KŘIVKY
Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
VEKTOROVÁ FUNKCE z Vektorovou funkcí r jedné reálné proměnné rozumíme takovou funkci, která každému číslu t z intervalu T R jednoznačně Přiřazuje vektor r t, jehož počátečním bodem je počátek soustavy souřadnic 0 a koncovým bodem je bod na křivce. 0 r(t) M(t) y Píšeme: r = r t = x t, y t, z t, t I R. x Reálné funkce x t, y t, z t proměnné t jsou souřadnicemi proměnného vektoru r t. V definičním oboru mají derivace všech řádů. Rovnice x = x t, y = y t, z = z(t) jsou parametrické rovnice křivky, kde t je parametr. Vektor r t 0 = x t 0, y t 0, z t 0 je hodnota vektorové funkce r t v bodě s parametrem t 0.
Limita vektorové funkce jedné reálné proměnné Definice: Říkáme, že vektorová funkce r t = x t, y t, z t, t I, se blíží ke konstantnímu vektoru r 0 = x 0, y 0, z 0 blíží-li se parametr t k bodu t 0. Píšeme lim r t = r 0, kde souřadnice t t0 x 0, y 0, z 0 konstantního vektoru r 0 jsou limitami reálných funkcí x t, y t, z t pro hodnotu parametru t blížící se k bodu t 0, např. x 0 = lim t t0 x t, y 0 = lim t t0 y t, z 0 = lim t t0 z t, lim r t = t t 0 lim x t, lim y t, lim z t. t t0 t t0 t t0 Spojitost vektorové funkce jedné reálné proměnné Definice: Vektorová funkce r t = x t, y t, z t, t I, je spojitá v bodě t 0, jsou-li v bodě t 0 spojité všechny souřadnice, tj. všechny funkce x t, y t, z t.
Derivace vektorové funkce jedné reálné proměnné Definice: Derivací vektorové funkce r t = x t, y t, z t (pokud existuje) r t = x t, y t, z t, t I., t I, nazýváme vektorovou funkci Derivací vektorové funkce je vektor, jehož souřadnice jsou derivacemi souřadnic vektorové funkce. Postupným derivováním získáváme derivace vyšších řádů, tj. r t, r t, r IV t,. Některá pravidla pro počítání derivací: Nechť r t a s t jsou vektorové funkce a nechť f(t) je reálná funkce, kde t I, potom: r t ± s t = r t ± s t r t s t = r t s t + r t s t r t s t = r t s t + r t s t f t r t = f t r t + f t r t
Derivace složené vektorové funkce Má-li funkce u = φ t derivaci v bodě t = t 0 a má-li vektorová funkce r u derivaci v bodě u 0 = φ t 0, potom derivace složené funkce r φ t existuje d r φ t d t = d r u 0 d u d u t 0 d t
PARAMETRIZACE KŘIVEK Definice: Křivkou k nazveme množinu bodů A(t) = [x (t), y (t), z (t)], jejichž průvodiče jsou určeny vektorovou funkcí r = r t = x t, y t, z t, t I, definovanou na intervalu I. Vektorovou rovnici r = r t = x t, y t, z t rovnice křivky k: křivky k lze rozepsat na parametrické k: x = x t, y = y t, t R z = z(t).
PARAMETRIZACE NĚKTERÝCH ROVINNÝCH KŘIVEK: 1. Kružnice v rovině (xy) se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem R: Parametrické rovnice: x = R cos t y = R sin t, t < 0, 2π), z = 0 y Vektorová funkce: r = r t = R cos t, R sin t, 0, t < 0, 2π). Parametr t je odchylka kladného směru osy x od vektoru OM, kde O je střed kružnice a M je bod na kružnici. R t M O x
2. Graf explicitně zadané funkce Graf jakékoliv explicitně zadané funkce y = f(x), x D(f) parametrizujeme tak, že za parametr bodu na této křivce zvolíme jeho x-ovou souřadnici. Parametrické rovnice křivky k: x = t y = f(t), t D(f), z = 0 Vektorová funkce: r = r t = t, f(t), 0, t D(f). Vektorová rovnice křivky závisí na parametrizaci křivky, ale i na volbě soustavy souřadnic. Naopak křivka, ani její tvar nezávisí na způsobu parametrizace a ani na volbě soustavy souřadnic.
Příklad 1: Užitím vektorové funkce zapište následující křivky: a) přímku a: x = 5 + 6t, y = 1 + 3t, z = 4 7t, t R, b) šroubovici s: x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 8t, t 0, 2π), c) parabolu p: y = x 2 + 2x + 1. Příklad 2: Určete první a druhou derivaci vektorové funkce r t = 2 cos t, 2 sin t, 5t v bodě t 0 = π 2.
1. Otevřené a uzavřené křivky ROZDĚLENÍ KŘIVEK Otevřené křivky (nebo též oblouky) jsou takové křivky, které mají koncové body. Tedy uzavřené křivky nemají žádné koncové body. 2. Rovinné a prostorové křivky Křivka, jejíž všechny body leží v rovině, se nazývá rovinná křivka. Jejím opakem je křivka prostorová. 3. Jednoduchá křivka Křivku nazýváme jednoduchou, jestliže pro všechny parametry t 1, t 2 I, kde t 1 t 2, platí, že r t 1 r t 2. Tedy jednoduchá křivka neprotíná sama sebe. 4. Hladká křivka Křivku k danou vektorovou funkcí r t, t I, nazýváme hladkou křivkou na intervalu I, jestliže první derivace r t vektorové funkce r t je spojitá na intervalu I.
VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KŘIVKY Máme dánu křivku a na ní si zvolíme bod T a v jeho okolí bod A. Pokud spojíme body AT do přímky, získáme sečnu křivky. Přibližujeme-li bod A k bodu T tak dlouho, až tyto dva body splynou, pak získáme tečnu křivky v bodě T a bod T je bodem dotyku tečny. t T A s Směrovým vektorem tečny je první derivace vektorové funkce křivky. Tečna křivky = přímka určená bodem křivky a tečným vektorem. X = T + sr, kde r t = x t, y t, z (t), r o je tečný vektor a T T 1, T 2, T 3 dotykový bod.
Úsečka na sečně, která je omezena dvěma body na křivce, je tětiva. Kolmice, která je sestrojená v bodě dotyku na tečnu, se nazývá normála křivky. t n T Tečna, která se dotýká křivky v nevlastním bodě (v nekonečnu), je asymptotou křivky. Všechny normály v bodě křivky k tvoří svazek přímek v tzv. normálové rovině, tj. v rovině, která prochází daným bodem křivky kolmo k tečně t.
1. Regulární bod x singulární bod KLASIFIKACE BODŮ NA KŘIVCE Budeme-li definovat hladkou křivku k vektorovou funkcí r = r t, t I, pak pro regulární bod platí r t 0 a pro singulární bod platí r t = 0. Souřadnice singulárního bodu vypočteme tak, že souřadnice první derivace hladké vektorové funkce r t = x t, y t, z t, t I R položíme rovnu nule x t = 0, y t = 0, z t = 0. 3. Inflexní bod x neinflexní bod Pro inflexní bod hladké křivky k, ve kterém jsou definované první a druhé derivace vektorové funkce různé od nuly, platí r t = c r t, c R. Pro neinflexní bod platí r t c r t, c R.
Příklad 3: Určete singulární body křivky (cykloidy) dané její vektorovou rovnicí r t = 2t 2 sin t, 2 2 cos t, 0. Příklad 4: Křivka je dána svou vektorovou rovnicí r t = t 5, t 4 t, 0. a) Dokažte, že všechny její body jsou regulární. b) Rozhodněte, zda jsou body M 0, N 1 inflexní.
PRŮVODNÍ TROJHRAN KŘIVKY Prvky průvodního trojhranu křivky r t = x t, y t, z t, t I R v jejím regulárním neinflexním bodě r t 0 křivky jsou tři navzájem kolmé přímky: tečna t, binormála b, hlavní normála n a tři roviny: normálová rovina ν nb (ν t), oskulační rovina π tn (ω b) a rektifikační rovina ρ tb (ρ n). Normálová rovina ν je kolmá v bodě r t 0 k tečně křivky. Každá přímka, která leží v této rovině, se nazývá normála křivky. Oskulační rovina je rovina, která je rovnoběžná s vektory r t a r t. Normála, která leží zároveň v oskulační rovině, se nazývá hlavní normála n. Normála, která je k oskulační rovině kolmá, je binormála b. t T b n
Směrový vektor tečny = první derivace vektorové funkce: t t = r t. Směrový vektor binormály = vektorový součin první a druhé derivace: b t = r (t) r t Směrový vektor hlavní normály = vektorový součin binormálového a tečného vektoru: n t = b(t) t(t). Pokud je křivka rovinná, pak její rovina je zároveň oskulační rovinou této křivky. Tedy, je-li křivka rovinná, pak leží v oskulační rovině, která je pro všechny její body stejná. Frenetův repér (trojhran) = uspořádaná trojice jednotkových vektorů tečny, hlavní normály a binormály (v tomto pořadí) τ, ν, β = t t, n n, b b
Příklad 5: Napište parametrické rovnice tečny p v bodě t 0 = 1 ke křivce k, která je dána vektorovou rovnicí r(t) = (t 2, t, t 4 ). Příklad 6: Určete prvky průvodního trojhranu (parametrické rovnice tečny, binormály, hlavní normály a obecné rovnice normálové, oskulační a rektifikační roviny) křivky r(t) = (t sin t, 1 cos t, t) v bodě t 0 = /2.
KŘIVOST t M 1 1 M 2 t 2 Křivost křivky udává velikost jejího zakřivení v bodě a definujeme ji limitou: φ k = lim, s 0 s φ je úhel tečny v daném bodě a tečny v bodě dosti blízkém danému bodu, s je délkou oblouku křivky ohraničeného zmíněnými body křivost je mírou rychlosti změny směru tečny při pohybu po křivce. Převrácená hodnota křivosti k = 1 v regulárním bodě křivky je poloměr ρ oskulační ρ kružnice v tomto regulárním bodě, který se nazývá poloměr křivosti.
Křivost křivky vyjádřené parametricky r t = x t, y t, z t, t I R je dána vzorcem: k(t) = 1 ρ(t) = r (t) r (t) r (t) 3. Ze vzorce plyne, že v inflexním bodě křivky je křivost k t 0 nazývá inflexní tečna. = 0. Tečna křivky v tomto bodě se Pozn.: Přímka - ve všech bodech nulovou křivost a naopak Křivka, jejíž křivost je ve všech jejích bodech rovna nule = přímka.
OSKULAČNÍ KRUŽNICE Křivky v malém okolí jejího regulárního bodu lze nahradit tzv. oskulační kružnicí (kružnicí křivosti), jejím poloměrem je poloměr křivosti r a středem střed křivosti. Oskulační kružnice je taková kružnice, která má v bodě A s křivkou k společnou tečnu t, stejnou křivost (resp. stejný poloměr křivosti) a společnou hlavní normálu. Pokud je křivka dána vektorovou funkcí r t = x t, y t, z t, t I R, pak souřadnice r S středu oskulační kružnice v bodě r t 0 křivky určíme pomocí tohoto vzorce: r S = r t 0 + ρ(t 0 ) ν t 0, kde r t 0 jsou souřadnice bodu, ρ(t 0 ) je poloměr křivosti kružnice a ν t 0 = n t 0 n t 0 jednotkový vektor hlavní normály v daném bodě. je
EVOLUTA A EVOLVENTA KŘIVKY Evoluta křivky je množina všech středů oskulačních kružnic (středů křivosti) dané křivky. Evolventa křivky k je křivka, jejíž evolutou je křivka k. Každá normála evolventy je tečnou její evoluty s dotykovým bodem ve středu křivosti evolventy.
Příklad 7: V bodě t 0 = 0 určete křivost křivky a poloměr oskulační kružnice křivky dané vektorovou rovnicí r t = t 2, e t, cos t.
REKTIFIKACE KŘIVKY Rektifikace oblouku křivky znamená, že tento oblouk nahradíme úsečkou, která má stejnou délku jako zmiňovaný oblouk křivky. Při rozvinutí (rektifikaci) oblouku křivky na ní zvolíme vhodný počet bodů a nahradíme oblouk lomenou čarou. Samozřejmě, čím větší počet bodů zvolíme, tím přesnější rektifikace bude. Nikdy však nebude úplně přesná. Nejčastěji je třeba rozvinout kružnici popřípadě její oblouk. K tomuto účelu používáme přibližné konstrukce. Např.:Kochaňského rektifikace, Sobotkova rektifikace, d Ocagnova rektifikace.
SOBOTKOVA REKTIFIKACE - je vhodná pouze pro oblouky do 30 M A B r S r r
Věta: Průmětem křivky je vždy křivka. PRŮMĚT PROSTOROVÉ KŘIVKY Je-li křivka rovinná a střed promítání leží v její rovině - průmětem přímka. Věta: Regulární (singulární) bod se zobrazí do regulárního (singulárního) bodu. Pokud vedeme bodem v prostoru rovnoběžky s tečnami prostorové křivky, pak dostaneme kuželovou plochu, které říkáme řídící kuželová plocha. Pokud je křivka konstantního spádu (tg α = spád křivky je konstantní, a je odchylka tečny v bodě křivky od zvolené roviny), potom řídící kuželová plocha je rotační. B k