Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace
Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí sigál y]. ] S y] Kategorie diskrétích systémů: lieárí/elieárí - systém, který splňuje ásledující rovici je lieárí, A B S A y B y 2 2 pokud eí rovice splěa, je systém elieárí.
časově ivariatí/variatí : - pokud odezva systému závisí pouze a tvaru vstupího sigálu a e a čase, kdy je a vstup přivede sigál, je systém časově ivariatí m S y m Systémy, který esplňují předchozí vlastost je časově variatí. (apř. adaptiví filtry) Lieárí časově ivariatí systém (LTI) splňuje zároveň podmíku liearity a časové ivariace lze ověřit ásledujícím testem:. Diferečí rovice popisující LTI systém, musí mít kostatí koeficiety a esmí obsahovat kostatí termy. 2. Pokud se v termech vyskytují součiy vstupů s výstupu, popř. rovice obsahuje kostatí termy systém je elieárí. 3. Pokud jsou koeficiety fukcí ebo je ásobea proměá uvitř závorek systém je časově variatí.
Př.: a)y]-2y-]=4] LTI b)y]-2y-]=] pouze lieárí c)y]-2y 2 -]=2]-2-] elieárí, ale TI d)y]-2y-]=2 ] ] elieárí, ale TI e)y]-4y]y2]=] elieárí, časově variatí
Kauzalita systému u kauzálího systému y] ezávisí a budoucích hodotách ], tj. v rovici se evyskytují termy jako +2] apod., pokud se vyskytují je systém ekauzálí. Typicky kauzálí jsou systémy, které pracují v reálém čase. je kauzálí pro K 0 je kauzálí pro K L Pokud je systém popsá přeosovou fukcí ˇ pak je kauzálí, pokud PQ. ] ] ] ] ] ] ] ] 0 0 L B y A L A y L y K B N y A A y y L N Q Q Q Q P P P P A A A z z A B B B z z B z H 0 0 ) (
Statický a dyamický systém pokud odezva systému v čase = 0 závisí pouze a hodotě vstupu v čase = 0 systém je statický, jiak je dyamický. y ] k ] Příklady: y ] 2] ekauzálí, dyamický y 4] y 3] 2] kauzálí, dyamický y ] 2 ] kauzálí, statický kauzálí, dyamický ekauzálí, dyamický y ] 2( ) ] kauzálí, statický, časově variatí
Základí stavebí bloky diskrétích systémů Zpožděí: Posu: ] z - -] ] z +] Násobeí: Větveí sigálu: ] A A] ] ] Násobeí sigálů: Součet sigálů: ] ] X y]= ]* 2 ] ] + y]= ]+ 2 ] 2 ] 2 ]
Implemetace diskrétích systémů Struktury pro realizaci LTI systému Uvažujme diferečí rovici. řádu y a y b b Přímá forma struktura I 0! Využívá 2 zpožďovací čley jede ve vstupí větvi, druhý ve větvi výstupí () b v() y() 0 + + z - z - b -a
Převod mezi prví a druhou přímou formou Přímá forma I y aw b w b w w o Přímá forma II Přímá forma II se používá v praktických aplikacích - je efektivější, obsahuje pouze jediou zpožďovací liku
Převod z přímé formy I do přímé formy II pro diferečí rovici N-tého řádu
Příklad: Nakreslete blokové schéma ásledujících systémů: a) y]-0.6y-]=] b) y]-/6y-]-/6y-2]=4]
Příklad: c) Určete diferečí rovici systému z ásledujícího obrázku]
Aalýza diskrétích systémů V časové oblasti je možé aalyzovat diskrétí systémy ásledujícími modely: Diferečí rovicí - teto model lze aplikovat a lieárí, elieárí a časově variatí systémy. Pro LTI systémy se využívá pricipu superpozice Impulzí odezvou popisuje odezvu ustáleého LTI systému. Výstup systému je možé popsat jako kovolučí součet vstupu a impulsí odezvy h]. Stavové rovice a stavové proměé lze použít pro systém - tého řádu, který popisuje systémem diferečích rovic prvého řádu tzv. stavové rovice. Teto popis je vhodý pro složité a elieárí systémy
Číslicové systémy popsaé diferečí rovicí Obecý popis rekurziví filtr N-tého řádu autoregressive movig average (ARMA) filter y A y ] A y N] B B B M N 0 Nerekurziví filtr (FIR) klouzavý průměr movig average (MA) B B B M y M 0 M rekurziví IIR filtr N-tého řádu autoregressive (AR) filter y A y ] AN y N] B0
Výpočet odezvy y] diskrétího systému a vstup ] pro erekurziví systémy jedoduché počítáme vážeý součet vstupích hodot pro rekurziví filtr musíme řešit diferečí rovici N-tého řádu - musíme zát počátečí podmíky y-], y-2],, y-n] Příklad: Rekurzíví výpočet diferečí rovice a) y]-a y-]=b 0 u] y-]=0 b) y]-a y-]=b 0 u] y-]=0 c) y]-y-]=]--3] ]=], y-]=0
Řešeí rovice: Rekurzivě přímočaré řešeí, postupě počítáme hodoty y0], y], Formálí řešeí diferečí rovice y A y ] AN y N] Řešeí rovice lze rozdělit a dvě části řešeí homogeí rovice y h pravá straa rovice je ulová partikulárí řešeí řešíme rovici s pravou straou Homogeí rovice y A y ] A y N] 0 N Řešeím je lieárí kombiace epoeciálích fukcí, jejichž základy odpovídají kořeům charakteristické rovice z N A z A z A N 2 z 2 A 2 z N 2 A N z N A N 0 0
Charakteristická rovice má N kořeů z,z 2,,z N pro reálé růzé kořey, má řešeí diferečí rovice tvar: y H K z K 2 z 2 K N z N pro ásobé a kompleí kořey se výsledek modifikuje podle tabulky 3.2 kostaty K, K 2,, K N se určí a základě počátečích podmíek Partikulárí řešeí y P závisí a tvaru vstupího sigálu tabulka 3. Celková odezva je pak dáa součtem y H +y P pro stabilí systémy určuje y H přechodový stav pro systém s harmoickým vstupem určuje y P ustáleý stav, který je také harmoický
Řešeí homogeí rovice
Partikulárí řešeí
Příklady:. Určete odezvu systému y] z ásledujícího obrázku a vstup ]=(0.4), 0, pro počátečí podmíky y-]=0. 2. Určete odezvu systému y]-0.5y-]=5cos(0.5), 0, y-]=4 3. Určete odezvu systému y]-0.5y-]=3(0.5), 0, y-]=2 4. Určete odezvu systému y] z ásledujícího obrázku a vstup ]=u], pro počátečí podmíky y-]=, y-2]=2
Zero-Iput, Zero-State Respose Odezvu y(t) LTI systému je možé zapsat jako součet ZSR (y zsr (t) předpokládáme ulové počátečí podmíky) a ZIR (y zir (t) předpokládáme ulový vstup) Řešeí diferečí rovice: y A y ] AN y N] ) Určíme ZSR při řešeí uvažujeme ulové počátečí podmíky y A y ] AN y N] 2) Určíme ZIR při řešeí uvažujeme zadaé počátečí podmíky y A y ] A y N] 0 N 3) Výsledé řešeí má tvar y]=y ZSR ]+y ZIR ]
Řešeí obecé diferečí rovice s využitím Zsr a Zir y A y ] A y N] B B B M N 0 M. Nalezeme Zir uvažujeme ulovou pravou strau a zadaé počátečí podmíky (je shodé s řešeím homogeí rovice) 2. Nalezeme ZSR pro rovici s jedoduchým vstupem y zsr0, uvažujeme ulové počátečí podmíky 3. Superpozicí dostaeme y y A y ] AN y N] y B y B y B y M Zir 0 Zsr0 Zsr 0 M Zsr 0
. Určete ZIR a ZSRa celkovou odezvu systému y]-0.6y-]=(0.4), 0, y-]=0
Impulsí odezva diskrétího systému Impulsí odezva h] ustáleého LTI systému je odezva a jedotkový impuls ] Výpočet impulsí odezvy:. Pro erekurziví (FIR) filtr délky M+ popsaý rovicí je impulsí odezva h] M+ prvková řada, lze zapsat jako ] ] ] 0 M B B B y M M M B B B B h M B B B h,,,, 2 0 0
2. Impulsí odezva systému popsaého diferečí rovicí s jedím vstupem y A y ] AN y N] Abychom alezli impulzí odezvu h], řešíme rovici h A h ] AN h N] Protože vstup ] je ulový pro >0, postačí ajít řešeí homogeí rovice pro počátečí podmíku h0]=. (pro rovice vyšších řádů jsou ostatí podmíky h-]= h-2] =0 h A h ] A h N] 0, h0 N
3. Impulsí odezva systému popsaého diferečí rovicí s obecým vstupem y Ay ] A y N] B B B M N 0 M Postup: a) Nalezeme řešeí diferečí rovice s jedím vstupem h 0 ](viz. bod 2) b) Použijeme superpozicia určíme celkovou impulsí odezvu h] jako B h B h B h M h 0 0 0 M 0
. Určete impulzí odezvu systému, který je popsá diferečí rovicí y]-0.6y-]=], 2. Určete impulzí odezvu systému 2. řádu, který je popsá diferečí rovicí y]- /6y-]- /6y-2]=], 3. Určete impulzí odezvu systém;, který je popsáy diferečími rovicemi y]-0.6y-]=4], y]-0.6y-]=3-] ],
Diskrétí kovoluce může být provdea buď v časové ebo frekvečí oblasti používá se k určeí impulsí odezvy ustáleého LTI systému je založea a pricipu liearity a časové ivariace Předpokládejme, že záme impulsí odezvu systému h]. Je-li a vstupu posloupost k k k dostaeme, a výstupu operace kovoluce y k h k h k výstupí odezvu systému je možé popsat jako kovoluci vstupu a impulsí odezvy systému
Vlastosti kovoluce Vlastosti jsou založey a liearitě a časové ivariaci. Jsou-li ] a h] posuuté o 0 vzorků, pak je o stejý počet vzorků posuut i výstup 2. Vztah mezi součtem vzorků ], y], h] 3. Pro kauzálí systém h]=0, a kauzálí sigál ]=0, pro <0, je výstup y] také kauzálí 0 0 0 y h h k k k k h k h k h h y 0 0 h y
Matematicky je kovoluce: komutativí asociativí distributiví a b b a c b a c b a a b a b a b a
Kovoluce koečé řady V prai ás obvykle zajímají koečé poslouposti. Kovoluce dvou koečých posloupostí je opět koečá posloupost a platí:. Počátečí ide y] je součet počátečích ideů ] a h], 2. kocový ide y] je součet kocových ideů ] a h], 3. délka L y poslouposti y] je L y =L +L h - Metody výpočtu kovoluce Metoda sčítáí po sloupcích Postup:. Zapsat posloupost ] pod h], 2. každým vzorkem ] ásobit h], zapsat výsledou posloupost pod předchozí (začátek poslouposti je v pozici vzorku) 3. Sečíst sloupce
Př: h]={,2,2,3 } ]={ 2,-,3 } h] 2 2 3 ] 2-3 2 4 4 6 - -2-2 3 3 6 6 9 y] 2 3 5 0 9 9 y]={2,3,5,0,3,9} = 2δ]+3δ-]+5 δ-2]+0 δ-3]+3 δ-4]+9 δ-5]
Metoda slidig-strip Postup:. Překlopíme ] a posueme vzorky tak, aby posledí vzorek byl proti prvímu vzorku h] 2. Posouváme vzorky ] doprava, ásobíme protilehlé vzorky ] a h] a sčítáme Př. h]={ 2,5,0,4 } ]={ 4,,3 } 2 5 0 4 2 5 0 4 2 5 0 4 3 4 3 4 3 4 y0] = 4*2=8 y] = 2*+4*5=22 y2]=3*2+*5+4*0= 2 5 0 4 2 5 0 4 2 5 0 4 3 4 3 4 3 4 y3] = 3*5+*0+4*4=3 y4] = 3*0+*4=4 y5] = 3*4=2 y]={ 8,22,,3,4,2 }
Metoda ásobeí koeficietů polyomu Pricip: Diskrétí kovoluce dvou řad koečé délky ] a h] je ekvivaletí ásobeí dvou polyomů, jejichž koeficiety jsou popsáy polyomy ] a h] Př. h]={2,5,0,4} ]={4,,3} hz]=2z 3 +5z 2 +0z+4 z]=4z 2 +z+3 yz]=8z 5 +22z 4 +z 3 +3z 2 +4z+2 y]={ 8,22,,3,4,2} Impulsí odezva systémů spojeých v kaskádě ] y ] h ] h 2 ] y] h]=h ]*h 2 ] y ]= ]*h ] y 2 ]=y ]*h 2 ]=(]* h ])* h 2 ]=]*(h ]*h 2 ]) obecě : h]=h ]*h 2 ]*h 3 ]* *h ]
Impulsí odezva systémů spojeých paralelě ] h ] h 2 ] y y 2 y] h]=h ]+h 2 ] y]=y ]+y 2 ]=]*h ]+]*h 2 ]=]*(h ]+h 2 ]) Obecě : h]= h ]+h 2 ]+h 3 ]+ +h ]
Odezva systému a periodický vstup odezva diskrétího LTI systému a periodický vstup s periodou N vzorků je také periodická se stejou periodou Př. ]={,2,-3,,2,-3,,2,-3, } h]={,} 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ] 2-3 2-3 2-3 2-3 h] 2-3 2-3 2-3 2-3 2-3 2-3 2-3 2-3 y] 3 - -2 3 - -2 3 - -2 3 - tehle vzorek emá správou hodotu y] je periodické s periodou 3 y] odpovídá kovoluci, kromě hodoty prvího vzorku - výpočet lze modifikovat počítáme kovoluci přes jediou periodu a posledí vzorek přičteme k prvímu
Př. ]={,2,-3} h]={,} ] 2-3 h] 2-3 2-3 3 - -3-3 -2 3 - y]={-2, 3, -} jeda perioda výsledku
Periodická kovoluce jedá se o kovoluci mezi dvěma periodickými sigály s periodou N, výsledkem je periodický sigál se stejou periodou p ]={,0,, } h p ]={,2,3,} - perioda N=4.Krok výpočet lieárí kovoluce 2. Krok výsledek předchozího kroku rozdělíme a N-tice a N-tice sečteme
Periodickou kovoluci je možé počítat také jako maticové ásobeí vytvoří se specíálí matice C (circulat matri), která obsahuje v řádcích posuuté verze sigálu. Touto maticí se pak ásobí vektor h] T a výsledkem je sloupcový vektor, ve kterém jedotlivé prvky odpovídají prkům periodické kovoluce. Př. p ]={,0,2 } h p ]={,2,3}
Dekovoluce (idetifikace systému) Záme-li impulsí odezvu systému h], lze určit výstup y]=h]*]. Pokud záme ] a y] jak určit h]? dekovolucí. Výpočet dekovoluce:. Rekurzíví výpočet pro =0 k k k h h y 0 ] ] ] ] ] 0 ] ] ] 0] ] ] ] 0] ] ] ] ] 0] 0] 0] 0] 0] 0] 0 0 0 pro k k h y h k k h h k k h y y h h y k k k Potřebujeme vyhodotit M-N+ bodů h], kde M,N, jsou délky y a. Tato metoda se používá zřídka - mohou být problémy se šumem.
2. Děleí polyomů - vstupy a výstupy chápeme jako polyomy řádu M, N, impulzí odezvu hw] určíme jako děleí polyomů yw]/w] Příklad: ]={2,5,0,4} y]={8,22,,3,4,2} Určit h] rekurzíví metodou a metodou děleí polyomů.
Diskrétí korelace Korelace vyjadřuje míru podobosti mezi dvěma sigály. Diskrétí vzájemá korelace mezi ] a h] je defiováa jako: Vztah mezi kovolucí a korelací: h r N N N h h r h h r h r h h
Autokorelace je defiováa jako vzájemá korelace téhož sigálu. Je to sudá fukce s maimem v ń=0 r r r r r 0 Autokorelace se často využívá jako metoda detekce sigálu, který je skryt v šumu. Šum je ekorelovaý se sigálem -> pokud je ve zkoumaých datech přítome užitečý sigál výsledá autokorelace vykazuje ostrý vrchol v ń=0. Periodická diskrétí korelace/autokorelace pro pereodické řady se stejou periodou N je defiováa jako: Postup výpočtu periodické korelace/autkorelace je obdobý jako u periodické kovoluce
Korelace se často využívá jako metoda detekce periodicity sigálu poškozeého šumem, popř. v radarové techice pro alezeí cíle apod. Detekce cíle: Radar vyslílá dotazovací sigál ] směrem k cíli. Sigál odražeý od cíle se vrací zpět a radar přijímá sigál s]=-d]+p], kde D je zpžděí sigálu (je úměré vzdáleosti cíle od radaru) a p] je šum. Korelačí přijímač vyhledává v s] dotazovací sigál ] a určuje zpožděí. Určeí periodicity zašuměého sigálu a rekostrukce sigálu: Periodický sigál ] je poškoze šumem a my máme k dispozici pouze zašuměou verzi is]=]+p], kde p] je šum, který obvykle ekoreluje se sigálem. Postup při rekostrukci:. Nejprve určíme periodu N sigálu s] - v periodické autokorelaci sigálu s] se objevují vrcholy v ásobcích periody. 2. Sigál ] určíme jako periodickou vzájemou autokorelaci s] a řady impulsů i] s periodou N tj. i]=(-kn)
Detekce cíle
Rekostrukce zašuměého periodického sigálu
Iverzí systémy Používají se ke korekci poruch, které mohou vzikat apř. během měřeí sigálu. ] y] ] Systém Iverzí systém K alezeí iverzího systémy stačí jedoduše zaměit vstupy a výstupy v diferečí rovici. Impulzí odezva sytému se pak určí z alezeé diferečí rovice. Př. Systém: y]+2y-] = 3]+4-] Iverzí systém: 3y]+4y-] = ]+2-] Aby byl systém ivertibilí musí růzým vstupům odpovídat růzé výstupy (mezi vstupy a výstupy je prosté zobrazeí). Např. systém y]=cos(]) eí ivertibilí.