6. Derivace 6A. Pojem derivace funkce. 6. Derivace. 6A. Pojem derivace funkce

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "6. Derivace 6A. Pojem derivace funkce. 6. Derivace. 6A. Pojem derivace funkce"

Transkript

1 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce 6 Derivace Verze 6 března 07 Po limitě a spojitosti je derivace dalším základním pojmem diferenciálnío počtu Derivace funkce f() v bodě 0 je číslo označované f ( 0 ), které vpovídá o cování funkce f() v okolí bodu 0 Vezmeme-li derivaci f () ve všec bodec intervalu (a, b), je derivace funkce opět funkcí Derivace, pokud eistuje, je ted zobrazení, které funkci f() a bodu 0 přiřadí číslo f ( 0 ), případně funkci f() na intervalu (a, b) přiřadí funkci na stejném intervalu 6A Pojem derivace funkce Geometrick lze říci, derivace funkce v bodě je směrnice tečn ke grafu funkce v tomto bodě Pokud je kladná, funkce v okolí je rostoucí, pokud je záporná, funkce v okolí klesá Směrnice přímk je poměr přírůstku odnot závislé proměnné ke přírůstku odnot nezávislé proměnné, ted tangens orientovanéo úlu, který svírá tečna ke grafu funkce s vodorovnou osou Protože tečnu v bodě neumíme vjádřit přímo, uvažujeme sečn grafu funkce v bodě a blízkém bodě Kdž se tto bod blíží k sobě, sečn přecázejí v tečnu Konkrétně: v případě derivace funkce f() v bodě 0 vezmeme sečnu grafu funkce v bodě 0 a v blízkém bodě 0 + Bod grafu [ 0, f( 0 )] a bod [, f()] vlevo či vpravo od 0 určují sečnu grafu funkce f Její směrnice je podíl f f() f( 0) f( 0 + ) f( 0 ), 0 kde Blíží-li se 0, tj 0, sečna přecází v tečnu ke grafu funkce f() v bodě 0 Eistuje-li limita pro 0, dostáváme směrnici tečn, tj derivaci funkce v 0 : f() f() f() f() f f( 0 ) 0 Obr 6: Derivace je limita podílu f : f() f() f() 0 Obr 6: Při 0 sečn přejdou v tečnu Definice 6 (Derivace funkce) Nect f() je funkce a 0 vnitřní bod definičnío oboru funkce f Derivace funkce f() v bodě 0 je číslo označované f ( 0 ) rovné limitě f ( 0 ) 0 f() f( 0 ) 0 Pokud tato limita (konečná) eistuje, řekneme, že funkce f má v bodě 0 derivaci Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

2 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce Derivaci označujeme jménem funkce s apostrofem, například f, nebo ve tvaru zlomku se smbol d a jmén funkce a proměnné, podle které se derivuje Podobně jako u funkce připojujeme bod, ve kterém derivaci uvažujeme: f df d f ( 0 ) df d ( 0) Poznámk 6 (a) (b) V obrázcíc se kreslí obvkle > 0, tj > 0 V definici však vžadujeme eistenci limit oboustranné, proto stejnou limitu vžadujeme i pro záporné jdoucí k nule zleva Derivaci funkcí po řadě g(), (), F (), Φ() v bodec, a, 3, π značíme g (), (a), F (3), Φ (π) nebo dg d (), d d (a), df d (3), dφ d (π) (c) Pokud p(s) je funkce proměnné s potom v bodě s c derivaci zapíšeme p (c) dp ds (c) Ve fzice proměnná t má obvkle význam času Derivace podle času t se pak místo apostrofu často označuje tečkou: ṗ(t) dp dt (t) (d) V definici výraz 0 ve jmenovateli můžeme přepsat pomocí proměnné 0 0: f ( 0 ) df d ( f( 0 + ) f( 0 ) 0) Derivaci funkce f() v bodě 0 nebo lze ekvivalentně definovat limitami f f( 0 + ) f( 0 ) ( 0 ), f f( + ) f() () (e) a derivace například funkce () v bodě je ( + t) () () t 0 t Pokud limita neeistuje nebo není konečná, říkáme, že derivace neeistuje V případě funkce absolutní odnot, viz Obr 63, { pro 0 f() pro < 0 f() f(0) oboustranná limita lim neeistuje, protože jednostranné limit eistují, ale jsou různé: limita zleva je a limita zprava Funkce proto nemá derivaci v bodě 0 0 Obr 63: Funkce f() Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

3 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce (f) Také funkce odmocnin prodloužená na licou funkci, viz Obr 64, sgn() f() sgn() v nule nemá derivaci, protože limita { pro 0, pro < 0 0 f() f(0) lim sice eistuje, ale není konečná Obr 64: Odmocnina prodloužená na licou funkci (g) Zajímavá je funkce f() D(), viz Obr 65, s Diricletovou funkci D() { f() pro racionální D() 0 pro iracionální D() Tato funkce je spojitá v 0 0 a podle definice má v nule i derivaci rovnou nule V ostatníc bodec spojitá není a nemá tam ani derivaci 0 Obr 65: Funkce, která má v bodě nula derivaci rovnou nule () (i) (j) Jestliže funkce f() má v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá Tvrzení platí, protože v definici derivaci vžadujeme limitu konečnou Pokud je limita v definice derivace nekonečná, funkce může být spojitá, jako v druém příkladu Poznámk 6 (f) Může ale být i nespojitá, například funkce znaménka sgn() nebo funkce sgn()( + / ), viz Obr 66, které jsou nespojité v bodě nula Pokud bcom (jako někteří autoři) připustili nekonečnou limitu v definici derivace, potom b funkce mající (nekonečnou) derivaci v bodě b v tomto bodě nemusela být spojitá Obr 66: Nespojité funkce s nekonečnou derivací Ještě tpografická poznámka Smbol d se tiskne v tzv antikvě, tj stojatým (románským) písmem podobně jako funkce např sin, cos, ab se odlišila od proměnnýc, které se píší v tzv matematické italice, tj kurzívě Např tg je funkce tangens, ale tg je součin proměnnýc t a g Vsázíme-li d f d, není to derivace, ale podíl, který je roven f Dosud jsme mluvili o derivaci v jednom bodě Pojem derivace rozšíříme na pojem derivace na otevřeném intervalu V případě uzavřenéo intervalu I a, b musím doplnit pojem jednostranné derivace zleva a zprava, kd limita definující derivaci je pouze jednostranná: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

4 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce Definice 63 (Derivace funkce na intervalu) Řekneme, že funkce má derivaci na intervalu I (a, b), má-li derivaci v každém bodě tooto intervalu Derivace funkce na intervalu je opět funkce s odnotami derivace v každém bodě intervalu O takové funkci říkáme také, že je diferencovatelná Řekneme, že funkce f() má v bodě 0 derivaci zprava, případně zleva, jestliže eistují jednostranné limit f ( 0 +) f() f( 0 ) lim, f f() f( 0 ) ( 0 ) Řekneme, že funkce f() má derivaci na uzavřeném intervalu I a, b, pokud má jednostrannou derivaci zprava v bodě a, derivaci zleva v bodě b a (oboustrannou) derivaci v každém vnitřním bodě intervalu (a, b) Příklad 64 (a) Derivace konstantní funkce f() c je nulová funkce Skutečně, [f()] f( + ) f() c c 0 0 (b) Spočítejme derivaci f() Pomocí vzorce A B (A B)(A + B) dostáváme: [f()] ( + ) ( + )( + + ) ( + ) (c) Spočítejme derivaci f() 3 Pomocí vzorce A 3 B 3 (A B)(A +AB+B ) dostáváme: (d) lim ( + ) 3 3 (( + ) + ( + ) + ) lim ((+) +(+)+ ) 3 Definice derivace funkce f() / dává ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) lim ( + ) ( ) (e) Pro derivaci odmocnin f() dostáváme podobný výsledek Zlomek rozšíříme výrazem + + a vzorec (A B)(A + B) A B dává [ ] Výsledek lze zapsat ve tvaru [ ] + ( + + ) + + V příkladec jsme spočítali derivaci funkce, 3, a / Všecn tto případ lze srnout do jednoo vzorce: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

5 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce Věta 65 Derivace mocnin p je p p v bodec, kde je daná funkce definovaná, tj obecně [ p ] p p (0, ) pro všecna p R, přičemž v případě p 0,,, 3, vzorec platí pro všecna (, ), v případě p,, 3, vzorec platí pro všecna (, 0) (0, ), v ostatníc případec vzorec platí jenom na intervalu (0, ) Důkaz Pro p, 3, jsme výpočt provedli v předcozíc příkladec Pro celá kladná p n je důkaz založen na vzorci a n b n (a b)(a n + a n b + + a b n + b n ), který dává ( + ) n n ( + ) ( ( + ) n + ( + ) n + + ( + ) n + n ) Člen + se zkrátí s v jmenovateli a pro 0 druá závorka má za limitu n n Důkaz pro záporná celá p lze udělat podobnými trik Pro racionální p se zlomek rozšíří jako v případě odmocnin Případ iracionálníc p lze odvodit pomocí spojitosti nebo pomocí derivace eponenciální a logaritmické funkce p e ln(p) e p ln, které odvodíme později Derivace druéo řádu a vššíc řádů Pokud funkce má derivaci ve všec bodec intervalu, tato derivace tvoří funkci na intervalu a tuto derivaci lze opět znovu derivovat v bodě, případně na intervalu Tímto způsobem zavádíme derivace vššíc řádů Definice 66 (Derivace vššíc řádů) Nect funkce f() má derivaci f () v každém bodě nějakéo okolí bodu 0 Potom druá derivace funkce f() v bodě 0 je limita f ( 0 ) 0 f () f ( 0 ) 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) Vedle označení f d f ( 0 ) se užívá i označení d ( 0) Pokud druá derivace f () eistuje v každém bodě intervalu (a, b), tto derivace tvoří novou funkci zvanou druá derivace funkce f() na intervalu (a, b) Nect funkce f() má druou derivaci f () v každém bodě nějakéo okolí bodu 0 Potom třetí derivace f () funkce f() v bodě 0 je limita f ( 0 ) 0 f () f ( 0 ) 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) Vedle označení f ( 0 ) a d3 f d ( 0) se užívá i označení f (3) ( 3 0 ), kde řád derivace se označuje číslem v závorce, ab se derivace odlišila od mocnin funkce Pokud třetí derivace eistuje v každém bodě intervalu (a, b), tto derivace tvoří novou funkci zvanou třetí derivace funkce na intervalu (a, b) Takto lze definovat dále derivaci čtvrtou, pátou, atd: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

6 6 Derivace 6A Pojem derivace funkce Nect funkce f() má k-tou derivaci f (k) () v každém bodě nějakéo okolí bodu 0, potom (k + )-derivace funkce f() v bodě 0 je limita f (k+) ( 0 ) 0 f (k) () f (k) ( 0 ) 0 f (k) ( 0 + ) f (k) ( 0 ) Množinu funkcí s derivacemi do řádu k (včetně) na intervalu I se označuje C k (I) Poznámk: (a) (b) (c) Zdůrazněme, že nutnou podmínkou drué derivace v bodě je eistence první derivace v nějakém okolí bodu Podobně pro eistenci derivace řádu k + v bodě je nutné, ab eistovala derivace k-téo řádu (a všec řádů nižšíc) v okolí tooto bodu Pokud funkce má první derivaci jenom v jednom bodě, druá derivace v tomto bodě už není definovaná Například funkce D() má první derivaci (rovnou nule) jenom v bodě 0, druou derivaci už nemá v žádném bodě Funkce mocnin p mají derivace všec řádů, například pro p 3 je [ 3 ] 3, [ 3 ] [3 ] 6, [ 3 ] [ 3 ] (3) 6, [ 3 ] (4) 0, (d) (e) (f) Funkce může mít derivaci k-téo řádu a derivace řádu k+ už nemusí eistovat Například funkce f() 3 sgn() 3 má derivaci prvnío řádu f () 3 sgn(), druéo řádu f () 6 6 sgn() ale v nule už nemá derivaci třetío řádu, protože v bodě nula sice eistují jednostranné limit, jsou však různé Funkce p pro p 0,,, 3, mají derivace všec řádů na celém R, od řádu p + jsou už všecn další derivace nulové Naproti tomu pro ostatní p funkce p má na (0, ) derivace všec řádů, které jsou však všecn navzájem různé Eistuje jenom jedna skupina funkcí, které mají derivace všec řádů, a které se při derivování nemění Jsou to násobk funkce eponenciální f() c e, kde c je libovolná konstanta Tto funkce (jak dokážeme v příštím odstavci) mají všecn derivace stejné [c e ] (k) e Mezi nimi je i funkce nulová, jejíž všecn derivace jsou také funkce nulové Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

7 6 Derivace 6B Výpočet derivace 6B Výpočet derivace V předcozíc příkladec jsme počítali derivaci funkcí přímo podle definice tím, že jsme počítali limitu z definice derivace Protože tento přístup je náročný, použijeme obvklý matematický přístup, který spočívá v tom, že určíme derivace elementárníc funkcí a pomocí určitýc pravidel derivaci dané funkce převedeme na derivace elementárníc funkcí, které už derivovat umíme Základní pravidla derivování Mezi základní pravidla patří derivace skalárnío násobku, součtu a rozdílu funkcí, součinu a podílu funkcí Derivování je operace lineární ve smslu, že derivace násobku, součtu i rozdílu funkcí je násobek, součet a rozdíl derivací Skutečně, s vužitím definice derivace a pravidel pro počítání limit můžeme odvodit pravidlo o derivování násobku funkce: [c f()] c f( + ) c f() f( + ) f() c c f () Podobně odvodíme pravidlo o derivaci součtu funkcí Přeskupením členů a rozdělením limit na součet dvou limit dostáváme tvrzení: [f() + g()] f( + ) + g( + ) (f() + g()) f( + ) f() + (g( + ) g() (f( + ) f() g( + ) g() + lim f () + g () Pravidlo o derivování rozdílu funkcí lze odvodit analogick, plne však z předcozíc tvrzení zapíšeme-li rozdíl f() g() jako f() + ( ) g() Odvodili jsme následující tvrzení: Věta 67 (Derivace násobku, součtu a rozdílu funkcí) Bud c R a f(), g() reálné funkce, které mají v bodě derivace f () a g () Potom platí: [c f()] c f (), [f() + g()] f () + g (), [f() g()] f () g () Pokud funkce f() a g() mají derivace ve všec bodec nějakéo intervalu, potom uvedené rovnosti platí na celém intervalu Pravidlo, že limita součinu funkcí je součin limit funkcí však pro derivace neplatí, derivace součinu funkcí není součin derivací Pravidlo pro derivaci součinu dvou funkcí je složitější Definice derivace dává: [f() g()] f( + ) g( + ) f() g(), Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

8 6 Derivace 6B Výpočet derivace v čitateli zlomku ubereme a přidáme výraz f() g( + ) f( + ) g( + ) f() g( + )+f() g( + ) f() g(), vtkneme společné člen [f( + ) f()] g( + ) + f() [g( + ) g()], vužijeme pravidla o limitě součtu a součinu dvou funkcí a přejdeme k limitám: f( + ) f() g( + ) g() lim g( + ) + f() lim f () g() + f() g () Odvodili jsme pravidlo: Derivace součinu dvou funkcí je derivace první funkce násobená druou (nederivovanou) funkcí plus první funkce (nederivovaná) násobená derivací drué funkce: Věta 68 (Derivace součinu funkcí) Bud f() a g() reálné funkce, které mají v bodě derivace f () a g () Potom platí: [f() g()] f () g() + f() g () Pokud funkce mají derivace na intervalu I (a, b), potom rovnost platí na celém intervalu Poznámk: (a) (b) Jako cvičení opakovaným použitím pravidla odvod te derivaci součinu tří funkcí: [f() g() ()] f () g() () + f() g () () + f() g() () Konstanta je také funkce, takže derivace součinu konstant a funkce lze provést také jako derivace součinu funkcí Protože derivace konstant je nulová, výsledek vjde stejně, jen výpočet je zbtečně složitější Proto f() c i f()/c derivujte jako násobek funkce Zbývá odvodit derivaci podílu dvou funkcí Zde musíme předpokládat, že limita funkce g() je v bodě různá od nul Potom funkce g() je různá od nul i v nějakém okolí bodu Opět podle definice derivace a rozdílu zlomků platí: [ ] [ f() f( + ) g() g( + ) f() ] f( + )g() f() g( + ) g() g( + ) g() v čitateli zlomku ubereme a přidáme výraz f() g() f( + )g() f() g() +f() g() f() g( + ) g( + ) g() vtkneme společné člen a vužijeme vlastností limit a přejdeme k limitám [f( + ) f()] g() + f() [g() g( + )] g( + ) g() g( + ) g() f () g() f() g () [g()] [ f( + ) f() g( + ) g() lim g() f() lim ] Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8

9 6 Derivace 6B Výpočet derivace Odvodili jsme pravidlo, že (pro nenulový jmenovatel) derivace podílu dvou funkcí je rovna derivaci čitatele násobené (nederivovaným) jmenovatelem minus (nederivovaný) čitatel násobený derivací jmenovatele, vše dělené druou mocninou (nederivovanéo) jmenovatele Věta 69 (Derivace podílu funkcí) Bud f(), g() reálné funkce, které mají v bodě derivace f (), g () a jmenovatel g() je různý od nul Potom platí: [ ] f() f () g() f() g () g() [g()] Pokud obě funkce mají derivace v nějakém intervalu, přičemž v celém intervalu platí g() 0, potom rovnost platí v celém intervalu Derivace goniometrickýc funkcí Derivace funkce sinus Vužitím vzorce pro rozdíl sin u sin v cos u+v sin u v a z definice derivace plne [sin ] sin( + ) sin ( ) cos + sin ( cos + ) lim sin sin První limita je rovna cos Druá, dík limitě lim 0, kterou jsme dokázali na konci předcozí kapitol, je rovna jedné Ukázali jsme, že [sin ] cos Derivace funkce kosinus Pomocí vzorce cos u cos v sin u+v sin u v, z definice derivace a přeskupením členů dostáváme [cos ] cos( + ) cos ( ) sin + sin ( lim sin + ) lim První limita je rovna sin, druá je rovna jedné, odkud plne [cos ] sin sin Poznamenejme, že derivace funkcí sin a cos lze odvodit také pomocí známějšíc vzorců sin( + ) sin cos + cos sin a cos( + ) cos cos sin sin, dá to však více práce Derivaci funkce tangens dostaneme pomocí pravidla pro derivaci podílu funkcí: [tg ] [ ] sin [sin ] cos sin [cos ] cos cos Derivaci funkce kotangens dostaneme podobně cos + sin cos cos [cotg ] [ cos ] [cos ] sin cos [sin ] sin sin sin cos sin Odvodili jsme následující vzorce pro derivace goniometrickýc funkcí: sin Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9

10 6 Derivace 6B Výpočet derivace Věta 60 (Derivace goniometrickýc funkcí) Platí [sin ] cos a [cos ] sin pro každé R, [tg ] pro každé (k + ) π cos (k + ) π, k Z, [cotg ] sin pro každé kπ, k Z Pravidlo pro derivaci složené funkce Mějme funkci g() na intervalu (a, b) s odnotami na intervalu (A, B) a funkci F (ξ) na intervalu (α, β) Pokud obor odnot H(g) (A, B) je částí definičnío oboru (α, β) funkce F, lze tto funkce složit Dostáváme funkci složenou Φ F g : (a, b) R definovanou Φ : (a, b) (F g)() F (g()) R Předpokládejme, že funkce g() není konstantní v okolí bodu, tj g( + ) g() pro všecna 0 Potom zlomek v definici derivace složené funkce rozšíříme výrazem g( + ) g() [(F g)()] [F (g())] F (g( + )) F (g()) F (g( + )) F (g()) g( + ) g() g( + ) g() g(+) g() a rozdělíme na součin dvou limit Druá limita lim je definice derivace g () Dík spojitosti funkce g() pro 0 platí také g( + ) g() Označíme-li g( + ) ξ a g() ξ 0, první limitu lze přepsat F (g( + )) F (g()) lim g( + ) g() ξ ξ0 F (ξ) F (ξ 0 ) ξ ξ 0 F (ξ 0 ) F (g()) V případě, že funkce g() je konstantní, platí g () 0 a odvozený vzorec platí také Odvodili jsme, že derivace složené funkce je derivace vnější funkce v odnotě vnitřní funkce násobená derivací vnitřní funkce: Věta 6 (Derivace složené funkce) Nect funkce g() má derivaci v bodě a funkce F (ξ) derivaci v bodě ξ 0 g() Potom složená funkce (F g)() F (g()) má derivaci v bodě a platí [F (g())] F (g()) g () neboli d(f g) () df dg (g()) d dξ d () Nect g() je funkce definovaná na intervalu (a, b) Je-li obor odnot funkce g() podmnožinou definičnío oboru funkce F (ξ) a obě funkce jsou diferencovatelné, uvedená rovnost platí na celém intervalu (a, b) Opakovaným užitím pravidla o derivaci složené funkce dostaneme pro derivaci funkce složené ze tří nebo čtř funkcí (které lze složit a každou lze derivovat): [(g(f()))] (g(f()) g (f()) f (), [f 4 (f 3 (f (f ()))] f 4(f 3 (f (f ())) f 3(f (f ()) f (f ()) f () Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0

11 6 Derivace 6B Výpočet derivace Vužití pravidla V každém z příkladů si uvědomte, která funkce je vnitřní a která vnější: (a) [sin( )] cos( ) () (b) [cos ] [(cos ) ] cos ( sin ) (c) ( + ) 00 00( + ) 99 [ + ] 00( + ) 99 (d) Derivace funkce složené ze tří (vnitřní, prostřední z sin z a vnější ξ ξ3 ): [ sin 3 ( )] [ ( sin ( )) ] 3 ( ) 3 sin cos ( ) Derivace eponenciálníc a logaritmickýc funkcí ( ) e Derivace eponenciální funkce se základem e plne přímo z limit lim 0, kterou jsme dokázali na konci předcozí kapitol: [e ] e + e e e e e lim e e V případě obecné eponenciální funkce se základem a > 0 položíme a e ln a a použijeme pravidlo pro derivaci složené funkce [a ] [( e ln a) ] [ e ln a ] e ln a [ln a ] e ln a ln a a ln a Věta 6 (Derivace eponenciálníc funkcí) Pro a > 0 a všecna reálná platí: [e ] e, [a ] e ln a ln a a ln a Derivace přirozenéo logaritmu ln log e se obvkle odvozuje jako derivace funkce inverzní k funkci e ln(+), lze ji však odvodit i přímo pomocí limit lim 0, kterou jsme dokázali na konci předcozí kapitol Pomocí rovnosti ln( + ) ln( ( + )) ln + ln( + ) můžeme výraz v definici derivace upravit na tvar [ln ] ln( + ) ln ln + ln( + ) ln vužili jsme přitom výše uvedenou limitu s proměnnou ln( + ) Derivace logaritmické funkce se základem a plne ze vztau log a je konstanta, platí [log a ] Odvodili jsme tvrzení: ln a ln a, ln Protože ln a Věta 63 (Derivace logaritmickýc funkci) Pro a (0, ) (, ) a (0, ) platí: Poznámk: (a) [ln ], [log a ] ln a Za základ přirozenýc logaritmů bla zvolena konstanta e právě proto, ab při derivování platilo [e ] e Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

12 6 Derivace 6B Výpočet derivace (b) Podívejme se na derivování funkcí tpu [f()] g() Použitím pravidel pro derivace složenýc funkcí dostáváme: (i) pokud je eponent g() konstantní, výraz derivujeme jako obecnou mocninu: (f() > 0 a g() p libovolné) [(f()) p ] p (f()) p f (), (ii) pokud je eponent závislý na, funkci vžd převedeme na tvar s eponenciální funkcí V případě a g() (a > 0, g() libovolné) [ a g() ] [ e ln a g() ] a g() ln a g (), (iii) v obecném případě (f() > 0 a g() libovolné) [ ] f() g() [ ] ( ) e ln(f()) g() f() g() f () f() g() + ln(f()) g () (c) Například [ ] [e ln ] e ln ( ln + ) (ln + ) (d) Nní můžeme odvodit derivaci obecné mocnin p pro iracionální p Bud > 0 Potom [ p ] [ e ln p ] [ e p ln ] e p ln [p ln ] p p p p Derivace inverzní funkce Bud f () funkce inverzní k funkci f() Derivováním složené funkce f f dávající identitu f(f ()) dostáváme výraz [ f(f ()) ] f (f ()) (f ) (), který se rovná jedné, protože Pokud derivace (f (f ()) je nenulová, můžeme vjádřit derivaci inverzní funkce f () pomocí derivace původní funkce f(), ale v bodě f () Odvodili jsme tak tvrzení: Věta 64 (Derivace inverzní funkce) Bud f () funkce inverzní k prosté funkci f() Potom platí [ f () ] f (f ()) Aplikujme větu na funkci f () ln inverzní k funkci f() e s derivací f () e Derivováním rovnosti e ln dostáváme e ln [ln ], odkud plne [ln ] e ln, což je v souladu s Větou 63 Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně

13 6 Derivace 6B Výpočet derivace Derivace cklometrickýc funkcí Cklometrické funkce arcsin, arccos, arctg, arccotg jsou funkce inverzní ke goniometrickým funkcí sin, cos, tg, cotg Jejic derivaci určíme pomocí předcozí vět Funkce arkus sinus f () arcsin definovaná na, je inverzní k funkci f() sin na intervalu π, π Její derivace je [arcsin ] sin (arcsin ) cos(arcsin ) Abcom moli včíslit cos(arcsin ), musíme vjádřit funkci cos pomocí sin Z rovnosti sin + cos plne cos sin Na intervalu ( π, π ) je cos kladný, proto cos sin a dík rovnosti sin(arcsin ) pro (, ) platí [arcsin ], (, ) Funkce arkus kosinus f () arccos definovaná na, je inverzní k funkci f() cos na intervalu 0, π Její derivaci lze spočítat podobně jako derivaci funkce arcsin Rclejší je však vužít vztau arcsin + arccos π, odkud ined plne [arccos ] [arcsin ], ted [arccos ], (, ) Funkce arkus tangens f () tg definovaná na (, ) je inverzní k funkci f() tg na intervalu ( π, π ) Její derivace je [arctg ] tg (arctg ) cos (arctg ) cos (arctg ) Abcom moli včíslit cos(arctg ), musíme vjádřit funkci cos pomocí tg Pomůžeme si geometrií pravoúléo trojúelníka ABC Ve standardním označení je cos α b Zvolíme-li c b, platí a tg α a c a + b tg α + Proto cos α ( b c ) Vzorec tg α+ však platí pro libovolné, jak ověříme výpočtem: tg + sin + cos sin +cos cos cos sin + cos cos Dík rovnosti tg (arctg ) dostáváme derivaci funkce arctg : [arctg ], (, ) + Derivaci funkce arkus kotangens arccotg lze spočítat podobně, ale jednodušší je vužít vztau arctg + arccotg π, odkud plne [arccotg ] [arctg ], ted [arccotg ], (, ) + Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 3

14 6 Derivace 6B Výpočet derivace Odvodili jsme vzorce pro derivaci cklometrickýc funkcí: Věta 65 (Derivace cklometrickýc funkci) [arcsin ], (, ), [arccos ], (, ), [arctg ] +, (, ), [arccotg ], (, ) + Poznámka: Funkce arcsin a arccos jsou definován na uzavřeném intervalu,, derivaci však mají jen v otevřeném intervalu (, ) Tato derivace má v krajníc bodec intervalu nekonečné jednostranné limit lim [arcsin + ], lim [arccos + ], Derivace perbolickýc funkcí lim [arcsin ], lim [arccos ] Pro úplnost doplňme ještě derivace perbolickýc funkcí Snadno lze spočítat derivace perbolickéo sinu i kosinu Funkce jsou definované na celém R vzta sin e e, cos e + e Pomocí vzorečků [e ] e a [e ] e dostáváme [ ] e [sin ] e [ ] e + e e cos, [cos ] + e e e sin Hperbolické funkce tg a cotg jsou definován podobně jako goniometrické tg a cotg : tg sin cos e e cos, R, cotg e + e sin e + e e e, R, 0 Derivace funkce tg lze spočítat přímo derivováním eponenciální funkce [ ] e [tg ] e (e + e ) (e e ) 4 e + e (e + e ) (e + e ) cos, nebo pomocí odvozené derivace sin a cos a vztau cos sin [ ] sin [tg ] cos sin cos cos cos Derivaci cotg spočítejte jako cvičení sami Odvodili jsme vzorečk, které jsou velmi podobné vzorcům pro derivace goniometrickýc funkcí Věta 66 (Derivace perbolickýc funkcí) [sin ] cos, (, ), [cos ] sin, (, ) [tg ] cos, (, ), [cotg ] sin, (, 0) (0, ) Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4

15 6 Derivace 6B Výpočet derivace Sourn pravidel derivování funkcí Jednotlivé základní funkce lze spojovat pomocí několika operací: skalární násobek, součet, rozdíl, součin a podíl funkcí, navíc funkce lze skládat Přitom je třeba si uvědomit, jak jsou jednotlivé funkce a operace do sebe vložen, která je vnitřní a která jsou vnější Věta 67 (Základní pravidla derivování kombinace funkcí) [c f()] c f (), [f() ± g()] f () ± g (), [f() g()] f () g() + f() g (), [ ] f() f () g() f() g (), g() [g()] [F (g())] F (g()) g () neboli Derivace elementárníc funkcí jsou v následující tabulce: d(f g) () df dg (g()) d dξ d () Věta 68 (Derivace elementárníc funkcí) () [c] 0, () [ p ] p p, (0, ), (p R), (3) [e ] e, (, ), (4) [a ] ln a a, (, ), (a > 0, a ), (5) [ln ], > 0, (6) [log a ], > 0, (a > 0,, a ), ln a (7) [sin ] cos, (, ), (8) [cos ] sin, (, ), (9) [tg ] cos, (k + )π, k Z (0) [cotg ] sin, kπ, k Z () [arcsin ], (, ), () [arccos ], (, ), (3) [arctg ], (, ), + (4) [arccotg ], (, ) + Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5

16 6 Derivace 6C Další pojm 6C Další pojm Diferenciál funkce Podle definice je derivace funkce f() v bodě 0 směrnice tečn ke grafu funkce v bodě 0 Too lze vužít pro napsání rovnice tečn: Věta 69 (Rovnice tečn) Nect funkce f() má v bodě 0 derivaci f ( 0 ) Potom tečna ke grafu funkce f() v bodě [ 0, f( 0 )] má rovnici f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) Derivace funkce f() v bodě 0 je číslo Naproti tomu diferenciál d funkce f() v bodě 0 je zobrazení, které přírůstku d přiřadí přírůstek d na tečně ke grafu funkce v bodě 0, tj přírůstek d násobený odnotou derivace f ( 0 ), viz Obr 67: 0 f tečna d f ( 0 ) d d Obr 67: Diferenciál je přírůstek funkce na tečně Definice 60 (Diferenciál funkce) Nect funkce f() má derivaci v bodě 0 Potom diferenciál df funkce f() v bodě 0 je zobrazení, které přírůstku d proměnné přiřadí přírůstek odnot d na tečně: Poznámk: df : d d f ( 0 ) d přesněji ( df)( 0 ) d f ( 0 ) d (a) (b) Diferenciál udává, o kolik se přibližně změní odnota funkce f(), změníme-li proměnnou o d Například je-li f() sin, potom df(a) cos 0 d, konkrétně pro 0 0 a d 0, je df(0) cos(0) 0, 0, 0, Často se diferenciál píše ve tvaru df( 0 ) f ( 0 ) d, tj bez proměnné d V matematice se malý přírůstek místo d obvkle označuje : df( 0 )() f ( 0 ) (c) Spočítejme například diferenciál funkce f() sin v bodě 0 π 6 obecně a pro d 0 : df ( ) ( ) ( π 6 sin π 6 d cos π ) 6 d 3 d, df( ) π Druý diferenciál a diferenciál vššíc řádů Analogick jako první diferenciál pomocí drué derivace zavedeme diferenciál druý Druá derivace funkce v bodě (pokud eistuje) je číslo, zatímco druý diferenciál je zobrazení, které d přiřadí druou derivaci násobenou druou mocninou přírůstku d: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6

17 6 Derivace 6C Další pojm Definice 6 (Druý diferenciál funkce) Diferenciál d f funkce f() v bodě 0 zobrazení, které přírůstku d proměnné přiřadí číslo: je Poznámk: d f : d d f ( 0 ) ( d), tj d f( 0 )( d) f ( 0 ) ( d) (a) Na rozdíl od prvnío diferenciálu, druý diferenciál nelze přímo geometrický popsat Později pomocí prvnío, druéo a dalšíc diferenciálů zkonstruujeme tzv Talorův polnom, který v okolí bodu 0 bude aproimovat odnot funkce f() (b) Spočítejme druý diferenciál funkce f() sin v bodě a π 6 d f ( ) ( π 6 sin π ) (d) sin ( π ) (d) 6 6 (d), obecně a pro d 0: d f ( π ) 6 0, 00 Diferenciál k-téo řádu v bodě 0 je součin k-té derivace v bodě 0 a k-té mocnin d: Definice 6 (Diferenciál k-téo řádu) Nect funkce f() má v bodě 0 k-tou derivaci Diferenciál k-téo řádu d k f funkce f() v bodě 0 je zobrazení, které přírůstku d přiřadí: d k f( 0 ) : d d f (k) ( 0 ) ( d) k, tj d k f( 0 ) d f (k) ( 0 ) ( d) k Diferenciál vššíc řádů vužijeme při aproimaci funkce pomocí Talorova polnomu Vět o střední odnotě Víme, že funkce f() spojitá na intervalu I a, b nabývá všec odnot mezi odnotami f(a) a f(b) Speciálně, pokud odnot f(a), f(b) mají opačná znaménka, potom eistuje alespoň jedno c (a, b), takové, že f(c) 0 Podobné tvrzení platí i pro derivaci funkce Pokud funkce má derivaci na intervalu (a, b), která je na jednom konci intervalu kladná a na druém konci záporná, potom eistuje uvnitř intervalu alespoň jeden bod, ve kterém je derivace nulová: Věta 63 (Rolleova věta) Nect f() je funkce spojitá na intervalu a, b, která má derivaci v každém bodě (a, b), a navíc platí f(a) f(b) Potom eistuje alespoň jedno číslo c (a, b) takové, že f (c) 0 f() f() f() f() a c c c Obr 68: Rolleova věta o nulové derivaci b Vpuštěním předpokladu f(a) f(b) dostáváme následující větu: a c c c b Obr 69: Lagrangeova věta o střední odnotě Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7

18 6 Derivace 6C Další pojm Věta 64 (Lagrangeova věta o střední odnotě) Nect f() je funkce spojitá na intervalu a, b, která má derivaci v každém bodě intervalu (a, b) Potom eistuje alespoň jedno číslo c (a, b) takové, že Poznámk: f(b) f(a) f (c) (b a) (a) (b) (c) Tvrzení Rolleov vět lze carakterizovat také slov: V intervalu (a, b) eistuje bod, ve kterém je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s osou Langrangeova věta o střední odnotě zase tvrdí, že v intervalu (a, b) eistuje bod, ve kterém je tečna ke grafu funkce rovnoběžná se spojnicí bodů [a, f(a)] a [b, f(b)] Naznačme mšlenku důkazu Rolleov vět Pro konstantní funkci tvrzení splňuje každý bod intervalu Pokud funkce f() není konstantní na celém intervalu (a, b), alespoň v jednom vnitřním bodě nabývá své maimum nebo minimum To je obecná vlastnost funkce, která je spojitá na omezeném uzavřeném intervalu Protože funkce má derivaci v každém bodě, v bodě maima nebo minima tato derivace musí být nulová, jak ukážeme později Nect funkce f() splňuje předpoklad Lagrangeov vět o střední odnotě Položme f () f() f(b) f(a) b a ( a) Snadno lze ověřit, že platí f (b) f (a) f(a) Z Rolleov vět plne eistence c (a, b) splňující 0 (f ) (c) f (c) odkud plne tvrzení f(b) f(a) b a, (d) (e) Pozor, bez předpokladu, že funkce má derivaci v každém bodě intervalu (a, b), věta neplatí: například funkce na intervalu, splňuje f( ) f(), ale v žádném bodě c (a, b) neplatí f (c) 0, derivace f (), nabývá pouze odnot a, v bodě 0 derivace neeistuje Věta o střední odnotě je užitečná v řadě aplikací Jejím důsledkem je tvrzení, že pokud f () > 0 v intervalu (a, b), potom je v tomto intervalu rostoucí Skutečně, podle předcozí vět o střední odnotě pro každé a < b eistuje ξ (, ), že platí f( ) f( ) f (ξ)( ) Protože derivace f () je kladná ve všec bodec intervalu, je kladná i v bodě ξ Dík < platí proto f( ) < f( ) Bod, bl libovolné, funkce f() je ted v daném intervalu rostoucí Podobně lze dokázat, že je-li derivace na intervalu záporná, funkce je klesající Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo 7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,

Více

Přednáška 4: Derivace

Přednáška 4: Derivace 4 / / 7, :5 Přednáška 4: Derivace Pojem derivace ormuloval v 7. století Isaac Newton při výpočtec poybu planet sluneční soustavy. Potřeboval spočítat úlovou ryclost planet. Její směr je dán tečnou ke dráze

Více

Diferencovatelné funkce

Diferencovatelné funkce Přednáška 5 Diferencovatelné funkce Jak jsme se zmínili v minulé přednášce, je lavní myšlenkou diferenciálnío počtu naradit danou funkci y = f) v okolí bodu a polynomem V této přednášce se budeme podrobně

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Diferenciální počet ve středoškolské matematice

Diferenciální počet ve středoškolské matematice Diferenciální počet ve středoškolské matematice Mgr. Eva Valentová 2018 Předmluva Tento učební text je určen studentům čtvrtéo ročníku čtyřletýc gymnázií, kteří se ctějí věnovat při dalším studiu tecnickým,

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Základní elementární funkce

Základní elementární funkce Základní elementární funkce Základní elementární funkce Za základní elementární funkce považujeme funkce: a) eponenciální a logaritmické; b) obecné mocninné; c) goniometrické a cklometrické; d) hperbolické

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

5. Limita a spojitost

5. Limita a spojitost 5. Limita a spojitost 5. Limita posloupnosti 5. Limita a spojitost Verze 16. prosince 2016 Diferenciální počet a integrální počet tvoří klasický základ Matematické analýzy. Diferenciální počet zkoumá lokální

Více

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce

8 Limita. Derivace. 8.1 Okolí bodu. 8.2 Limita funkce 8 Limita Derivace 81 Okolí bodu Okolím bodu a nazveme otevřený interval (a r, a + r), kde a, r jsou reálná čísla Číslo r je poloměr okolí, a jeho střed Okolí bodu a lze zapsat a

Více

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny? Derivace úvod P ČEZ Jak zjistit míru změny? Derivace nám dá odpověď jestli je funkce: rostoucí/klesající konkávní/konvení jak moc je strmá jak moc roste kde má maimum/minimum 1000 700 P ČEZ P ČEZ 3% 4%

Více

7. Aplikace derivace

7. Aplikace derivace 7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0 KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

0.1 Funkce a její vlastnosti

0.1 Funkce a její vlastnosti 0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f(

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

Přednáška 3: Limita a spojitost

Přednáška 3: Limita a spojitost 3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy.

4. Funkce Funkce. S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole 1F Zobrazení. Připomeňme základní pojmy. . Funkce.. Funkce Verze. prosince 6 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q)

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou 4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

ln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x

ln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x 6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 +

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky

7. Aplikace derivace 7E. Křivky. 7E. Křivky 7E. Křivky Derivace nacházejí uplatnění také při studiu křivek. Obrazně řečeno křivka v rovině je množina bodů, která vznikne pohybem pera po papíře. Předpokládáme přitom, že hrot pera je stále v kontaktu

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis 1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

1 L Hospitalovo pravidlo

1 L Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné 2 Reálné funkce jedné reálné proměnné S funkcemi se setkáváme na každém kroku, ve všech přírodních vědách, ale i v každodenním životě. Každá situace, kd jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určen

Více

9. Limita a spojitost

9. Limita a spojitost OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. /8 3. Elementární funkce. 3. Elementární funkce. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více