2 VZORKOVACÍ TEORÉM 2 Vzorkovací teorém Půvab vzorkovacího teorému spočívá v tom že umožňu vyjádřit spojité fukce jistého typu hodotami těchto fukcí vzorky v určitých izolovaých bodech. Přitom ejde o ějakou aproximaci ýbrž o přesé vyjádřeí fukce. Výzam vzorkovacího teorému pro matematiku vědu i techiku mimořádě veliký viz apř. [ [2 [3 [4 [5. Všeobecě oceňová ho výzam pro teorii iterpolace a teorii komuikace kdy jde většiou o vzorkováí fukce dé proměé. Vzorkováí fukcí více proměých užitečé apř. v optice při zpracováí obrazu a dává zajímavý pohled i a strukturí aalýzu eboť představu reciprokou mřížku jako možiu bodů vzorkujících Fourierovu trasformaci elemetárí buňky. 2. Vzorkováí fukce dé proměé Věta : Jestliže o Fourierově trasformaci F X fukce fx platí F X 0 když X P 2 P + 2 X0 > 0. fukce fx určea svými hodotami v bodech x... 2 0 2... a platí fx expikp x f exp i PX0 si 2 x π kx 0 2 kx. 2 0x π Důkaz: Podstata důkazu spočívá v tom že vzhledem k podmíce můžeme apsat Fourierovu trasformaci F X ve tvaru součiu fukce rect X P a Fourierovy řady fukce F X. Iverzí Fourierovou trasformací tohoto součiu kovoluce a dokazovaé tvrzeí jím výpočtem. Pro účely této kapitoly viz pozámka ii v dalším textu redefiume fukci rectx a to takto: rectx když x < 2 rectx 0 když x 2. Fourierovu trasformaci F X splňující podmíku pak můžeme apsat ve tvaru součiu [ F X C exp X P ix/ rect a vypočítat Fourierovy koeficiety Fourierovy řady fukce F X: C P +X0/2 F X exp ix/ dx B B B f P /2 P +X0/2 P /2 [ F X exp ik X dx což výsledek obdobý vztahu 3.38. Fourierova trasformace F X má tedy tvar [ X P F X rect f expix/. 3 B Podle 7.32 iverzí Fourierova trasformace tohoto součiu úměrá kovoluci iverzích Fourierových trasformací součiitelů: { X P fx A FT {rect FT B Vypočítáme yí obě iverzí Fourierovy trasformace tvořící tuto kovoluci: f expix/. 4
2 2 VZORKOVACÍ TEORÉM X P FT {rect B FT { B B P +X0/2 P /2 expikxx dx B expikp x si 2 x 2 x. f expix/ f FT {expix/ AB Dosazeím do 4 dostaeme f f f exp k δ fx expikp x si 2 x 2 kx 0x expikp x f [ ikx x + dx x + δ x +. f δ x + exp i PX0 si 2 x + π 2 kx. 0x + π Odtud sčítáím v opačém pořadí tj. dostáváme tvrzeí 2 vzorkovacího teorému. Pozámky: i Za hodotu emusíme zvolit ejmeší z hodot splňujících podmíku. Volbou ovšem určea vzdáleost x x x / mezi body vzorkováí. Je zřejmé že při ejmeší možé hodotě mi vzdáleost mezi body vzorkováí ejvětší tj. vzorkováí ejřidší. Tato maximálí vzdáleost bodů vzorkováí se azývá Nyquistův iterval x max mi a ho převráceá hodota X f0mi k mi Nyquistova frekvece ebo Nyquistova míra vzorkováí. ii K tomu aby pravá straa rovice 2 dozačě určovala fukci fx podstaté aby Fourierova trasformace F X byla eulová v otevřeém itervalu jak tomu v předpokladu. Kdybychom dovolili aby fukce F X byla eulová v krajích bodech X P 2 a X 2 P + 2 itervalu mělo by to za ásledek že řada a pravé straě rovice 2 by eurčovala fukci fx dozačě. Fukce jíž Fourierova trasformace GX gx expikp x si k X 0 2 x i 2B [ δ X P + 2 X 0 δ X P 2 X 0 eulová právě v krajích bodech X X 2 itervalu v abývá totiž ulových hodot ve všech bodech x vzorkováí: g exp i PX0 siπ 0. Kdybychom připustili aby fukce F X byla eulová také v krajích bodech itervalu byla by pravá straa rovice 2 táž pro všechy fukce fx + αgx kde α libovolá kostata.
2 VZORKOVACÍ TEORÉM 3 V literatuře bývá věta formulováa pro případ kdy iterval v ěmž Fourierova trasformace eulová symetrický kolem počátku tj. ve tvaru: Je li F X 0 když X 2 > 0 5 fx f si 2 x π 2 kx. 6 0x π Rovice 6 bývá azýváa kardiálí iterpolačí formulí a řada a jí pravé straě kardiálí řadou. Jak jsme azačili v úvodu k této kapitole věta má moho aplikací jak v matematice teorie iterpolace tak v přírodovědě a techice teorie komuikací. Byla ěkolikrát ezávisle obvea a proto bývá ozačováa růzými jméy. Nejčastějšími mezi imi jsou E. T. Whittaker [6 H. Nyquist [7 V. A. Kotěl ikov [8 a C. E. Shao [9. Často máme co do čiěí s případem který svým způsobem komplemetárí k větě : Fukce fx eulová pouze v ějakém koečém itervalu. Např. elemetárí buňka krystalu bývá charakterizováa fukcí která má eulové hodoty pouze uvitř elemetárí buňky. V dorozměrém případě fx 0 pro 0 x < a kde a mřížkový parametr mřížková kostata. Pak můžeme očekávat že Fourierovu trasformaci takové fukce lze vyjádřit pomocí jích hodot v bodech vzorkováí. Skutečě tomu tak a vypovídá o tom věta 2. Věta 2: Jestliže pro fukci fx platí fx 0 když x p 2 p + 2 > 0 7 jí Fourierova trasformace F X určea svými hodotami v bodech X... 2 0 2... a platí F X exp ikxp F exp i px0 si 2 kx π 2 kxx. 8 0 π Důkaz: Je obdobý důkazu věty. Vypočítáme koeficiety c Fourierovy řady fukce fx fx c expix/ x p 2 p + 2. c p+x0/2 fx exp ix/ dx A F p /2 p+x0/2 p /2 fx exp ik x dx což zámý výsledek 3.38. Fukci fx apíšeme ve tvaru součiu [ x p fx rect Fourierovou trasformací tohoto součiu kovoluce Poěvadž { F X B FT rect x p { FT F expix/. F expix/. 9
4 2 VZORKOVACÍ TEORÉM { x p FT rect srov..36.33 má kovoluce 9 tvar exp ikpx si 2 kx 2 kx FT {expix/ B δ X F X exp ikpx si 2 kx 2 kx a zřejmě rova řadě 8. Uvedeme ště dva speciálí případy věty 2. Je li iterval v ěmž fx 0 symetrický kolem počátku tj. li F δ X fx 0 když x > 2 0 0 F X F si 2 kx π 2 kxx. 0 π V krystalografii zvykem popisovat elemetárí buňku tak že počátek souřadic ve vrcholu elemetárí buňky a souřadice bodů elemetárí buňky jsou ezáporé. V dorozměrém případě tomu odpovídá situace kdy a a p a/2. Věta 2 má pak tvar: Je li F X exp ikxa/2 fx 0 když x / 0 a 2 F ka si kxa π 2 2 kxa π. 3 Vzorkovací teorém lze zobecit a prostor E N. Toto zobecěí sadé když obor kde f x 0 resp. F X 0 vymeze kvádrem tj. když body vzorkováí tvoří ortogoálí mřížku. Pro E 2 to uvedeo apř. v [0 2.4 resp. [ 7.2 pro E 3 v [2 8.. Jestliže obor kde f x 0 resp. F X 0 vymeze epravoúhlým rovoběžostěem formulace vzorkovacího teorému obtížější [3. Můžeme si to představit tak že oe rovoběžostě představu elemetárí buňku mřížky a body vzorkováí pak jsou mřížkovými body reciproké mřížky. Vzorkovací teorém tak objasňu pozoruhodou skutečost: Chceme-li pozat elemetárí buňku prostředictvím jí Fourierovy trasformace stačí zát Fourierovu trasformaci v mřížkových bodech reciproké mřížky. Proto v difrakčím obrazci měříme itezitu pouze v difrakčích maximech tj. v mřížkových bodech reciproké mřížky. Referece [ Higgis J. R.: Samplig Theory i Fourier ad Sigal Aalysis. Foudatios. Claredo Press Oxford 996. [2 Higgis J. R. Stes R. L. eds: Samplig Theory i Fourier ad Sigal Aalysis. Advaced Topics. Oxford Uiversity Press 999. [3 Churgi Ja. I. Jakovlev V. P.: Metody těorii celych fukcij v radiofizike těorii svjazi i optike. Gosudarstveoe izdatěľstvo fiziko matěmatičeskoj litěratury Moskva 962. [4 Charkevič A. A.: Spektry i aaliz. Gosudarstveoe izdatěľstvo těchiko těoretičeskoj litěratury Moskva 957. [5 Papoulis A.: Systems ad Trasforms with Applicatios i Optics. McGraw-Hill New York 999.
2 VZORKOVACÍ TEORÉM 5 [6 Whittaker E. T.: O the Fuctios which are represeted by the Expasios of the Iterpolatio Theory. Proceedigs of the Royal Society of Ediburgh Sectio A 35 95 8 94. [7 Nyquist H.: Certai Topics i Telegraph Trasmissio Theory. Trasactios A.I.E.E. 47 928 67 644. [8 Kotěľikov V. A.: O propustoj sposobosti efira i provoloki v elektrosvajazi. Matěrialy k u Vsesojuzomu szdu po voprosam tech. rekostrukcii děla svjazi i rozvitija slabotočoj promyšleosti Moskva 933. Citováo podle [3 str. 07 225 [4 str. 87 235. [9 Shao C. E.: Commuicatio i the Presece of Noise. Proceedigs of the I.R.E. 37 949 0 2. [0 Goodma J. W.: Itroductio to Fourier Optics. 2d ed. McGraw-Hill New York 996. [ Hawkes R. W. Kasper E.: Priciples of Electro Optics Volume 3 Wave Optics. Academic Press Lodo 994. [2 Brilloui L.: Sciece ad Iformatio Theory. 2d ed. Academic Press Ic. New York 962. [3 Peterse D. P. Middleto D.: Samplig ad Recostructio of Wave Number Limited Fuctios i N Dimesioal Euclidea Spaces. Iformatio ad Cotrol 5 962 279 323.