Renormalizované magnony v kvantovém Heisenbergově modelu

Transkript

1 Reormalizovaé magoy v kvatovém Heisebergově modelu Ilja Turek March 30, 007 Korelačí fukce. Defiice a základí vlastosti k hamiltoiáu H, časové proměé t a dvěma operátorům A a B se korelačí fukce A(t)B zavádí vztahem A(t)B = Z Tr {exp(βh)a(t)b}, () kde Z = Tr {exp(βh)} je stavová suma, β = /(k B T ) a (při h = ) A(t) = exp(iht)a exp(iht) je časově závislý operátor A v Heisebergově reprezetaci v bázi vlastích vektorů m hamiltoiáu H s vlastími hodotami E m a s maticovými elemety m A = A m a m B = B m lze korelačí fukci vyjádřit explicitě vztahem A(t)B = Z A m B m exp(ie t) exp(βe m ) exp(ie m t). () m Podobé výrazy platí pro příbuzou korelačí fukci BA(t) : BA(t) = Z Tr {exp(βh)ba(t)} = Z m A m B m exp(ie m t) exp(βe ) exp(ie t). (3)

2 Fourierovy trasformace mezi časovou (t) a frekvečí (ω) proměou jsou defiováy pomocí f(ω) = exp(iωt)f(t)dt, f(t) = exp(iωt) π f(ω)dω (4) s využitím zámé reprezetace Diracovy δ-fukce, tj. exp(iωt)dt = π δ(ω), jsou Fourierovy trasformace korelačích fukcí A(t)B ad BA(t) rovy A(.)B (ω) BA(.) (ω) exp(iωt) A(t)B dt = πz m A m B m exp(βe m ) δ(ω + E m E ), exp(iωt) BA(t) dt = πz m A m B m exp(βe ) δ(ω + E m E ). (5) Protože platí idetita exp(βe ) δ(ω + E m E ) = exp(βω) exp(βe m ) δ(ω + E m E ), dá se odvodit obecý vztah mezi Fourierovými trasformacemi v rov. (5): Vztahy iverzí k rov. (5) jsou: BA(.) (ω) = exp(βω) A(.)B (ω). (6) A(t)B = π BA(t) = π exp(iωt) A(.)B (ω) dω, exp(iωt) A(.)B (ω) exp(βω) dω. (7) Příklad: pro lieárí harmoický oscilátor s frekvecí Ω má hamiltoiá tvar ( H = Ω a + a + ), (8) kde a + a a je kreačí a aihilačí operátor; přímo z rov. (5) (a ze zámého spektra hamiltoiáu H) se pak dostae: a + (.)a (ω) = π δ(ω + Ω), exp(βω) a(.)a + (ω) = ] π + δ(ω Ω). exp(βω) (9)

3 Pozameejme, že frekvece oscilátoru Ω ( dyamika systému) je obsažea v posuvech argumetů obou δ-fukcí, zatímco Bose-Eisteiova obsazovací fukce exp(βω) ] ( statistika) vstupuje do obou vah. Užití rov. (7) pro t = 0 vede ke zámé termodyamické středí hodotě a + a =. Metoda pohybových rovic exp(βω). (0) časový vývoj operátoru A(t) d A(t) = ia(t), H] dt vede k pohybové rovici pro korelačí fukci d A(t)B = i A(t), H]B () dt pohybová rovice je obvykle aplikováa a ějakou sadu korelačích fukcí; vyšší korelačí fukce vystupující a pravé straě rov. () je zpravidla uto přibližě vyjádřit pomocí původích korelačích fukcí, aby se získala uzavřeá soustava rovic časovou derivaci v rov. () lze odstrait přechodem k frekvečě závislým veličiám A(.)B (ω) při využití triviálích vlastostí Fourierovy trasformace, rov. (4), pro dvojici fukcí f(t) ad f(ω): To dává: iω f(ω) = exp(iωt) df(t) dt dt. ω A(.)B (ω) = A(.), H]B (ω). () Použití: komutačí relace pro lieárí harmoický oscilátor, rov. (8), a, a + ] = = a +, H] = Ωa + (3) dávají pro korelačí fukci a + (.)a (ω) jedoduchý výsledek viz rov. (9)]: (ω + Ω) a + (.)a (ω) = 0 = a + (.)a (ω) = π w δ(ω + Ω), kde w je ezámá váha. Dosazeí tohoto výsledku do rov. (7) pro t = 0 vede ke středím hodotám a + a = w, aa + = w exp(βω). 3

4 Kombiací těchto vztahů s termodyamickou středí hodotou rov. (3), aa + a + a = = w exp(βω) ] =, lze získat váhu w ve shodě s předchozím výsledkem, rov. (9). Pozameejme, že uvedeé odvozeí korelačí fukce, rov. (9), a jejího důsledku, rov. (0), evyžaduje zalost spektra hamiltoiáu ai provedeí ekoečých součtů vystupujících apř. v rov. (5). Heisebergův hamiltoiá pro spiy S = /. Vlastosti spiových operátorů hamiltoiá je defiová vztahem H = J m s m s b m s z m, (4) m m kde idexy m, začí uzly mřížky, s m (s x m, s y m, s z m) jsou spiové operátory (se spiovým kvatovým číslem S = /) a m-tém uzlu mřížky, výměé itegrály J m popisují párovou iterakci mezi lokálími spiy (J mm = 0, J m = J m ) a veličiy b m začí lokálí magetická pole mířící ve směru z spiové operátory s m mohou být realizováy pomocí Pauliho matic : s x m = σx m = 0, 0 m s y m = σy m = 0 i, i 0 m s z m = σz m = 0, (5) 0 m zatímco příbuzé kreačí a aihilačí operátory s ± m pomocí matic: s + m s x m + is y m = 0, 0 0 s m sx m isy m = m m (6)

5 tyto operátory splňují ásledující komutačí relace: s x m, sy ] = iδ m s z m, s m, sz ] = δ m s m, s y m, s z ] = iδ m s x m, s m, s x ] = δ m s z m, s z m, sx ] = iδ m s y m, s m, sy ] = iδ m s z m (7). Korelačí fukce spiových operátorů časový vývoj spiových operátorů s j daý hamiltoiáem H, rov. (4), plye z rov. (7) d dt s j = is j, H] = ib js j + i = ib j s j + i J j (s z j sx + isz j sy + s j sz ) J j (s z s j s z js ) jsou exaktí pohybové rovice pro korelačí fukce s j (t)s + r d s dt j (t)s + r = ibj s j (t)s + r + i { } J j s z (t)s j (t)s+ r s z j (t)s (t)s+ r (8) přibližé zjedodušeí vyšších korelačích fukcí se získá užitím decoupligu (roztržeí, pro j): s z (t)s j (t)s+ r s z s j (t)s + r, (9) kde s z = sz začí termodyamickou středí hodotu; pohybové rovice, rov. (8), společě s rov. (9) představují ekoečou, avšak uzavřeou soustavu rovic. Decouplig, rov. (9), se též azývá přiblížeím áhodých fází (radom-phase approximatio, RPA), viz apř. S. V. Tjablikov: Metody kvatovoj teorii magetizma (auka, 975). Tato aproximace je přesá pro feromagety při ulové teplotě..3 Řešeí pro feromaget pro feromaget a Bravaisově mřížce jsou všechy uzly ekvivaletí, b m = b, s z m = sz, 5

6 a rov. (8) se proto zjedoduší a d s dt j (t)s + r = ib s j (t)s + r { } + i s z J j s j (t)s + r s (t)s + r zavedeím zkratky J = J m > 0, dostaou pohybové rovice výsledý tvar d s dt j (t)s + r = i (b + J sz ) s j (t)s + r i s z J j s (t)s + r (0) trasformace rov. (0) do frekvečí proměé ω je založea a defiici srv. rov. (5)]: M jr (ω) = s j (.)s + r (ω). () Výsledé rovice pro M jr (ω) jsou viz rov. ()]: ωm jr (ω) = (b + J s z ) M jr (ω) s z J j M r (ω). () protože feromaget je traslačě ivariatí, lze rov. () zjedodušit zavedeím mřížkové Fourierovy trasformace: J(k) = M(k, ω) = exp(ik T ) J 0, exp(ik T ) M 0 (ω), (3) kde k je vektor z prví Brillouiovy zóy (BZ) mřížky a T traslačí vektor (vektor -tého mřížkového uzlu). To dává: začí -tý ω M(k, ω) = (b + J s z ) M(k, ω) s z J(k) M(k, ω). (4) posledí vztah, rov. (4), lze přepsat do ω + E(k)] M(k, ω) = 0, (5) kde E(k) = b + s z J J(k) ] (6) začí excitačí eergii systému eergii magou. Řešeí rov. (5) je dáo vztahem M(k, ω) = π w(k) δ ( ω + E(k) ), (7) 6

7 kde w(k) ozačuje ezámou váhu. Srováí rov. (7) s výsledkem pro lieárí harmoický oscilátor, rov. (9), a s mřížkovou Fourierovou trasformací, rov. (3), apovídá, že kreačí operátor příslušé excitace mago (spiová vla) s daým k-vektorem je úměrý a + (k) exp(ik T ) s. (8).4 Vlastosti jedo-magoových stavů.4. Základí stav uvažujme stav se všemi spiy mířícími ahoru: 0 = ; (9) jeho elemetárí vlastosti jsou: s z 0 = 0, s+ 0 = 0, (30) a dále lze ukázat, že teto stav je vlastím stavem dvou operátorů, totiž z-tové složky celkového spiu S z = s z (3) a hamiltoiáu H 0 bez vějšího pole viz rov. (4)] Explicitě: H 0 = J m s m s = J m (s m m s+ + sz m sz ). (3) m S z 0 = 0, H 0 0 = J 0, (33) 8 kde je počet uzlů (velkého koečého krystalu s periodickými hraičími podmíkami). v případě feromagetu je stav 0 základím stavem hamiltoiáu H 0, ale příslušá vlastí hodota ( J /8) je ekoečě degeerovaá; 0 je edegeerovaým základím stavem hamiltoiáu H, rov. (4), s kladým vějším polem (b = b > 0) 7

8 .4. Lokálí překlopeí spiů stavy (ormalizovaé a jedotku) s jediým spiem mířícím dolů jsou λ = s 0 ; (34) jsou to vlastí stavy operátoru celkového spiu, ( ) S z λ = λ, (35) ale ejsou to vlastí stavy hamiltoiáu H 0 středí hodota H 0 ve stavu λ je rova λ H 0 λ = J 8 + J, což zameá, že eergie potřebá k překlopeí jedoho spiu (ze základího stavu) je rova J /.4.3 Jedo-magoové stavy defiujme kreačí operátor magou pomocí (k BZ) a + (k) = exp(ik T ) s, (36) což se liší od rov. (8) pouze ormalizačím faktorem / ; jeho působeí a základí stav, rov. (9), dává jedo-magoový stav (ormovaý a jedotku) µ(k) = a + (k) 0 = = exp(ik T ) s 0 exp(ik T ) λ, (37) takže jedo-magoový stav je kolektiví excitací, tj. je to lieárí kombiace lokálích spiových excitací λ lze dokázat vztahy: S z, a + (k) ] = a + (k), S z µ(k) = ( ) µ(k), (38) které ukazují, že jedo-magoový stav je vlastím stavem operátoru celkového spiu, rov. (3), a že excitace jedoho magou sižuje celkový spi o jedotku podobě jako lokálí spiové překlopeí viz rov. (35)] 8

9 dále lze dokázat vztahy: ] H0, s j = m J jm (s j sz m s m sz j ), ] H0, s J j 0 = s j 0 J jm s m 0, m H0, a + (k) ] 0 = ] J J(k) a + (k) 0, které dávají kde se použilo zkratky H 0 µ(k) = J 8 ] + E 0 (k) µ(k), (39) E 0 (k) = ] J J(k). (40) Tyto vztahy zameají, že jedo-magoový stav je vlastím stavem hamiltoiáu, rov. (3), a že excitace jedoho magou je spojea se vzrůstem eergie o E 0 (k), rov. (40), což je eergie magou E(k), rov. (6), v ulovém vějším poli (b = 0) a při ulové teplotě (s z = /), viz obr.. 8 E 0 (k) / J 4 0 R M Γ X R Γ Figure : Magoový disperzí záko, rov. (40), pro feromaget a prosté kubické mřížce s výměými iterakcemi J m eulovými je mezi prvími (J > 0) a druhými (J = J /8) ejbližšími sousedy. Eergie magoů E 0 (k) je vyesea podél hra ireducibilí Brillouiovy zóy prosté kubické mřížky. pro dlouhé vlové délky lze magoovou disperzí závislost E 0 (k) ahradit přiblížeím (viz obr. ) E 0 (k) Dk pro k k 0, (4) 9

10 kde D je kostata tuhosti spiových vl. Excitace takových magoů je proto spojea s mohem meší eergií ež eergie překlopeí jedotlivých spiů (J /), viz odst Dvou-magoové stavy dvou-magoové stavy (eormalizovaé) lze zadefiovat podobě jako stavy jedo-magoové, rov. (37): µ () (k, k ) = a + (k )a + (k ) 0 = m exp(ik T m ) exp(ik T ) s m s 0 (4) dále lze dokázat vztahy aalogické rov. (38): S z, a + (k )a + (k ) ] = a + (k )a + (k ), S z µ () (k, k ) = ( ) µ () (k, k ), (43) které ukazují, že dvou-magoový stav je vlastím stavem operátoru celkového spiu, rov. (3), s vlastí hodotou odpovídající zmešeí celkového spiu o dvě, tj. vlivy obou zúčastěých magoů se přesě sčítají dvou-magoový stav eí vlastím stavem hamiltoiáu H 0 ; lze dokázat, že H0, s j s r H0, s j s r ] = s j J r (s r s z s s z r) + s r J j (s j s z s s z j) + δ jr s j J j s J jrs j s r, ( ) ( ) ] 0 = s j J s r J r s 0 + s r J s j ( ) + δ jr s j J j s 0 J jr s j s r 0. J j s Teto vztah je uto ejprve ásobit exp(ik T j ) exp(ik T r ) a potom vysčítat přes j ad r, viz rov. (4), abychom dostali vyjádřeí pro vektor H 0, a + (k )a + (k )] 0. To akoec vede k výsledku: H 0 µ () (k, k ) = J ] + E 0 (k ) + E 0 (k ) µ () (k, k ) 8 + J(k) { µ () (k + k k, k) µ () (k k, k + k) }, (44) kde prví čle odpovídá eiteragujícím excitacím, zatímco druhý čle popisuje mago-magoovou iterakci. 0 0

11 .5 Podmíka selfkozistece získaý vztah pro korelačí fukci, rov. (7), eí koečým řešeím problému, ebot váhy w(k) ai středí hodota spiu s z a magoové eergie E(k) ejsou dosud jedozačě určey. K odstraěí této ejedozačosti je uto využít algebru lokálích spiových operátorů, rov. (5, 6, 7). iverzí mřížková Fourierova trasformace k rov. (3) dává M 0 (ω) = exp(ik T ) M(k, ω), (45) kde počet k-bodů v součtu je rove počtu uzlů ve velkém (ale koečém) krystalu s periodickými hraičími podmíkami. přejde součet v rov. (45) a itegrál přes BZ: lim F (k) = V BZ kde F (k) je libovolá fukce a V BZ je objem BZ. BZ Pozameejme, že pro F (k) d 3 k, iverzí Fourierova trasformace vzhledem k časové proměé dává viz rov. (7)]: s (t)s+ 0 = π s + 0 s (t) = π exp(iωt)m 0 (ω)dω, ve speciálím případě t = 0 se to zredukuje a s s + 0 = π s + 0 s = π a užití rov. (7) a rov. (45) dává exp(iωt)m 0 (ω) exp(βω)dω M 0 (ω)dω, M 0 (ω) exp(βω)dω, s s+ 0 = s + 0 s = exp(ik T ) w(k), exp(ik T ) w(k) expβe(k)] (46) využijme komutačí relaci plyoucí z rov. (7), s + m, s ] = δ m s z m, (47)

12 která po termodyamickém vystředováí dává a po substituci rov. (46) s + 0, s ] = s+ 0 s s s+ 0 = sz δ 0, exp(ik T ) w(k) {expβe(k)] } }{{} g(k) = s z δ 0. Teto vztah platí pro všechy uzly (pro všechy traslačí vektory T ), což zameá, že fukce g(k) se redukuje a kostatu ezávislou a k, tj. g(k) = s z, a w(k) = s z expβe(k)]. (48) Pozameejme, že magoové váhy w(k) jsou úměré středí hodotě spiu s z a Bose-Eisteiově obsazovací fukci pro magoové eergie E(k). Jediou ezámou veličiou ve váhách w(k), rov. (48), a v eergiích E(k), rov. (6), tak zůstává středí hodota spiu s z ; pro daou teplotu T a vější pole b jsou váhy a eergie magoů reormalizováy podle aktuálí hodoty s z = s z (T, b). další postup využívá algebraické vztahy pro spiové operátory a jediém uzlu, viz rov. (5): což vede a s + s = 0 0 0, s s + = s + s + s s + =, s z = s s +. (49) Termodyamické středováí prví z rov. (49) dává s + 0 s 0 + s 0 s+ 0 =,, a po substituci rov. (46) a rov. (48) též s z w(k) {expβe(k)] + } =, expβe(k)] + expβe(k)] = sz ] βe(k) coth =. posledí rovice společě s rov. (6) vedou k selfkozistetí podmíce pro s z : s z = β { b + J J(k) ] } s z coth, (50)

13 s z k B T/J 0 (k B T/J ) 3/ Figure : Teplotí závislost spotáí magetizace s z získaá z rov. (50) pro b = 0 v modelu defiovaém v obr. (plé čáry). Přerušovaé čáry začí závislost získaou v aproximaci středího pole; pravý pael ukazuje ízkoteplotí oblast a ilustruje Blochův záko, rov. (55). která uzavírá celý postup a implicitě defiuje závislost s z příklad a obr. = s z (T, b), viz.6 Srováí s MFA selfkozistetí podmíka v aproximaci středího pole (MFA) pro klasický Isigův model zí: s = tahβ(b + J s)], s = cothβ(b + J s)], zatímco v MFA pro kvatový Heisebergův model, rov. (4), je dáa vztahem: ] β(b + J sz ) s z = tah, ] β(b + J s = coth sz ). z Obě tyto podmíky jsou podobé s rov. (50), což je zejméa patré, pokud se vezme do úvahy platost vztahu který představuje sumačí pravidlo pro veličiu J(k). J(k) = J 00 = 0, (5) 3

14 .7 Curieova teplota v limitě malých polí b a vysokých teplot T lze klást coth(x) x pro x, čímž se rov. (50) zjedoduší a s z = β { b + J J(k) ] s z }. Curieova teplota je charakterizováa existecí malé eulové hodoty s z v epřítomosti vějšího pole (b = 0): s z = β J J(k) ] s z, což dává ásledující výraz pro Curieovu teplotu T RM C : k B T RM C = 4. (5) J J(k) Pozameejme, že v případě feromagetu platí pro všechy vektory k BZ erovost J J(k) tj. všechy eergie magoů E 0 (k) jsou ezáporé]. Curieova teplota v MFA je explicitě dáa vztahem k B T MF A C = 4 J = 4 J J(k) ], (53) kde druhý výraz platí díky rov. (5). Ke srováí obou Curieových teplot lze využít zámý teorém o aritmetickém a harmoickém průměru kladých čísel; to dává T MF A C T RM C = ] J J(k) J J(k) >, takže reormalizovaé magoy vedou k ižší Curieově teplotě ež MFA (viz obr. )..8 Chováí při ízkých teplotách v limitě ízkých teplot (T 0) a pro ekoečě malé kladé vější pole (b 0 + ) se středí hodota magetizace blíží ke své asyceé hodotě s z /. Odchylku s z od této limití hodoty, způsobeou malou koečou teplotou T > 0, lze získat termodyamickým vystředováím druhé z rov. (49): s z = s 0 s + 0 = 4 w(k),

15 kde se využilo rov. (46). Substituce rov. (48) dává s z = s z expβe(k)] expβe 0 (k)], (54) kde jsme v posledím výrazu ahradili hodotu s z při T > 0 její limitou pro T = 0 a využili jsme magoovou disperzí závizlost při ulové teplotě, rov. (40). Tvar rov. (54) ukazuje, že počátečí sížeí magetizace je způsobeo teplotí excitací magoů. domiatí příspěvek ke druhému čleu rov. (54) je díky ízkoeergetickým magoům s dlouhými vlovými délkami, viz rov. (4). Pro 3-dimezioálí systémy tak může být druhý čle v rov. (54) aproximová výrazem 4π V BZ 0 expβe 0 (k)] V BZ BZ k exp(βdk ) dk = exp(βdk ) d3 k π V BZ (βd) 3/ 0 y / exp(y) dy, takže akoec vyjde s z (T ) α T 3/, (55) kde α je ějaká kostata. Rovice (55) vyjadřuje Blochův třípoloviový záko, viz obr...9 Reormalizovaé magoy shrutí teorie reormalizovaých magoů pro kvatové izotropí heisebergovské feromagety je lepší ež MFA v ásledujících bodech: + dává ulovou Curieovu teplotu pro - a -dimezioálí systémy, ve shodě s Mermi-Wagerovým teorémem + pro 3-dimezioálí systémy reprodukuje Blochův záko pro ízkoteplotí chováí středí hodoty magetizace v dalších bodech však teorie reormalizovaých magoů selhává: kritické chováí se vyzačuje kritickými expoety shodými s MFA 5

16 magetické uspořádáí a krátkou vzdáleost ad Curieovou teplotou je zcela zaedbáo, podobě jako v MFA koečá doba života magoů (v důsledku mago-magoové iterakce) je zaedbáa 6