MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Podobné dokumenty
MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A2. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

FYZIKA I. Složené pohyby (vrh šikmý)

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

Funkce dvou a více proměnných

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Základy matematiky pracovní listy

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Teorie. Hinty. kunck6am

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet. Substituce v určitém integrálu VY_32_INOVACE_M0311

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Teorie. Hinty. kunck6am

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Teorie. Hinty. kunck6am

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

Digitální učební materiál

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

5.3. Implicitní funkce a její derivace

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

a základ exponenciální funkce

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Název: Tvorba obrázků pomocí grafického znázornění komplexních čísel

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

Matematika 1 pro PEF PaE

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

8.1. Separovatelné rovnice

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

h = 0, obr. 7. Definice Funkce f je ohraničená shora, jestliže x Df Funkce f je ohraničená zdola, jestliže x Df d R

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO

Matematická analýza III.

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

METODICKÝ NÁVOD MODULU

Definiční obor funkce, obor hodnot funkce. Funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště. Digitální učební materiály,

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin cos 9 = 1 0, ( 0, ) = 1 ( 0, ) + 6 0,

Informace o výsledcích přijímacího řízení pro akademický rok 2018/2019 Fakulta bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

6. URČITÝ INTEGRÁL Výpočet určitého integrálu Úlohy k samostatnému řešení... 68

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Diferenciální rovnice

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

Zvyšování kvality výuky technických oborů

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY - CVIČENÍ

1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

1 Funkce dvou a tří proměnných

Transkript:

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 6 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vsoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN 78-8-8-8- Tento studijní materiál vznikl za inanční podpor Evropského sociálního ondu (ESF) a rozpočtu České republik v rámci řešení projektu: CZ..7/../5.6, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

OBSAH CVIČENÍ Č. 6.... Příklad... POUŽITÁ LITERATURA... CZ..7/../5.6

Cvičení č. 6 CVIČENÍ Č. 6 STRUČNÝ OBSAH CVIČENÍ: Určování deiničních oborů unkcí dvou proměnných Výpočet parciálních derivací prvního řádu Výpočet parciálních derivací prvního řádu v bodě Výpočet parciálních derivací všších řádů MOTIVACE: K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. V mnoha praktických problémech zjistíme, že určitá veličina závisí na dvou či více jiných veličinách. CÍL: Umět správně napsat omezující podmínk potřebné pro určení deiničního oboru. A následně umět daný deiniční obor znázornit. Pochopit princip parciálního derivování. CZ..7/../5.6

Cvičení č. 6. PŘÍKLADY Příklad : Určete a zakreslete deiniční obor unkcí. a) z 6 b) z ln(sin( )) c) z e d) z arcsin Řešení: a) v předpisu unkce se vsktují pouze odmocnin podmínk: 6 řešíme: 6 D {[, ] R :, (,, ) } b) podmínka: sin( ) > k π < < (k ) π, k Z osamostatníme : π kπ > > (k ) π D [, ] R : kπ > > (k ), k Z CZ..7/../5.6

CZ..7/../5.6 5 Cvičení č. 6 c) podmínk: e Vidíme, že pravá strana první podmínk je rovnicí kružnice se středem v počátku a poloměrem (tj. bod (,)) a druhá podmínka je splněna vžd, tzn., deiničním oborem budou všechn bod rovin kromě bodu (,) [ ] { } :, R D d) podmínka: Jedná se o soustavu nerovnic v podílovém tvaru. Vřešíme postupně a uděláme průnik: ) > < > < ) < > < >

Cvičení č. 6 6 Všechn výsledné podmínk zakreslíme a znázorníme deiniční obor dané unkce. Příklad : e Vpočítejte první parciální derivace unkce z ln ( sin( ) ) Řešení: První nalezneme parciální derivaci unkce podle proměnné, tzn., na proměnnou se budeme dívat jako na konstantu. z cos( ) sin( ) e Nní nalezneme parciální derivaci podle. z e e e cos( ) sin( ) Příklad : Vpočítejte druhé parciální derivace unkce z arcsin() Řešení: První parciální derivace: z z První parciální derivaci budeme znovu parciálně derivovat. ln ln CZ..7/../5.6

CZ..7/../5.6 7 Cvičení č. 6 ln 7 z ln ln 8 z Zbývá nám určit druhé parciální derivace z první parciální derivace podle. ln ln 8 z ln 7 z Příklad : Určete unkce ), ( v bodě [ ], A. Řešení: Z označení vidíme, že budeme hledat parciální derivaci čtvrtého řádu. Budeme třikrát podle a jednou podle. Záleží na nás, v jakém pořadí. ) ( ln ) ( ) (8 ) ( ) ( ln ) )( ( ) )( (8 v bodě: do výsledné čtvrté derivace dosadíme za a za 7 66 ) ( ) ( ln ) )( ( ) )( ( ) ( A

Cvičení č. 6 8 Další řešené příklad: http://www.studopor.vsb.cz/studijnimaterial/sbirka_uloh/video/deoblast/inde.html http://www.studopor.vsb.cz/studijnimaterial/sbirka_uloh/video/parcder/inde.html http://www.studopor.vsb.cz/studijnimaterial/sbirka_uloh/video/parcder/inde.html Neřešené příklad: Určete deiniční obor unkce: a) z ln b) z { } arcsin [ D [, ] R : R {} ; ] D [, ] Vpočtěte všechn parciální derivace prvního řadu unkce: [ { R : ± } ] a) z ln( ) z, z z ( ) z ( ) b) z ( ), ( ) ( ) Najděte parciální derivace druhého řádu unkce: sin cos [ z sin, z cos sin, z cos ] a) z 5 b) z [ z 6 6, z, z ] Další příklad najdete ve sbírce úloh v kapitole 7. a 7.: http://www.studopor.vsb.cz/studijnimaterial/sbirka_uloh/pd/7.pd CZ..7/../5.6

Použitá Literatura POUŽITÁ LITERATURA [] KREML P.a kol.: Matematika II.. Učební tet VŠB-TUO, Ostrava, 7, ISBN 78-8-8-6-5. [] JARNÍK V.: Integrální počet I. Praha, 7. [] VRBENSKÁ H.: Základ matematik pro bakaláře II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 8, ISBN 8-778-55- [] elektronický učební tet: www.studopor.vsb.cz CZ..7/../5.6