I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných n tic reálných čísel, tj. x R n x = (x 1, x 2,..., x n ), x i R pro i = 1, 2,..., n. Množinu R n se zvolenou souřadnicovou soustavou nazývýme n-rozměrný euklidovský prostor a jeho prvky nazýváme body. Orientovanou úsečku s počátečním bodem a a koncovým bodem b chápeme jako volný vektor u = (u 1, u 2,..., u n ), kde a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) a u i = b i a i, 1 i n. Naopak budeme chápat b = a + u jako bod o souřadnicích b i = a i + u i, 1 i n. Rozumíme tedy vztahům: u = b a, b = a + u, b = a + (c d). Vzdálenost bodů x = (x 1, x 2,..., x n ) a y = (y 1, y 2,..., y n ) je definována vztahem x y = n (x i y i ) 2. Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice Body určené podmínkou jsou body úsečky s krajními body a a b. i=1 x = a + t(b a), t R. x = a + t(b a), t 0, 1. 2. Funkce více reálných proměnných. Jako přirozené zobecnění funkce jedné reálné proměnné, se kterými jsme pracovali v předchozích kurzech matematiky je funkce, kde nezávisle proměnnou je uspořádaná dvojice, trojice, či obecně n tice reálných čísel. Všechny základní pojmy, které se váží k funkcím jedné reálné proměnné se obdobně zavádí pro funkce více proměnných. Uveďme nejdříve definici. Definice. Reálná funkce více reálných proměnných. Zobrazení f, které každému bodu x R n přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y = f(x) nazýváme reálnou funkcí n reálných proměnných. Tuto relaci obvykle zapisujeme pomocí některého ze symbolů: y = f(x), x R n ; y = f(x 1, x 2,..., x n ), kde x = (x 1, x 2,..., x n ); f : R n R. Množinu všech hodnot x R n, pro které existuje y = f(x) nazýváme definičním oborem funkce f a označujeme symbolem D f. Množinu všech hodnot {y; y = f(x), x D f } nazýváme oborem hodnot funkce f a označujeme jej symbolem H f. Množinu všech uspořádaných dvojic {(x, y); y = f(x), x D f } R n+1 nazýváme grafem funkce f. 3
Poznámka. Nejčastěji budeme pracovat s funkcemi v R 2 či R 3. Budeme mluvit o funkcích dvou či tří reálných proměnných a budeme pro ně používat názornější označení: n = 2 : z = f(x, y) místo obecného y = f(x 1, x 2 ); n = 3 : u = f(x, y, z) místo obecného y = f(x 1, x 2, x 3 ). Definice. Hladina funkce. Je-li z = f(x, y) funkce dvou proměnných, pak hladinou (k-hladinou) funkce f nazýváme množinu bodů, pro které platí f(x, y) = k. Poznámka. Ze tvaru hladin si můžeme udělat představu o chování funkce. Obor hodnot získáme jako množinu všech čísel k, pro které je hladina neprázdná množina. Příklad. Určete definiční obor D f a pokud bude možné i hladiny a obor hodnot H f dané funkce: 1. f(x, y) = 1 x 2 y 2. Řešení. Musí být argument odmocniny nezáporný a tedy pro definiční obor dostaneme podmínku 1 x 2 y 2 0 x 2 + y 2 1. Definičním oborem funkce je kruh se středem v počátku a poloměrem 1. 1 x 2 y 2 = k 1 x 2 y 2 = k 2, k 0 x 2 + y 2 = 1 k 2. Musí být ale 1 k 2 0, k 0 0 k 1. Hladinami funkce jsou kružnice se středem v počátku. Obor hodnot je H f = 0, 1. 2. f(x, y) = sin x. Řešení. Funkce sinus je definovaná v celém R, tedy pro definiční obor dostaneme podmínku 0. To je rovina s vyjmutou přímkou y = x. sin Odtud dostaneme rovnice hladin x = k x = C, C R. y = 1 C x, x 0 pro C 0 a x = 0, y 0 pro C = 0. C Hladinami je svazek polopřímek, které procházejí počátkem. Obor hodnot získáme z oboru hodnot funkce sinus. Je tedy H f = 1, 1. 3. f(x, y) = ln(x 2 y). Řešení. Argument logaritmu musí být kladný, tedy pro definiční obor dostaneme podmínku x 2 y > 0 y < x 2. 4
Definičním oborem je množina bodů v rovině, která leží pod parabolou danou rovnicí y = x 2. ln(x 2 y) = k, k R x 2 y = e k y = x 2 e k. Hladina je posunutou parabolou y = x 2, která má vrchol v bodě (0, e k ). Odtud dostaneme obor hodnot H f = R. 4. f(x, y) = x y. Řešení. Argument odmocniny musí být nezáporné číslo. Je tedy podmínka pro definiční obor 0 0 x y > 0 nebo 0 x y < 0. x y Otud plyne, že x y < x x > 0 nebo x < y x x < 0. x y = k, k 0 x y = k2 = k 2 (x y) x 0 y = k2 1 1 + k 2 x x 0. Odtud dostaneme obor hodnot H f = 0, ). 5. f(x, y) = x 2 1 + ln(1 y 2 ). Řešení. Pro definiční obor dostaneme podmínky x 2 1 0 1 y 2 > 0 x 1 y < 1. Podmínku pro hladiny nebudeme uvádět. 6. f(x, y) = arcsin (xy). Řešení. Funkce arkussinus je definována v intervalu 1, 1. Podmínka pro definiční obor je 1 xy 1. Definičním oborem je část roviny mezi hyperbolami y = 1 x a y = 1 x. Pro hladiny dostaneme rovnice xy = k, 1 k 1. Pro k = 0 jsou hladinami osy souřadnic, pro k > 0 je jí hyperbola v 1. a 3. kvadrantu a pro k < 0 je jí hyperbola ve 2. a 4. kvadrantu. Oborem hodnot je interval H f = π 2, π 2. 5
7. f(x, y) = arctg y x. Řešení. Funkce arkustantens je definována pro všechny hodnoty v R, dostaneme tedy pro definiční obor podmínku x 0. To je rovina bez osy y. arctg y x = k, π 2 < k < π 2 y x = tgk y = tgkx, x 0. Hladiny tvoří svazek polopřímek s vrcholem v počátku. Oborem hodnot je interval H f = ( π 2, π 2 ). 8. f(x, y) = e x2 +y 2 2. Řešení. Funkce f je definována v R. e x2 +y 2 2 = k, 0 < k 1 x 2 + y 2 = 2lnk. Hladinami jsou kružnice se středem v počátku a poloměrem 2lnk. Oborem hodnot je interval (0, 1. 3. Klasifikace bodů a množin v R n Definice. Okolí bodu. ε okolím (okolím) bodu a nazýváme množinu U(a) = U ε (a) = {x; x a < ε}. Definice. Klasifikace bodů. Je-li A R n, A, pak bod a nazýváme: - vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A. - hraničním bodem množiny A, jestliže každé okolí U(a) bodu a obsahuje jak body z množiny A, tak body, které množině A nepatří. Množinu všech hraničních bodů množiny nazýváme hranicí množiny. - vnějším bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A =. - hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí U(a) bodu a obsahuje body množiny A různé od bodu a. - izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí U(a) bodu a takové, že U(a) A = {a}. Množina, která obsahuje pouze své vnitřní body se nazývá otevřená. Množina, která obsahuje všechny své hraniční body se nazývá uzavřená. 4. Spojitost funkce. Připomeneme si význam spojitosti funkce, se kterým jsme se setkali v předchozích kurzech. Pro funkci y = f(x) znamenala spojitost tu skutečnost, že malá změna argumentu proměnné x vyvolá malou změnu hodnoty y. Tuto podmínku jsme zapisovali pomocí okolí bodu. Podmínka je stejná i pro funkce více proměnných, mění se jen geometrický význam okolí bodu. 6
Definice. Spojitost funkce. Říkame, že funkce y = f(x) je spojitá v bodě x 0 D f, jestliže ke každému ε okolí U ε (y 0 ) bodu y 0 = f(x 0 ) existuje δ okolí U δ (x 0 ) bodu x 0 takové, že platí ( ) x D f U δ (x 0 ) y = f(x) U ε (y 0 ). Podmínku ( ) lze také zapsat ve tvaru x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. O funkci, která je spojitá v každém bodě množiny M D f říkáme, že je spojitá v množině M. Funkci spojitou v každém bodě svého definičního nazýváme spojitou. Věta. Vlastnosti spojitých funkcí. Jsou-li funkce f a g spojité v bodě x 0, pak jsou spojité v bodě x 0 také funkce f, f + g, f.g a f/g, je-li g(x 0 ) 0. Důkaz. Odvození je shodné s důkazy vět pro funkce jedné proměnné. Věta. Spojitost složené funkce. Je-li funkce y = g(x) spojitá v bodě x 0 a funkce f = f(y) je spojitá v bodě y 0 = g(x 0 ), pak je složená funkce F = F (x), F (x) = f(g(x)) spojitá v bodě x 0. Poznámka. Uvedeme si jednoduchou vlastnost, která nám dovolí rozhodovat o spojitosti pro většinu funkcí. Formulujeme je pro jednoduchost pro funkce dvou proměnných. Věta. Je-li funkce f = f(x, y) = h(x) funkce dvou proměnných a je-li funkce h spojitá v intervalu (a, b), pak je funkce f(x, y) spojitá v množině {(x, y); a < x < b, < y < } jako funkce dvou proměnných. Příklad. Rozhodněte, které z funkcí z příkladu z odst. 2 jsou spojité. 5. Limita funkce Poznámka. Pro funkce více proměnných zavádíme pojem ity funkce i pro funkce více proměnných. Vyšetřujeme pomocí něj chování funkce v okolí hraničních bodů a bodů nespojitosti. Situace je ovšem mnohem komplikovanější. Definice. Limita funkce. Říkame, že funkce y = f(x) má itu y 0 v bodě x 0, který je hromadným bodem definičního oboru, jestliže ke každému ε okolí U ε (y 0 ) bodu y 0 = f(x 0 ) existuje δ okolí U δ (x 0 ) bodu x 0 takové, že platí ( ) x D f U δ (x 0 ), x x 0 y = f(x) U ε (y 0 ). Podmínku ( ) lze také zapsat ve tvaru ( ) 0 < x x 0 < δ f(x) y 0 < ε. Skutečnost zapisujeme symbolem f(x) = y x x 0. 0 Poznámka. Při řešení úlohy najít itu funkce využíváme následující tvrzení. Věta. Je-li funkce y = f(x) spojitá v bodě x 0, který je hromadným bodem definičního oboru, pak x x 0 f(x) = f(x 0 ). 7
Poznámka. Při ověřování spojitosti funkce či výpočtu ity pro funkce více proměnných podle definice znamená nalézt řešení nerovnice ve tvaru f(x) y 0 < ε x x 0 < δ. Zde je ale řešení okolí v R n, což přináší problémy při výpočtu. Budeme vše ilustrovat na příkladě dvou proměnných. Příklad. Vypočtěte ity funkce f v bodě x 0. x 2 y 2 a) (x,y) (0,0) x 2 + y ; 2 b) (x,y) (0,0) x y ; x 2 y a) (x,y) (0,0) x 4 + y. 2 Řešení. a) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, x 0. Dostaneme k 2 x 4 x 0 x 2 (1 + k 2 ) = k2 1 + k 2 x 0 x2 = 0. Z výpočtu vyplývá, že ita může existovat a pokud existuje, pak je rovna 1. Existence ity plyne z odhadu x 2 y 2 x 2 + y 0 2 (x2 + y 2 ) 2 = x 2 + y 2. x 2 + y 2 b) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, k 1, x 0. Dostaneme (k + 1)x x 0 x(1 k) = k + 1 1 k 1 = 1 + k x 0 1 k. Protože jsou ity z různých směrů různé, ita funkce neexistuje. c) Budeme počítat itu ze všech směrů po přímkách y = kx, x 0. Dostaneme x 0 kx 3 x 2 (x 2 + k 2 ) = k x 0 x 2 x 2 + k 2 = 0. Z výpočtu vyplývá, že ita může existovat a pokud existuje, pak je rovna 0. To, že ita neexistuje ukážeme tím, že vypočteme ity po parabolách y = kx 2, x 0. Je x 0 kx 4 x 4 (1 + k 2 ) = k 1 + k 2. Protože jsou ity po různých parabolách různé, ita neexistuje. Poznámka. Výpočet ity, algoritmus. Při vypočtu ity f(x) x x 0 8
postupujeme ve dvou krocích: 1. Vypočteme itu funkce jedné proměnné ze všech možných směrů, t.j. f(x 0 + tu), t 0 kde u R n, u = 1. Jsou-li ity z alespoň dvou směrů různé, nebo ita v některém ze směrů neexistuje, pak neexistuje počítaná ita. 2. Jsou-li ity ze všech směrů stejné, rovny y 0, pak má funkce itu y 0 právě když sup{ f(x) y 0 ; 0 < x x 0 r, x D f } = 0. r 0+ Tato ita je itou funkce jedné proměnné r a při jejím výpočtu je možné použít všechna z dřívějších kurzů známá pravidla pro počítání. Problém je skryt do výpočtu supréma, kde je možné ovšem použít jeho odhadu. 6. Vektorová funkce, zobrazení Poznámka. Při popisu veličin se často setkáme s případem, kdy je závislá veličina vícerozměrná. Mluvíme pak o vektorové funkci (poli), nebo o zobrazení. Definice. Zobrazení v R n. Jestliže je bodu x R n přiřazen nejvýše jeden bod y R m, pak říkáme, že je dáno zobrazení z R n do R m. Píšeme pak y = F (x), nebo F : R n R m. Poznámka. Definiční obor a obor hodnot definujeme zcela obdobně jako pro funkci více proměnných. Poznámka. Je zřejmé, že pro hodnotu y = (y 1, y 2,..., y m ) je závislost y i = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m, funkcí n proměnných. Tato funkce se nazývá souřadnicí zobrazení F. Poznámka. Budeme se opět zabývat především případy kdy m, n = 1, 2, 3 a pak budeme mluvit o vektorové funkci(poli) a budeme častěji používat označení, které je bližší označení z aplikací. F = (f 1, f 2 ) F = (F 1, F 2 ); F = (f 1, f 2, f 3 ) F = (F 1, F 2, F 3 ). Věta. Spojitost zobrazení. Zobrazení F = (f 1, f 2,..., f m ) je spojité v bodě x 0 právě když jsou v tomto bodě spojité jeho souřadnice f i (x) = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m. Věta. Limita zobrazení. Zobrazení F = (f 1, f 2,..., f m ) má v bodě x 0 itu y 0 právě když mají v tomto bodě ity jeho souřadnice f i (x) = f i (x 1, x 2,..., x n ), 1 i m 9
a F (x) = ( f x x 0 x x i (x)). 0 Důkaz. Obě tvrzení vyplývají ze skutečnosti max{ a i b i ; 1 i n} a b n a i b i. i=1 Poznámka. Znázornit chování vektorového pole F = (F 1, F 2 ) můžeme provést třeba tak, že do bodu x = (x, y) umístíme vektor F (x) = (F 1 (x, y), F 2 (x, y)). Příklad. Znázorněte vektorové pole: a) F (x, y) = (x, ( y); ) b) F x (x, y) = x 2 + y, y ; 2 x 2 + y ( 2 ) c) F y (x, y) = x 2 + y, x. 2 x 2 + y 2 Spojitost složeného zobrazení Poznámka. Zcela shodně můžeme formulovat obecnou větu o spojitosti složeného zobrazení jako jsme tuto vlastnost formulovali pro funkce jedné proměnné. Vše se liší jenom v tom jak konkrétně vypadá okolí bodu. Věta. Spojitost zobrazení. Je-li G = G(x) zobrazení z R n do R k spojité v bodě x 0 a zobrazení F = F (y) z R k do R m je spojité v bodě y 0 = G(x 0 ), je složené zobrazení H = F (G), H(x) = F (y), y = G(x) spojité v bodě x 0. Obrázek důkazu 10