Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8
Obsh Neurčitý integrál. Primitivní funkce.......................................... Definice vlstnosti......................................... Tbulkové integrály.........................................4 Metod per prtes......................................... 5.5 Integrce substitucí........................................ 7.5. Substituce typu ϕ() = t................................ 7.5. Substituce typu = ϕ(t)................................ 9.6 Integrce rcionální lomené funkce.................................7 Integrce goniometrických funkcí................................ 5 Určitý integrál. Geometrický význm určitého integrálu.............................. Definice............................................... Vlstnosti určitého integrálu....................................4 Substituce v určitém integrálu...................................5 Metod per prtes v určitém integrálu.............................. 5.6 Geometrické plikce určitého integrálu............................. 6.6. Obsh rovinného útvru................................. 6.6. Délk rovinné křivky....................................6. Objem rotčního těles...................................6.4 Obsh rotční plochy................................... 5
Kpitol Neurčitý integrál V předcházejícím studiu jste se seznámili s důležitým pojmem, to derivce funkce. Funkci f () jsme přiřdili novou funkci f (). Úloh, které se budeme věnovt nyní, je v podsttě opčná. K funkci f () budeme hledt funkci F() tk, by pltilo F () = f (). Tzn. položíme si otázku, jkou funkci je nutné derivovt, bychom dostli zdnou funkci f ().. Primitivní funkce Definice: Necht funkce f () je definovná n intervlu I. Funkce F() se nzývá primitivní k funkci f () n I, jestliže pltí F () = f () pro kždé I. Vět: Necht funkce F() je primitivní k f () n I, pk kždá jiná primitivní funkce k funkci f () n I má tvr F() + c, kde c R. Poznámk: Pokud k dné funkci eistuje primitivní, je jich nekonečně mnoho liší se pouze konstntou c. Víme, že pokud sestrojíme v bodě tečnu k dné funkci, je derivce funkce v dném bodě směrnicí tečny. Grfy primitivních funkcí jsou posunuty rovnoběžně ve směru osy y. Tečny ke grfům v dných bodech jsou rovnoběžné (mjí stejnou směrnici) z toho plyne, že mjí stejnou derivci.. Definice vlstnosti Definice: Množinvšech primitivních funkcí k funkci f () n I se nzývá neurčitý integrál funkce f () znčí se symbolem f ()d. Tedy f ()d = F() + c, I. Poznámk:. Funkci f () nzýváme integrndem.. Výrz d je diferenciál proměnné v tuto chvíli je jeho význm v tom, že nám říká, jk je oznčená proměnná.. Číslo c nzýváme integrční konstnt. Vlstnosti neurčitého integrálu: Vět: Kždá funkce y = f (), spojitá n intervlu I, má n tomto intervlu neurčitý integrál je opět spojitou funkcí n I. f ()d, který Uvedeme jednoduchou (le důležitou) větu, kterou budeme při výpočtu neurčitých integrálů neustále používt.
Vět: Eistují-li n I integrály násobku konstntou: f ()d Vzth mezi funkcí její primitivní funkcí: ( f () ± g()) d = g()d, pk n I eistuje rovněž integrál jejich součtu, rozdílu k f ()d = k f ()d ± f ()d, k R. g()d Pokud funkce nbývá v bodě kldné hodnoty, je v dném bodě primitivní funkce rostoucí nopk. Jkmile je funkce v bodě nulová, je v dném bodě primitivní funkce mimum, minimum nebo inflení bod.. Tbulkové integrály Podobně jko pro derivování, i pro integrování eistuje celá řd prvidel, kterými se při výpočtu musíme řídit. První skupinu vzorců (-) dostneme, obrátíme-li zákldní vzorce pro derivování. Doplníme ji o dv užitečné vzorce.. d = c.. 4. 5. 6. 7. 8. 9..... n d = n+ + c, n =, > n + e d = e + c d = ln + c d = ln + c sin d = cos + c cos d = sin + c cos d = tn + c, = (k + ) π sin d = cot + c, = kπ d = rcsin + c, < d = rctn + c + f () d = ln f () + c f () f () f ()d = f () + c
Obecné vzorce d = ln + + c + e d = e + c sin d = cos + c cos d = sin + c + d = rctn + c d = rcsin + c cos d = tn + c sin d = cot + c + d = ln s + + + c ( Příkld : Vypočtěte integrál 7 + sin ) + d. Integrnd je složen ze součtu tří funkcí, proto využijeme vlstnosti o integrci součtu funkcí, dostneme součet tří integrálů: 7 d + sin d + d, ve všech integrálech je funkce ve tvru konstnt krát funkce, využijeme tedy druhé vlstnosti konstnty vytkneme před integrál: 7 d + sin d + d, funkci si npíšeme ve tvru mocninné funkce, s využitím vlstností jsme získli zákldní integrály, které již podle vzorců (.), (6.) (.) integrujeme. ( 7 + sin ) + d = 7 5 5 cos rctn + c = 5 5 cos rctn + c. ( e ) Příkld : Vypočtěte integrál e + + 4 cos d. Integrnd je složen ze součtu funkcí, proto opět využijeme vlstnosti o integrci součtu funkcí, dostneme součet dvou integrálů: e e + d + 4 cos d. Výpočet prvního integrálu: s využitím vzorce b = ( b)( + b) uprvíme čittel (e )(e + ) e d = + (e )d,
rozdělíme n integrály pomocí vzorců pro integrování (.), (.) vypočítáme (e )d = e + c. Výpočet druhého integrálu: konstntu vytkneme před integrál, jmenovtel si uprvíme (cos + sin = ) podle (9.) integrujeme 4 cos d = 4 sin d = 4 cot + c. ( e ) e + + 4 cos d = e 4 cot + c. Příkld : Vypočtěte integrál tn cos d. Vidíme integrnd ve tvru zlomku, proto nejdříve kontrolujeme, zd nelze využít vzorec (.). Víme, že (tn ) = cos. Po úprvě integrndu dostáváme: tn cos d = cos tn d. Tedy pltí, že derivce jmenovtele je v čitteli lze využít vzorec (.). tn cos d = ln tn + c. Příkldy k procvičení: ) b) c) ( 5 + ) d ( + 4 )d d e) f) g) ( e ) d d + cos ( ) d i) j) e d ( + ) d d) d h) ( cos )d k) d 4
.4 Metod per prtes Víme, že integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) integrálů. Pro součin (podíl) nic tkového obecně nepltí. f () g()d = f ()d g()d Z prvidl pro derivci součinu dostneme velmi užitečný vzth pro integrci součinu: (u v) = u v + u v u v = (u v) u v Po integrci dostáváme: u v d = u v u vd Vět: Necht funkce u() v() mjí derivci n intervlu I, pk pltí pokud lespoň jeden z integrálů eistuje. u() v ()d = u() v() Tto metod se nzývá metod per prtes (po částech). u () v()d, Hodí se n integrály, jejichž integrnd má tvr součinu dvou odlišných funkcí. Abychom dokázli npst prvou strnu vzthu, musíme jeden činitel n levé strně umět derivovt, což není problém, druhý činitel musíme umět integrovt, což už může být problém. Metod per prtes integrál vypočítá jen zčásti. Zbývá vypočítt nový integrál, který by měl být jednodušší. Integrály typické pro výpočet metodou per prtes Bud P() polynom. Metodou per prtes integrujeme npř. integrály následujících typů: P()e α d, P() sin(α)d, P() cos(α)d P() rctn d, P() ln m d. U první skupiny postupujeme tk, že polynom derivujeme (snížíme jeho stupeň), v přípdě potřeby postup opkujeme. U druhé skupiny nopk polynom integrujeme derivujeme druhý činitel. Poznámk: V souvislosti s metodou per prtes se používá obrt, který spočívá v tom, že po integrci per prtes úprvách se nám znovu objeví výchozí integrál. Tzn. dostáváme rovnici: f ()d = h() + α f ()d, kde α =. Převedením integrálů n jednu strnu dostneme hledný výsledek: f ()d = h() + c. α 5
Příkld 4: Vypočtěte integrál: Integrál je ve tvru ( + ) cos d. P() derivujeme funkci cos integrujeme. P() cos d, což je integrál typický pro výpočet metodou per prtes, kde polynom u = + u = v = cos v = sin Po plikci PP : ( + ) cos d = + + sin sin d = sin + Dostli jsme jednodušší integrál sin d, který již umíme vyřešit pomocí vzorců, sin d = cos + c. sin d. ( + ) cos d = + sin cos + c. 9 Příkld 5: Vypočtěte integrál: ln d. Funkci ln integrovt neumíme, proto musíme k výpočtu využít metodu per prtes, kde si integrnd npíšeme ve tvru součinu funkce s jedničkou : ln d. Volíme u = ln v = u = ln v = Po plikci PP : ln d = ln ln d = ln Dostli jsme jednodušší integrál ln d, který řešíme opět metodou PP ln d. u = ln v = u = v = Po plikci PP : ln d = ln d = ln d = ln + c. ln d = ln ( ln ) + c. 6
Příkldy k procvičení: ) sin ( )d d) ( ) ln d g) cos(ln )d b) c) e d ln d e) f) sin d e sin d.5 Integrce substitucí Seznámíme se s význmnou metodou, která je jednou z nejdůležitějších nejpoužívnějších při řešení integrálů. Bohužel neeistuje univerzální návod, kdy jk substituci použít, proto je důležité pochopit princip substitučních metod umět vzorce pro derivování..5. Substituce typu ϕ() = t Vět: Necht funkce f (t) má n otevřeném intervlu J primitivní funkci F(t), funkce ϕ() má derivci n otevřeném intervlu I pro libovolné I pltí ϕ() J. Potom je funkce F(ϕ()) primitivní funkce k funkci f (ϕ())ϕ () n I pltí: f [ϕ()] ϕ ()d = f (t)dt = F(t) + c = F [ϕ()] + c. Z předcházející věty vidíme, jk musí vypdt integrnd, by bylo možno substituční metodu použít. Musí jít o výrz, který je složen ze součinu složené funkce derivce vnitřní funkce. Problémem je, že potřebný součin není vždy n první pohled viditelný je potřeb integrnd vhodně uprvit. Shrnutí prktické použití:. oznčíme substituci ϕ() = t. rovnost diferencujeme: ϕ ()d = dt. v integrálu 4. řešíme integrál f (ϕ())ϕ ()d nhrdíme z ϕ() proměnnou t z výrz ϕ ()d diferenciál dt f (t)dt proměnné t 5. do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci Lineární substituce: + b = t Jestliže má funkce f (t) primitivní funkci F(t), tj. f (t)dt = F(t) + c, pltí, že: f ( + b)d = F( + b) + c,, b R, =. Příkld 6: Vypočtěte integrál: e + d. Integrnd je ve tvru e +b, proto k nlezení primitivní funkce využijeme lineární substituce, kde =, b =. 7
e + d = e + + c. Příkld 7: Vypočtěte integrál: 4 ( ) d. Integrnd je ve tvru, proto k nlezení primitivní funkce využijeme opět lineární substituci (b + d) ( obecný vzorec d = rcsin ), + c kde =, b =, d =. d = rcsin + c. 4 ( ) Příkldy k procvičení: ) b) sin(4 )d 4 + d c) d) ( 5) d e 6 d e) f) d + 8 9 d Příkld 8: Vypočtěte integrál: tn( )d. Derivce vnitřní funkce je rovn druhé funkci v součinu, ( ) =, využijeme tedy substituce: Po plikci: Dostli jsme integrál = t d = dt d = dt tn( )d = tn tdt. sin t tn tdt, který si npíšeme ve tvru cos t dt. Všimneme si, že derivce jmenovtele je v čitteli (liší se pouze konstntou), proto tento integrál řešíme přímou metodou s využitím vzorce d = ln f () + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. f () f () tn( )d = ln cos( ) + c. 8
Příkld 9: Vypočtěte integrál: rcsin d. Integrnd je ve tvru součinu dvou funkcí: rcsin d. Derivce jedné funkce je rovn druhé funkci v součinu, (rcsin ) =, využijeme tedy substituci: rcsin = t d = dt Po plikci: rcsin d = tdt. Získli jsme tbulkový integrál, který již umíme pomocí vzorce vypočítt. tdt = t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. rcsin d = rcsin + c. Příkldy k procvičení: ) b) d ( + ) rctn e cos(e )d c) d) cot( + )d ( + ln ) 5 d e) f) cos sin d e d.5. Substituce typu = ϕ(t) Podle věty o. substituční metodě jsme převedli integrál f [ϕ()] ϕ ()d pomocí substituce ϕ() = t n integrál s novou proměnnou f (t)dt. Někdy je potřeb zvolit postup opčný proměnnou nhrdit vhodnou funkcí. Tzn. máme vypočítt integrál f ()d. S využitím substituce = ϕ(t) d = ϕ (t)dt se snžíme převést integrál n tvr integrálu f [ϕ(t)] ϕ (t)dt. Abychom byli schopni nlézt primitivní funkci, musí pltit, že:. f () je spojitá n(, b). = ϕ(t) je n (α, β) ryze monotónní ϕ (t) = je spojitá n (α, β). Pokud jsou tyto předpokldy splněny, eistuje inverzní funkce ϕ () = tedy t = ϕ (). Vět: Necht funkce f () je spojitá n intervlu J, necht funkce [ ϕ(t) má ] derivci n otevřeném intervlu I pltí ϕ(i) = J. Pk má f () n intervlu J primitivní funkci F ϕ () pltí: f ()d = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. 9
Substituční metodou integrujeme většinou ircionální funkce. ) Integrnd obshuje výrz n + b. U těchto integrálů používáme substituci + b = t n, d = nt n dt. b) Obshuje-li integrovná funkce více odmocnin s různými odmocniteli substituci + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n, n,... c) Integrnd obshuje výrz n + b, n + b,... zvádíme b. Substituce se oznčuje jko goniometrická, protože kldeme b = sin t nebo b = cos t, tzn. d = b cos tdt přípdně d = sin tdt. b Příkld : Vypočtěte integrál: sin + d. V prvním kroku potřebujeme odstrnit odmocninu z rgumentu funkce sinus. Po nhrzení novou proměnnou: + = t = t d = tdt sin + d = t sin t dt = t sin tdt. Nový integrál proměnné t je ve tvru P(t) sin tdt, který řešíme pomocí metody per prtes. Po plikci PP přímé metody: u = t u = t sin tdt = t cos t + v = sin t v = cos t cos tdt = t cos t + sin t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci t = +. sin + d = + cos + + sin + + c. Příkldy k procvičení: d ) ( + ) + b) cot d c) d) e d rctn d.6 Integrce rcionální lomené funkce Kždou rcionální lomenou funkci tvru f () = P(), kde P() Q() jsou polynomy libovolných stupňů, Q() lze vyjádřit ve tvru P() Q() = S() + R () +... + R s (),
kde S() je mnohočlen R (),..., R s () jsou prciální zlomky. Prciální zlomky jsou speciální rcionální lomené funkce. Rozlišujeme typy: A, k N; α, A R ( α) k B( + p) + C ( + p + q) k, k N; B, C, p, q R; p 4q < Postup rozkldu ryze lomené funkce n prciální zlomky. njdeme kořeny polynomu ve jmenovteli. npíšeme předpokládný tvr rozkldu. celou rovnici rozkldu vynásobíme polynomem ve jmenovteli 4. nlezneme koeficienty rozkldu: srovnávcí metodou, doszovcí metodou nebo kombincí těchto metod 4 + Příkld : Vypočtěte integrál: d. V čitteli funkce je stupeň polynomu roven čtyřem, polynom ve jmenovteli je. stupně. Stupeň ve jmenovteli je menší, polynomy tedy lze dělit. Dělíme tk, že vždy vezmeme v čitteli člen s nejvyšší mocninou vydělíme členem s nejvyšší mocninou ve jmenovteli. Dlším krokem je vynásobení výsledku získného dělení se jmenovtelem odečtení od původního polynomu v čitteli (snížíme stupeň čitteli). Provedeme kontrolu, zd získný polynom je již nižšího stupně než polynom, kterým dělíme. Pokud no, jedná se o zbytek (ryze lomená funkce), pokud ne, musíme dělit dále. Po dělení ( 4 + ) : ( ) = + + + + ( 4 ) + ( ) + ( ) + ( ) 4 ( + d = + + + + ) d. Využitím vlstností vzorců řešíme 5 tbulkových integrálů. 4 + 4 d = 4 + + + + ln + c.
Příkldy k procvičení: ) Vyjádřete rcionální funkci R() = + b) Rozložte n prciální zlomky: R() = 4 c) Rozložte n prciální zlomky: R() = 4 + 4 d) Rozložte funkci R() = ( )( n prciální zlomky. + ) jko součet polynomu ryze lomené rcionální funkce. Integrce prciálních zlomků s reálnými kořeny ve jmenovteli Pro k = : Pro k : A d = A ln α + c α A ( α) k d = A ( k)( α) k + c Integrce prciálních zlomků s kompleními kořeny ve jmenovteli Při integrování zlomku Při integrování zlomku kde B( + p) + p + q dostáváme: B( + p) + p + q d = B ln + p + q + c C + p + q doplníme trojčlen + p + q n čtverec: C + p + q d = C Příkld : Vypočtěte integrál: d ( + p/) + = C + p/ rctn + c, = + + 6 d. q p 4. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel rozložíme n kořenové činitele, Tvr rozkldu : + ( )( + ) = A + B +. Vynásobíme výrzem ( )( + ), + 6 = ( )( + ). Využijeme doszovcí metodu: + = A( + ) + B( ). = : 4 = 5A A = 4 5 = : = 5B B = 5
Integrujeme prciální zlomky s reálnými kořeny pro k =. + + 6 d = 4 5 d + 5 + d. + + 6 d = 4 5 ln + ln + + c. 5 Příkld : Vypočtěte integrál: + + 4 + 4 d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel rozložíme n kořenové činitele, Tvr rozkldu : + ( + ) = A + + B ( + ). Vynásobíme výrzem ( + ), + 4 + 4 = ( + ). + = A( + ) + B. Využijeme kombinci doszovcí srovnávcí metody: = : 7 = B : = A + B 6 = A A = Integrujeme prciální zlomek s reálnými kořeny pro k = prciální zlomek s reálnými kořeny pro k =. + + 4 + 4 d = + d + 7 ( + ) d. + 7 d = ln + + 4 + 4 + + c. Příkld 4: Vypočtěte integrál: + + 4 d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel má dv kompleně sdružené kořeny. Tvr rozkldu : B( + ) = + + 4 + + 4 + C + + 4. Vynásobíme výrzem ( + + 4), Využijeme srovnávcí metody: = B( + ) + C. : = B B = Integrujeme prciální zlomky s kompleními kořeny. + + 4 d = : = B + C C = + + + 4 d + + 4 d.
( Jmenovtel druhého integrndu si uprvíme n tvr + ) + 7 4 + + 4 d = ln( + + 4) rctn ( + ) + c. 7 7 Příkldy k procvičení: ) + 8 d c) ( + )( + 4) d e) + d b) 8 ( 4)( ) d d) + 4 + ( + 9)( ) d f) + 5 d ( + ) Příkld 5: Vypočtěte integrál: + d. Integrnd obshuje výrz n + b, využijeme substituci: = t d = t dt Dostáváme: d = + 9t (t + ) dt. Získli jsme rcionální lomenou funkci, kde v čitteli je stupeň větší než ve jmenovteli, musíme dělit: 9t (t + ) dt = 9 ( t + 4 ) dt = 9 ( ) t t + 4 ln t + + c. t + Vrátíme substituci. + d = 9 ( ) ( ) + 4 ln + + c. Příkld 6: Vypočtěte integrál: 4 + d. Integrnd obshuje více odmocnin s různými odmocniteli, využijeme substituci: = t 4 d = 4t dt Dostáváme: 4 d = 4 + t t + t dt. 4
Získli jsme rcionální lomenou funkci, kde v čitteli je stupeň větší než ve jmenovteli, musíme dělit: ( 4 t 4 t + 4t 8t + 6 ) ( ) t 5 dt = 4 t + 5 t4 + 4t 4t + 6t ln t + + c. Vrátíme substituci. ( 4 5 4 d = 4 + 5 + 4 4 4 ) + 6 4 ln 4 + + c. Příkldy k procvičení: ) + 5 + 5 d b) + 5 d.7 Integrce goniometrických funkcí Integrály typu sin m cos n d, kde m, n Z. Pokud je spoň jedno z čísel m, n liché použijeme k řešení substituci: sin = t, je-li n liché cos = t, je-li m liché Pokud jsou obě liché, můžeme si vybrt.. Pokud jsou obě čísl m, n sudá nezáporná, je nejvýhodnější použití vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = cos = cos + cos.pokud jsou obě čísl m, n sudá je-li lespoň jedno z čísel záporné, použijeme substituci tn = t. Pk sin = t, cos =. + t + t Univerzální substituce tn = t, ( π, π) = rctn t d = + t dt 5
sin = t t, cos = + t + t Univerzální substituce se používá při řešení integrálů typu f (sin, cos )d, kde f (u, v) je rcionální funkce proměnných u = sin, v = cos. Jedná se o obecný postup (substituci) při řešení integrálů funkcí složených z goniometrických funkcí. Příkld 7: Vypočtěte integrál: cos sin 5 d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je sudá mocnin u funkce sinus lichá, tudíž využijeme substituci: cos = t sin d = dt Musíme si integrnd uprvit, by byl složen pouze z funkce cos jedné funkce sin : cos sin 4 sin d = cos ( cos ) sin d. Po plikci substituce: t ( t ) dt = (t t 4 + t 6 )dt = t + t5 5 t7 7 + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. cos sin 5 d = cos + cos5 5 cos7 7 + c. Příkld 8: Vypočtěte integrál: sin cos d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u funkce kosinus je lichá mocnin u funkce sinus sudá, tudíž využijeme substituci: sin = t cos d = dt Po plikci substituce: t dt = t + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. sin cos d = sin + c. 6
Příkld 9: Vypočtěte integrál: Integrnd je typu substituci: sin 4 cos 8 d. sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé mocniny jedn je záporná, tudíž využijeme tn = t cos d = dt Integrd si uprvíme: sin 4 cos 8 d = tn 4 cos cos d. Po plikci substituce: t 4 ( + t )dt = t5 5 + t7 7 + c. Do nlezené primitivní funkce vrátíme substituci. sin 4 cos 8 d = tn5 + tn7 + c. 5 7 Příkld : Vypočtěte integrál: sin cos d. Integrnd je typu sin m cos n d, kde u obou funkcí jsou sudé nezáporné mocniny, tudíž využijeme goniometrických vzorců: ( ) ( ) cos + cos sin cos d = d = 4 ( cos )d. Opět využijeme stejného vzorce: 4 ( cos )d = 4 ( ) + cos 4 d. Využitím zákldních integrčních vzorců spočítáme. sin cos d = 8 sin 4 + c. Příkld : Vypočtěte integrál: + cos d. 7
Integrndem je rcionální funkce obshující goniometrické funkce, využijeme tedy univerzální substituci: + cos d = + t + t dt = +t 6 + t dt. Využitím obecného vzorce + d = rctn + c spočítáme: 6 6 dt = rctn + t t + c. Vrátíme substituci. + cos d = rctn tn + c. Příkld : Vypočtěte integrál:. způsob řešení: sin d. Integrndem je rcionální funkce obshující goniometrickou funkci, využijeme univerzální substituci: + t sin d = t + t dt = t dt. Využitím zákldního integrčního vzorce spočítáme vrátíme substituci: t dt = ln t + c = tn ln + c.. způsob řešení: Integrnd je typu t. sin m cos n d, kde u funkce sinus je lichá mocnin, tudíž využijeme substituci cos = Integrnd si uprvíme: sin d = sin sin d = sin cos d = dt t. Rozložíme n prciální zlomky po nlezení primitivní funkce vrátíme substituci: ( ) (t ) dt = (t + ) ln cos ln cos + + c. Příkldy k procvičení: ) sin cos d b) sin cos d c) d) sin cos 6 d cos 4 d e) f) 4 sin + 4 d + cos + sin d 8
Příkld : Vypočtěte integrál: 9 6 d. Integrnd obshuje b, využijeme substituci: 4 = sin t 4d = cos tdt Dostáváme: 9 6 d = 9 9 sin t cos tdt = 9( sin t) cos tdt = 4 4 4 cos tdt. Získli jsme integrál gonimetrické funkce se sudou mocninou, musíme využít vzorce pro dvojnásobný úhel: 9 cos tdt = 9 ( + cos t)dt = 9 ( ) sin t t + + c = 9 ( ) sin t cos t t + + c 4 8 8 8 = 9 ( ) t + sin t ( sin t) + c. 8 Vrátíme substituci. 9 6 d = 9 8 ( rcsin 4 + 4 6 9 ) + c = 9 8 4 rcsin + 9 6 + c. Příkldy k procvičení: ) + 5 + 5 d c) d (9 ) b) + 6 5 d d) 4 d 9
Kpitol Určitý integrál. Geometrický význm určitého integrálu Mějme nezápornou ohrničenou funkci f (), spojitou n intervlu, b. Dá se dokázt, že určitý integrál b f ()d udává obsh rovinného obrzce P ohrničeného grfem funkce f (), osou přímkmi =, = b. Pro obecnou funkci f () ztím obsh obrzce P vypočítt nedovedeme. Nvrhněme, jk vypočítt obsh tohoto útvru lespoň přibližně:. Rozdělíme útvr P rovnoběžkmi s osou y n části. Je zřejmé, že obsh útvru P dostneme jko součet obshů jednotlivých částí. Oznčíme obsh P jko S(P). Pk pltí:s(p) = S(P ) + S(P ) +... + S(P n ). Potřebujeme tedy určit obsh jednotlivých částí. Jelikož jsou opět ohrničeny shor funkcí f (), provedeme výpočet přibližně. A to tk, že proimujeme plochy obdélníkem. Zvolíme v jednotlivých částech body ξ i (v mezích dné části) v těchto bodech spočteme funkční hodnotu. V této výšce zrovnáme n obdélník (funkci jsme nhrdili funkční hodnotou). Ze znlosti vzorce pro výpočet obshu obdélníku dostáváme (přibližný) obsh původního obrzce: S(P). = ( ) f (ξ ) + ( ) f (ξ ) +... + (b n ) f (ξ n ). Je zřejmé, že se dopouštíme chyby pokud zvolíme více dělících bodů (více částí), tím bude chyb menší. Obsh P tedy dostneme jko limitu pro nekonečný počet částí.. Definice Definice: Pokud limit ( n lim n i= funkce v intervlu, b píšeme S(P i ) = S n ), pk je tto limit oznčován jko Riemnnův integrál S n = b f ()d, kde číslo se nzývá dolní mez, číslo b horní mez funkce f () integrnd. Poznámk: Pokud je funkce f () spojitá n, b, pk má Riemnnův integrál. Po zobecnění dostáváme následující definici. Definice: Necht je f () omezená po částech spojitá v, b, pk má f () v, b Riemnnův integrál.
Výpočet určitého integrálu Pro výpočet určitého integrálu využijeme Newton-Leibnizovu formuli, která vyjdřuje vzth mezi primitivní funkcí Riemnnovým integrálem. Definice: Necht F() je primitivní funkcí k funkci f () v intervlu I. Pk pro čísl, b z tohoto intervlu definujeme Newtonův určitý integrál funkce f () v mezích od do b vzorcem: b f ()d = [F()] b = F(b) F().. Vlstnosti určitého integrálu Vět: Necht f () g() jsou integrovtelné n, b, pk tké součet (rozdíl) těchto funkcí násobek funkce konstntou je integrovtelný n tomto intervlu pltí: b ( f () ± g())d = b b f ()d ± g()d, b b c f ()d = c f ()d, c R. Dlší vlstnosti: Vět: Necht f () g() jsou integrovtelné n, b, pk pltí: f ()d =, b b b f ()d = f ()d b f ()d, f ()d, je-li f () g(), pro, b, pk tké b f ()d b g()d. Následující vlstnost je užitečná zejmén v přípdech, kdy integrnd nebude mít n celém intervlu, b jednotný nlytický předpis. Vět: Necht f () je integrovtelná n, b < c < b právě tehdy, když je integrovtelná n obou intervlech, c c, b pltí: b f ()d = c b f ()d + c f ()d.
π Příkld 4: Vypočtěte integrál: ((4 ) + cos )d. Integrnd uprvíme s využitím vlstností dostneme součet 4 integrálů: π π (6 8 + + cos )d = 6 π d 8 π d + π d + cos d. Všechny integrály jsou tbulkové, tzn. umíme nlézt primitivní funkci. Využijeme tedy N-L formuli. π π π π [ ] 6 d 8 d + d + cos d = 6[] π 4[ ] π π [ sin + + ( ) π = 6(π ) 4(π ) + + ( ) = 6π 4π + π. ] π π ((4 ) + cos )d = 6π 4π + π. Příkldy k procvičení: ) ( + )d b) ( ) d c) + d Výpočet integrálu sudé liché funkce Pokud je n intervlu, funkce f () sudá, pk f ()d = f ()d. y = 4 = = Pokud je n intervlu, funkce f () lichá, pk f ()d =.
= π = π y = tn = π 4 = π 4 Příkld 5: Vypočtěte integrál: π 4 tn d. π 4 Funkce tngens je n intervlu π 4, π 4 lichá, tudíž využijeme vlstnosti určitého integrálu pro lichou funkci víme tedy, že integrál je roven. Ověříme: π 4 π 4 tn d = π 4 π 4 sin cos d = [ln cos ] π 4 π 4 = ( ln ln ) =. Příkld 6: Vypočtěte integrál: 4 d. Funkce 4 je n intervlu ; sudá, tudíž využijeme vlstnosti určitého integrálu pro sudou funkci: 4 d = 4 d = [ 5] 5 = 5 ( ) = 5. Příkldy k procvičení: ) π 4 π 4 ( + cos )d b) 5 d c) + d.4 Substituce v určitém integrálu Vět: Je-li funkce f () integrovtelná v, b funkce = ϕ(t) má v intervlu α, β spojitou derivci ϕ (t), přičemž ϕ(α) = ϕ(β) = b, pk pltí: b β f ()d = f (ϕ(t))ϕ (t)dt. α
Poznámk: Postup výpočtu zápis je obdobný jko u neurčitého integrálu, jen přibude určení nových mezí. Výhodou je, že se nemusíme po substituci vrcet k původní proměnné. Příkld 7: Vypočtěte integrál: π cos d. Integrnd je ve tvru součinu dvou funkcí, kde derivce vnitřní funkce je přímo druhá funkce součinu (lišící se pouze konstntou), využijeme tedy substituci: = t d = dt Musíme přepočítt meze pro novou proměnnou t: dolní mez: = horní mez: π π Po plikci: π cos d = π π cos tdt = [sin t]π = (sin π ). cos d = sin π. Příkld 8: Vypočtěte integrál: 8 + d. Jedná se o integrál obshující odmocninu. Využijeme substituci: + = t d = tdt Musíme přepočítt meze pro novou proměnnou t: dolní mez: + = horní mez: 8 8 + = Po plikci: 8 d = + t t t + dt = 8 [ ] t ( t(t )dt = t 7 = 9 ( 8 4 )). + d =. 4
Příkldy k procvičení: ) e + ln d b) π sin cos d.5 Metod per prtes v určitém integrálu Vět: Necht funkce u() v() mjí n, b, < b, derivce, které jsou n dném intervlu integrovtelné, pk pltí b b u() v ()d = [u() v()] b u () v()d. Poznámk: Použití je nlogické jko v přípdě neurčitého integrálu. Výhodou oproti postupu u neurčitého integrálu spočívá v průběžném doszování mezí do částečně určené primitivní funkce. Výpočet se zkrátí zpřehlední. Příkld 9: Vypočtěte integrál: ln d. Integrnd je složená funkce, zkusíme využít metody per prtes: u = ln v = u = v = Po plikci PP : ln d = [ ln ] d = ln 4 ln [] = ln 4 ( ). ln d = (ln 4 ). Příkldy k procvičení: ) ( + )e d c) ln( + )d b) rctn d d) rcsin d 5
Příkld : Vypočtěte integrál: + 6 ( + + 6) d. Funkce je ryze lomená, rozložíme ji n prciální zlomky. Jmenovtel má dv kompleně sdružené kořeny jeden dvojnásobný reálný kořen roven. Tvr rozkldu : Vynásobíme ( + + 6) + 6 ( + + 6) = A + B C( + ) + + + 6 + D + + 6 + 6 = A( + + 6) + B( + + 6) + C( + ) + D Využijeme srovnávcí metody: : =A + C C = A C = + 6 ( + + 6) d = [ ] 6 ( : =A + B + C + D D = : =6A + 6B A = : 6 =6B B = d + [ ln( + + 6) ] 6 rctn 7 rctn d + + + 6 d ) + + 6 d = [ln ] [rctn ( ] + = ln + (ln 6 ln 8) ). Příkldy k procvičení: ) + ( + ) d b) ( + ) d.6 Geometrické plikce určitého integrálu.6. Obsh rovinného útvru ) Pokud se jedná o rovinný útvr omezený osou, přímkmi =, = b grfem spojité, nezáporné funkce y = f (), pk je jeho obsh dán určitým integrálem, jk bylo uvedeno u geometrické interpretce určitého integrálu: P = b f ()d. V přípdě, že funkce y = f () je v intervlu, b záporná, je integrál rovněž záporný. Vzhledem k tomu, že obsh kždého obrzce je vždy nezáporné číslo, použijeme pro libovolnou funkci ve výpočtu obshu její bsolutní hodnotu: b b P = f () d = f ()d. 6
Jestliže funkce y = f () nbývá v intervlu, b jk kldných, tk i záporných hodnot, potom tento intervl rozdělíme n dílčí intervly, ve kterých funkce nbývá pouze nekldných hodnot resp. nezáporných hodnot, vypočteme obshy podle předcházejícího. Tzn. pokud bychom počítli integrál kldné záporné části by se odečítli. b f ()d n celém, b, Příkld : Znázorněte grf funkce y = + 5 + vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 6 y = + 5 + 5 4 4 = = Z grfu vidíme, že funkce je n intervlu, záporná: P = ( + 5 + )d = [ ( 4 5 )d = 4 5 ] = ( 4 5 ) + (4 + 4) = 7 4. Příkld : Znázorněte grf funkce y = + 5 + vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 7
6 = = 5 4 4 y = + 5 + Z grfu vidíme, že funkce je n intervlu, nezáporná: P = ( + 5 + )d = ] ( [ 4 4 + 5 + = 4 + + 4 ( 4 + 5 )) + = 4. Příkld : Znázorněte grf funkce y = + + vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: y = + + 4 = = 5 Z grfu vidíme, že funkce n intervlu, mění znménko, musíme proto určit zvlášt obsh části pod osou nd osou, určíme si průsečík s osou n intervlu, : 8
, = ± + 8 hledný průsečík je = P = = ( + + ) d + ( + ( 8 + 4 )) + ( + + ) [ d = ] ( + ( + + )) + [ + + = 6 + = 6 ] Příkldy k procvičení: ) Znázorněte grf funkce y = ln vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = =. b) Znázorněte grf funkce y = ln vypočítejte obsh plochy ohrničené touto funkcí, osou přímkmi = = 4. c) Vypočtěte obsh útvru (dný útvr znázorněte) ohrničeného osou funkcí y = přímkmi: =, =. d) Vypočtěte obsh útvru (dný útvr znázorněte) ohrničeného osou jednou kldnou vlnou funkce y = sin. ) Pokud je rovinný útvr ohrničený dvěm funkcemi (křivkmi) y = f () y = g(), přičemž pltí f () g(), přímkmi =, = b je jeho obsh určen: P = b ( f () g()) d. V přípdě, že je rovinný útvr ohrničený pouze dvěm funkcemi, musíme první určit -ové souřdnice průsečíků křivek ( tzn. řešíme rovnici f () = g() ). Příkld 4: Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y =, y = +. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: 4 y = + y = 9
Z grfu vidíme, že ploch je ohrničená shor funkcí y = + zdol kvdrtickou funkcí y =, potřebujeme určit intervl omezující dný útvr, tzn. určíme si průsečíky funkcí: + = řešíme tedy kvdrtickou rovnici 4 = hledné průsečíky jsou =, = P = ( + ( ))d = ( + 4)d = ] [ + 4 = 8 ( ) 8 + 8 8 =. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y = e, y = e =. b) Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi y = +, y =. ) Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, kde funkce ψ(t) je spojitá nezáporná n α, β funkce ϕ(t) má n intervlu α, β derivci různou od nuly ϕ(t) je integrovtelná n α, β, pltí pro obsh útvru ohrničeného grfem funkce f n intervlu α, β : P = β α ψ(t) ϕ(t)dt. Příkld 5: Vypočtěte obsh rovinného obrzce (dnou plochu znázorněte) ohrničeného křivkmi = sin t cos t, y = sin t, t, π. Znázorníme si plochu, jejíž obsh máme určit: = sin t cos t, y = sin t, t, π = = = 4 Pro výpočet obshu rovinné plochy ohrničené prmetrickými rovnicemi potřebujeme znát derivci funkce = sin t cos t: ϕ(t) = (cos t sin t) = ( sin t). Dosdíme do vzorečku:
π P = (sin t sin t)dt = π [cos t] π 4 ( cos t) sin tdt [ ] π = 4 + 4 cos t cos t ( = 4 + 4 + ( )) = 4. Příkldy k procvičení: Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou křivkou zdnou prmetrickými rovnicemi = t t, y = t t, kde t ;..6. Délk rovinné křivky Vět: Je-li funkce y = f () definovná n, b má zde spojitou derivci, pk pro délku jejího grfu pltí: l = b + ( f ()) d. Nyní se podíváme n obecnější přípd, kdy křivk nemusí být grfem funkce (může se jednt o trjektorii nkreslenou bodem spojitě se pohybujícím v rovině). Tzn. zdáme křivku pomocí prmetrických rovnic = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β. Z fyzikálního pohledu je délk křivky vlstně drhou, kterou bod urzí od okmžiku α do okmžiku β. Pro délku křivky dné prmetrickými rovnicemi lze dokázt následující tvrzení: l = β α ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt. Příkld 6: Vypočtěte velikost dráhy, kterou urzí bod od t = do t = při pohybu po křivce dné prmetrickými rovnicemi = t, y = t (t ). Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítt: = t, y = t (t ), t, Pro výpočet délky křivky dné prmetrickými rovnicemi potřebujeme znát derivce funkcí: Dosdíme do vzorečku: l = 4t + t 4 t + dt = ϕ(t) = t ψ(t) = t t 4 + t + dt = + t = t (t + ) dt = [ t + t ] =.
Příkld 7: Vypočtěte délku křivky y = rcsin + pro. Znázorníme si křivku, jejíž délku máme spočítt: y = rcsin() +,, Pro výpočet délky křivky potřebujeme znát druhou mocninu derivce funkce: ( ) ( f ()) = = +. Dosdíme do vzorečku: l = + + d = + + + d = d = + t t dt = [t] = 4. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte délku křivky y = n ;. b) Vypočtěte délku křivky y = ln sin pro π 4 π. c) Vypočtěte velikost dráhy. kterou urzí bod od t = do t = při pohybu po křivce dné prmetrickými rovnicemi = t, y = 5t..6. Objem rotčního těles Necháme-li rovinný útvr rotovt kolem osy, vznikne rotční těleso, jehož objem můžeme vypočítt pomocí určitého integrálu. Vět: Necht je funkce y = f () spojitá nezáporná n, b. Pk rotční těleso, vzniklé rotcí křivky y = f () kolem osy v intervlu, b, má objem: b V = π f ()d. Poznámk: ) Obdobný vzorec pltí, je-li osou rotce os y. Objem těles, které vznikne rotcí spojité křivky = h(y) pro y c, d kolem osy y, vypočteme ze vzthu: d V = π h (y)dy. c
) Pokud získáme těleso rotcí útvru ohrničeného křivkmi y = f () y = g(), přičemž pltí f () g() kolem osy n, b, pk objem tkového těles určíme jko b V = π f () g () d Vět: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β, pltí pro objem těles, které vznikne rotcí útvru kolem osy : β V = π α ψ (t) ϕ(t) dt. Příkld 8: Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí (kolem osy ) oblstí ohrničené funkcí y = ln, osou v, e. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: y = ln,, e = = e y.5.5.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -.5.5 z Oblst je ohrničen pouze jednou funkcí, tzn. budeme počítt integrál z druhé mocniny dné funkce. Dosdíme do vzorečku: e V = π e ln d = (PP) = π[ ln ] e π = πe πe + π[] e = π(e ). e ln d = (PP) = πe π [ ln ] e d Příkld 9: Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y = e, y = e + kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt:
= y = e y = e + y.5.5.5.5.5.5 -.5 - -.5 - = ln z Z grfu vidíme, že oblst je ohrničená shor funkcí y = e + zdol funkcí y = e, potřebujeme určit intervl omezující dný útvr, tzn. určíme si průsečíky funkcí: e + = e e + e = e + e e = e + e =, zvedeme substituci e = t řešíme kvdrtickou rovnici t t + = =, = ln. V = π = π ln ( e + ) e d = π [ e + e + 9 e ln ] ln (4e e + 9 e )d = π(9 ln 6). Příkld 4: Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = cos t, y = sin t, kde π t, π kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: π = cos t, y = sin t, t, π Potřebujeme znát derivci funkce = cos t:.5 y.5.5 z.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - ϕ(t) = cos t sin t. 4
Dosdíme do vzorečku: π V = π π cos t sin 5 tdt = (substituce: sin t = u) = π u 5 du = π[u6 ] = π. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí oblstí ohrničené funkcí y = v, kolem osy. b) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí grfu funkce y = sin,, π kolem osy. c) Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y =, y = kolem osy. d) Vypočtěte objem těles, vzniklého rotcí oblsti (oblst nčrtněte) ohrničené funkcemi y = e, y = + kolem osy. e) Vypočtěte objem těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = t + t, y = + t, kde t ; kolem osy..6.4 Obsh rotční plochy Pomocí určitého integrálu vypočítáme i obsh pláště rotčního těles. Vět: Necht je funkce y = f () spojitá nezáporná n, b má zde spojitou derivci. Pk pro obsh rotční plochy, která vznikne rotcí křivky y = f () kolem osy v intervlu, b,pltí: b S = π f () + ( f ()) d. d Poznámk: Rotce kolem osy y: S = π c h(y) + (h (y)) dy. Vět: Je-li grf funkce f určen prmetrickými rovnicemi = ϕ(t), y = ψ(t), kde t α; β, pltí pro obsh plochy těles, které vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy : S = β α ψ(t) ( ϕ(t)) + ( ψ(t)) dt, ψ(t). Příkld 4: Vypočtěte povrch rotčního těles vzniklého rotcí křivky y = n ; kolem osy. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: 5
y =, t, y 4 4 z - - - Potřebujeme znát druhou mocninu derivce funkce: (y ) =. Dosdíme do vzorečku: S = 4π + d = 4π + 8 [ ] d = 4π + d = π ( + ) = 8 π( 7 ). Příkld 4: Vypočtěte obsh rotčního těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = cos t, y = sin t kolem osy, kde t, π. Znázorníme si oblst, která bude rotovt: = cos t, y = sin t, t, π Potřebujeme určit druhé mocniny derivcí obou funkcí:.5 y.5.5 z.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - ( ϕ(t)) = 4 cos t sin t ( ψ(t)) = 4 cos t sin t 6
Dosdíme do vzorečku: S = π sin t 8 cos t sin tdt = π 8 cos t sin tdt = (substituce: sin t = u) = 8 u du = [u 4] =. Příkldy k procvičení: ) Vypočtěte povrch rotčního těles vzniklého rotcí křivky y = kolem osy pro ; 4. b) Vypočtěte povrch těles vzniklého rotcí prmetricky zdné funkce = sin t, y = sin t, kde t ; π kolem osy. 7