11. Projektivní prostor

Transkript

1 11. Projektivní prostor Definice Nechť V je vektorový prostor dimenze n. Projektivním prostorem P(V) dimenze n 1rozumímemnožinusměrůve V,neoli P(V)={ v v V, v o}, dim(p(v))=dim(v) 1. Říkáme,žeprojektivníprostor P(W)jepodprostorem P(V),pokud W je(vektorový)podprostor V.Prvky P(=směryve V)neolipodprostorydimenze0nzývámegeometrickéody,neotéž projektivní ody. Je-li v projektivní od, pk liovolnému vektoru u v říkáme ritmetický zástupce projektivního odu v. Podprostorům dimenze 1 říkáme projektivní přímky, podprostorům dimenze 2 říkáme projektivní roviny. Podprostorům dimenze n 1 říkáme projektivní ndroviny. Jsou-li P(U), P(W)podprostory P(V),jejichspojenímresp.průnikemrozumímepořděpodprostory P(U W), P(U W). Projektivní prostor dimenze n tedy vznikne z vektorového prostoru V dimenze n 1 tím, že vezmeme nenulové vektory ve V ztotožníme vektor s jeho liovolným násokem. Všimněme si, že projektivní prostor dimenze 1 je prázdná množin. W A(W) ody v nekonečnu u o U = u,v A(W) v W U = Orázek 1: Předstv projektivního prostoru. Vnšemkurzusenámudouprojektivníprostoryhoditkestudiu kvdrtických útvrůvfinníchprostorech zejménva(r 2 )(elipsy,hyperooly,proly)va(r 3 )(elipsoidy,proloidy, hyperoloidy). Podívejmesenprojektivníprostor P(R 3 )(jetotedyprojektivníprostordimenze2).vr 3 vezmeme 1

2 liovolnou rovinu A(W) neprocházející počátkem, říkejme jí projekční plátno. Projektivní prostor P(R 3 )jedefinovánjkomnožinsměrůvr 3,jinýmislovy,množinpřímekprocházejícíchpočátkem. Kždémuodu nplátně(v A(W))odpovídáodvP(R 2 ) tpřímk,kteráprocházíodem. Norázkuodu odpovídásměr u,odu odpovídásměr v.nopk, téměř kždémuoduv P(R 3 )odpovídáodnplátně jehoprůniksplátnem. Téměř zdeznmená:kroměsměrůve W, tedysměrůrovnoěžnýchsplátnem.bodůmvp(w)(=směrůmve W =přímkámprocházejícím počátkem ležícím ve W) říkáme nevlstní ody. To, které ody jsou nevlstní smozřejmě závisí n tom, km plátno postvíme. Uvžujme teď projektivní přímku P( u, v ). Tto přímk n plátně vypdá(rozuměj průnik s plátnem je)jkopřímkprocházejícíody,.nvícnníležíprojektivníod. Někdy je výhodné si projektivní prostor předstvovt jen n plátně, v nšem přípdě, ez třetího rozměru:kfinnírovině A(W)sipřidámenevlstníody.Jedenodkekždémusměru w ve W.Předstvujemesijejjko odležícívnekonečnu vesměru w.projektivnípřímkyjsoupk finnípřímky,kekterýmpřidáme odvnekonečnu odpovídjícísměrutétopřímky.mámeještě jednu projektivní přímku, t je tvořená nevlstními ody. Všimněte si, že i dvě rovnoěžné přímky se protínjí v nevlstním odě odpovídjícím jejich společnému směru(koleje se síhjí v nekonečnu). Uprojektivníhoprostoru P(R 4 )jižvizuálnípředstvpodonájko P(R 3 )chyí šptněsepředstvujevektorovýprostordimenze4plátnoneprocházejícípočátkemdimenze3.stálesivšk P(R 3 ) můžeme předstvovt jko finní prostor dimenze 3, ke kterému přidáme ody v nekonečnu, ke kždému směru jeden. Čtenář si jistě rozmyslí, jk vypdjí projektivní ody, přímky roviny v tomto prostoru předství si, jk vypdá průnik dvou rovnoěžných rovin. Dohromdy máme dvě předstvy projektivního prostoru dimenze n: množinsměrůvevektorovémprostorudimenze n+1(tojedefinice), množinodůfinníhoprostorudimenze n+ odyvnekonečnu prokždýsměrjeden. Tvrzení11.2. Nechť P(U), P(W)jsoupodprostoryprojektivníhoprostoru P(V)konečnédimenze. Pk dim(p(u W))+dim(P(U W))=dim(P(U))+dim(P(W)). Důkz. To je pouze důsledkem věty o dimenzi spojení průniku pro vektorové prostory(umžeme-li písmen P,výrzynooustrnáchsezvětšío2). Běhemmotivčnáchúvhjsmesivšimli,žedvěrůznéprojektivnípřímkyvP(R 3 )seprotínjívjednom projektivnímodě,žeprůnikemdvourůznýchrovinvp(r 4 )jeprojektivnípřímk.oecněpltí: Pozorování11.3.Nechť P(U), P(W)jsoudvěrůznéndrovinyprojektivníhoprostoru P(V)dimenze n.pk P(U W)jepodprostordimenze n 2. Důkz.Plynezpřechozíhotvrzení,protožepokud U W U, Wjsoundroviny,pk U W= V. 2

3 Kolineární zorzení, Kolinece Definice11.4.Nechť V, W jsouvektorovéprostoryf: V W monomorfismus.zorzení K: P(V) P(W)definovnépředpisem K( v )= f(v), v V nzýváme kolineární zorzení vytvořené homomorfismem f, znčíme K = f. Kolineární zorzení K: P(V) P(V)nzývámkolinece. Bod v P(V),prokterý K( v )= v nzývámesmodružnýodkolinece K. Protože f jehomomorfismus, f(u) = f(v),pokud u = v.protože f jemonomorfismus,je f(v) oprov o.definicejetedykorektní.všimněmesi,žedvěkolineárnízorzení < f >, < g >: P(V) P(W)serovnjíprávětehdy,když fjenenulovýnásoek g. Geometrickámotivce.Uvžujmeprojektivníprostor P(R 3 )vněmplátno A(W).Připomeňme, žemonomorfismy(=izomorfismy) f: R 3 R 3 silzepředstvitjko lineárnídeformce.uvžujme (nekonečný)kuželvr 3 svrcholemvpočátku.podleotočení(cožjemonomorfismus R 3 )setentokužel jeví n plátně jko elips, prol neo hyperol. Tedy kolinecí můžeme n see vzájemně převádět elipsy, proly hyperoly ojekty, které n plátně vypdjí úplně jink(nedjí se n see převést finním zorzením). Tuto kolineci vytvořenou otočením si lze v A(W) předstvit tk, že postupně zvětšujemeelipsu směremknekonečnu.kdyželipsuzvětšímedosttečně,dotknesevjednomodě nevlstní přímky, máme prolu. Když ještě udeme pokrčovt, vyleze elips z druhé strny finníhoprostoru,mámehyperolu. Orázek 2: Orz elipsy při různých kolinecích. Bod v P(V)jepodledefinicesmodružnýprávětehdy,když f(v)=t vpronějkýprvek t T, tj.právěkdyžvjevlstnívektor f. Příkld.Určetesmodružnéodykolinece Kprojektivníhoprostoru P(R 3 )vytvořenéutomorfismem f: f(x 1, x 2, x 3 )=(2x 1 x 3,2x 1 + x 2 2x 3,3x 1 2x 3 ). 3

4 Řešení. Mtice f vzhledem ke knonické ázi je A= Vypočteme chrkteristický polynom mtice A: 2 λ 0 1 A λe = 2 1 λ 2 =(1 λ) λ λ λ Vlstníčísljsou λ= 1λ=1.Vypočtemevlstnívektory.Pro λ= 1máme ( ) A E= =(1 λ)( 4+λ2 +3)= (1 λ) 2 (λ+1). Projektivníod (1,2,3) jesmodružnýod K.Pro λ=1je ( A+E= ). Tedyvšechnyodyprojektivnípřímky P( (1,0,1),(0,1,0) )jsousmodružnéody K. Tvrzení Nechť V jevektorovýprostornd T, P(V)jeprojektivníprostordimenze n, K : P(V) P(V)jekolinece.Pokud T= C,neo T= Rnjesudé,pk Kmásmodružnýod. Důkz.Řekněme,že Kjevytvořenhomomorfismem f: V V.Protoževíme,žesmodružnéody kolinece odpovídjí vlstním vektorům f, stčí dokázt, že f má vlstní číslo. Vezmeme mtici A homomorfismu f vzhledem k liovolné ázi prostoru V. Vlstní čísl jsou kořeny chrkteristického polynomu mtice A. Nd tělesem komplexních čísel má kždý polynom lespoň jeden kořen, tedy jsme hotovi.vpřípdě T = Rsistčíuvědomit,že Amátyp n+1,tedychrkteristickýpolynommá stupeň n+1.kždýpolynomlichéhostupněnd Rmákořen(polynomjespojitáfunkce,limitydo mjíopčnáznménk). Aritmetická áze, geometrická áze Mějmeprojektivníprostor P(V).Liovolnéázi Mprostoru V říkámeritmetickááze P(V).Souřdnicím vektoru v v ázi M říkáme homogenní souřdnice projektivního odu v. Je zřejmé, že homogenní souřdnice geometrického odu jsou určeny jednoznčně ž n násoek. Npříkld (2,4,6),(1,2,3),( 3, 6, 9)jsouhomogennísouřdniceprojektivníhoodu (1,2,3). Homomorfismus f : V W vektorových prostorů je jednoznčně určen orzy prvků áze. Nvíc víme, že orzy prvků áze si můžeme liovolně předepst zorzení rozšířit n homomorfismus. U projektivních prostorů podonou roli hrje geometrická áze. Následující příkldy ukzují, že ritmetická áze tuto funkci neplní. 4

5 Příkld.Neexistujekolince K: P(R 2 ) P(R 2 ),prokterou K( 0,1 )=K( 1,0 )= 1,2.Kdyy no,muselyexistovthomomorfismus f : R 2 R 2,kterýjejvytváří.Tedypltiloy f(1,0)= t 1 (1,2), f(0,1)=t 2 (1,2)pronějkánenulováčísl t 1, t 2 R 2.Pklezřejmě fnenímonomorfismus (npř.vektor(t 2, t 1 )sezorzínnulovývektor,vlstněker(f)= t 2, t 1 ). Příkld.Existujenekonečněmnohorůznýchkolinecí K: P(R 2 ) P(R 2 ),prokteré K( 0,1 )= 0,1, K( 1,0 )= 1,0 :Nknonickéázidefinujememonomorfismus f npř.tkto f (0,1)=(0,1), f (1,0)=(,0).Jejsné,žeprokždénenulovéčíslo Rmá f poždovnouvlstnost,přičemž prorůzná jsou f různé. Nechť P(V)jeprojektivníprostordimenze n.množinu M= { m 1,..., m n+2 }nzvemegeometrickou ází prostoru P(V), pokud žádná n+1-tice odů z M neleží v jedné ndrovině(ekvivlentně, pokud liovolní ritmetičtí zástupci odů této n + 1-tice tvoří ázi V). Npříkldpředstvujeme-lisi P(R 3 )jkofinnírovinu+ odyvnekonečnu,pkgeometrickouázi tvoříčtyřiody,znichžžádnétřineležínjednépřímce. Příkld. Nechť B = {v 1,...,v n+1 } je ritmetická áze P(V) (neoli B je áze V). Pk M = { v 1,..., v n+1, v v n }jegeometrickááze P(V). N druhou strnu pltí: Tvrzení11.6.Je-li { m 1,..., m n+2 }geometrickááze P(V),pkexistujíritmetičtízástupciv i m i tkoví,žev n+2 =v v n+1. Důkz.Protože {m 1,...,m n+1 }jeáze,můžemevektorm n+2 vyjádřitjko m n+2 = t 1 m ,t n m n+1, t i T. Stčídokázt,že t i 0proliovolné i=1,2,...,n+1 položímev i = t i m i, i=1,2,...,n+1 v n+2 =m n +2.Alepokud t i =0pronějké i,pk {m 1,...,m i 1,m i+1,...,m n+2 }neníáze. Dlší příkld je motivcí k následujícího tvrzení. Příkld.Určetekolineci K: P(R 3 ) P(R 3 ),prokterou K( 0,0,1 )= 2,3, 1, K( 0,1,1 )= 1,0,2, K( 1,1,1 )= 3, 1,0, K( 1,2,3 )= 7,2, 5 (pokud existuje). Řešení.Zkusímenjíthomomorfismus f : R 3 R 3.Ayylysplněnypodmínkynkolineci,je nutnéstčí,y f(0,0,1)=(2,3, 1), f(0,1,1)=( 1,0,2), f(1,1,1)=c(3, 1,0), f(1,2,3)=d(7,2, 5). Množin M= {(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}jezřejměáze R 3.Vyjádříme(1,2,3)vtétoázi:(1,2,3)= (0,0,1)+(0,1,1)+(1,1,1).Musítedypltit d(7,2, 5)=f(1,2,3)=f(0,0,1)+f(0,1,1)+f(1,1,1)=(2,3, 1)+( 1,0,2)+c(3, 1,0). 5

6 Protože liovolný nenulový násoek f vytváří stejnou kolineci, můžeme jednu z proměnných liovolně(nenulově)zvolit.zvolíme d=1vyřešímepříslušnousoustvurovnic.vyjde =1, = 2, c = 1. Vidíme, že kolinece je jednoznčně určen homomorfismus, který ji vytváří je násokem homomorfismu f určeného vzthy f(0,0,1)=(2,3, 1), f(0,1,1)=( 1,0,2), f(1,1,1)=(3, 1,0), Protožesndnoověříme,ževektorynprvéstrnětvořílineárněnezávisloumnožinuvR 3 (tj.ázi), je f monomorfismus. Tedy kolinece, která vyhovuje dným vzthům existuje je určen jednozčně jetokolinecevytvořenáhomomorfismem f.připoňme,žemtice fvzhledemkmknonickéázi je {f} k.. M = Jko cvičení si můžete určit mtici f vzhledem ke knonickým ázím. Tvrzení11.7.Nechť M= {m 1,...,m n+2 }Q={q 1,...,q n+2 }jsoudvěgeometrickéázeprostoru P(V).Pkexistujeprávějednkolinece K: P(V) P(V),proníž K( m i )= q i (i=1,2,...,n+ 2). Důkz.Existence:Zvolímeritmetickézástupceu i m i,v i q i,yu n+2 =u u n+1, v n+2 =v u n+1.definujemehomomorfismus f : V V určenímorzůáze: f(u i )=v i, i=1,...,n+1.potomzřejmě fjeizomorfismusf(u n+2 )=v n+2.tedykolinece Kvytvořená f splňuje K( m i )= q i (i=1,2,...,n+2). Jednoznčnost: Zvolíme ritmetické zástupce jko v předchozím odstvci homomorfismus f: V V, kterývytváří K.Protože K( m i )= q i musíýt f(v i )=r i u i, i=1,...,n+2.bezújmynoecnosti, předpokládejme,že r n+2 =1.Protože fjehomomorfismus,máme u n+2 = f(v n+2 )=f(v v n+1 )=f(v 1 )+...+f(v n+1 )=r 1 u r n+1 u n+1. Oznčme M= {u 1,...,u n+1 }.Protože Qjegeometrickááze,je Máze.Přejdeme-livpředchozím vzthu k vyjádřením vzhledem k M dostneme {u n+2 } M =(1,1,...,1)=r 1 {u 1 } M +...+r n+1 {u n+1 } M = r 1 e r n e n =(r 1,...,r n ). Tedy r 1 =...=r n+1 =1. 6

7 Projektivní rozšíření finního prostoru Projektivníprostor P(V)jsmesivpředchozíchčástechpředstvovlin projekčnímplátně finním prostoru A(W)dimenze ndoplněnémo odyvnekonečnu.nopkkfinnímuprostoru A(W) můžemevytvořitprojektivníprostor P(V)téžedimenzepodleorázku1vlevo:Podívámesen A(W) zodumimotentofinníprostor(od zjinédimenze ).Tentood(říkejmemupočátek)udenulový vektorve V,vektorspojujícípočáteksodem Aoznčímejehonásokyoznčíme t (t T). Do VještěmusímepřidtvektoryvycházejícízpočátkurovnoěžnésW,tojsouvlstněpřesněvektory z W.Formálně,položíme V := {t t T, A} W. W A(W) 2 w w Orázek3:Projektivnírozšíření A(W),dim(W)=1. Operce n V definujeme tk, y to opět odpovídlo předstvě n orázku 1 vlevo. K definici opercí můžemepoužítpouzeopercevfinnímprostoru A(W).Sklárnínásoeníprvkem r T udepro w Wdefinovánostejnějkove Wpro t položíme r (t )=(rt).sčítánídvouvektorůzw definujeme stejně jko ve W. V osttních přípdech položíme(viz orázek) t t := t ( ) t +s := (t+s) (+ s ( )),pokud t s t+s t +w := t (+ 1 t w) Afinníod Aztotožnímesprojektivnímodem P(V).Nyní P(V)=A P(W).Stejně jko v úvodu, ndrovině P(W) říkáme nevlstní ndrovin projektivním odům ležícím v této ndroviněříkámenevlstníody,nevlstníodyjsousměryve W.Osttnímodů(tj.odůmvA) říkáme vlstní. Intuitivně je zřejmé, že V je skutečně vektorový prostor. Formální ověření xiomů je ve cvičeních. 7

8 2 2 ( w) w 2 ( ) 1 2 w w ( ) 5 ( + 3 ( )) 5 3 Orázek4:Sčítánívprojektivnírozšířeníprostoru A(W),dim(W)=1. Definicetvrzení11.8.Mějmefinníprostor A(W)dimenze n,jehoprojektivnírozšíření P(V) soustvu souřdnic S= {,m 1,...,m n } v prostoru A(W). Aritmetickou ázi S= {,m 1,...,m n } nzýváme ritmetickou ází indukovnou S. Máme-liod Avektorw W,jejichžvyjádřenívsoustvě Sjsou {} S =(x 1,...,x n ), {w} S =(y 1,...,y n ), pkvyjádřenívektorů,w V vindukovnéázijsou {} S=(1, x 1,...,x n ), {w} S =(0, y 1,...,y n ). Bod P(V)mátedyhomogennísouřdnice(t, tx 1,...,tx n ).Bod w P(V)máhomogenní souřdnice(0, ty 1,...,ty n ) 8

9 Tvrzení osžená v definici jsou zřejmá. Mějme finní prostor A(W) jeho pevně zvolenou soustvu souřdnic S. Aychom zpřehlednili vyjdřování,zvedemenásledujícíúmluvu.mluvíme-lioodu(x 1,...,x n ),myslímetímod A, jehožsouřdnicevzhledek Sjsou(x 1,...,x n ).Mluvíme-liopřímce(x 1,...,x n )+ (y 1,...,y n ) mínímepřímku + w,kde másouřdnice(x 1,...,x n )wmásouřdnice(y 1,...,y n )vyhledemks. Podoně pro jkékoliv podmnožiny A. Nechť P(V)jeprojektivnírozšíření A(W).Mluvíme-lioodu (x 1,...,x n+1 ),myslímeod,jehož homogennísouřdnicejsou(x 1,...,x n ).Podoněpropřímky,td. Příkld.Mějmefinníprostor A(R 3 )jehosoustvusouřdnic S. Projektivním rozšířením přímky p procházející ody(2, 3, 4),(5, 6, 8) je projektivní přímk P( (1,2,3,4),(1,5,6,8) ).Ntétopřímceležíprávějedennevlstníod (0,1,1,2),kterýodpovídá směru (1,1,2) vr 3. Projektivnímrozšířenímpřímky p=(1,2,3)+ (4,5,6) jeprojektivnípřímk P( (1,1,2,3),(0,4,5,6). Projektivnímrozšířenímroviny ρ=(1,2,3)+ (4,5,6),(7,8,9) jeprojektivnírovin P( (1,1,2,3),(0,4,5,6),(0,7,8,9) ).Množinnevlstníchodůtétoprojektivnípřímkyje P( (0,4,5,6),(0,7,8,9) ). Tvrzení11.9.Nechť A(W)jefinníprostor, P(V)jehoprojektivnírozšíření. Nechť F: A(W) A(W)finníizomorfismusvytvořenýizomorfismem f: W W.Pkexistujeprávě jednkolinece K: P(V) P(V),kterározšiřuje F,tj.tková,že K A=F.Nevlstníndrovinje přitétokolinecismodružná(vsymolech K(W)=W). Nopk,nechť K: P(V) P(V)jekolinecevytvořenáizomorfismem g: V V tková,že K(W)= W.Pk K Ajefinnízorzení(vytvořenéizomorfismem g W). Důkz.Prvníčásttvrzení:Předpokládejme,žeizomorfismus g:v V vytváří K Krozšiřuje F. Protože K(A)=A, P(V)=A P(W)Kjeijekce,máme K(W)=W,neoli g(w)=w.protože Krozšiřuje F musíproliovolnýod Apltit K()=F(),neoli g()=t F().Protože g jehomomorfismus,musíproliovolnédvody, Apltit g( )=t F() t F().Vlevo jevektorvnevlstníndrovině(protože W g(w)=w),tedyivprvomusíýtvektorz nevlstníndroviny.tonstneprávětehdykdyž t = t.tkžemáme t Ttkové,že g()=t F() proliovolnýod Ag(w)=g((+w) w)=t F(+w) t F()=t f(w)proliovolný vektorw W.Shrnuto zorzení gjeurčenojednoznčněžnnásoekvzthy g()=t F(), g(w)=t f(w). N druhou strnu je sndné ověřit, že tkto definovná ijekce je skutečně homomorfismem. Vdruhéčástistčíověřit,že F()=K()pro Ajefinnízorzenívytvořenéhomomorfismem g W.Tojesndné. Zorzení K z předchozího tvrzení říkáme projektivní rozšíření finního zorzení F. 9

10 Dvojpoměr, geometrická chrkterizce kolineárních zorzení Víme, že finní zorzení zchovávjí dělicí poměr(trojpoměr). Dokázli jsme, že tto vlstnost dokonce finní zorzení chrkterizuje(pro těles chrkteristiky různé od 2). Podonou úlohu v projektivních prostorech hrje dvojpoměr. Definicetvrzení Nechť v 1, v 2, v 3, v 4 jsoučtyřirůznéodyležícínprojektivní přímce v projektivním prostoru P(V). Jejich dvojpoměrem rozumíme číslo kde r 3, s 3, r 4, s 4 Tjsoutkové,že ( v 1, v 2, v 3, v 4 ):= s 3r 4 r 3 s 4, v 3 = r 3 v 1 + s 3 v 2, v 4 = r 4 v 1 + s 4 v 2. Toto číslo nezávisí n volě ritmetických zástupců, tkže definice je korektní. Čtveřice v 1, v 2, v 3, v 4 senzýváhrmonická,pokud( v 1, v 2, v 3, v 4 )= 1. Máme-ličtyřirůznéody,, c, dfinníhoprostoru A(V)ležícínfinnípřímce,pkvprojektivním rozšíření prostoru A(V) pltí (c;, ) (,, c, d )= (d;, ). Máme-litřirůznéody,, cfinníhoprostoru A(V)ležícínfinnípřímceosměruu,pkv projektivním rozčíření prostoru A(V) pltí (,, c, u )=(c;, ). Bod cjestředemúsečky, právětehdy,když,, c, u jehrmonickáčtveřice. v 1 v 3 v 3 = r 3 v 1 + s 3 v 2 ( v 1, v 2, v 3, v 4 ) = s3r4 r 3s 4 = v 4 r 3 = 1.36 v 1 r 4 = 0.48 v 4 = r 4 v 1 + s 4 v 2 v 2 v 2 s 4 = 1.23 s 3 = 0.74 Orázek 5: Dvojpoměr. 10

11 Nejprve si všimneme, že dvojpoměr nezávisí n volě ritmetických zástupců. Vezmeme-li místo vektoruv 1 jeho t-násoek(t T),pkseprvky s 3, s 4 nezměníprvky r 3, r 4 sevydělíprvkem t.výrz zdefinicedvojpoměrusetedynezmění.vezmeme-limístovektoruv 2 jeho t-násoek,pksenezmění s 4, r 4 prvky s 3, r,3jevynásoí t,tedyvýrzzdefinicedvojpoměruseopětnezmění.podoněpro dlší dv vektory. Vět Nechť V, W jsou vektorové prostory konečené dimenze nd tělesem chrkteristiky různé od2, K: P(V) P(W)jezorzení.Pkjeekvivlentní: (i) K je kolineární zorzení. (ii) Kzchovávádvojpoměr,tj.proliovolnoučtveřicipodvourůznýchodů v 1,..., v 4 ležících n jedné projektivní přímce, jejich orzy jsou po dvou různé, leží n jedné projektivní přímce (K( v 1 ), K( v 2 ), K( v 3 ), K( v 4 ))=( v 1, v 2, v 3, v 4 ). 11