eorie sigálů poskyuje společý eoreický základ pro řadu růzých oborů: elekomuikačí echika radioechika akusika seismologie biomedicícké ižeýrsví eergeika chemické echologie elekroické zpracováí řeči, hudby a obrazu
Sezam doporučeé lieraury. J. Uhlíř, P. Sovka, Číslicové zpracováí sigálů, ČVU Praha,. J. Pospíšil, Aalýzy a přeosové aspeky sigálů, UP Olomouc (skripum), 994 3. Yeug, R. W., A irs Course i Iormaio heory, Spriger, New York, USA 4. Ago, A., Užiá maemaika pro elekroechické ižeýry, SNL Praha 97 5. Youg, P. H., Elecroic commuicaio echiques, Ch.E.Merrill Publ. Comp. ad Bell - Howel Comp. Columbus 985 6. Eriger, Z., Skleář, J., Sigály a sousavy, VU Bro (skripum) 98 7. Levi, B.R., eorie áhodých procesů a její aplikace v radioechice, SNL Praha 965 8. Hoer, V., Úvod do eorie sigálů, SNL Praha 987 9. Bajcsy, J., Víovec, J., elemeria a preos údajov, Ala Braislava a SNL Praha 988. Bogr, J., Čajka, J., Šebesa, V., eorie přeosu zpráv, SNL Praha 975
y() y() Sigál je časový průběh určié deermiovaé ebo áhodé yzikálí veličiy. Klasiikace: Spojiý sigál je deiová pro všechy hodoy ezávislé proměé Diskréí sigál ezávislá proměá abývá pouze celočíselých hodo 8 8 6 6 4 4 - - -4-4 -6 4 6 8-6 3 4 5 6 7 8 9 Aalogový sigál je přímým obrazem yzikálích jevů (apř. sigál z mikroou) Číslicový (digiálí) sigál sigál vyjádřeý koečou řadou číslic
y() y() Sigál deermiisický popsá ukcí ebo poslouposí, jejíž každou hodou lze pro daý časový okamžik přesě vypočía (zpravidla podle ějakého maemaického předpisu) Sigál áhodý elze urči, jakých hodo abude v jedolivých časových okamžicích - hodoy jsou ierpreováy jako sousava áhodých proměých ebo je průběh sigálu popsá saisickými charakerisikami (sř. hodoa, sř. kvadraická hodoa, rozpyl, auokorelačí ukce, spekrálí husoa, koherečí ukce) 8 6 4 y=*si().9.8.7.6 - -4.5.4.3.. -6 4 6 8 3 4 5 6 7 8 9
Sigály periodické: exisuje >... perioda, y() = y(+) pro všecha základí perioda... ejmeší z period Periodický sigál je součem harmoických sigálů, přičemž poměr libovolých dvou rekvecí je racioálí číslo. možos vyjádřeí pomocí ourierovy řady Neí-li poměr rekvecí harmoických složek racioálí, jedá se o éměř periodický sigál. y( ) A si( ) Sigály s koečou eergií (apř. sigály vziklé vyjmuím jedé periody z periodického sigálu, sigály s koečou dobou rváí) Sigály s ekoečou eergií (apř. áhodé sacioárí sigály, periodické a éměř periodické sigály)
x() x() Komplexí expoeciála x() = Ce a, a, C... komplexí čísla a, C reálá reálá expoeciála (klesající, rosoucí) apř. při popisu přechodých dějů v elekrických obvodech a = kosaí sigál a... ryze imagiárí periodický sigál základí perioda = /,... základí úhlová rekvece sigálu reálá čás komplexí expoeciály harmoický sigál příklad sigálu s komplexími hodoami a, C: x Ce x j r Ce cos - expoeciálě lumeý siusový sigál.8.6.4..8.6.4. x() = Ce a r x Ce cos.5 a = -, C =.5 -.5 - C =, =, = /6, r = -,5 3 4 5 -.5 4 6 8
x() x().5 Jedokový skok (Heavisideova ukce) x() = pro x() = pro > - eí spojiý v bodě =.5 -.5-4 - 4 6 Jedokový impulz (Diracova dela ukce) pro pro d.5.5.5 ilusračí gra: -.5-3 - - 3
x() x() Jedokový skok (Heavisideova ukce) x[] = pro < x[] = pro..8.6.4 Jedokový impuls (Diracova dela ukce) x[] = pro x[] = pro =. -. -5 5 příklad užií souči sigálu s impulsí ukcí dává hodou sigálu v čase pomocí hodoy v čase ula x[] [] = x[] [] obecě: x[] [- ] = x[ ] [] př.: vyjádřeí jedokového skoku x k k..8.6.4. -. -5 5
Sigál může slouži k přeosu sděleí (zprávy, isrukce, iormace) sdělovací sigál Sdělovací kaál prosředí, ve kerém probíhá přeos sdělovacího sigálu z vysílače do přijímače Spojeí přeos sděleí od odesílaele k příjemci; spojeí může podléha rušeí a zkresleí Rušeí souhr vějších a viřích rušivých vlivů, včeě šumu, keré působí a sdělovací sousavu sále i za epříomosi sigálu Zkresleí vziká pouze při přeosu sigálu přeosovou sousavou
Odesílael působí sděleím a símací měič (apř. mikroó), jehož výsupem je primárí (ízkorekvečí) sigál. Vysílač převáří primárí sigál v sekudárí (vysokorekvečí) sigál vhodý k dalšímu přeosu (modulace, užií kódového klíče). V přijímači se sdělovací sigál převádí zpě a sděleí (demodulace)
Sdružovač zařízeí pro uspořádáí jedolivých sděleí ve společý mohocesý sigál Rozdělovač vyčleňuje jedolivá sděleí do pařičých sdělovacích ces Přeslech rušeí sigály sousedích sdělovacích ces ežádoucím přechodem eergie z jedé do druhé sdělovací cesy eorie sdělováí suduje přeos a zpracováí deermiovaých a áhodých sdělovacích sigálů a při om sleduje hledisko vlivu zkresleí a rušeí.
Reálý periodický sigál s() lze rozloži ve ourierovu řadu: j s a e a e j... komplexí ourierova ampliuda... základí úhlová rekvece... možia orogoálích ukcí a a e j a / s ( ) e / j d a... reálá ourierova ampliuda... ourierova áze
cos si B A B s / / )d ( s B / / d )si ( s A / / d )cos ( s B Dílčí reálé ourierovy ampliudy:
Reálá periodická ukce s() je schopa ourierovy aalýzy, jesliže splňuje Dirichleovy podmíky:. s() má ejvýše koečý poče espojiosí. s() má ejvýše koečý poče exrémů 3. je splěa podmíka absoluí iegrovaelosi ukce s() a iervalu (- /, /) Sředí výko sigálu P / s / ( )d a a... ourierovy ieziy; výkoové ourierovo spekrum
Jedorázový impulz - vykazuje koečou eergii: - koečá doba rváí impulzu se evyžaduje s( ) d - předpokládá se splěí Dirichleových podmíek - limií případ periodického sigálu: a / s ( ) e / j j s a e, / d a d, d j s( ) e d a a - přímá ourierova rasormace s( ) π j a e d - ourierův iegrál - zpěá ourierova rasormace d
Jiý zápis přímé a zpěé ourierovy rasormace: s( ) S S e jπ d j π S ( ) s s e d Vlasosi :. Liearia (pricip superpozice). Změa měříka času 3. Dualia 4. Posu v čase 5. Posu ve rekvečí oblasi ag bh ag bh k k s k S S s( ) jπ s S ( e - ) j S π s( ) e
6. Plocha impulzu 7. Plocha spekra 8. Spekrum -é derivace s( )d S S ( )d s s j S 9. Spekrum komplexě sdružeé ukce s S * *. Spekrum sudé a liché ukce S s cosπ d j s siπ d
Deiičí vzahy pro kovoluci: Kovoluce má výzam při popisu časově ivariaích lieárích sysémů pomocí impulzové odezvy. Kovolučí eorém: y y x g y h x g x h d k k y k x y x H G h g H G h g
Sředí výko jedorázového impulzu je ulový: P lim / s / d Celková eergie impulzu: W d s d S P d Rayleighův eorém závislos mezi celkovou eergií W a ampliudovým ourierovým spekrem S jedorázových impulzů S... spekrálí husoa eergie
. Jedokový impulz. Jedokový skok (Heavisideova ukce) 3. Obdélíkový impulz 4. Kosaí sigál 5. Gaussovský impulz 6. Harmoický sigál s koečou dobou rváí
s() S() s s hcos( π ), pro /, pro osaí hodoy / S h si π π si π π h =, =, =.5.5.5 -.5 - -.5 - -.5-6 -4-4 6 8 6 4 - -4-5 5
π cos A s * j e A a a a S - dva jedokové impulzy ásobeé kosaami - periodický sigál rozložíme ve ourierovu řadu a S
Posloupos jedokových impulzů opakujících se s periodou : Čárové spekrum: a / / e j d S - ve rekvečí oblasi jde opě o posloupos impulzů
s Kovoluce sigálu s() a jedokového impulzu ( ): s d s s d - vede k posuuí sigálu o Kovoluce sigálu s() s ekoečou poslouposí jedokových impulzů v bodech : s d s d s s -kovoluce jedorázového impulzu s poslouposí () jedokových impulzů vede k vyvořeí periodické poslouposi jedorázových impulzů Aplikace: určeí ourierova spekra periodické poslouposi jedorázových impulzů S S s
- výpoče rasormačího iegrálu - provedeí časových derivací sigálu - využií vzahu mezi ourierovým spekrem jedorázového impulzu a jeho periodické poslouposi -umerický výpoče diskréí ourierova rasormace S k si -rychlá ourierova rasormace - mohé součiy se během výpoču opakují s s s i k S i s s i s s e ki j e s s ki j Příklad: ourierova rasormace rojúhelíkového impulzu
Korelace je měříkem podobosi mezi dvěma sigály, keré jsou vzájemě posuuy o čas Vzájemá korelace (vzájemá korelačí ukce) -obecě eí komuaiví (arozdíl od kovoluce) Vzájemá korelačí ukce pro dva reálé periodické sigály: Souvislos korelace s kovolucí -položíme-li = -y, lze odvodi h g h g R gh ) ( ourierova rasormace vzájemé korelačí ukce: h g h g R gh d d H G R gh * / / / / d d gh h g h g R
Auokorelace měříkem rychlosi změ hodo sigálu v čase g() = h() R gg g g d g g d Plaí - je sudou ukcí R gg R g gg ourierovo spekrum: d - eí obsažea iormace o ázi G R gg Auokorelačí ukce je periodická pro periodický sigál (podobě pro vzájemou korelaci)
Sdělovací sousava produkuje alespoň jede výsupí sigál jako odezvu a alespoň jede vsupí sigál Přeosové charakerisiky vzahy mezi vsupími a výsupími sigály 4 ypy aalogových přeosových sousav: - s více vsupy a více výsupy - s více vsupy a jedím výsupem - s jedím vsupem a jedím výsupem - s jedím vsupem a více výsupy Charakerisická přeosová rovice sousavy s jedím vsupem a jedím výsupem: b y b y ( ) ( )... b y b y a x a x... a x a ( m) ( m) m m x sousava lieárí, elieárí, časově proměá x() X H h() y() Y
Odezva v časové oblasi je vyjádřea kovolucí impulzí odezvy h() a vsupího sigálu: y h x d h x h()... impulzí odezva odezva lieárí přeosové sousavy (LPS) a jedokový impulz () Normovací podmíka: h d Sabilia LPS: výsupí sigál je ohraičeý, jesliže je ohraičeý vsupí sigál h d d
Odezva ve rekvečí oblasi Y X H H h... ukce přeosu, přeosová ukce H H e j( ) Expoeciálí var přeosové ukce: H... modul ( )... áze Logarimické vyjádřeí ukce přeosu Z l H l H j a j Z... logarimická míra přeosu a... zisk a log H db
Sériové spojeí LPS H H H H H H Paralelí spojeí LPS H H H H
Lieárí zkresleí Podmíka pro ezkresleý lieárí přeos: - ve rekvečí oblasi: j H H Lieárí zkresleí - ampliudové - ázové Ke y K, H Korekce ampliudového a ázového zkresleí C H j H Ke H Ke H C j x X Kx kos kos H H C y Y
- elze zavés ukci přeosu - odezva se saovuje řešeím elieárí charakerisické přeosové diereciálí rovice - umerické řešeí (apř. meoda liearizace) - popis sousavy algebraickou rovicí, převodími charakerisikami - eplaí pricip superpozice Nelieárí zkresleí harmoického sigálu - koeicie harmoického zkresleí k Y Y Y 3... ebo k Y Y Y Y 3...... Y i... max. hodoa i-é harmoické složky výsupího sigálu vzájemé působeí více harmoických sigálů iermodulačí zkresleí čásečé polačeí elieárího zkresleí pomocí zv. kompadoru
Absoluí úroveň výkou sigálu w db log P P w Np l P P P = mw... reerečí výko Relaiví úroveň výkou sigálu w rel w M w Úlum sousavy b w w Míra zisku b w w
Charakerisické ukce a veličiy Disribučí ukce (jedorozměrá, -rozměrá) Husoa pravděpodobosi (jedorozměrá, -rozměrá) Momey áhodého procesu - obecý mome s-ého řádu - sředovaý (cerovaý) mome s-ého řádu Auokorelačí ukce Kovariačí ukce Vzájemá korelačí ukce Vzájemá kovariačí ukce Maice korelačích ukcí Časové paramery realizací áhodých procesů - sředí hodoa v čase - auokorelačí ukce v čase - vzájemá korelačí ukce v čase
Sacioaria v užším smyslu disribučí ukce se eměí při změě počáku, od ěhož počíáme čas Sacioaria v širším smyslu sř. hodoa je kosaa a auokorelačí ukce závisí je a časovém posuuí Regulárí áhodý proces charakerisické ukce a veličiy (časové paramery) jsou pro všechy realizace sejé Sacioaria a reguláros jsou ezávislé. Ergodicia áhodého procesu sředí hodoa přes soubor realizací je rova časové sředí hodoě -charakerisické ukce a veličiy lze vyšeři aalýzou jedié realizace
Spekrálí husoa výkou S xx () áhodého procesu X() Spekrálí husoa výkou s xx () realizace x() áhodého procesu Sacioárí áhodý proces Wieerovy-Chičiovy rovice
Rušeí - diskréí (selekiví) - impulzové - šumové (rušeí lukuačím šumem) - souvislá řada ahodilých impulzů ahodilé ampliudy - souvislé a široké spekrum - projevuje se lukuacemi char. hodo sigálu ) Šumy elekrických obvodů a) epelý šum - původ v epelém pohybu elekroů ve vodiči u š 4kRB R rezisace B šířka rekvečího pásma, v ěmž šum sledujeme modelováí áhradí zdroj šumového apěí (sériově) - áhradí zdroj šumového proudu (paralelě) i š 4kGB P š U š 4R
b) Výsřelový šum - v elekrokách, epravidelá emise elekroů z kaody (při ízké eploě) i aš m ei a B I a... sředí hodoa aodového proudu m... zahruje vliv prosorového áboje v elekroce B... šířka rekvečího pásma - podobě pro riodu, bipolárí razisor ad. ) Gaussovský šum - vykazuje gaussovskou disribuci hodo - uplaěí cerálího limiího eorému - husoa pravd. - pro diodu i, k G B x x xm x x e aš 4 k i - disribučí ukce x x x e vmx x dv - vyjádřeí pomocí chybové ukce x x er x m x er u u v e dv
3) Bílý šum -sacioárí a ergodický áhodý proces vykazující kosaí spekrálí husou výkou v celém rozsahu rekvecí S xx N kos N... šumový výko vzažeý k rekvečímu pásmu Hz ekvivaleí eploa šumu Auokorelačí ukce B xx Přeos lieárí přeosovou sousavou e Auokorelačí ukce šumu a výsupu ideálí dolí propusosi H H pro pro B B N k N B yy Pš kb S yy N N H si πb B πb
Spolehlivos přeosu - pravděpodobos, že sděleí bude přeeseo bez závad q s s pr s... užiečý provozí čas jakos přeosu evybočí z předem zadaých mezí pr... celkový provozí čas p s = q s... pravd. arušeí sděleí Poměr sigálu k šumu SNR S N P Pš Odsup šumu od sigálu Šumové číslo r log SNRx Sx / Nx SNR S y / N y y P Pš Průměré zesíleí výkou A S S y x N y Ak B e
Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí dvou přeosových sousav A Výsledé šumové číslo při sériovém spojeí více přeosových sousav... 3 4 3 A A A A A A Ekvivaleí eploa šumu přeosové sousavy s - eploa ikivího zdroje šumu a vsupu přeosové sousavy Plaí: e s
Číslicový (digiálí) sigál koečá řada číslic vyskyujících se v určiých časových okamžicích časové iervaly (-) až... jedokové iervaly Digiálí sigál je věšiou vyjádře pomocí biárích číslic (biů)... a -velký podíl ízkých rekvecí ve spekru číslicového sigálu sigál eí možé přeáše v jeho základím rekvečím pásmu - posu spekra k vyšším rekvecím pomocí modulace
NRZ evracející se k ule - uipolárí - bipolárí RZ vracející se k ule Pseudoerárí sigály mají ři úrově - sequece polariy corol - ime polariy corol Diereciálí sigál
-číslicové sigály jsou odolé vůči šumům - přeos prosředicvím číslicových kaálů Volba varu biárího číslicového sigálu - ideálí obdélíkový impulz kosaí doby rváí, vzdáleos mezi impulzy - spekrum je ekoečě široké - průběh ypu (si x)/x, x = / - ourierovo spekrum obdélíkové, v rozsahu B = /() - NEVÝHODY: - sigál elze geerova - zv. mezisymbolová iererece kompromis: lichá symerie spekra vzhledem k bodu = B
Deiováí prahové hodoy pro saoveí hodo a Předp. - sacioárí gaussovský šum o ulové sředí hodoě, popsá prom. v - bipolárí číslicový sigál ypu NRZ, hodoy A, A chyba deekce P = P(y < ), přiom byla vysláa hodoa P A erc v P = P - plaos i pro jié reprezeace biárích číslicových sigálů - předpoklad sacioárího gaussovského šumu je příliš silý
Auokorelačí ukce, R xx, R A xx Spekrálí husoa výkou S xx si A - velký podíl malých rekvecí ve spekru
Skládá se: kodér, moduláor, číslicový přeosový kaál, demoduláor, obovovací zařízeí, dekodér Chybovos číslicového kaálu se elimiuje kódováím (užií kodéru a dekodéru) - přidáí adbyečých biů - po přeosu je sigál zkresle a obsahuje šum obovovací zařízeí, dekodér maemaický model: chybová posloupos A... odeslaá posloupos B... přijaá posloupos B A E... operace eekvivalece Saoveí přeosem esovací poslouposi
. Čeos chyb podíl poču chybých biů a celkového poču biů - může kolísa s časem - shlukováí. Disribučí ukce čeosi chyb pravd., že áhodě proměá čeos chyb eí věší ež daá hodoa čeosi p - odhaluje příomos shluků 3. Disribučí ukce bezchybých iervalů pravd., že áhodě proměý ierval mezi dvěma chybami má délku meší ež daá zvoleá hodoa - užiečé při volbě délky kódového slova 4. Koeicie shlukováí kvaiaiví míra shlukováí ezávislých chyb p (-a) pravd. výskyu alespoň jedé chyby v kódovém slově délky 5. Disribučí ukce shluků chyb pravd., že husoa chyb eklese pod určiou zvoleou hodou h. Husoa chyb poměr poču chyb ve shluku a délky shluku 3. Sředí asymerie chyb vysihuje symerii číslicové přeosové sousavy - sejá čeos obou ypů chyb... asymerie je ulová