.. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítt, jsou podobné jko při výpočtu neurčitých integrálů v kp... Předpokládné znlosti Předpokládáme, že znáte princip substituční metody víte, pro které typy integrálů je tto metod vhodná. Předpokládá se znlost pojmu určitý integrál dovednost počítt určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule. Výkld Jk již bylo uvedeno v předcházející kpitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovt v zásdě dvěm způsoby: Oddělíme fázi nlezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu. Nejprve si nevšímáme mezí počítáme pouze neurčitý integrál. Po vypočítání vybereme jednu z nlezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrční konstntu Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez. C = ) podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu. U substituční metody kromě zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné. První způsob nebude čtenáři ptrně dělt problémy. Proto se v dlším změříme n druhou možnost výpočtu, která je krtší elegntnější. Vzorce pro integrci substituční metodou v určitém integrálu připomínjí vzthy uvedené ve větách..... Vět... (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť funkce f ( u ) je spojitá n intervlu < α, β >. Nechť funkce u = ϕ( ) má spojitou derivci ϕ ( ) n intervlu < b, > nechť pro kždé < b, > pltí α ϕ( ) β, α = ϕ( ), β = ϕ( b) (tedy funkce ϕ zobrzuje intervl < b, > n intervl < α, β >). Potom pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u) du. α - -
Důkz:.. Substituční metod pro určité integrály Z předpokldů věty vyplývá, že eistují integrály n levé i prvé strně tvrzení věty... Z toho plyne, že eistuje primitivní funkce Fu ( ) k funkci f ( u ) n intervlu < α, β >. Podle věty.. je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ). Proto podle Newtonovy Leibnizovy formule (vět..) pltí b β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ( b)) F( ϕ( )) = F( β) F( α) = f ( u) du. Poznámky. Při výpočtu určitého integrálu zvedeme vhodnou substituci u = ϕ( ) vypočteme diferenciál du = ϕ ( ) d jko u neurčitého integrálu. Nvíc musíme ještě určit nové meze. Stré meze, b jsou pro původní proměnnou. Nová proměnná u bude mít meze α = ϕ( ), β = ϕ( b).. V řešených příkldech vyznčíme změnu mezí tkto: ϕ( ) (stré dolní mezi odpovídá nová dolní mez ϕ ( ) ), resp. b ϕ( b) (stré horní mezi b odpovídá nová horní mez ϕ ( b) ).. V konkrétním přípdě se může stát, že ϕ( ) > ϕ( b) (nová dolní mez je větší než mez horní). Podle definice.. můžeme meze změnit znménko integrálu se změní n opčné. Pokud dostneme ϕ( ) = ϕ( b), je podle poznámky k definici.. integrál roven nule nemusíme dále počítt. α Řešené úlohy Příkld... Vypočtěte integrál 5+ d. ) Bylo by možno nejprve vypočítt neurčitý integrál (nlézt primitivní funkci) jko v příkldu... u 5+ d= 5+ = u = 5+ d= udu = + C = u + C d = du = - -
.. Substituční metod pro určité integrály ( ) = 5 + + C. Použijeme primitivní funkci pro z Newtonovy Leibnizovy věty dostáváme: C = (jiné C se stejně odečte): F( ) ( 5 ) [ ] ( ) ( ) ( ) 5 + d= F( ) = 5+ = 5+ 5+ = 75 5. = + b) Prktičtější je počítt podle věty.. (při substituci určit nové meze). Použijeme substituci 5 + = u. Nová dolní mez bude u = 5+ = 9. Celý výpočet bude vypdt tkto: u = 5+ = 5 nová horní mez je 9 9 9 5 u u + = 5+ d= 5+ d= = udu = = u d = du 5, 9 5 5 9 5 = 75 5. 5 = Příkld... Vypočtěte integrál e ln d. Použijeme substituci ln = u. Funkce ϕ ( ) = ln je spojitá n intervlu <,e > má n něm spojitou derivci. Pro <, e > bude ln. e ln = u ln u d = = u du = d = du =., e Poznámk Při výpočtu musíme dávt pozor, zd jsou splněny podmínky věty... U neurčitých integrálů se můžeme po výpočtu dodtečně derivováním přesvědčit, zd jsme postupovli správně. U určitých integrálů tuto možnost zkoušky nemáme. - 5 -
.. Substituční metod pro určité integrály Příkld... Vypočtěte integrál cos d 5+ sin. Použijeme substituci sin = u. Pro novou dolní mez dostneme sin( ) = pro horní mez vyjde sin =. Podle poznámky k definici.. bude výpočet integrálu krátký: cos sin = u d = = 5+ sin 5+, cos d = du u du =. Příkld... Vypočtěte integrál tg d. Provedeme jednoduchou úprvu, bychom nlezli vhodnou substituci: sin ( cos )sin tg d = d = d cos cos. Je zřejmé, že vhodná substituce je cos = u, neboť sin d = du. Pro novou dolní mez vyjde cos = pro horní mez dostneme cos =, tkže nová dolní mez je větší než nová horní mez. Podle definice.. obrátíme meze změníme znménko integrálu: cos = u (cos ) sin u u d = sin d = du = du = du = du u = u, cos u u ln u ln ln ln ln ln = + + = + + = u ( ). - 6 -
.. Substituční metod pro určité integrály Výkld Větu... můžeme použít i v opčném směru (zprv dolev). V běžných úlohách nebývá integrční proměnnou u, le obvykle běžně používáme proměnnou, což je jen jiné písmenko ve vztzích. To odpovídá substituci typu = ϕ() t v neurčitém integrálu, která je popsán ve větě... V určitém integrálu budeme muset po uvedené substituci změnit meze. V tomto přípdě vlstně známe hodnoty ϕ ( ) ϕ () b. Musíme nlézt hodnoty b, by byly splněny předpokldy věty... V pri obvykle bývá funkce = ϕ() t tková, že lze zvolit intervl < b, > tk, by n něm byl funkce ϕ () t ryze monotonní, tj. by jej prostě zobrzil n zdný integrční obor < ϕ( ), ϕ( b) >. Příkld..5. Vypočtěte integrál d. Integrovná funkce je spojitá pro <, >, tkže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = sin t, tkže d = costdt. Trnsformujme meze integrálu: Pro = je = sint, tkže t =. Pro = je = sint, tkže t =. Protože n intervlu <, > je funkce = sin t monotonně rostoucí tento intervl se uvedenou funkcí zobrzí n intervl <, >, lze psát = sin t d= d = costdt = sin t sin t costdt =, = sin t cos t cost dt = sin t cost cost dt = sin t cos t dt = sin ( t) dt. V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je co st, tedy cost = cost. Po užití známého vzthu sin t = sin tcost dostáváme integrál typu - 7 -
.. Substituční metod pro určité integrály m n sin cos d (viz kpitol.6). sint sin tdt= ( cos t) dt= t 8 8 = 8. Příkld..6. Vypočtěte integrál + d. Integrovná funkce je spojitá pro kždé reálné, tkže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = tgt, tkže d = dt. (Je možno použít i substituci = cotgt ). Trnsformujme cos t meze integrálu: Pro = je = tgt, tkže t =. Pro = je = tgt, tkže t =. Protože n intervlu <, > je funkce = tgt monotonně rostoucí tento intervl <, >se funkcí = ϕ( t) = tgt zobrzí n intervl <, >, lze psát = tgt cos t+ sin t + d = d = dt = tg + t dt = dt = cos t cos t cos t cos t, dt dt = = = t t t t dt. cos cos cost cos cos V předcházející úprvě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je cost >, tedy m n cost = cost. Dostáváme integrál typu sin cos d. Jelikož n = je liché, řešíme integrál opět substitucí, to sin t = v(viz kpitol.6). Bylo by možno použít rovněž univerzální substituci tg t = v. - 8 -
.. Substituční metod pro určité integrály sin t = v cost cost d dt = dt = dt = costdt cos cos ( sin ) = v dv = ( ), t t t v = = dv ( v) ( + v). Dostáváme integrál z rcionální funkce, kdy polynom ve jmenovteli má reálné násobné kořeny. Je nutno provést rozkld rcionální funkce n součet prciálních zlomků (viz kpitol.5). A A B B ( v) ( + v) = v + ( v) + + v + ( + v) Nlezneme konstnty rozkldu A, A, B, B. Rovnici vynásobíme polynomem Q () v = ( v )( + v ). Dostneme rovnost dvou polynomů: = A( v)( + v) + A( + v) + B( v) ( + v) + B( v) Pro Pro v = dostneme = A+ A + B+ B. Tedy A =. v = dostneme = A+ A + B+ B. Tedy B =. Pro výpočet zbývjících koeficientů můžeme použít srovnávcí metodu (viz příkld.5.5): Koeficienty u : Koeficienty u : v = A+ B v = A + A + B + B Řešením této soustvy rovnic dostneme A =, B =. Integrujeme získné prciální zlomky: dv = = + + + ( v) ( + v) v ( v) + v ( + v) dv = v + v = ln ln ln v + + + v = v v + v v + = - 9 -
.. Substituční metod pro určité integrály ( ) + + + = + ln = + ln = ln + = = ln( ) + +. Poznámky. Úlohu lze rovněž řešit substitucí k příkldu..8. + = t. Postup výpočtu je popsný v poznámce. Tento příkld nám ukzuje, že výpočet určitého integrálu i zdánlivě jednoduché funkce může být prcný zdlouhvý. Je věcí cviku zvolit co nejúspornější postup. U tkových příkldů nám mohou hodně pomoci vhodné počítčové progrmy.. Pokud zdáme integrál nějkému mtemtickému progrmu (npř. Derive, Mple, Mthemtic), získáme výsledek ln( ). N první pohled se zdá, že se jedná o úplně jinou funkci. Sndno se všk přesvědčíme, že ln( ) = ln(+ ) tedy ln( ) = ln( + ). Integrce sudých nebo lichých funkcí Výkld Výpočet určitého integrálu je jednodušší, pokud je integrovná funkce sudá nebo lichá n intervlu <, >. Připomeňme si definici.. z část Mtemtik I. Funkce f se nzývá sudá, jestliže Df : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle osy y). Funkce f se nzývá lichá, jestliže Df : f( ) = f( ) (grf funkce je souměrný podle počátku). - -
.. Substituční metod pro určité integrály Vět... (Integrál sudé, popř. liché funkce) Nechť je funkce f ( ) integrovtelná n intervlu <, >. Je-li f ( ) n intervlu f ( d ) = f( d ), Je-li f ( ) n intervlu f( ) d=. <, > <, > Důkz: Je-li f ( ) n intervlu sudá, pk lichá, pk zpst jko součet integrálů (vět..): <, > sudá, pk pltí f ( ) = f( ). Integrál můžeme f ( d ) = f( d ) + f( d ) = f( d ) + f( d ). První integrál řešíme substitucí = t, z níž plyne d = dt, meze,. Dostneme f ( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( d ). Druhou část věty o integrci liché funkce dokážeme nlogicky. f ( ) = f( ) f ( ) = f( ) Obr.... Integrál ze sudé z liché funkce - -
.. Substituční metod pro určité integrály Příkld..7. Vypočtěte integrál d. Tuto úlohu jsme již řešili v příkldu..5. Integrovná funkce je sudá pro kždé R, protože f ( ) = ( ) ( ) = = f( ). Podle věty.. můžeme výpočet poněkud zjednodušit, neboť stčí počítt integrál n intervlu <, >, kdy máme jednodušší dolní mez. sint d= d=... = sin t dt =... = t = 8. Příkld..8. Vypočtěte integrál sin cos d. Jelikož sin( ) = sin cos( ) = cos sndno ukážeme, že integrovná funkce je lichá: f ( ) = sin ( )cos( ) = sin cos =f( ). Podle věty.. není nutno integrál vůbec počítt, neboť sin cos d=. Ověřte výpočtem pltnost uvedeného výsledku! Kontrolní otázky. Uveďte princip substituční metody při výpočtu určitého integrálu.. Čím se při výpočtu odlišuje substituční metod pro určitý integrál od substituční metody pro integrál neurčitý? - -
.. Substituční metod pro určité integrály. Ukžte, že f( ) d= pro lichou funkci f(). b b. Ukžte, že pltí f ( d ) = f( + bd ). 5. Ukžte, že pltí f ( d ) = f( d ) 6. Zdůvodněte, proč jsou všechny následující integrály rovny nule. sin cos5d, d, sin cos + d, ln e + e d. ln 7. Ukžte, že cos m cos n d = pro m n cos m cos n d = pro m= n. = + +β. Návod: Užijte vzth cosα cos β [ cos( α β) cos( α )] Úlohy k smosttnému řešení. ) ( ) d) d b) d c) 5 d e) ( ) sin d f) + 9d d + ln. ) cos e sin d b) d) + d e) e d + e c) tg d cos f) e e 6 d ln tg d - -
.. Substituční metod pro určité integrály. ) d). ) d) cos sin d b) cos d e) sin d + b) 7 d + e) d 5. ) ln ( + ) d) b) sin d e) tg d c) d + sin f) d + c) 5 d f) ln 5 e e d c) e + e + ln d f) cos d sin sin 6 sin d d + d rctg + sin d d Výsledky úloh k smosttnému řešení. ) b) rctg e ; b) ; c) 5 ; c) ; d) ( ) d) 9 ( 7 ) ; e) ; d) ; e) ( ) ; e) ln rctg ; f) 5 5 cos ; f) ln+.. ) ; f) ln.. ) 6 ln ; b) ( ).. ) ln( ) e ; e ; c) ( ) ; + ; b) rctg ; c) ln; d) 8 + ; e) ; f) +. 5. ) 5 ln 5 ln ; b) ; c) ln ; d) ; e) ; f). 6 8 - -
.. Substituční metod pro určité integrály Kontrolní test 9. Vypočtěte integrál d. ) 7 ln, b) 7+ ln, c) + ln, d) 5 + ln.. Vypočtěte integrál d. + + ( + ) ), b), c), d). 6. Vypočtěte integrál d. 6 ), b), c) 8 6, d).. Vypočtěte integrál ) l n, b) 5. Vypočtěte integrál cotg d. + ln, c) d +. ln, d) + ln. ) ln, b) + ln, c) ln, d). 6. Vypočtěte integrál 9 5 ( ) d +. ) 5, b) 8, c) 9, d). 7. Vypočtěte integrál 9 ( ) d. + ( ) ) 8 +, b) 8 +, c) 8 +, d) 8 +. - 5 -
.. Substituční metod pro určité integrály 8. Vypočtěte integrál ) 86 5 9. Vypočtěte integrál 5 + d. 8 88 85, b), c), d) 5 5 5. ln 5 e e d. + e ) +, b), c) +, d).. Vypočtěte integrál cos cos d. ), b), c), d). Výsledky testu. b);. c);. );. c); 5. ); 6. d); 7. b); 8. c); 9. d);. ). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokrčujte dlší kpitolou. V opčném přípdě je třeb prostudovt kpitoly.. znovu. Shrnutí lekce Substituční metod ptří k nejčstěji používným metodám výpočtu určitých integrálů. Jsou možné dv postupy výpočtu. V prvním přípdě vhodnou substitucí vypočteme neurčitý integrál (nlezneme primitivní funkci) teprve potom pomocí Newtonovy Leibnizovy formule dosdíme horní dolní mez. Výhodnější bývá druhá možnost, kdy vedle zvedení správné substituce ještě určíme nové meze již se nemusíme vrcet k původní proměnné. - 6 -