je-li 0 mod π; 5.9. Df=R; f =sgncos, je-li π mod π; f ± 4n π = f 4n+π = ±provšechna n Z Df= 0,+ ; f = je-li R + ; f + 0=+ e arctge e e +, 6
13 5.3. Df= R; f = sin 3 3 cos, je-li {±a n; n N}, kde a n := + n π; f ±a n =, f ±a n =± 5.3. Df= R R + ; f = f ± e=f ±e=± Df= 3 3 lg, je-li0 ±e; 4n π, 4n+π ; f = cos sin cos 4, n Z je-li 4n π, 4n+π; f + 4n π=+, n Z f 4n+π= Df= 0,+ ; f = lg+vr + ; f + 0= Df= R + ; f = / lg v Df Df= R + ; f = lg lg v Df Df=,+ ; f =lg lglglg+ v,+ ; f += Df= 0,+ ; f = lglg++ v R + ; f + 0= Df=,+ ; f lg =lg lglg+ ; f += Df= 0, ; f arccos =f + arctg lgarctg, je-li 0,; f +0=0, f = Df= nπ,n+π; f =f cos sin lgsin sin n Z v Df {nπ; n Z}; f +nπ= lge 5.4. Df= 0, ;f =f + e e arcsin v 0,; f +0=, f = Df=0,; f = lg + v Df lg lg f + lg lg + 6
14 5.44. Df= R { n+π; n Z}; f = cos v Df Df= R + ; f = sinh v Df Df= R; f = sin cos sin cos, je-li 4 π modπ; f ± n+ 4 = ±/ 4. =0.84provšechna n Z Df= R; f = Df=,+ ; f = e +e lge + +e v R lg 3 v Df Df=,; f = arcsin 3 v Df Df= 0,+ ; f = 5.5. Df= R; f = e e + v Df + v R +; f + 0= Df=R {±3}; f= 3 sgnlg 3, +lg 3 je-li Df {±, ±}; f ± =f ± =±4, f ± =f ± =± a Df= a,a ; f = a+ v a,a; f + a=+, f a= Df= a,+ ; f = Df= R; f = + v Df a a+a + v Df Df=,,+ ; f = arccos, je-li >; f =, f + = Df= R; f = arctgsincos v R Df= R; f = + arctg v R 63
15 5.59. Df=, ; f =arcsin v,; f + =f = 4 π Df= R + ; f = lg + 3 v Df 5.6. Df=,+ ; f = v Df β 5.6. Df= α,β; f = α vα,β; f +α=+ n n n! e α k k! αk k N k n, kde N= k+ n!! n+ { n prokaždéliché n } n prokaždésudé n n g, kde g jerovno sin,cos, sin, cos podletoho,zdalije n, n, n, n 3dělitelnéčíslem 4 { } n!prokaždéliché n f n 0= 0 prokaždésudé n n n! n+ + n n f 0eistuje; n 3 f jespojitávbodě0; n 4 f 0eistuje; n 5 f jespojitávbodě0 64
Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Více30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
Více6.Limityfunkcí 2.část
6.Limityfunkcí.část Limita podílu dvou funkcí je rovna podílu it těchto funkcí jen tehdy, když má podíl it smysl. V některých případech, kdy podíl it smysl nemá, lze itu podílu najít např. pomocí tohoto
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Více1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x
.cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Více2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceDefinice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
VíceMonotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
Více8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce
8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a
VíceLIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin
VíceOznačení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).
9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 24.10.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Více1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu
22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
2. FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Funkce 2.. Definice Říkáme, že na množině D reálných čísel je definována funkce f jedné reálné proměnné, je-li dán předpis, podle kterého je ke každému číslu x D přiřazeno právě
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VícePojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceNejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
Vícef( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů
3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)
Více5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.
5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod 0 R. a) Číslo c R je částečná ita funkce f v bodě 0, pokud eistuje posloupnost ( n ) taková, že platí
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceVII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
Více1. Písemka skupina A...
. Písemka skupina A.... jméno a příjmení Načrtněte grafy funkcí (v grafu označte všechny průsečíky funkce s osami a asymptoty). y y sin 4 y y arccos ) Určete, jestli je funkce y ln prostá? ) Je funkce
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 2. cvičení Teorie Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R.
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceSpojitost a limita funkce, limita posloupnosti
Spojitost a ita funkce, ita posloupnosti Spojitost funkce Limita funkcí Limita posloupností. p.1/14 Spojitost funkce Příklad 2.1.1 Vyšetřete spojitost funkce x sin 1 pro x 0, f(x) = x 1 pro x =0. Příklad
Více1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePříklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.
Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické
Více9. Limita a spojitost funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,
VíceKatedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.
SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné
VíceObsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceMatematika 1. Matematika 1
5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)
VíceMatematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1B. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická TUL LS
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
Více( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce
MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu
Více( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis
1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.
8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
VíceMatematická analýza I
Matematická analýza I Cvičení 1 (4. 10. 2016) Definice absolutní hodnoty. Řešení nerovnic s absolutními hodnotami. Geometrická interpretace řešení nerovnice x + 1 < 3. Komplexní čísla a operace s nimi,
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceCvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
Více5. Limita a spojitost
5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální
VíceMATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 008 0 doplněné o další úlohy. část DIFERENCIÁLNÍ POČET funkcí jedné proměnné Další část ( integrální počet) bude vydána na konci listopadu 9. 9. 0 Případné
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Více2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce
2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,
Více1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;
3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii
MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou
VícePro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)
Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Více6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina
Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení
Více1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceAsymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
Více9. Limita a spojitost
OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Více