Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli vzor) y... závisle proměnná (neboli obraz) M = D(f )... definiční obor f H(f ) = { y R y = f (x), x D(f ) }... obor hodnot f Definice: graf(f ) = { (x, f (x)) R 2 x D(f ) } Tedy graf f je množina uspořádaných dvojic čísel ( x, f (x) ), neboli množina bodů v rovině.

Příklady grafů 3/20 Vývoj cen akcií Philip Morris v průběhu roku 2002 Průběh naměřené venkovní teploty v průběhu 24 hodin

4/20 Způsoby zadání funkce analytickým předpisem (výrazem) graficky tabulkou hodnot, algoritmem, slovně Určení definičního oboru je součástí zadání funkce. Není-li definiční obor zadán, myslí se přirozený definiční obor. Poznámka: Dvě funkce f a g se rovnají (zapisujeme f = g), jestliže (i) D(f ) = D(g) (ii) x D(f ) : f (x) = g(x)

Tabulka základních funkcí - Tabulka I - nutno umět! 5/20 y = q y q y q y = kx + q, k 0 0 y x k 0 q k 0 q k 0 x

Tabulka základních funkcí - Tabulka I - nutno umět! 6/20 y = x 2, x 4, x 6... y f x f x x 0 x x y = x, 4 x... y 0 x

7/20 Tabulka základních funkcí - Tabulka I - nutno umět! y = x 3, x 5,... y f x f x f x x 0 x f x x y = 3 x, 5 x,... y 0 x

Tabulka základních funkcí - Tabulka I - nutno umět! 8/20 y = sgn x 1 y 0 x 1... grafy dalších funkcí viz skripta MI U všech funkcí z Tabulky I je nutné znát také D(f ), H(f ), význačné hodnoty a tzv. limity (vysvětlíme si v příští kapitole)!!! DCV - bezpečně znát funkce z Tabulky I

Operace s funkcemi 9/20 Součet a rozdíl funkcí h = f ± g : h(x) = f (x) ± g(x) Součin funkcí h = f g : h(x) = f (x) g(x) Podíl funkcí h = f g : f (x) h(x) = g(x) Složená funkce h = g f : h(x) = (g f )(x) = g ( f (x) ) g - vnější funkce, f - vnitřní funkce Pozn. Obecně g f f g. (např. cos 2 (x) cos(x 2 ))

10/20 Vlastnosti funkcí - prosté funkce Definice: Funkce f je prostá na M D(f ), jestliže x 1, x 2 M : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Poznámka: ekvivalentní formulace důkaz, že f je prostá x 1, x 2 M : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 negace důkaz, že f není prostá x 1, x 2 M : x 1 x 2 f (x 1 ) = f (x 2 ) Pozn.: Řekneme, že f je prostá, pokud je prostá na svém D(f ). Pozor! Neplést si s definicí funkce!

Ověření prostoty 11/20 Z definice x 1, x 2 D(f ) : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 Z grafu funkce: Funkce je prostá, pokud libovolná rovnoběžka s osou x protne graf funkce nejvýše v jednom bodě. Větička: Složení prostých funkcí je prostá funkce. { e x, x (, 0 Pozor! Funkce f (x) = není prostá. 2 x, x (0, )

12/20 Vlastnosti funkcí - monotonní funkce Definice: Mějme funkci f a množinu M D(f ). Jestliže pro každé x 1, x 2 M, x 1 < x 2 platí (i) f (x 1 ) < f (x 2 ), je funkce f rostoucí na M (ii) f (x 1 ) > f (x 2 ), je funkce f klesající na M (iii) f (x 1 ) f (x 2 ), je funkce f neklesající na M (iv) f (x 1 ) f (x 2 ), je funkce f nerostoucí na M Má-li f jednu z vlastností (i) (iv), nazýváme ji monotonní. Má-li f vlastnost (i) nebo (ii), nazýváme ji ryze monotonní. Pozn.: Řekneme, že f je klesající (rostoucí,...), pokud je klesající (rostoucí,...) na celém svém D(f ).

Vlastnosti funkcí - monotonní funkce 13/20 Pozor! Funkce f (x) = 1 je klesající na intervalu (, 0) a na x intervalu (0, ), ale není klesající (na svém definičním oboru D(f ) = (, 0) (0, )). Věta: Je-li funkce f ryze monotonní na množině M R, je na M prostá. Tvrzení: Součet dvou rostoucích (klesajících) funkcí je funkce rostoucí (klesající). (neplatí pro součin, podíl, ani rozdíl funkcí) Tvrzeníčko : Funkce složená z monotonních funkcí je monotonní.

14/20 Souvislost prostoty a monotonie funkcí s řešením rovnic a nerovnic Aplikace prosté funkce na obě strany rovnice je ekvivalentní úpravou. Pro neprostou obecně důsledková úprava. Aplikace rostoucí funkce na obě strany nerovnice je ekvivalentní úpravou. Aplikace klesající funkce na obě strany nerovnice a současné otočení znaménka nerovnosti je ekvivalentní úpravou.

15/20 Vlastnosti funkcí - omezené funkce Definice: Říkáme, že funkce f je omezená zdola, jestliže d R takové, že x D(f ) platí d f (x). Říkáme, že funkce f je omezená shora, jestliže h R takové, že x D(f ) platí f (x) h. Funkce omezená zdola i shora se nazývá omezená.

16/20 Vlastnosti funkcí - sudé a liché funkce Definice: Říkáme, že funkce f je sudá, jestliže (i) x D(f ) x D(f ) (ii) x D(f ) : f ( x) = f (x) Říkáme, že funkce f je lichá, jestliže (i) x D(f ) x D(f ) (ii) x D(f ) : f ( x) = f (x) Platí: (i) Definiční obor sudé i liché funkce je souměrný podle počátku. (ii) Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y. (iii) Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku.

17/20 Vlastnosti funkcí - periodické funkce Definice: Funkci f nazýváme periodickou, jestliže p R, p 0 takové, že: (i) x D(f ) x ± p D(f ) (ii) x D(f ) : f (x ± p) = f (x) Číslo p nazýváme periodou funkce f. Nejmenší kladnou periodu nazýváme primitivní periodou. Funkce sin x a cos x jsou 2π-periodické, funkce tg x a cotg x jsou π-periodické. Věta: Je-li funkce f periodická s periodou p, pak složená funkce h(x) = g(f (x)) je rovněž periodická s periodou p. Např. Funkce sin 2 x, 2 tg x jsou rovněž periodické. Naopak funkce sin(x 2 ), tg (2 x ) nejsou periodické.

18/20 Inverzní funkce Definice: Necht f je prostá funkce s oborem hodnot H(f ). Inverzní funkcí k funkci f rozumíme funkci f 1 s definičním oborem D(f 1 ) = H(f ) definovanou vztahem Platí: y = f (x) x = f 1 (y). (i) Graf inverzní funkce f 1 je souměrný s grafem funkce f podle přímky y = x. (ii) H(f 1 ) = D(f ) (iii) x D(f ) : f 1( f (x) ) = x (iv) y D(f 1 ) : f ( f 1 (y) ) = y (v) ( f 1) 1 = f (vi) (f g) 1 = g 1 f 1

Příklady inverzních funkcí 19/20 Mocniny a odmocniny f (x) =x 3 f 1 (x) = 3 x f (x) =x 2, x 0 f 1 (x) = x x 2 = x, x R, ( x ) 2= x, x 0 Vztah exponenciální a logaritmické funkce y = a x x = log a (y), x R, y > 0 Užitečné: h(x) = f (x) g(x) = ( e ln(f (x))) g(x) = e g(x) ln(f (x))

Cyklometrické funkce Definice: f (x) = sin x, x π 2, π 2 = f 1 (x) = arcsin(x) f (x) = cos x, x 0, π = f 1 (x) = arccos(x) f (x) = tg x, x ( π 2, π 2 ) = f 1 (x) = arctg (x) f (x) = cotg x, x (0, π) = f 1 (x) = arccotg (x) π π ) Věta (vlastnosti cyklometrických funkcí): f (x) arcsin(x) arccos(x) arctg (x) arccotg (x) D(f ) 1, 1 1, 1 R R H(f ) π 2, π 2 0, π ( π 2, π 2 ) (0, π) rostoucí klesající sudá lichá f 1 (x) sin(x) cos(x) tg(x) cotg(x) x π 2, x 0, π x ( π 2, x (0, π) 2 2 20/20