UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Peter Mjerí
Uiverzit Prdubice Fult eletrotechi iformti Numericé řešeí Poissoov rovice popisující rozložeí poteciálu eletricého pole Peter Mjerí Blářsá práce
Prohlášeí utor Prohlšuji: Tuto práci jsem vprcovl smosttě. Vešeré literárí prme iformce teré jsem v práci vužil jsou uvede v sezmu použité litertur. Bl jsem sezáme s tím že se moji práci vzthují práv poviosti vplývjící ze záo č. / Sb. utorsý záo zejmé se sutečostí že Uiverzit Prdubice má právo uzvřeí licečí smlouv o užití této práce jo šolího díl podle 6 odst. utorsého záo s tím že poud dojde užití této práce mou ebo bude postut licece o užití jiému subjetu je Uiverzit Prdubice oprávě ode me poždovt přiměřeý příspěve úhrdu áldů teré vtvořeí díl vložil to podle oolostí ž do jejich sutečé výše. Souhlsím s prezečím zpřístupěím své práce v Uiverzití ihově. V Prdubicích de. 5. Peter Mjerí
Poděováí: Tímto bch rád poděovl vedoucímu blářsé práce RNDr. Josefu Rovi z postuté odboré rd připomí během zprcováí této práce všem osttím lidem teří mě podporovli.
ANOTACE Předmětem této blářsé práce je popis řešeí Poissoov rovice terá popisuje rozložeí eletricého poteciálu v eletricém poli pomocí umericé metod. Pro přesé řešeí slouží lticé metod teré jsou omezeé je pro jedoduché oblsti proto je potřeb zvolit vhodou umericou metodu i dž postuje jeom přibližé řešeí. Touto umericou metodou je metod oečých diferecí. Cílem této práce je porovt řešeí lticé metod s umericou metodou pomocí umericé metod vřešit Poissoovu rovici. KLÍČOVÁ SLOVA řešeí rovice mtice metod podmí TITLE The umericl solvig of the Poisso equtio describig the distributio of the potetil of the electric field ANNOTATION A poit of this bchelor thesis is to describe the solvig of the Poisso equtio which describes the distributio of the electric potetil i the electric field b umericl method. For the correct solvig we re usig lticl methods which re limited ol for simpl solutios which re wh we eed to choose some fittig umericl method eve if it provides us ol pproimtel solvig. This umericl method is the fiite differece method. The poit of this wor is to compre the solvig of lticl method with umericl method d b umericl method resolve the Poisso equtio. KEYWORDS solvig equtios mtries methods coditios
Obsh Úvod.... Poteciál eletrostticého pole.... Metod oečých diferecí metod sítí... 3. Dirichletov orjová podmí... 7. Neumov orjová podmí... 7.3 Sestveí mtice... 8.4 Algoritmus sestveí mtice... 3. Řešeí mtic... 4 3. Iterčí metod... 4 3.. Jcobiov iterčí metod... 5 3.. Gssov-Seidelov metod... 8 3. Gussov elimičí metod... 3 3.3 Porováí výsledů iterčích elimičích metod... 34 4. Porováí metod oečých diferecí s lticou metodou... 38 5. Numericé řešeí Poissoov rovice... 43 5. Příld... 43 5. Příld... 45 Závěr... 48 Použitá litertur... 49 Sezm obrázů Obráze Obdélí předstvující eletrostticé pole... Obráze Zobrzeí uzlu sítě jeho sousedích uzlů... 6 Obráze 3 Příld sítě... 6 Obráze 4 Příld sítě s určeím ezámých... 9 Obráze 5 Příld sítě... 36 Obráze 6 grf fuce f vtvořeý v Mple... 39
Obráze 7 Grf průběhu poteciálu mezi desmi roviého odezátoru... 44 Obráze 8 Uzeměé rovié rovoběžé poloeoečé vodivé des s olmou roviou desou... 45 Sezm tbule Tbul Porováí ejvětších rozdílů mezi lticou metodou metodou oečých diferecí pro růzé veliosti roů sítě... 4 Tbul Poteciál mezi desmi roviého odezátoru... 44 Tbul 3 Poteciál mezi dvěm rovoběžými uzeměými eletrodmi uočeými roviou eletrodou... 47 Tbul 4 Příld vpočteý pomocí tbulového procesoru... 47
Úvod Eletricý poteciál je slárí fziálí veliči terá popisuje poteciálí eergii jedotového eletricého áboje v eměém eletricém poli. Jedá se ted o poteciál eletricého pole tz. možství práce potřebé pro přeeseí jedotového eletricého áboje ze vztžého bodu terému je přisouze ulový poteciál do dého míst. Z místo s ulovým poteciálem tz. vztžý bod se obvle bere buď eoečě vzdáleý bod běžé u jiých poteciálů u eletři obvle pouze v teoreticých úlohách ebo povrch Země. Ze vzthu mezi itezitou eletricého pole eletricým poteciálem podle Gussov záo eletrostti pro spojitě rozložeý áboj vplývá Poissoov rovice σ ε =. Pro řešeí lze použít lticou ebo umericou metodu. Použití lticých metod je je velmi omezeé pro jedoduché oblsti s jedoduchými orjovými podmími. Ve většiě reálých přípdů musíme použít vhodou umericou metodu. Jed z umericých metod je metod oečých diferecí. Je zložeá proimci prciálích derivcí diferecemi obdélíové síti. Její plicí se soustv převede soustvu lieárích rovic. Pro její řešeí lze použít růzé přibližé metod.
. Poteciál eletrostticého pole Poissoov rovice σ ε =. ε permitivit vu ε - 88548787 F/m = σ - plošá hustot áboje je fziálí veliči terá je defiová vzthem: σ Q lim S S = = dq ds de Q je áboj S je ploch jedotou plošé hustot áboje je coulomb metr čtverečí C m V přípdě že σ = vziá Lplceov rovice: =. Poissoov rovice vplývá ze vzthu mezi itezitou eletricého pole E r eletricým poteciálem : r E = grd Itezitou eletricého pole E r podle Gussov vět v difereciálím tvru pro spojitě rozložeý eletricý áboj: σ dive r =.4 ε.3 Budeme řešit plošé rozložeí poteciálu v eletrostticém poli roviého odezátoru.
Obráze Obdélí předstvující eletrostticé pole Neumov orjové podmí Dirichletov orjové podmí Pro určeí orjových hodot použijeme Dirichletov Neumov orjové podmí podle Obráze. Pro Dirichletovu orjovou podmíu je zám hodot orjové fuce f f : =. Pro Neumovu orjovou podmíu je zám derivce ormál orjové fuce.
. Metod oečých diferecí metod sítí Je to metod pro řešeí prciálích difereciálích rovic zvláště elipticého tpu. Spočívá v tom že v oblsti ve teré hledáme řešeí zvolíme ějou oečou možiu bodů terou zveme sítí příslušé bod jejími uzl. Potom hrdíme derivce hledé fuce teré se vstují v dé difereciálí rovici v orjových podmíách lieárími ombicemi fučích hodot v těchto uzlech. Tím dosteme místo původího problému soustvu oečě moh rovic pro hodot hledé fuce v uzlech. Příld budeme počítt pomocí progrmu terý vtvoříme v progrmovcím jzu C#. Je vsooúrovňový objetově orietový progrmovcí jz vviutý firmou Microsoft. Microsoft zložil C# jzcích C Jv je ted epřímým potomem jz C ze terého čerpá sti. C# lze vužít tvorbě dtbázových progrmů webových plicí stráe webových služeb formulářových plicí ve Widows softwru pro mobilí zřízeí PDA mobilí telefo td. Řešeí Poissoov rovice metodou oečých diferecí metod sítí: = = σ ε. Tuto fuci můžeme rozviout jo eoečou mociou řdu terá se zývá Tlorov řd. Toto vjádřeí fuce pomocí Tlorov řd se zývá Tlorův rozvoj. Vět. : Nechť fuce f je diferecovtelá ž do řádu v bodě U U. Potom pro ždé pltí: jeho oolí f = f f! t f Eistuje ξ f f L! dt. ξ = ležící mezi závislé tové že:!. Mtemticá lýz [olie]. 7 [cit. -5-4]. Tlorov formule. Dostupé z WWW: <http://lz.m.zcu.cz/predmety/m_ma/mteril/ma_7_tlorov_formule.pdf>. 3
f = f f ξ! f f f L!!.3 de f f f! f = T L.4! ξ = R! f.5 Polom T ejvýše -tého stupě se zývá Tlorův polom fuce f v bodě. Rozdíl f T = R polomem. Vzth: f se zývá chb proimce fuce f Tlorovým T R =.6 se zývá Tlorovým rozvojem ebo Tlorovou formulí v bodě. Vět. : Nechť fuce f má v bodě jeho oolí U derivce všech řádů eistuje číslo M > tové že U. Potom lim R = M f pro všech pro libovolé.7 Pro řešeí Poissoov rovice proimujeme prciálí derivce diferečími vociet. Přitom vjdeme z Vět. sestvíme Tlorovu formuli: h h = h R.8! h h = h R.9! Mtemticá lýz [olie]. 7 [cit. -5-4]. Tlorov formule. Dostupé z WWW: <http://lz.m.zcu.cz/predmety/m_ma/mteril/ma_7_tlorov_formule.pdf>. 4
5 Protože Tlorův rozvoj je rozvoj fuce v eoečou řdu ted t můžeme podle Vět. zedbt chbu R odečteme-li rovici.9 od rovice.8 obdržíme: [ ] h h h. Podobě podle dosteme Tlorovou formuli: R =!. R =!. Po odečteí dosteme: [ ].3 Sečteím rovic.8.9 dosteme výrz pro druhou derivci hledé fuce podle : [ ] h h h.4 Podobě podle : [ ].5 Prmetr h se zývjí roem sítě z předpoldu že h = vplývá: 4 h h h h h ε σ =.6 Tto metod vede řešeí soustv lieárích. Tto rovice se zývá pětibodovou proimcí.
Obráze Zobrzeí uzlu sítě jeho sousedích uzlů φ i-j φ h φ -h φ φ h φ ij- φ ij φ ij φ -h Obráze 3 Příld sítě Neumov orjová podmí φ φ φ φ 3 φ 4 Dirichletov orjová podmí φ φ φ φ 3 φ 4 φ φ φ φ 3 φ 4 φ 3 φ 3 φ 3 φ 33 φ 34 Rovice.6 zobrze podle uzlů sítě: σ i j i j i j i j 4 i j = h.7 ε 6
. Dirichletov orjová podmí Tu pltí že část hrice eletrostticého pole je tvoře součástí vodiče proto Z Obrázu 3 vplývá: = ost. i j = ost. de i = K3 j = 4. Neumov orjová podmí Pro tuto podmíu je zámá derivce: = f.8 vetor vější ormál. f zámá fuce ebo hodot Vzth.8 můžeme uprvit do tvru: d d d d = f.9 d d d = cos α = siα de α je směrový úhel. Protože v šem přípdě jsou směrové d π úhl 3π d d d t = = =. = pro výpočet použijeme vzth d d d.3. Pro hrici s terou svírá vetor vější ormál směrový úhel α = π / pltí: [ h h ] = f. h Protože h je ezámé t to vjádříme: h = h f h. Tohle potom dosdíme do rovice.6 pro dý orjový uzel: 7
σ. ε h h h f h h 4 = h Pro hrici s terou svírá vetor vější ormál směrový úhel α = 3π / to pltí podobě: h = h f h.3 σ.4 ε h h h h f h 4 = h Z Obrázu 3 vplývá: Pro hrici s terou svírá vetor vější ormál směrový úhel α = π / : = i j i j h f i j i j 4 i j h.5 ε i j = K 3 de = Pro hrici s terou svírá vetor vější ormál směrový úhel α = 3π / : σ σ h f h = i j i j i j i j 4 i j.6 ε i j = K 3 de = 4.3 Sestveí mtice Pro ěteré orjové uzl je urče hodot Dirichletovou orjovou podmíou. Proto si ejdřív určíme ezámé uzl v síti. Uzl pro teré pltí Neumov orjová podmí epočítáme jo ezámé pro sestveí mtice. Pro všech ezámé sestvíme rovice podle.6 vzie ám soustv se stejým počtem rovic jo je počet ezámých. Pro zísáí hodot v uzlech pro teré pltí Neumov orjová podmí použijeme po vpočteí mtice vzth..3. Počet ezámých v síti podle Obrázu 3: 8
Obráze 4 Příld sítě s určeím ezámých Neumov orjová podmí φ φ φ 3 L= hodot podle Dirichletov orjové podmí φ 4 φ 5 φ 6 P= hodot podle Dirichletov orjové podmí φ 7 φ 8 φ 9 φ φ φ N Obrázu 4 jsme určili v síti ezámé uzl podle Obrázu 3 pro K 3 j =. Ozčili jsme je de = K de = K4 i j i vjdřuje počet ezámých. Ted uzel jsme ozčili jo stejým způsobem jsme určovli všech ezámé ž po uzel 43 =. Protože pro ezámé K 3 K pltí Neumov orjová podmí sestvíme soustvu 6 rovic pro 6 ezámých 4 ž 9. Vzilá mtice její prvá str A = b mjí tvr: 4 4 4 4 4 σ / ε h f σ / ε h σ / ε h f = σ / ε h f σ / ε h 4 σ / ε h f L f P L f P Defiice. 3 : Mtice se zývá řídá mtice poud v í převládjí převážě ulové prv. 3 MOŠOVÁ Vrtislv. Numericé metod. Vd.. Olomouc : Uiverzit Plcého 3. 47s. ISBN 8-44-6-9. 9
Defiice. 4 : Mtice je ostře digoálě domití dž pltí: < ij i= i j ii de j = K Defiice. dozuje že v šem přípdě se jedá o řídou mtici Defiice. že mtice je ostře digoálě domití..4 Algoritmus sestveí mtice Progrm jsme sestvili pro eletrostticé pole podle Obrázu. Nejdřív jsme zdli počet uzlů ose = m ose =. Potom podle Dirichletov orjové podmí jsme určili hodot pro uzl i i m de = i K. Potom jsme určili počet ezámých = m * *. Dále jsme sestvili mtici pomocí ásledujícího lgoritmu: ted rozměr mtice budou Vstup: m pro i = K pro j = K A i j = [ ] dž j = i A i j = _ [ ] 4 dž j = i A i j = _ [ ] dž j = i A i j = _ [ ] dž j m = i 4 MOŠOVÁ Vrtislv. Numericé metod. Vd.. Olomouc : Uiverzit Plcého 3. 47s. ISBN 8-44-6-9.
A [ i j] = dž i < m _ A [ i j] = dž j m = i A [ i j] = dž i > m 3 _ A [ i j] = pro i = K 3 A [ i * m 3 i * m ] = A [ i * m i * m 3] = Výstup: [ i j] Vstup: A de i = K j = K je počet ezámých m je počet ezámých ose je počet ezámých ose Prví clus ejdřív čte pro celou mtici hodot protože mtice je řídá co podle Vět.3 zmeá že v í převládjí ulové prv. V dlším rou pomocí podmí přiřdíme do všech bodů hlví digoál hodot -4. Potom ásledují podmí pomocí terých přiřdíme hodot pro všech sousedí uzl ještě podmí pomocí terých přiřdíme víc hodotu podle Neumov orjové podmí u horích orjových uzlů spodím sousedím uzlům u spodích orjových uzlů horím sousedím uzlům. Nesmíme zpomeout že pro uzl i i m i K pltí de = Dirichletov orjová podmí proto pro uzl i pltí že jejich levé sousedí uzl jsou zámé hodot teré se přesouvjí prvou stru jejich hodot v mtici jsou
ulové stejě to pltí pro prvé sousedí uzl uzlů i m. Teto problém řeší druhý clus terý tto ulové hodot čte do mtice. Ve výstupu ám všl mtice A. V ásledujícím rou sestvíme lgoritmus pro prvou stru mtice: Vstup: h σ ε L P m H D pro i = K b [ i] Výstup: [ i] Vstup: σ = h ε pro i = K m b[ i] = b[ i] h b[ i] = b[ i] pro i = K H h b[ m i] = b[ m i] L b[ m i m 3 ] = b[ m i m 3 ] P b de i = K je počet ezámých h je ro sítě σ je plošá hustot áboje ε je permitivit vu L P jsou hodot podle Dirichletov podmí pro hrici levé prvé strě D H D jsou hodot pro derivci vější ormál pro horí dolí hrici m je počet ezámých ose je počet ezámých ose
Vpočetli jsme hodotu podle σ h ε dosdili ji do všech bodů prvé strě. Potom jsme v dlším clu podle Neumov orjové podmí odečetli pro horí orjové uzl spodí orjové uzl h H h. V posledím clu jsme odečetli hodot podle Dirichletov orjové podmí pro levou prvou hrici sítě. Ve výstupu ám všl prvá str b. D 3
3. Řešeí mtic Obecě elze říci terou metodu pro terý oruh řešeých úloh je ejvýhodější použít. Metod přímé Gussov elimičí metod. Tto metod postují přesé řešeí v oečém počtu roů poud během výpočtu ezorouhlujeme. Metod epřímé tzv. iterčí Gussov-Seidelov metod Jcobiov metod. Těmito metodmi zísáme pouze proimtiví řešeí. Lze uvést že pro řešeí soustv s plou mticí je výhodější použít spíš přímou metodu s řídou mticí iterčí metodu. Iterčí metod je t výhodější v tom že lde meší áro pměť počítče. U iterčích metod je potřebá podmí overgece Jcobiov Gussov-Seidelov iterčí metod je overgetí poud je mtice ostře digoálě domití co jsme si doázli podle Defiice.. 3. Iterčí metod Kostruce iterčí metod je ásledující: r r Z ždé rovice soustv A = b vjádříme právě jedu ezámou v závislosti r r zbývjících ezámých. Soustv A = b t přejde tvr: r = H r g 3. Odtud zísáme iterčí formuli: r r = H g 3. Vlstí iterčí proces probíhá t že: zvolíme počátečí iterci r r prostředictvím iterčí formule r = H g určíme dlší vetor řešeí r ; = ;;; K; 3 proces uočíme dž bude splě zstvovcí podmí: r r δ 3.3 řešeí r je určeo s přesostí δ 4
5 3.. Jcobiov iterčí metod Z ždé i-té rovice soustv:... b =... b =... b =... 3.4 Vjádříme i-tou ezámou. Vzie iterčí rovice v rou de : ;;; = K... 3 3 b =... 3 3 b =...... b = 3.5 Jcobiov iterčí formule: j j g H = r r 3.6 = L M O M M L L j H 3.7
g j b b = b M 3.8 N oci zvolíme počátečí iterci iterce doď ebude splě zstvovcí podmí r p prostředictvím iterčí formule určíme dlší r r Teď si zobrzíme lgoritmus pro výpočet mtice pomocí Jcobiov iterčí metod: δ Vstup: A b pro i = K [ i] [ ] [ i] b i g j = A i pro i = K pro j = K dž i j [ i j] dž i = j [ j] [ i] A i H j = A i [ i j] = Výstup: g j [ i] [ i j] Vstup: Mtice A Prvá str b H j H j de i = K j = K 6
Počet ezámých Nejdřív jsme sestvili mtice H iterčí formule r r = H j j g j. Teď potřebujeme zvolit počátečí iterci pomocí g j terou jsme dostli v předchozím lgoritmu určit dlší iterce ž doud ebude splě zstvovcí podmí Algoritmus pro dlší iterce má tvr: Vstup: H j g j δ pro i = K [ i] = ost. = dělej pro i = K pro j = K z = H j [ i j] [ j] = z [ i] = g [ i] = pro i = K l [ i] = [ i] [ i] = [ i] doud pro i = K Výstup: [ i] Vstup: l i i < [ ] [ ] δ Iterčí mtice de i = K H j g j j r r δ. 7
Počet ezámých Zstvovcí podmí δ Ve výstupu jsme dostli výslede. 3.. Gssov-Seidelov metod Od Jcobiov se liší tím že všech vpočteé hodot omžitě používáme v dlším iterčím rou. To zmeá že v rou de = ;;; Kobdržíme iterčí formule: = b... 3 3... = b... 33 = b... 3.9 Iterčí formule: r r = H GS g GS 3. H GS = M H M H GS GS L L O L H GS M H GS 3. 8
g GS b b g = M b g GS GS 3. N oci stejě jo u Jcobiov metod zvolíme počátečí iterci r p prostředictvím iterčí formule určíme dlší iterce doď ebude splě zstvovcí r r podmí δ Algoritmus pro Gussovu-Seidelovu iterčí metodu: Vstup: A b pro i = K = pro i = K i z = A[ i j] g [ j] = z [ i] b[ i] [ i] g GS = A i pro i = K pro j = K = dž j = GS [ i j] = H GS dž j > i pro = K i z = H GS [ j] A[ i ] = z 9
H GS = A i [ i j] dž j < i A[ i j] [ i] pro = K i z = H GS [ j] A[ i ] = z H GS = A i [ i j] Výstup: g GS [ i] [ i j] Vstup: Mtice A Prvá str b Počet ezámých Ve výstupu jsme dostli mtice [ i] H GS de i = K j = K H GS g GS Pro dlší iterce jsme použili stejý lgoritmus jo u Jcobiov iterčí metod. 3. Gussov elimičí metod Je to přímá metod. Jedá se o stdrdí postup řešeí soustv lieárích rovic při ěmž vhodými úprvmi elimicemi převádíme soustvu rovic s obecou mticí soustvu s horí trojúhelíovou mticí. Elimiujeme soustvu:... =... =...... = 3.3 3
Elimice ezámé z rovic K čehož se dosáhe odečteím vhodých ásobů prví rovice tto rovice se zývá pivotí rovice prve se zývá pivotí prve od dlších rovic. Prví rovice během celé operce zůstává ezměě dlší se měí. Vásobíme ji číslem přičteme druhé rovici. Potom ji vásobíme číslem přičteme třetí rovici tto porčujeme ž do oce dž prví rovici vásobíme číslem 3 přičteme posledí p dosteme soustvu:... =... =...... = 3.4 Obecě v -tém rou = ;; K ; vulujeme prv v -tém sloupci tím že -tý řáde vásobeý multipliátorem přičteme i -tému řádu i = K ; ;. Mtici t převedeme horí trojúhelíovou mtici: i 3
...... =...... = 33 3... 3 = 3... 3.5 = Z thle soustv zpětou elimicí zísáme hodot ezámých K. Při řešeí soustv pomocí Gussov elimičí metod může stt přípd d v -tém rou je hlví prve =. Poud tová situce ste musíme použít Gussovu elimičí metodu s výběrem hlvího prvu. Máme tři možosti: Gussov elimičí metod se sloupcovým výběrem z hlví prve v -tém rou bereme ejvětší prve v -tém slopci. Vbíráme mezi řád z ichž jsme dosud evzli vedoucí prve. Hlví prve je v řádu p pltí pro ěj: p = m i i Gussov elimičí metod s řádovým výběrem z hlví prve v -tém rou bereme ejvětší prve v -tém řádu. Vbíráme mezi sloupci z ichž jsme dosud evzli vedoucí prve. Hlví prve je ve sloupci q pltí pro ěj: q = m j j Gussov elimičí metod s úplým výběrem - z hlví prve v -tém rou bereme ejvětší prve v tom řádu sloupci ve terém jsme dosud evbrli vedoucí prve. Hlví prve se chází v p -tém řádu q -tém sloupci pltí pro ěj: pq = m ij ij V šem přípdě je podle Defiice. mtice ostře digoálě domití proto předchozí přípd d v -tém rou je hlví prve = este. Algoritmus pro výpočet Gussov elimičí metod: 3
Vstup: A b pro i = K pro j = i i K b[ j] = b[ j] A A i [ j i] [ i] [ ] b i pro m = i i i K [ i m] [ j i] [ i] A Y = A i A i [ m] pro = i i i K A [ j ] = A[ j ] Y[ i ] b [ ] Výstup: [ i] Vstup: Mtice A = b[ ] [ ] A pro i = 3 K = pro i = K i A[ i j] = A[ i j] b[ j] = A[ i j] b[ i] Prvá str b b i = [ ] A[ i i] b de i = K Počet ezámých 33
34 Prví clus ve terém jsou vložeé dlší tři cl slouží úprvu mtice A do tvru horí trojúhelíové mtice podle soustv 3.5. Potom vpočteme posledí rovici v posledích clech vpočteme zpětou elimicí zblé hodot. Ve výstupu dosteme vpočteou prvou stru b. 3.3 Porováí výsledů iterčích elimičích metod Pro porováí výsledů iterčích elimičích metod použijeme Lplceovu rovici dž prvá str bude rov : = Příld uvedeme podle Obrázu 3 de des odezátoru budou mít šířu 3 mm vzdáleost mezi imi budou 4mm ro sítě mm h =. Podle Dirichletových orjových podmíe budeme uvádět hodot desce vlevo V vprvo V podle Neumov orjové podmí bude derivce vější ormál =. Vzie mtice: = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Jcobiov iterčí metod: Proces jsme uočili po 85. iterci dž bl splě zstvovcí r r podmí δ podle teré jsme stovili přesost δ = : φ = 7499994; φ = 499999; φ 3 = 499994 φ 4 = 7499994; φ 5 = 499999; φ 6 = 499994 φ 7 = 7499994; φ 8 = 499999; φ 9 = 499994 φ = 7499994; φ = 499999; φ = 499994 Gussov-Seidelov iterčí metod: Proces jsme uočili po 43. iterci dž stejě jo u Jcobiov iterčí metod bl r r splě zstvovcí podmí δ s přesostí δ = : φ = 7499994; φ = 499999; φ 3 = 499994 φ 4 = 7499994; φ 5 = 499999; φ 6 = 499994 φ 7 = 7499994; φ 8 = 499999; φ 9 = 499994 φ = 7499994; φ = 499999; φ = 499994 Gussov elimičí metod: φ = 75; φ = 5; φ 3 = 5 φ 4 = 75; φ 5 = 5; φ 6 = 5 φ 7 = 75; φ 8 = 5; φ 9 = 5 φ = 75; φ = 5; φ = 5 Pomocí elimičích metod zísáme správé řešeí džto u iterčích metod se správému řešeí je blížíme. Uvedeme si ještě jede příld de použijeme hustější síť viz Obráze 5 35
Obráze 5 Příld sítě φ φ φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 φ 9 φ φ φ φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 7 φ 8 φ 9 φ Jcobiov iterčí metod: Proces jsme uočili po 3. iterci dž bl splě zstvovcí r r podmí δ podle teré jsme stovili přesost δ = : φ =799999; φ =5999988; φ 3 =3999988; φ 4 =99999; φ 5 =799999; φ 6 =5999988; φ 7 =3999988; φ 8 =99999; φ 9 =799999; φ =5999988; φ =3999988; φ =99999; φ 3 =799999; φ 4 =5999988; φ 5 =3999988; φ 6 =99999; φ 7 =799999; φ 8 =5999988; φ 9 =3999988; φ =99999; Gussov-Seidelov iterčí metod: Proces jsme uočili po 67. iterci dž stejě jo u Jcobiov iterčí metod bl r r splě zstvovcí podmí δ s přesostí δ = výslede všel téměř shodý s výsledem Jcobiov iterčí metod: 36
φ =7999993 φ =599999 φ 3 =399999 φ 4 =999995 φ 5 =7999994 φ 6 =599999 φ 7 =399999 φ 8 =999996 φ 9 =7999995 φ =599999 φ =3999993 φ =999996 φ 3 =7999995 φ 4 =5999993 φ 5 =3999994 φ 6 =999996 φ 7 =7999996 φ 8 =5999994 φ 9 =3999994 φ =999997 Gussov elimičí metod: φ =8 φ =6 φ 3 =4 φ 4 = φ 5 =8 φ 6 =6 φ 7 =4 φ 8 = φ 9 =8 φ =6 φ =4 φ = φ 3 =8 φ 4 =6 φ 5 =4 φ 6 = φ 7 =8 φ 8 =6 φ 9 =4 φ = 37
4. Porováí metod oečých diferecí s lticou metodou Pro výpočet lticé metod jsme použili progrm Mple. Je to progrm pro řešeí mtemticých problémů. Stejě t jo mtemti Mple ovládá prvidl lgebr mtemticé lýz. Npříld ví j řešit rovice zjedodušovt výrz vreslovt grf počítt derivce či itegrál. Prcuje přímo se smbol terými jsou rovice tvoře což zmeá že zchovává obecost doud epotřebujeme číselou odpověď. Umí vreslovt dvojrozměré i trojrozměré grf dále v ěm lze té tvořit poročilejší grfiu jo imce pole vetorů prmetricé řiv ebo dmicé sstém. Protože lticé metod jsou omezeé pouze pro jedoduché oblsti použijeme pro výpočet Lplceovu rovici orjové podmí stovíme podle Dirichletove metod: f = 4. f = 4. f = 4.3 π f = si 4.4 V progrmu Mple všel výslede: si πsih π f = 4.5 sih π Vužijeme i možosti Mple zobrzíme grf fuce f : 38
Obráze 6 grf fuce f vtvořeý v Mple Použili jsme ro po doszeí jsme dostli mtici přesé lticé fuce f :.344989.8769.637383584.37577.5553943.3955589.649349.54995.5553943.3955589.649349.54995.344989.8769.637383584.37577 Výslede podle Guss-Seidelov iterčí metod všel po 6. iterci dž bl splě r zstvovcí podmí r δ s přesostí δ = :.3636.866.699.38.5883.4.749.5469.5883.4.749.5469.3636.8659.699.389 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Guss-Seidelov iterčí metod:.3578.4489378.66646.599843.3646757.76447.9975779.9698748.3646757.76447.9965779.9698748.3578.4489378.66646.598843 39
de m f p = 9975779 Výslede podle Jcobiov iterčí metod všel po 46. iterci dž bl splě r r zstvovcí podmí δ s přesostí δ = :.3637.866.6993.38.5885.46.7495.547.5885.46.7495.547.3637.866.6993.38 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Jcobiov iterčí metod:.4578.44489378.69646.6843.36346757.7447.5779.978748.36346757.7447.5779.978748.4578.44489378.69646.6843 de m f p = 5779 Výslede podle Gussov elimičí metod:.3635.8658.6989.389.588.4.7489.5468.588.4.7489.5468.3635.8658.6989.389 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Gussov elimičí metod:.578.4489378.65646.598843.3646757.74447.9955779.9688748.3646757.74447.9955779.9688748.578.4489378.65646.598843 4
de m f p = 9955779 Pro lepší porováí si uvedeme stejý příld s hustější sítí. Abchom toho dosáhli zmešíme ro sítě. Dále si uvedeme jeom mimálí rozdíl: Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Guss-Seidelov iterčí metod: m f p = 9764 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Jcobiov iterčí metod: m f p = 99764 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Gussov elimičí metod: m f p = 8764 Uvedeme si ještě jede příld hustější sítě d opět zmešíme ro sítě 5. Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Guss-Seidelov iterčí metod: m f p = 56663 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Jcobiov iterčí metod: m f p = 436663 Porováí přesé lticé metod f s přibližou metodou oečých diferecí p de pro výpočet mtice bl použit Gussov elimičí metod: m f p = 7764 4
Tbul Porováí ejvětších rozdílů mezi lticou metodou metodou oečých diferecí pro růzé veliosti roů sítě Kro: 5 Guss-Seidelov iterčí metod Jcobiov iterčí metod Gussov elimičí metod 9975779 9764 56663 5779 99764 436663 9955779 8764 7764 Podle tbul můžeme říct: Gussov elimičí metod je přesější od iterčích metod metod oečých diferecí je tím přesější čím je meší ro sítě ted síť je hustější. 4
5. Numericé řešeí Poissoov rovice 5. Příld 5 V příldu vpočteme pole mezi desmi roviého odezátoru s pětím U = V teré jsou od sebe vzdále 8mm. Šíř dese je 8mm. Mezi desmi se chází áboj o hustotě 4 3 σ = 5 C / m. Kro sítě zvolíme h m pltí levé desce odezátoru podmí určíme derivci vější ormál =. =. Pro Dirichletovu podmíu = V prvé = V. Podle Neumov Podle Gussov-Seidelov iterčí metod jsme dostli výslede po 98. iterci dž bl r r splě zstvovcí podmí δ s přesostí δ = : φ =855 φ =438 φ 3 =4863 φ 4 =576 φ 5 =463 φ 6 =3638 φ 7 =5 φ 8 =855 φ 9 =438 φ =4863 φ =576 φ =463 φ 3 =3638 φ 4 =5 φ 5 =855 φ 6 =438 φ 7 =4863 φ 8 =576 φ 9 =463 φ =3638 φ =5 φ =855 φ 3 =438 φ 4 =4863 φ 5 =576 φ 6 =463 φ 7 =3638 φ 8 =5 φ 9 =855 φ 3 =438 φ 3 =4863 φ 3 =576 φ 33 =463 φ 34 =3638 φ 35 =5 φ 36 =855 φ 37 =438 φ 38 =4863 φ 39 =576 φ 4 =463 φ 4 =3638 φ 4 =5 φ 43 =855 φ 44 =438 φ 45 =4863 φ 46 =576 φ 47 =463 φ 48 =3638 φ 49 =5 φ 5 =855 φ 5 =438 φ 5 =4863 φ 53 =576 φ 54 =463 φ 55 =3638 φ 56 =5 φ 57 =855 φ 58 =438 φ 59 =4863 φ 6 =576 φ 6 =463 φ 6 =3638 φ 63 =5 N příldu vidíme dž je derivce vější ormál = 5 HENZL Ctibor. Eletrorevue : čsopis pro eletrotechiu [olie]. VŠB-TU Ostrv :.9. [cit. -5-4]. Použití EXCELu při řešeí Poissoov rovice. Dostupé z WWW: <http://www.eletrorevue.cz/cl/33/ide.html#umerice_resei#umerice_resei>. ISSN 3-539. 43
t pltí že i j = i j = i j. Proto si u dlších příldů uvedeme hodot jeom v jedom řádu. Podle Jcobiov iterčí metod jsme po 375. iterci dostli výslede r r dž bl splě zstvovcí podmí δ s přesostí δ = : φ =855 φ =438 φ 3 =4863 φ 4 =576 φ 5 =463 φ 6 =3638 φ 7 =5 Výslede podle Gussov elimičí metod: φ =855 φ =438 φ 3 =4863 φ 4 =576 φ 5 =463 φ 6 =3638 φ 7 =5 Tbul Poteciál mezi desmi roviého odezátoru hmm 3 4 5 6 7 8 V 855 438 4863 576 463 3638 5 Podle Tbul si vtvoříme grf pro průběh poteciálu mezi desmi: Obráze 7 Grf průběhu poteciálu mezi desmi roviého odezátoru 6 5 4 φv 3 3 4 5 6 7 8 hmm 44
5. Příld 6 Obráze 8 Uzeměé rovié rovoběžé poloeoečé vodivé des s olmou roviou desou V příldu určíme poteciál mezi dvěm rovoběžými uzeměými eletrodmi uočeými roviou eletrodou terá se udržuje osttím poteciálu podle Obrázu 8. Pole ve směru os z se eměí ted derivce podle z je ulová tže můžeme uvžovt dvojrozměrý přípd. Podle Dirichletov orjové podmí určíme pro = = V pro = pro = b = 5mm = eumíme určit t určíme si vější ormál podle Neumov podmí. Protože eoečou vzdáleost = 5mm pro tuhle vzdáleost přiřdíme hodotu derivce =. Před počítáím si ještě musíme vjádřit Neumovu orjovou podmíu. Nejdřív si uprvíme rovici. d d d d = f. d d d = cos α = siα d de α je směrový úhel. Protože v šem přípdě je směrový úhel α = t 6 BEZOUŠEK Pvel; SCHEJBAL Vldimír; ŠEDIVÝ Pvel. Eletrotechi. Vd.. Prdubice: d d = Uiverzit Prdubice 3. vi 4 s. ISBN 8-794-6-6. 45
d d = tže = pro výpočet použijeme vzth.. h [ h h ] = f protože φh je ezámé t to vjádříme: h h = h f 5. Vzth 5. dosdíme do rovice.6 pro dý orjový uzel: σ 5. ε h h f h h h 4 = h Potom sestvíme mtici. Teď si uvedeme příld pro Lplceovu rovici ted σ = C / m dž bude ro sítě 3 h = m. Protože výsled metod pro výpočet mtic jsme už porovli v ěoli příldech doázli jsme že jsou téměř shodé t pro zázorěí výpočtu použijeme jeom Gussovu elimičí metodu. 46
Tbul 3 Poteciál mezi dvěm rovoběžými uzeměými eletrodmi uočeými roviou eletrodou hmm 3 4 5 6 7 8 9 5 4567 86 98 64 347 88 56 3 7 3 598 3378 866 557 34 65 9 49 7 5 3 598 3378 866 557 34 65 9 49 7 5 4 4567 86 98 64 347 88 56 3 7 3 5 Výslede ještě srováme s příldem vpočteým pomocí tbulového procesoru. Tbul 4 7 Příld vpočteý pomocí tbulového procesoru V příldu je vpočítá jeom spodí polovi tbul protože t horí je stejá. Příld se liší je proto že bl v ěm použit vzdáleost mezi rovoběžými desmi 8 mm. 7 BEZOUŠEK Pvel; SCHEJBAL Vldimír; ŠEDIVÝ Pvel. Eletrotechi. Vd.. Prdubice: Uiverzit Prdubice 3. vi 4 s. ISBN 8-794-6-6. 47
Závěr V práci jsem vřešil Poissoovu rovici terá popisuje rozložeí eletricého poteciálu v eletrostticém poli pomocí progrmu terý jsem sestvil v progrmovcím jzu C#. N zčátu jsem zdl eletrostticé pole mezi desmi roviého odezátoru. Orjové hodot poteciálu eletrostticého pole desách odezátoru jsou urče Dirichletovou orjovou podmíou orjové hodot mezi desmi vplývjí z Neumové orjové podmí. Jo umericou metodu jsem použil metodu oečých diferecí podle teré jsem sestvil síť v eletrostticém poli. Podle toho se tto metod zývá i metodou sítí uzl této sítě zázorňují právě rozložeí eletricého poteciálu. Potom jsem hrdil derivce hledé fuce lieárími ombicemi fučích hodot v těchto uzlech dostl jsem soustvu se stejým počtem rovic jo je počet ezámých uzlů. Pro výpočet soustv slouží metod přímé metod epřímé terým se t říá iterčí. Jo přímou metodu jsem použil Gussovu elimičí metodu epřímé metod jsem použil Jcobiovu iterčí metodu Gussovu-Seidelovu iterčí metodu. Potom jsem porovl výsled umericé metod s lticou metodou protože lticou metodu je možé použít jeom pro jedodušší výpočt počítl jsem řešeí pro zjedodušeou Lplceovu rovici teré prvá str je ulová všech orjové hodot jsem určil pomocí Dirichletov orjové podmí. Alticou metodu jsem vřešil pomocí progrmu Mple terý slouží řešeí mtemticých problémů. Při porováí jsem zjistil že přibližé řešeí metod oečých diferecí se přibližuje tím víc tomu reálému řešeí čím víc zmešujeme vzdáleost mezi uzl tím je t síť hustější. Dlším řešeím jsem doázl že v porováí se složitým lticým řešeím je umericé řešeí dobrou ltertivou. 48
Použitá litertur [] BEZOUŠEK Pvel; SCHEJBAL Vldimír; ŠEDIVÝ Pvel. Eletrotechi. Vd.. Prdubice: Uiverzit Prdubice 3. vi 4 s. ISBN 8-794-6-6. [] Vitáse Emil. Numericé metod [Vitáse 987].. vd. Prh : SNTL - Nldtelství techicé litertur 987. 5 s. [3] MOŠOVÁ Vrtislv. Numericé metod. Vd.. Olomouc: Uiverzit Plcého 3. 47s. ISBN 8-44-6-9. [4] ARCHEM Tom. Mslíme v jzu C#. Prh: Grd Publishig. 38 s. ISBN 8-47-3-7. [5] Ktedr eletroeergeti [olie]. 8 [cit. -5-4]. Numericé metod III. Dostupé z WWW: <http://35.feld.cvut.cz/dowlod/pe/umeri3.pdf >. [6] Mtemticá lýz [olie]. 7 [cit. -5-4]. Tlorov formule. Dostupé z WWW: <http://lz.m.zcu.cz/predmety/m_ma/mteril/ma_7_tloro v_formule.pdf>. [7] HENZL Ctibor. Eletrorevue : čsopis pro eletrotechiu [olie]. VŠB-TU Ostrv :.9. [cit. -5-4]. Použití EXCELu při řešeí Poissoov rovice. Dostupé z WWW: <http://www.eletrorevue.cz/cl/33/ide.html#umerice_resei#um erice_resei>. ISSN 3-539. 49