Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Rozšířená množina reálných čísel Rozšířená množina reálných čísel je množina R rozšířená o prvky a. Značíme ji R. Tedy R = R {, }. Body ± se nazývají nevlastní body, body množiny R se nazývají vlastní body. Pro a R definujeme operace: a + =, a =, + =, = = = ( ), ( ) =, Pro a > 0: a =, a ( ) = Pro a < 0: a =, a ( ) = Nejsou definovány tyto operace: a = a = 0, ± =, ± 0, ± ±, a 0, a R Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 2 / 25
Okoĺı bodu Okoĺım (δ-okoĺım) bodu 0 R rozumíme otevřený interval ( 0 δ, 0 + δ), kde δ je kladné reálné číslo. Značíme O δ ( 0 ). 0 δ 0 0 + δ Interval ( 0 δ, 0 se nazývá levé okoĺı bodu 0, značíme O δ ( 0) a interval 0, 0 + δ) se nazývá pravé okoĺı bodu 0, značíme O + δ ( 0). 0 δ 0 0 0 + δ Ryzím (prstencovým) okoĺım (δ-okoĺım) bodu 0 R rozumíme množinu ( 0 δ, 0 + δ) { 0 }, kde δ je kladné reálné číslo. Značíme P δ ( 0 ). 0 δ 0 0 + δ Interval ( 0 δ, 0 ) se nazývá levé ryzí okoĺı bodu 0, značíme P δ ( 0) a interval ( 0, 0 + δ) se nazývá pravé ryzí okoĺı bodu 0, značíme P + δ ( 0). 0 δ 0 0 0 + δ Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví / 25
Pokud nebude hodnota δ podstatná, budeme okoĺı bodu 0 značit jen O( 0 ) a ryzí okoĺı P ( 0 ). Podobně pro jednostranná okoĺı. Okoĺım a zároveň i ryzím okoĺım bodu rozumíme každý interval (a, ), kde a R. Okoĺım a zároveň i ryzím okoĺım bodu rozumíme každý interval (, a), kde a R. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 4 / 25
Definice ity Definice (Limita funkce) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 R itu L R, jestliže ke každému okoĺı O(L) bodu L eistuje ryzí okoĺı P ( 0 ) bodu 0 tak, že pro všechna P ( 0 ) platí f() O(L). Píšeme f() = L. 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 5 / 25
Vlastní ita ve vlastním bodě: 0 R, L R f() = L 0 K libovolnému ε-okoĺı O ε (L) bodu L lze najít ryzí δ-okoĺı P δ ( 0 ) bodu 0 tak, aby platilo f() O ε (L) pro všechna P δ ( 0 ). Zhruba řečeno: Funkční hodnoty jsou libovolně bĺızké k L, pokud je dostatečně bĺızké k 0, ale 0. y L + ε L L ε 0 δ 0 0 + δ Na obrázku je k danému O ε (L) nalezeno největší možné ryzí okoĺı bodu 0. Ryzí okoĺı P δ ( 0 ) je lze zvolit menší. Funkční hodnota v bodě 0 není pro eistenci ity podstatná, funkce nemusí být v bodě 0 vůbec definovaná. Zajímají nás pouze funkční hodnoty v bĺızkém ryzím okoĺı bodu 0. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 6 / 25
Nevlastní ita ve vlastním bodě: 0 R, L = ± 0 f() = K libovolnému h R lze najít ryzí δ-okoĺı P δ ( 0 ) bodu 0 tak, aby platilo f() > h pro všechna P δ ( 0 ). y h P δ ( 0 ) je možné volit menší. 0 δ 0 0 + δ Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 7 / 25
Jednostranné ity ( 0 R) Analogicky s použitím pravého (levého) ryzího okoĺı v předchozí definici ity, můžeme definovat ve vlastním bodě vlastní i nevlastní nevlastní itu zprava (zleva). Nahradíme-li v definici ryzí okoĺı P ( 0 ) pravým ryzím okoĺım P + ( 0 ), dostáváme definici ity zprava f() = L. + 0 Nahradíme-li v definici ryzí okoĺı P ( 0 ) levým ryzím okoĺım P ( 0 ), dostáváme definici ity zleva f() = L. 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 8 / 25
Vlastní ita v nevlastním bodě: 0 = ±, L R f() = L K libovolnému ε-okoĺı O ε (L) bodu L lze najít K R tak, aby platilo f() O ε (L) pro všechna > K. y L + ε L L ε Číslo K na obrázku je možné volit větší (více vpravo). K Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 9 / 25
Nevlastní ita v nevlastním bodě: 0 = ±, L = ± f() = K libovolnému h R lze najít K R tak, aby platilo f() > h pro všechna > K. y h Na obrázku je k danému h zvoleno nejmenší možné K. Číslo K je možné volit větší (více vpravo). K Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 10 / 25
Vlastnosti it Z definice ity vyplývá, že aby měla funkce v daném bodě itu, nemusí být v tomto bodě vůbec definovaná. Musí však být definovaná v nějakém ryzím okoĺı tohoto bodu. Například 0 ln nemá vůbec smysl, nebot funkce y = ln není definovaná v žádném levém okoĺı nuly. Smysl má tedy pouze 0 + ln. Věta Funkce f má ve vlastním bodě 0 itu (vlastní nebo nevlastní) právě tehdy, když má v tomto bodě obě jednostranné ity, které jsou si rovny. Pak platí f() = f() = f(). 0 + 0 0 Věta Funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu itu. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 11 / 25
Svislá a vodorovná asymptota Definice (Svislá asymptota (asymptota bez směrnice)) Řekneme, že funkce f má v bodě 0 R svislou asymptotu (asymptotu bez směrnice) o rovnici = 0, jestliže alespoň jedna z jednostranných it v bodě 0 je nevlastní, tj. nastane alespoň jeden z případů: f() =, + 0 f() =, 0 f() =, + 0 f() =. 0 Definice (Vodorovná asymptota) Řekneme, že funkce f má vodorovnou asymptotu o rovnici y = q pro (pro ), jestliže f() = q ( f() = q). Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 12 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = 1 1 + Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = 1 1 + Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = 1 1 + f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = 1 1 + f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Příklad Necht je funkce f zadaná grafem: y 2 1 1 1 1 f() = 0 f() = 1 f() neeistuje, nebot 1 f() =, f() = 1 1 + asymptoty: = 1, = 1 a y = 0 pro f() = 1 f() neeistuje, nebot f() = 1, f() = 2 + f() = Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 1 / 25
Spojitost funkce Definice (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 R, jestliže f() = f( 0 ). 0 Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě 0 R zprava (zleva), jestliže f() = f( 0 ) ( f() = f( 0 )) + 0 0 Z definice ity vyplývá, že je-li funkce spojitá v bodě 0, pak je definovaná v tomto bodě i v nějakém jeho okoĺı. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 14 / 25
Definice (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá ve všech bodech tohoto intervalu. Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá ve všech jeho vnitřních bodech, v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Věta Základní elementární funkce a funkce, které vznikly součtem, rozdílem, součinem, podílem a skládáním těchto funkcí jsou spojité ve všech bodech svého definičního oboru. Body, v nichž funkce není spojitá, se nazývají body nespojitosti. Body nespojitosti funkce z předchozího příkladu jsou, 1, 1 a. V bodě je funkce spojitá zleva. Body nespojitosti základních elementárních funkcí jsou body, v nichž tyto funkce nejsou definované. Například body nespojitosti funkce y = cotg jsou body kπ, k Z. Body nespojitosti racionální lomené funkce jsou nulové body jmenovatele. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 15 / 25
Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrass) Necht f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak f je na a, b ohraničená. f nabývá na a, b své největší a nejmenší hodnoty. y ma y = f() b 0 a min Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 16 / 25
Věta (Bolzano) Necht f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak f nabývá na a, b všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Zejména, je-li f(a) f(b) < 0, pak eistuje bod c (a, b) takový, že f(c) = 0. y y = f() f(a) f(b) c b 0 a Poznámka Na předchozí větě je založena metoda půlení intervalu, která se využívá například při řešení algebraických rovnic. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 17 / 25
Výpočet ity Věta (Pravidla pro počítání s itami) Necht f a g jsou funkce, které mají itu v bodě 0 R a necht c R. Pak platí 0 c = c c f() = c f() 0 0 ( ) f() ± g() = f() ± g() 0 0 0 ( ) f() g() = f() g() 0 0 0 f() 0 g() = f() 0 g() 0 pro g() 0. 0 Při výpočtu ity 0 f() postupujeme tak, že dosadíme bod 0 do funkce f. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 18 / 25
Limita spojité funkce Je-li funkce f spojitá v 0, pak dostaneme po dosazení bodu 0 do funkce funkční hodnotu (konečné číslo), která je zároveň itou funkce v daném bodě. Příklad (Limita spojité funkce) 1 2 2 + 4 = 7 2 2 1 arctg2 = arctg1 = π 4 V bodech, ve kterých je funkce spojitá, nemá výpočet ity velký význam. Dále se tedy budeme zabývat pouze funkcemi, které nejsou v bodě 0 spojité. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 19 / 25
Limita typu a ±, a R Pokud při výpočtu ity podílu funkcí f g dostaneme výraz a ±, tj. pak 0 f() = a, a R, f() 0 g() = 0. 0 g() = ±, Příklad (Limita typu 1 1 2 = 1 = 0 a ± 2 0 + sin ln = 0 = 0, a R) Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 20 / 25
Limita typu a, a R {0} 0 Pokud při výpočtu ity podílu funkcí f g dostaneme výraz a, tj. 0 0 f() = a, a R {0}, pak nastane právě jedna ze tří možností: 0 g() = 0, f() g() =, pokud eistuje ryzí okoĺı bodu 0 takové, že podíl f() g() > 0 0 pro všechna z tohoto okoĺı. f() g() =, pokud eistuje ryzí okoĺı bodu 0 takové, že funkce 0 < 0 pro všechna z tohoto okoĺı. f() g() f() g() neeistuje, pokud se ita zprava nerovná itě zleva, tj. podíl 0 f() g() mění v bodě 0 znaménko. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 21 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + ( ) = ( ) neeistuje. + + =, ( ) = + =, Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + 2 5 7 ( 5) 2 = ( ) = ( ) neeistuje. 2 0 + + =, ( ) = + =, Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + 2 5 7 ( 5) 2 = ( ) = + + =, ( ) = + =, ( ) neeistuje. 2 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Příklad (Limita typu a 0, a R {0}) 1 ( ) = 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Vyšetříme znaménko zlomku ( ) v bĺızkém ryzím okoĺı bodu =. Čitatel je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu kladný. Jmenovatel ( ) však v bodě mění znaménko: v levém okoĺı je záporný, v pravém okoĺı je kladný. Pro jednostranné ity platí: + ( ) = + + =, ( ) = + =, ( ) neeistuje. 7 2 5 ( 5) 2 = 2 0 možný výsledek:, nebo neeistuje Čitatel 7 je v bĺızkém ryzím okoĺı bodu 5 záporný, jmenovatel ( 5) 2 je kladný. Takže 7 5 ( 5) 2 = + =. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 22 / 25
Neurčité výrazy typu 0 nebo ± 0 ± Dostaneme-li při výpočtu ity podílu dvou funkcí výraz typu 0 nebo 0 ± ±, pak se jedná o tzv. neurčitý výraz. Tímto typem it se budeme obecněji zabývat až po probrání pojmu derivace. Zde si ukážeme jen výpočet v případě podílu dvou polynomů. Další neurčité výrazy: ± 0,, 0 0, 0, 1 se dají převést na výpočet ity typu 0 nebo ±. Těmito typy it se zabývat nebudeme. 0 ± Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 2 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± 1 (2 4 2 + 2) a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 2 4 + 5 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. 5 2 2 4 + 2 + 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. 5 2 2 4 + 2 + 2 = 5 2 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. 5 2 2 4 + 2 + 2 = 5 2 = 5 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. 5 2 2 4 + 2 + 2 = 5 2 = 5 = 5 a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Věta (Limita polynomu a racionální lomené funkce v nevlastním bodě) Platí Příklad (a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n ) = a 0 n, ± ± ± a 0 n + a 1 n 1 + + a n 1 + a n b 0 m + b 1 m 1 + + b m 1 + b m = 1 (2 4 2 + 2) = 2 =. 4 + 2 2 4 2 4 = + 5 4 = 1. 2 6 + 4 2 2 + 1 = 2 6 2 = 2 4 =. 5 2 2 4 + 2 + 2 = 5 2 = 5 = 5 = 0. a 0 n ± b 0 m. Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 24 / 25
Využití systémů počítačové algebry Příklad Vypočtěte ity: 5 4 + 2 ln 2, + 4 0 +, + 2 1 1. Řešení pomocí Wolfram Alpha (http://www.wolframalpha.com/): (^5-^4+-2)/(2^+4) as ->infty (ln )/ as ->0+ ((+2)/(-1)) as ->1 Simona Fišnarová (MENDELU) Limita a spojitost ZVMT lesnictví 25 / 25