Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, PhD., DSc.

Úvod do komplexní analýzy Doc. RNDr. Ondřej Kalenda, PhD., DSc. Texty k přednáškám doplněny důkazy

Obsah Úvod 3. Množina komplexních čísel.......................................... 3.2 Komplexní funkce reálné proměnné...................................... 4.3 Komplexní funkce komplexní proměnné.................................... 6 2 Mocninné řady a elementární celé funkce 8 2. Mocninné řady - připomenutí......................................... 8 2.2 Elementární celé funkce............................................ 9 2.3 Logaritmus, argument, obecná mocnina................................... 2 3 Křivkový integrál 4 3. Křivky a křivkový integrál v C........................................ 4 3.2 Integrály a křivkové integrály závislé na parametru.............................. 7 3.3 Spojité větve logaritmu, index bodu ke křivce................................ 8 3.4 Lokální Cauchyova věta a její důsledky.................................... 2 4 3 4. Rozšíření C o, Riemannova sféra..................................... 3 4.2 Izolované singularity holomorfních funkcí................................... 3 4.3 Laurentovy řady a funkce holomorfní v mezikruží.............................. 33 4.4 Limity některých integrálů........................................... 39 5 Laplaceova transformace 4 5. Definice a základní vlastnosti......................................... 4 5.2 Inverzní formule................................................ 44 2

Úvod. Množina komplexních čísel Mnoˇzinou komplexních ˇcísel rozumíme množinu R 2 (tj. množinu všech uspořádaných dvojic reálných čísel) s následujícími operacemi: sčítání a násobení reálným číslem (definovanými stejně jako v R 2 ); násobení definované vzorcem Množinu komplexních čísel značíme C. Základní vlastnosti C: (x, y) (a, b) = (xa yb, xb + ya), (x, y), (a, b) R 2. () Množina C s operacemi sčítání a násobení tvoří komutativní těleso, nulovým prvkem je (, ), jednotkovým prvkem je (, ). Inverzním prvkem k nenulovému prvku (x, y) je prvek ( x x 2 +y, y 2 x 2 +y ). 2 (2) Zobrazení množiny R do C definované předpisem x (x, ) je tělesový izomorfismus R na {(x, y) C : y = }. Tudíž R budeme uvažovat jako podtěleso C. (3) Na C není definováno uspořádání. Na C ani nelze definovat uspořádání tak, aby bylo uspořádaným tělesem. Proč právě R 2? V R není řešitelná rovnice x 2 + =, v C má každý polynom stupně alespoň alespoň jeden kořen. (Dokážeme později.) Pro n > 2 lze na R n definovat rozumné násobení jen pro n = 4 (tzv. kvaterniony, které tvoří nekomutativní těleso) a pro n = 8 (tzv. oktoniony nebo Cayleyho čísla, pro ně už násobení není ani asociativní). Zápisy komplexního čísla: Označme i = (, ). Pak i 2 = (, ) a číslo i nazýváme imaginární jednotkou. Algebraický zápis komplexního ˇcísla: (x, y) = x + iy. Přitom zkracujeme zápis x + i = x a + iy = iy. Maticový zápis komplexního ˇcísla: ( x y (x, y) = x + iy = y x Potom násobení komplexních čísel odpovídá násobení matic. ). ( x y Necht z = (x, y) = x + iy = y x ), kde x, y R. Pak definujeme: Re z = x (reálná ˇcást komplexního čísla z); Im z = y (imaginární ˇcást komplexního čísla z); z = ( ) x y x 2 + y 2 = det (absolutní hodnota komplexního čísla z); y x z = x iy (komplexnˇe sdruˇzené ˇcíslo ke komplexnímu číslu z). 3

Pro každá z, w C platí: () z + w = z + w, z w = z w; (2) z 2 = z z; (3) z w = z w ; (4) Re z z, Im z z ; (5) z = z. C jako metrický prostor: Při ztotožnění C s R 2 je z rovno eukleidovské normě z. Vzorec d(z, w) = z w definuje tedy metriku na C. Tudíž víme například, co je to okolí bodu U(a, r), otevˇrená mnoˇzina, uzavˇrená mnoˇzina, konvergence posloupnosti v C, spojitost a limita zobrazení z R do C, z C do R i z C do C. Poznámka: Funkce z Re z, z Im z, z z a z z jsou spojité na C. C jako vektorový prostor: () C je vektorový prostor dimenze 2 nad R. V tomto případě lineární zobrazení C do C mají tvar ( ) a b (x, y) (x, y), c d kde a, b, c, d R jsou libovolná. (2) C je vektorový prostor dimenze nad C. V tomto případě mají lineární zobrazení C do C tvar z z w, kde w C je libovolné; při identifikaci C s R 2 je to tvar ( a b (x, y) (x, y) b a ), kde a, b R jsou libovolná..2 Komplexní funkce reálné proměnné () Komplexní funkcí reálné promˇenné rozumíme zobrazení f : M C, kde M R. (2) Necht f : M C je zobrazení. Pak definujeme funkce Re f : M R a Im f : M R předpisem Re f : x Re(f(x)), x M, Im f : x Im(f(x)), x M. (3) Necht f je komplexní funkce reálné proměnné a x R. Derivací funkce f v bodˇe x rozumíme číslo f f(y) f(x) (x) = lim, y x y x pokud tato limita existuje (v C). (4) Funkce F : (a, b) C je primitivní funkce k f na (a, b), jestliže F (x) = f(x) pro všechna x (a, b). 4

Věta : Necht f : M C je komplexní funkce reálné proměnné, a R a z C. Pak platí () lim x a+ f(x) = z, právě když lim Re f(x) = Re z a lim x a+ Podobně pro limity zleva a oboustranné. Im f(x) = Im z. x a+ (2) f je spojitá (zleva, zprava) v bodě a, právě když obě funkce Re f a Im f jsou spojité (zleva, zprava) v bodě a. (3) f (x) existuje, právě když existují vlastní derivace (Re f) (x) a (Im f) (x). Pak f (x) = (Re f) (x) + i(im f) (x). (4) Funkce F : (a, b) C je primitivní funkce k f na (a, b), právě když Re F je primitivní funkcí k Re f na (a, b) a Im F je primitivní funkcí k Im f na (a, b). Zřejmé Necht f je komplexní funkce reálné proměnné. Integrál (Riemannův, Newtonův, Lebesgueův) z funkce f od a do b definujeme jako číslo b f = b f(x) dx = pokud oba integrály na pravé straně konvergují. b Re f + i b a a a a Im f, Věta 2: Necht a < b jsou reálná čísla a f : [a, b] C je spojitá funkce. Pak platí b Pro důkaz první nerovnosti označme a f Pak protože levá strana je reálná, platí: b a f 2 = ww = b a b fw = Re a b f (b a) max x [a,b] f(x). a w := fw = b a f. b a Re(fw) b a fw = w Pokud w =, pak tvrzení platí. Jinak vydělíme nerovnost w a dostáváme tvrzení věty. b a f. 5

.3 Komplexní funkce komplexní proměnné Poznámka: Věta 3: () Komplexní funkcí komplexní promˇenné rozumíme zobrazení f : M C, kde M C. (2) Necht f je komplexní funkce komplexní proměnné a a C. Derivací funkce f podle komplexní promˇenné v bodˇe a (stručněji derivací funkce f v bodˇe a) rozumíme (komplexní) číslo pokud limita na pravé straně existuje (v C). f f(z) f(a) (a) = lim, z a z a () Pro derivaci podle komplexní proměnné platí věty o derivaci součtu, součinu, podílu a složené funkce ve stejné podobě jako pro derivaci v R. (2) Má-li f v bodě a C derivaci podle komplexní proměnné, je v bodě a spojitá. (3) Je-li f komplexní funkce komplexní proměnné, g komplexní funkce reálné proměnné a x R, pak pokud obě derivace na pravé straně existují. (f g) (x) = f (g(x)) g (x), Necht f je komplexní funkce komplexní proměnné. Označme f = ( f, f 2 ) funkci dvou reálných proměnných s hodnotami v R 2 odpovídající f při ztotožnění C a R 2 ; tj. takovou, že pro x + iy z definičního oboru f. f(x + iy) = f (x, y) + i f 2 (x, y) () (Cauchy-Riemannovy podmínky) Necht z = a + ib, kde a, b R. Pak f má v bodě z derivaci podle komplexní proměnné, právě když f má v bodě (a, b) totální diferenciál a platí f x (a, b) = f 2 y (a, b) a f y (a, b) = f 2 (a, b). x (2) Existuje-li f (z), je Jacobiho determinant f v bodě (a, b) roven f (z) 2. Speciálně, Jakobiho matice f v bodě (a, b) je regulární, právě když f (z). () (2) f f(z + h) f(z) (z) = u + iv = w lim = w h h f(z + h) f(z) hw f(z + h) f(z) hw lim = lim h h h h lim h = ( u v f(a + h, b + h 2 ) f(a, b) (h, h 2 ) v u = (, ) (h, h 2 ) ( ) u v je totální diferenciál v u f v bodě (a, b). zobrazení (h, h 2 ) (h, h 2 ) ( u v det v u ) = u 2 + v 2 = f (z) 2. ) 6

Poznámka: Je-li G C otevřená konvexní množina a f : G C splňuje f (z) = pro všechna z G, je f konstantní na G. Necht M C. Řekneme, že funkce f je holomorfní na mnoˇzinˇe M, jestliže existuje otevřená množina G M taková, že f má derivaci (podle komplexní proměnné) v každém bodě množiny G. Funkce holomorfní na C se nazývá celá funkce. 7

2 Mocninné řady a elementární celé funkce 2. Mocninné řady - připomenutí Necht a C a {c n } je posloupnost komplexních čísel. Nekonečnou řadu funkcí tvaru (M) c n (z a) n nazýváme mocninnou ˇradou o stˇredu a. Polomˇerem konvergence řady (M) rozumíme R [, + ] definované vzorcem R = sup{r [, + ) c n r n konverguje}. Množinu Věta : pak nazýváme kruhem konvergence řady (M). U(a, R) = {z C z a < R}, () Každá mocninná řada konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na svém kruhu konvergence. n (2) Položme L = lim sup cn. Pak poloměr konvergence řady (M) je n { R = L, L >, +, L =. c (3) Existuje-li lim n+ n c n, rovná se číslu L z předchozího bodu. (4) Mocninné řady n= nc n(z a) n a c n n+ (z a)n+ mají stejný poloměr konvergence jako řada (M). () Weierstrassovo kritérium. (2) Cauchyho odmocňovací kritérium. (3) d Alembertovo kritérium. (4) Plyne z (2). Věta 2: Derivace a integrace mocninné řady Uvažujme řadu (M) a necht R > její poloměr konvergence. Definujme funkci f(z) = c n(z a) n, z U(a, R). Pak platí: () Funkce f je spojitá na U(a, R). (2) Funkce f je holomorfní na U(a, R) a platí (3) Funkce F (z) = F (z) = f(z). f (z) = nc n (z a) n, n= z U(a, R). c n n+ (z a)n+ je holomorfní na U(a, R) a pro každé z U(a, R) platí 8

() Mocninná řada (M) je lokálně stejnoměrně konvergentní v U(a, R), tedy spojitá. (2) Mocninná řada n= nc n(z a) n konverguje lokálně stejnoměrně na U(a, R), tedy lze přehodit derivaci a sumu. (3) Bod (2) aplikujeme na F (z). 2.2 Elementární celé funkce Pro z C definujme exp(z) = Funkci exp nazýváme exponenciální funkce, krátce exponenciála. Dále označme e = exp(). Věta 3: Vlastnosti exponenciální funkce Platí: (E) Funkce exp je definovaná na C, je na C holomorfní a platí exp (z) = exp(z) pro z C. (E2) exp() =. (E3) exp(z + w) = exp(z) exp(w) pro z, w C. (E4) exp(z) pro z C. (E5) exp(z) = exp(z) pro z C. (E6) Funkce exp zobrazuje R na interval (, + ), je na R rostoucí a (ryze) konvexní. (E7) exp(z) = exp(re z) pro z C. (E) Poloměr konvergence je + podle V (3). Tedy platí podle V2. (E2) Z definice. (n+)! n! z n n!. = pro n R = +. n + (E3) Volme w C pevné, definujme funkci f(z) = exp(z + w) exp( z). Pak f() = exp(w) a f je konstantní, protože f (z) = exp(z + w) exp( z) + ( ) exp(z + w) exp( z) =. Tedy f(z) = exp(z + w) exp( z) = exp(w) pro každé z C. Volme w = x + y, z = y, pak exp(x) exp(y) = exp(x + y). (E4) Pro každé z C platí = exp() = exp(z) exp( z). (E5) Plyne z vlastností funkce z z a toho, že n! je z R. (E6) Podle (E5) zobrazuje exp R do R. exp() = a exp(z) pro každé z C, ze spojitosti tedy exp(z) > pro každé z C (také exp (z) > a exp (z) > pro každé z C). Dále platí: (E7) Platí: exp(n) = exp() n = e n + exp( n) = exp( ) n pro n +, pro n +. exp(z) 2 = exp(z)exp(z) = exp(z) exp(z) = exp(z + z) = exp(2 Re z) = exp(re z) 2. Výraz lze odmocnit, protože exp(re z) > dle (E6). 9

Pro z C položme cos(z) = exp(iz)+exp( iz) 2 (funkce kosinus); sin(z) = exp(iz) exp( iz) 2i (funkce sinus); cosh(z) = exp(z)+exp( z) 2 (funkce hyperbolický kosinus); sinh(z) = exp(z) exp( z) 2 (funkce hyperbolický sinus); Věta 4: Vlastnosti goniometrických a hyperbolických funkcí () Funkce cos, sin, cosh, sinh jsou definovány na C, přičemž funkce cos a cosh jsou sudé a funkce sin a sinh jsou liché. (2) cos() = cosh() =, sin() = sinh() =. (3) Funkce cos, sin, cosh, sinh jsou holomorfní na C a pro každé z C platí: cos (z) = sin(z) sin (z) = cos(z) cosh (z) = sinh(z) sinh (z) = cosh(z) (4) Pro každé z C platí (5) Pro každé z C platí: cosh(iz) = cos(z), sinh(iz) = i sin(z), exp(iz) = cos(z) + i sin(z). cos(z) = sin(z) = ( ) n z 2n (2n)! ( ) n z 2n+ (2n+)! cosh(z) = z2n (2n)! sinh(z) = z2n+ (2n+)! (6) Funkce cos, sin, cosh a sinh nabývají na R reálných hodnot. (7) Pro každá z, w C platí cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w) cosh(z + w) = cosh(z) cosh(w) + sinh(z) sinh(w) sinh(z + w) = sinh(z) cosh(w) + cosh(z) sinh(w) (8) Pro každé z C platí (9) cos(2) <, a tedy můžeme definovat Pak platí π < 4. cos 2 (z) + sin 2 (z) =, cosh 2 (z) sinh 2 (z) =. π = 2 min{x > : cos(x) = }. () Na intervalu [, π 2 ] je funkce sin rostoucí a konkávní, funkce cos klesající a konkávní; sin( π 2 ) =. () cos(π) =, sin(π) =. (2) Pro každé z C platí cos(z + π) = cos(z), sin(z + π) = sin(z). (3) Funkce sin a cos jsou periodické s periodou 2π; funkce cosh, sinh a exp jsou periodické s periodou 2πi. (4) Necht z, w C. Pak exp(z) = exp(w), právě když z w je celočíselný násobek 2πi. (5) Necht z C. Pak sin(z) =, právě když z je celočíselný násobek π. (6) Funkce exp zobrazuje C na C \ {}.

() Z definice. (2) Z definice. (3) Protože funkce exp je holomorfní. Derivace získáme zderivováním vzorců. (4) Z definice. (5) Z definice. (6) Protože koeficienty mocninných řad jsou z R. (7) Ověříme výpočtem. (8) Podle (7). = cos() = cos(z + ( z)) = cos(z) cos( z) sin(z) sin( z) = cos 2 (z) + sin 2 (z). = cosh() = cosh(z + ( z)) = cosh(z) cosh( z) + sinh(z) sinh( z) = cosh 2 (z) sinh 2 (z). (9) cos 2 = ( ) n 2 2n (2n)! = 4 2! + 6 }{{ 4! } < + ) ( 24n 2 (4n 2)! + 24n <. (4n)! 2 4n 2 (4 4n(4n )) (4n)! n=2 < () Necht z [, π 2 ]. Podle (iii) sin (z) = cos(z), tedy funkce sin je rostoucí. sin() =, tedy sin(z). Z toho pak plyne, že cos je klesající. Konkávnost podobně určíme z druhých derivací. cos ( π 2 ) = a sin ( π 2 ). Pak z (7) plyne, že sin ( π 2 ) =. () Plyne ze součtových vzorců. (2) Plyne ze součtových vzorců. (3) Plyne z (4) a (2). (4) Necht exp(z) = exp(w), pak exp(z w) =. Označme z w = x + iy, kde x, y R. Pak exp(x + iy) =, tedy také exp(x + iy) = exp(x) =. Z toho plyne x =, protože funkce exp je prostá na R. Tedy exp(iy) = = cos(y) + i sin(y), proto musí platit cos(y) = a sin(y) =, což je ekvivalentní s podmínkou, že y je celočíselný násobek 2π. (5) = sin(z) = eiz e iz 2i e iz = e iz (4) iz ( iz) = 2iz = 2kπi, k Z, z = kπ, k Z. (6) Z V3 (E4) víme, že funkce exp zobrazuje C do C \ {}. Necht w C \ {} libovolné, hledáme z = x + iy, aby exp(z) = w. Číslo w lze napsat ve tvaru w = w (u + iv), kde u, v R, u 2 + v 2 =. Platí w = exp(z) = exp(re z) = exp x. Víme, že w > a exp zobrazuje R na (, ) (V3 (E6)), tedy existuje x R, že w = exp(x). Dále chceme najít y R tak, aby exp(iy) = cos(y) + i sin(y) = u + iv. Protože u 2 + v 2 =, u, v [, ]. Víme, že cos je spojitý, cos() = a cos(π) =, existuje tedy y [, π] takové, že cos(y) = cos( y) = u. Pak protože cos 2 (y) + sin 2 (y) = je sin(y) = v, tedy bud sin(y) = v, nebo sin( y) = v. Máme tedy z = x + iy takové, že platí exp(z) = exp(x)(cos(y) + i sin(y)) = w (u + iv) = w.

2.3 Logaritmus, argument, obecná mocnina Věta 5: Reálný logaritmus, tj. inverzní funkci k exp R budeme značit ln. Pro z C \ {} označme Log(z) = {w C : exp(w) = z}. Necht z C \ {}. Hlavní hodnotou logaritmu čísla z nazýváme takové w Log(z), pro které Im w ( π, π]. Hlavní hodnotu logaritmu čísla z značíme log(z). Pro z C \ {} definujme a Arg(z) = {Im w : w Log(z)} arg(z) = Im log(z). Číslo arg(z) nazýváme hlavní hodnota argumentu čísla z. () Pro každé z C \ {} je Log(z) a platí Log(z) = {log(z) + 2kπi : k Z}. (2) Funkce log je inverzní funkcí k funkci exp {z C:Im z ( π,π]}. (3) Pro z C \ {} platí log(z) = ln z + i arg(z). (4) Pro z C \ {} platí z = z (cos arg(z) + i sin arg(z)) (goniometrický zápis komplexního ˇcísla z). (5) Necht z = x + iy C \ (, ]. Pak platí arcsin Im z z = arcsin arg(z) = arccos Re z x z = arccos (6) Funkce arg je spojitá na C \ (, ]. (7) Funkce log je spojitá na C \ (, ]. y x 2 +y x 2 +y x 2 +y arccos Re z z = arccos x 2, je-li Re z >, 2, je-li Im z >, 2, je-li Im z <. (8) Funkce log je holomorfní na C \ (, ] a na této množině platí log (z) = z. () Plyne z V4 (4) a (6). (2) Z definice. (3) Im log(z) = arg(z) z definice. Z V3 (E7) víme exp(re log(z)) = exp(log(z)) = z, tedy Re log(z) = ln z. (4) z = exp(log(z)) = exp(ln z + i arg(z)) = z (cos(arg(z)) + i sin(arg(z))). (5) Vyjádříme si z následovně: z = x + iy = ( ) x (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2. Pak arg(z) = α ( π, π), pro které x y cos(α) = x 2 + y 2 sin(α) = x 2 + y 2. x > α ( π 2, ) π y 2 α = arcsin, x2 +y 2 x y > α (, π) α = arccos, x 2 +y 2 x y < α ( π, ) α = arccos. x 2 +y 2 2

Věta 6: (6) Každý bod z C \ (, ] patří alespoň do jedné z polorovin (x >, y > nebo y < ), kde je dán spojitým vzorcem. Tedy funkce je spojitá v každém bodě. (7) Reálná část je spojitá (víme z reálné analýzy). Imaginární část je spojitá podle bodu (6). (8) Necht z C \ (, ]: log log(z) log(z ) log(z) log(z ) VOLSF (z ) = lim = lim = z z z z z z exp(log(z)) exp(log(z )) VOLSF y log(z ) = lim y log(z ) exp(y) exp(log(z )) = exp (log(z )) =. z Předpoklady věty o limitě složené funkce jsou splněny, protože funkce log je spojitá a prostá. Necht z, a C, přičemž z. Pak definujeme M a (z) = {exp(aw) : w Log(z)} (a-tá mocnina komplexního ˇcísla z) m a (z) = exp(a log(z)) (hlavní hodnota a-té mocniny komplexního ˇcísla z) Je-li z >, značíme z a = m a (z) = exp(a ln(z)). Necht z C \ {}. () Je-li n Z, obsahuje množina M n (z) právě jeden prvek, a to prvek z n, kde z = ; z n = z z n-krát pro n > ; z n = pro n <. z n (2) Je-li n N, obsahuje množina M /n (z) právě n prvků. () Když je w Log(z), znamená to, že w = log(z) + 2kπi, kde k Z. Dále pak (2) Platí (exp(log(z))) n = z n, n >,, n =, exp(nw) = exp(n log(z) + 2nkπi) = exp(n log(z)) = (exp( n log(z))) =, n <. z n ( ) ( exp n w = exp n ln z + i ) 2kπi arg(z) +. n n Pro k, k 2 vyjde totéž právě tehdy, když k k 2 je násobek n. 3

3 Křivkový integrál 3. Křivky a křivkový integrál v C Kˇrivkou v C rozumíme spojité zobrazení uzavřeného intervalu do C, tj. spojitou funkci : [a, b] C, kde a < b jsou reálná čísla. Je-li : [a, b] C křivka, pak obrazem kˇrivky rozumíme její obor hodnot, tj. množinu = ([a, b]) = {(t) : t [a, b]}; poˇcáteˇcním bodem kˇrivky rozumíme bod (a), koncovým bodem bod (b); křivku nazýváme uzavˇrenou, pokud (a) = (b); opaˇcnou kˇrivkou k rozumíme křivku : [ b, a] C definovanou vzorcem (t) = ( t); je-li navíc ψ : [c, d] C křivka, pro kterou ψ(c) = (b), pak jejich spojením ψ rozumíme křivku definovanou na intervalu [a, b + d c] vzorcem { (t), t [a, b], ( ψ)(t) = ψ(t b + c), t [b, b + d c]; délkou kˇrivky rozumíme n V () = sup (t j ) (t j ) : n N, a = t < t < < t n = b. j= Křivku (t) = a + re it, t [, 2π], kde a C a r >, nazýváme kladnˇe orientovaná kruˇznice o stˇredu a a polomˇeru r. Opačnou křivku nazýváme zápornˇe orientovaná kruˇznice. Křivku (t) = a + t(b a), t [, ], kde a, b C, nazýváme orientovaná úseˇcka [a, b]. Cestou neboli po ˇcástech hladkou kˇrivkou v C rozumíme křivku : [a, b] C, pro kterou existuje takové dělení a = s < s < < s n = b, že pro každé j =,..., n je funkce třídy C na [s j, s j ] (tj. derivace je spojitá na (s j, s j ) a má v krajních bodech s j a s j vlastní jednostranné limity). Je-li navíc f : C spojitá funkce, definujeme integrál funkce f podél cesty vzorcem f = f(z) dz = b a f((t)) (t) dt, kde integrál na pravé straně je zobecněný Riemannův, tj. roven Poznámka: Věta : n j= sj Je-li : [a, b] C cesta, pak V () = b a (t) dt. Necht : [a, b] C je cesta. s j f((t)) (t) dt. () Necht h je rostoucí zobrazení intervalu [c, d] na interval [a, b], které je třídy C. Pak f = f pro každou spojitou f : C. h 4

(2) f = f pro každou spojitou f : C. (3) Je-li ψ : [c, d] C cesta splňující ψ(c) = (b), pak f = f + f pro každou spojitou f : ψ C. (4) f ψ V () max f(z) pro každou spojitou f : C. z () Plyne z věty o substituci. (2) Plyne z věty o substituci. (3) Plyne z věty o substituci a aditivity zobecněného Riemannova integrálu. ψ (4) Protože funknce f je spojitá a je kompaktní množina, nabývá f na maxima. Pak platí b b b f = f((t)) (t) a f((t)) (t) max a f(z) (t) = max f(z) V (). z max f(z) a z z Věta 2: Necht f je komplexní funkce komplexní proměnné spojitá na okolí bodu a C. Pak f(a) = lim f. h h Pro každou konstantu c C platí S využitím tohoto vztahu dostáváme ( f(z) f(a) h = h [a,a+h] [a,a+h] c = [a,a+h] ch dt = ch. (f(z) f(a))) [a,a+h] V(4) h h max f(z) f(a). z [a,a+h] Věta 3: Necht G C je otevřená a f : G C je funkce. Funkci F : G C nazýváme primitivní funkcí k f na G, pokud F (z) = f(z) pro každé z G. Necht G C je otevřená, f : G C je spojitá funkce a F je primitivní funkce k f na G. Pak pro každou cestu : [a, b] G platí f = F ((b)) F ((a)). Speciálně, je-li uzavřená cesta v G, pak f =. 5

f = b a f((t)) (t) dt = = Věta 4: Charakterizace oblasti n j= sj s j F ((t)) (t) dt = n j= sj n (F ((s j )) F (s j )) = F ((b)) F ((a)). j= Necht Ω C je otevřená. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní. s j (F ) (t) dt = () Ω je souvislá (tj. pro každou neprázdnou G Ω takovou, že G i Ω \ G jsou otevřené množiny, platí G = Ω). (2) Ω je kˇrivkovˇe souvislá (tj. pro každé dva body z, w Ω existuje spojité zobrazení : [, ] Ω, pro které () = z a () = w). (3) Každé dva body v Ω lze spojit lomenou čárou v Ω (tj. pro každé dva body z, w Ω existuje konečná posloupnost bodů z = u, u,..., u n = w taková, že pro každé j =,..., n úsečka spojující u j a u j leží celá v Ω). (3) (2) Lomená čára je křivka. (2) () Předpokládejme, že Ω je nesouvislá, pak Ω = U V, kde U, V jsou otevřené, neprázdné a disjunktní množiny. Necht u U a v V, pak z křivkové souvislosti plyne, že existuje spojité zobrazení : [, ] Ω takové, že () = u a () = v. Množiny (U), (V ) jsou disjunktní, otevřené v intervalu [, ] a neprázdné ( (U), (V )) a platí (U) (V ) = [, ]. Ale interval [, ] je souvislá množina, tedy docházíme ke sporu. () (3) Zvolme a Ω a definujme množinu M := {z Ω : a lze spojit se z lomenou čarou v Ω}. M (obsahuje a). M je otevřená. Necht z M, pak existuje r > takové, že U(z, r) Ω, protože Ω je otevřená. Pro libovolné w U(z, r) pak úsečka zw leží v Ω. Vezmeme-li lomenou čáru z a do z a prodloužíme ji o zw, dostaneme lomenou čáru z a do w, tedy U(z, r) M. Ω \ M je otevřená. Necht z Ω \ M, pak existuje r > takové, že U(z, r) Ω, protože Ω je otevřená. Platí, že U(z, r) Ω \ M, protože kdyby w U(z, r) M, pak vezmu lomenou čáru z a do w a prodloužím ji o úsečku wz, odtud pak z M. Tedy M = Ω, protože Ω je souvislá. Otevřenou souvislou podmnožinu C nazýváme oblast. Věta 5: primitivní funkce a křivkový integrál Necht Ω C je oblast a f : Ω C je spojitá funkce. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní. () f má v Ω primitivní funkci. (2) Křivkový integrál v Ω nezávisí na cestˇe, tj. kdykoli : [a, b] Ω a ψ : [c, d] Ω jsou dvě cesty splňující (a) = ψ(c) a (b) = ψ(d), pak f = f. (3) Pro každou uzavřenou cestu : [a, b] Ω je ψ f =. 6

() (3) Plyne z Věty 3. (3) (2) Pro a ψ ze znění věty platí f f = protože křivka ( ψ) je uzavřená křivka. ψ f + f = f =, ψ ( ψ) (2) () Zvolme a Ω libovolné. Pro každé z Ω zvolme cestu z z a do z v Ω (např. lomenou čáru). Definujme F (z) := z f. Dokážeme, že F je primitivní funkce k f na Ω. Mějme z Ω libovolné, r > tak, aby U(z, r) Ω, h C, < h < r, pak platí F (z + h) F (z) h Tedy F (z) = f(z). ( = f h z+h z f ) = h 3.2 Integrály a křivkové integrály závislé na parametru Věta 6: O derivaci integrálu podle komplexní proměnné ( z) z+h f = h [z,z+h] f h f(z). Necht I R je interval a Ω C je oblast. Necht funkce F : I Ω C splňuje následující podmínky: () Pro každé z Ω je funkce t F (t, z) měřitelná na intervalu I. (2) Pro skoro všechna t I má funkce z F (t, z) spojitou derivaci podle komplexní proměnné na Ω. (3) Existuje z Ω, pro které je funkce t F (t, z ) integrovatelná na I. (4) Pro každé z Ω existuje U okolí z a integrovatelná funkce h na I, pro kterou platí F z (t, w) h(t) pro všechna w Ω pro skoro všechna t I. Potom funkce je holomorfní na Ω a pro z Ω platí Někdy jindy g(z) = F (t, z) dt, I g (z) = I F (t, z) dt. z z Ω Věta 7: O záměně křivkového integrálu a... Necht : [a, b] C je cesta. () Necht pro každé n N je f n : C spojitá funkce a tyto funkce necht na konvergují stejnoměrně k funkci f. Pak f n f. (2) Necht pro každé n N je f n : C spojitá funkce a tyto funkce necht na konvergují bodově ke spojité funkci f. Je-li posloupnost funkce (f n ) stejně omezená na, pak f n f. (3) Necht G C je neprázdná otevřená množina a F : G C je spojitá funkce. Pak funkce g(w) = F (z, w) dz, w G je spojitá na G. 7

(4) Necht G C je otevřená množina, F : G C je spojitá funkce a parciální derivace funkce F podle druhé proměnné (tj. derivace funkce w F (z, w) podle komplexní proměnné) je spojitá na G. Potom funkce g(w) = F (z, w) dz, w G je holomorfní na G a pro w G platí g (w) = F (z, w) dz. w () Protože je po částech hladká a je omezená, pak f n ((t)) (t) f((t)) (t) na [a, b] vyjma dělících bodů. Pak plyne z věty z reálné analýzy. (2) f n ((t)) (t) f((t)) (t) bodově na [a, b] vyjma dělících bodů. Posloupnost {f n ((t)) (t)} je stejně omezená. Pak plyne z Lebesgueovy věty. (3) (4) g(w) = b a F ((t), w) (t) dt. Funkce F ((t), w) je spojitá v proměnné w až na konečně mnoho bodů a měřitelná v proměnné t. Zvolme w G libovolné a najděme ε > takové, že U(w, ε) G. Protože F je spojitá, je také omezená na U(w, ε) a na tomto kompaktu platí F M. Platí F ((t), w) (t) M sup t [a, b], w U(w, ε), tedy existuje integrovatelná majoranta. Pak podle věty o spojitosti podle parametru je g spojitá v bodě w. Bod w jsme zvolili libovolně, proto g je spojitá. g(w) = b Ověříme předpoklady Věty 6, pak to z ní plyne. 3.3 Spojité větve logaritmu, index bodu ke křivce Věta 8: a F ((t), w) (t) dt. Necht : [a, b] C je křivka a f : C je spojitá funkce, která na nenabývá hodnoty. Pak existuje spojitá funkce L : [a, b] C taková, že f((t)) = e L(t) pro t [a, b]. Jsou-li L a L 2 dvě takové funkce, pak existuje k Z, že L (t) L 2 (t) = 2kπi pro t [a, b]. Je-li navíc cesta, f je holomorfní na a f spojitá na, lze volit Existence obecně nedělal. t f ((s)) L(t) = log(f((a))) + a f((s)) (s) ds. Jednoznačnost: Jestliže e L(t) = e L2(t) pak e L(t) L2(t) =. Tedy L L2 2πi je spojitá funkce na [a, b], která nabývá jen celočíselných hodnot, což je konstanta. Pro cestu: Definujme L(t) vzorcem ze zadání. Chceme ukázat, že e L(t) = f((t)), t [a, b]. Definujme g(t) = e L(t). Pak pro všechna t [a, b] až na konečně mnoho platí g (t) = e L(t) f ((t)) f((t)) (t), 8

g (t) g(t) f ((t)) f((t)) (t) =, g (t)f((t)) g(t)f ((t)) (t) f((t)) =, g (t)(f )(t) g(t)(f ) (t) ((f )(t)) 2 =, ( ) g =. f Funkce g/f je spojitá na [a, b] a až na konečně mnoho bodů t má derivaci rovnou nule, tedy je to konstanta na [a, b]. V bodě a má hodnotu, tedy g/f = na [a, b], z čehož dostáváme: f = g = e L. Necht, f a L jsou jako ve Větě 8. Pak pˇrírůstkem logaritmu funkce f podél kˇrivky rozumíme číslo log(f) = L(b) L(a). Věta 9: Je-li cesta, f holomorfní na a f spojitá na, pak f (z) log(f) = f(z) dz. Plyne z Věty 8 a toho, že f (z) b f(z) = f ((t)) a f((t)) (t) dt. Poznámka: Později dokážeme, že je-li f holomorfní, je f automaticky spojitá. Necht je uzavřená cesta a a C \. Pak index bodu a vzhledem ke kˇrivce je definován vzorcem ind a = 2πi z a dz. Poznámka: Věta : Je-li uzavřená cesta a a C \, pak ind a = 2πi log(z a). Necht M C je množina. Množinu A M nazveme komponentou mnoˇziny M, je-li maximální souvislou podmnožinou M (tj. je-li A souvislá a přitom každá množina B splňující A B M je nesouvislá). Necht Ω C je otevřená. Pak každá její komponenta je otevřená množina. 9

Bud A komponenta Ω a a A, pak A = {B Ω souvislá, a B}, což je souvislá množina. Protože Ω je otevřená, pak existuje r > takové, že U(a, r) Ω, ale U(a, r) je souvislá, tedy U(a, r) A. Věta : Vlastnosti funkce ind a Necht je uzavřená cesta. Pro a C \ položme ι(a) = ind a. () Funkce ι nabývá jen celočíselných hodnot. (2) Funkce ι je konstantní na každé komponentě množiny C \. (3) Funkce ι je rovna nule na neomezené komponentě množiny C \. () Plyne z toho, že je uzavřená a ι(a) = 2πi log(z a). (2) Z Věty 7 bod (3) plyne, že ι je spojitá na C \ (3) Existuje r > takové, že U(, r). Pro a > r platí ι(a) = 2πi z a dz 2π V () a r a. Poznámka: () Je-li kladně orientovaná kružnice o středu a a poloměru r, pak { pro z U(a, r), ind z =, je-li z a > r. (2) Platí Jordanova vˇeta: Je-li : [a, b] C uzavřená cesta taková, že je prostá na [a, b), pak množina C \ má právě dvě komponenty jednu neomezenou (na ní je index roven nule) a jednu omezenou (na ní je index roven bud nebo ). (3) Platí následující propichovací vˇeta: Necht je uzavřená cesta, a, b C taková, že b a >, úsečka spojující body a, b protíná v jediném bodě z, ten je různý od a, b, existuje jediné t, pro které (t ) = z, a Im (t ). Pak 3.4 Lokální Cauchyova věta a její důsledky ind a ind b = sgn Im (t ). Necht a, b, c C. Trojúhelníkem abc rozumíme konvexní obal množiny {a, b, c}, tj. nejmenší konvexní množinu obsahující body a, b, c. Obvodem trojúhelníka abc rozumíme křivku abc = [a, b] [b, c] [c, a]. 2

Věta 2: Cauchy-Goursatova věta pro trojúhelník Necht Ω C je otevřená množina a f je holomorfní funkce na Ω. Pak f = pro každý trojúhelník abc obsažený v Ω. abc Pokud a, b, c leží na přímce, pak věta platí i pro f, která je pouze spojitá. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že abc f = I. Tento integrál se dá napsat jako součet integrálů přes čtyři menší trojúhelníky f = abc f + ab c f + c ba f + a cb f. a b c Vytvoříme následující posloupnost trojúhelníků := abc, 2 := jeden ze čtyř menších, pro který platí 2 f I 4,. pokračujeme indukcí. Dostáváme { n } klesající posloupnost uzavřených množin, jejichž diametr jde k nule. Podle Cantorovy věty platí n = {z }. Protože f je holomorfní, existuje f (z ), tj. lim z z n= ( f(z) f(z ) z z f (z ) ) =. Necht ε > libovolné. Pak existuje δ > tak, že pro každé z C, z z < δ: f(z) f(z ) f (z)(z z ) ε z z. Jelikož průměr trojúhelníků n se blíží k nule, existuje n takové, že pro každé n n : n U(z, δ). Pak pro n n dostáváme I 4 n f(z) dz = n = (f(z) f(z ) f (z )(z z )) dz + (f(z ) + f (z )(z z )) dz n n = polynom, tedy má PF na C = podle V3 = (f(z) f(z ) f (z )(z z )) dz n V(4) V ( n ) = 2n V ( ) sup f(z) f(z ) f (z)(z z ) z n ε z z ε diam n εv ( n) ε(v ( )) 2 4 n. Tedy I ε(v ( )) 2. Protože ε bylo libovolné, je I =, což je spor. Proto platí f =. abc 2

Důsledek: Necht Ω C je otevřená množina, p Ω, f : Ω C je funkce spojitá na Ω a holomorfní na Ω \ {p}. Pak abc () Bod p abc, pak plyne tvrzení z V2. f = pro každý trojúhelník abc obsažený v Ω. (2) Bod p je jeden z vrcholů abc. BÚNO p = a. Necht ε > libovolné, označ b = a + ε(b a), c = a + ε(c a). f = f + f + f = f abc ab c b bc cc b }{{ ab } c = podle V2 f ab = f V ( ab c ) max f(z) = εv ( abc) max f(z). c z abc z abc abc Protože ε bylo libovolné (3) Bod p leží na straně abc. f = abc podle (2). (4) Bod p leží uvnitř abc. f = abc podle (3). abc apc ac c f =. f + = pbc f + = c bc Množina M C se nazývá hvˇezdovitá, pokud existuje takové a M, že pro každé b M je úsečka spojující body a, b celá obsažena v M. Věta 3: Cauchyova věta pro hvězdovitou množinu Necht Ω C je otevřená hvězdovitá množina, p Ω a f : Ω C je spojitá funkce, která je holomorfní na Ω \ {p}. Pak f má na Ω primitivní funkci, a tedy f = pro každou uzavřenou křivku v Ω. Necht a je ten bod hvězdovitosti. Definujme F (z) := [a,z] f, z Ω. Dokážeme, že F (z) = f(z) pro každé z Ω. Zvolme z Ω, necht r > tak, aby U(z, r) Ω, h C, < h < r, pak z + h U(z, r) a a, z, z + h Ω. ( ) F F (z + h) F (z) (z) = lim = lim f f = h h h h [a,z+h] [a,z] ( ) = lim f + f = lim f V2 = f(z). h h a,z+h,z [z,z+h] h h [z,z+h] = podle V2 22

Jak vypadají hvězdovité množiny? Konvexní množina je hvězdovitá, C\polopřímka je hvězdovitá, C\bod není hvězdovitá. Poznámka: O nalepování Necht Ω a Ω 2 jsou otevřené podmnožiny C, pro které Ω Ω 2 je souvislá množina. Necht funkce f má primitivní funkci v Ω i v Ω 2. Pak f má primitivní funkci v Ω Ω 2. Necht F je primitivní funkce na Ω, F 2 je primitivní funkce na Ω 2. Na Ω Ω 2 máme dvě primitivní funkce. (F F 2 ) =, tedy F = F 2 + C na Ω Ω 2, protože Ω Ω 2 je souvislá. Pak funkce F (z) definovaná { F (z), z Ω F (z) = F 2 (z) + C, z Ω 2 je primitivní funkcí k funkci f na Ω Ω 2. Věta 4: Cauchyův vzorec pro kruh Necht f je holomorfní na uzavřeném kruhu o středu a C a poloměru r > (tj. na U(a, r)) a je kladně orientovaná kružnice o středu a a poloměru r. Pak pro každé z U(a, r) platí f(z) = f(w) 2πi w z dw. Z definice holomorfní funkce na množině existuje G C otevřená taková, že U(a, r) G a f je holomorfní na G. Pro z existuje r z > tak, že U(z, r z ) G. Označme Ω = U(a, r) z U(z, r z ), pak Ω je hvězdovitá, f je holomorfní na Ω a U(a, r) Ω G. Pro z Ω libovolné definujme pomocnou funkci { f(z) f(w) g(w) = z w, w z f (z), w = z Tato fukce je holomorfní na Ω \ {z} a spojitá na Ω, tedy podle V3 f(w) f(z) = g(w) dw = dw w z f(w) w z dw = f(z) dw = f(z) w z f(z) = 2πi Důsledek: Vlastnost průměru pro holomorfní funkce dw w z = f(z)2πi ind a = f(z)2πi f(w) w z dw. Necht f je holomorfní na U(a, r), kde a C a r >. Pak platí f(a) = 2π 2π f(a + re it ) dt. 23

Aplikace Cauchyova vzorce pro z = a. f(a) = f(w) 2πi w a dw = 2π f(a + re it ) 2πi re it re it i dt = 2π 2π f(a + re it ) dt. Věta 5: Cauchyův vzorec pro vyšší derivace Necht f je holomorfní na U(a, r) (kde a C a r > ). Pak f má na U(a, r) derivace všech řádů a pro každé n N a z U(a, r) platí f (n) (z) = n! f(w) dw, 2πi (w z) n+ kde je kladně orientovaná kružnice o středu a a poloměru r. Podle V4 f(z) = f(w) dw. 2πi w z =:F (z,w) Funkce F (w, z) je spojitá na U(a, r) a její derivace všech řádů podle z jsou spojité: Tedy z V7(4) dostáváme indukcí f (n) (z) = 2πi F z = f(w) (w z) 2,.. n F f(w) z n = n! (w z) n+. n F n! (z, w) dw = zn 2πi f(w) dw. (w z) n+ Důsledek: Je-li f holomorfní na množině M C, je i f holomorfní na M. BÚNO M je otevřená. Bud a M libovolné, pak existuje r > tak, že U(a, r) M. Podle V5 je funkce f holomorfní na U(a, r). Bod a byl libovolný, tedy f je holomorfní na M. Důsledek: Necht Ω C je otevřená množina, p Ω, f : Ω C je funkce spojitá na Ω a holomorfní na Ω \ {p}. Pak f je holomorfní na Ω. Necht a Ω, pak existuje r > tak, že U(a, r) Ω. Podle V3 má f primitivní funkci na U(a, r). Z předchozího důsledku dostáváme, že f je holomorfní na U(a, r), tedy na Ω, jelikož a bylo libovolné. 24

Věta 6: Vyjádření mocninnou řadou Necht f je funkce holomorfní na U(a, r), kde a C a r >. Pak je f na U(a, r) součtem mocninné řady c n (z a) n o středu a, která na U(a, r) konverguje. Koeficienty této řady jsou určeny jednoznačně a platí pro ně c n = f (n) (a) n! pro n N {} (symbolem f () rozumíme f). Jednoznačnost. Necht Pak c = f(a) a dále f(z) = c n (z a) n, z U(a, r). f (z) =. f (k) (z) = nc n (z a) n f (a) = c, n= n(n ) (n k + )c n (z a) n k f (k) (a) = k!c k. k= Existence. Vezměme ρ (, r), necht (t) = a + ρe it, t [, 2π]. Dle Cauchyho vzorce pro kruh f(z) = f(w) 2πi w z dw Bud z U(a, ρ) pevné, pak pro w platí w z = (w a) (z a) = w a z a w a z U(a, ρ). = w a a tato řada je stejnoměrně konvergentní z Weierstrassova kritéria. Tedy f(z) = 2πi Platí následující odhad f(w) (z a) n dw = (w a) n+ 2πi f(w)(z a) n (w a) n+ max f(w) n w ρ z a ρ. < ( ) n z a w a < f(w)(z a) n (w a) n+ dw = Řada je tedy podle Weierstrassova kritéria stejnoměrně konvergentní, proto lze zaměnit sumu a integrál. = 2πi f(w)(z a) n (w a) n+ dw = [ ( f(w) dw 2πi (w a) n+ =c n ) ] (z a) n = c n (z a) n Protože ρ je libovolné z (, r) a víme, že platí jednoznačnost, platí to na U(a, r). na U(a, ρ). 25

Věta 7: Cauchyovy odhady Necht f(z) = c n(z a) n na U(a, R). Pro r (, R) označme M r = max{ f(z) : z a = r}. Pak pro n N {} platí c n Mr r n. Necht r = a + re it, t (, 2π]. Pak platí c n = f(w) 2πi (w a) Věta 8: Liouvilleova věta Každá omezená celá funkce je konstantní. Funkce f je celá, tj. r f(z) = n+ dw 2π 2πr M r r n+ = M r r n. c n z n, z C. Funkce f je omezená, tj. existuje M > tak, že pro každé z C f(z) M. Tedy pro každé r (, ) je M r M. Pak podle V7 platí pro n N a pro r (, ) c n M r r n M pro r. rn Proto c n = pro n, tedy f(z) = c, z C, tj. f je konstanta. Poznámka: f(z) Platí obecněji: Necht f je celá funkce a n N takové, že lim z z =. Pak f je polynom stupně n menšího než n. (lim z g(z) = w znamená: Pro každé ε > existuje takové R >, že pro každé z > R platí g(z) w < ε.) Pro k n platí Tedy c k = pro k n. f(z) M r lim z z n lim r r n =. c k M r r k = M r r n r k n pro r. Věta 9: Základní věta algebry Každý polynom stupně alespoň s komplexními koeficienty má aspoň jeden kořen v C. Sporem. Necht polynom P (z) = a n z n + a n z n +... + a z + a, a n, n, nemá kořeny v C. Pak funkce f = P (z) je celá. Pak f(z) = a n z n + a n z n +... + a z + a z = z n Tedy f je omezená. Podle V8 je f konstantní, f =, což je spor. a n + an z +... + a z }{{ n } an pro z. 26

Důsledek: Rozklad na kořenové činitele Necht P (z) = a n z n + a n z n + + a z + a je polynom s komplexními koeficienty, přičemž n a a n. Pak existují komplexní čísla w,..., w n taková, že pro každé z C platí P (z) = a n (z w )(z w 2 ) (z w n ). Čísla w,..., w n jsou určena jednoznačně až na pořadí. Věta o dělení polynomů: P, Q polynomy, deg Q < deg P! R, S polynomy, deg S < deg Q: P (z) = R(z)Q(z) + S(z), z C. Podle V9 existuje w kořen P. Podle věty o dělění polynomů pak P (z) = (z w ) P (z), kde deg P = n. Pokračujeme indukcí. Věta 2: O kořenech holomorfní funkce Necht f je funkce holomorfní na U(a, r), kde a C a r >. Předpokládejme, že f(a) = a f není konstantní nulová funkce na U(a, r). Pak existuje právě jedno p N a funkce g holomorfní na U(a, r) taková, že g(a) a Funkci f lze napsat jako součet mocninné řady f(z) = (z a) p g(z) pro z U(a, r). f(z) = c n (z a) n, z U(a, r). Protože f(a) =, c =. Označ p nejmenší takové číslo, že c p, pak p. Pak g(a) = c p. f(z) = c n (z a) n = (z a) p n=p n=p c n (z a) n p. } {{ } =:g(z) Jednoznačnost. Předpokládejme, že (z a) p g (z) = (z a) g 2 (z). BÚNO q p, pak pro z a platí g (z) = (z a) q p g 2 (z). q > p: g (z) =, což je spor, q = p: g (z) = g 2 (z). Je-li f, a a p jako ve Větě 2, říkáme, že bod a je p-násobný koˇren funkce f. Necht M C je množina a z C. Říkáme, že bod z je hromadným bodem mnoˇziny M, jestliže každé okolí bodu z obsahuje nějaký bod množiny M různý od z. Je-li navíc Ω C množina obsahující M, říkáme, že M je izolovaná v Ω, jestliže nemá v Ω žádný hromadný bod. 27

Věta 2: O jednoznačnosti Necht Ω C je oblast a f, g jsou funkce holomorfní na Ω. Jestliže množina {z Ω : f(z) = g(z)} má hromadný bod v Ω (tj. není izolovaná v Ω), pak f = g na Ω. Označme h := f g, h je holomorfní na Ω. A := {z Ω : f(z) = g(z)} = {z Ω : h(z) = }, M := {z Ω : n N {} : h (n) (z) = }. Důsledek: M je relativně uzavřená v Ω. a h (n) je spojitá na Ω. M = {z Ω : h (n) (z) = } M je relativně otevřená v Ω. Necht a M, pak existuje r > tak, že U(a, r) Ω, h je holomorfní na U(a, r), tedy lze rozvinout v mocninnou řadu h(z) = c n (z a) n, z U(a, r), c n = h(n) (a) = n N {}. n! Tedy h na U(a, r) a proto U(a, r) M. M : a je hromadný bod A a M. Necht a Ω je hromadný bod A, pak a A = A, tedy h(a) =. Existuje r > tak, že U(a, r) Ω. Pak platí jedna z možností h na U(a, r) U(a, r) M, h na U(a, r) existují p N a u holomorfní na U(a, r), u(a) h(z) = (z a) p u(z), z U(a, r). Protože u(a), existuje ρ (, r), h na U(a, ρ). Pak U(a, ρ) A = a, tedy a není hromadný bod, což je spor. Proto platí první možnost. Dohromady dostáváme, že M = Ω, tedy h na Ω. Jsou-li f, g dvě celé funkce, které se shodují na R, pak f = g na C. Věta 22: Princip maxima modulu Necht Ω C je oblast a f je nekonstantní holomorfní funkce na Ω. Pak f nenabývá nikde v Ω lokálního maxima. Sporem. Necht f nabývá v bodě a Ω svého maxima na U(a, r) Ω (BÚNO r < ). Označ c := f(a), potom f(z) c na U(a, r). Zvolme libovolné ρ (, r) a označme = a + ρe it, t [, 2π]. Pak c = f(a) = f(w) 2πi w a dw 2π f(a + ρe it ) dt 2π c dt = c, 2π 2π proto platí rovnosti a tedy f(a + ρe it ) = c na [, 2π]. Protože ρ bylo libovolné z (, r), tak f = c na U(a, r). () Bud c = a pak f = na U(a, r), (2) nebo c. Potom f = f 2 f U(a, r). = c2 f Podle V2 je f konstantní na Ω, což je spor. je holomorfní na U(a, r). Z C-R podmínek je f konstantní na 28

Důsledek: Necht Ω je omezená oblast a f je funkce spojitá na Ω, která je holomorfní na Ω. Pak f nabývá svého maxima na Ω na hranici. Speciálním případem je Ω = U(a, r). Funkce f zřejmě nabývá svého maxima. Kdyby nabývala maxima uvnitř, tak je f konstantní podle V22. Věta 23: Weierstrassova věta Necht Ω C je otevřená, funkce f n jsou holomorfní v Ω a konvergují k funkci f lokálně stejnoměrně v Ω. Pak f je holomorfní v Ω a pro každé p N funkce f (p) n konvergují k f (p) lokálně stejnoměrně v Ω. () Nejprve dokážeme, že f je holomorfní na Ω. Bud a Ω libovolné, r > tak, aby U(a, r) Ω. Necht (t) = a + re it, t [, 2π), pak f n (z) = f n (w) 2πi w z dw, Necht a U(a, r) pevné. Chceme dokázat, že f (w) w z f(w) w a w z U(a, r). na. max sup f n (w) f(w) f n(w) f(w) w a w pro n, r z a protože f n f na. Podle V7() lze přehodit limitu a integrál, tedy f(z) = f(w) 2πi w z dw. Proto podle V7(4) je f holomorfní na U(a, r). Bod a byl libovolný, tedy f je holomorfní na Ω. Navíc dle V5 f (p) (z) = p! f(w) dw, z U(a, r). 2πi (w z) p+ (2) Necht a Ω libovolné, r > tak, aby U(a, r) Ω. Chceme dokázat, že f n (p) f (p) na U(a, r 2 ). Označme = a + re it, t [, 2π), bud z U(a, r 2 ), p N. f n (p) (z) f (p) (z) = p! 2πi sup f (p) z U(a, r 2 ) n protože f n f na. Tedy f n (p) stejnoměrně na Ω. Věta 24: Morerova věta (z) f (p) (z) p!2p+ Necht Ω C je otevřená a f : Ω C je spojitá funkce taková, že Pak f je holomorfní na Ω. abc f n (w) f(w) (w z) p+ dw p! max f n(w) f(w) 2π 2πr w ( r p+ 2) r p max f n(w) f(w) pro n, w f (p) na U(a, r (p) 2 ). Bod a byl libovolný, proto f n f (p) lokálně f = pro každý trojúhelník abc obsažený v Ω. 29

Bud a Ω libovolné, r > tak, aby U(a, r) Ω. Definujme funkci F předpisem F (z) = f(w) dw, z U(a, r). [a,z] Tato definice je korektní, protože f je spojitá funkce. Pak pro z U(a, r) platí [ ] F F (z + h) F (z) ( ) (z) = lim = lim f f = lim f V2 = f(z), h h h h [a,z+h] h h [z,z+h] kde v rovnosti ( ) využijeme předpoklad, že integrál z funkce f přes každý trojúhelník je nulový. Dostáváme, že F je holomorfní na U(a, r) (má derivaci), tedy i f = F je holomorfní na U(a, r). Bod a byl libovolný, proto f je holomorfní na Ω. Poznámka: Věta 24 platí i v případě, že místo trojúhelníků uvažujeme obdélníky, jejichž strany jsou rovnoběžné s osami. [a,z] 3

4 4. Rozšíření C o, Riemannova sféra Označme C = C { }. Pro ε > položme U(, ε) = { } {z C, z > ε }. Necht f je funkce definovaná na podmnožině C s hodnotami v C. Řekneme, že f má v bodˇe z C limitu w C, pokud pro každé ε > existuje takové δ >, že pro každé z U(z, δ) \ {z } platí f(z) U(w, ε). Má-li f v bodě z limitu f(z ), říkáme, že f je spojitá v z. Na C dále rozšíříme operace následovně: Nedefinované jsou následující výrazy: z + = + z = z = z = pro z C, z = z = z = pro z C \ {}, z = a z = pro z C. +,,,,,. Poznámka: Věta : Operace jsou rozšířeny tak, aby platila věta o aritmetice limit s dodatkem má-li pravá strana smysl. Označme S 2 jednotkovou sféru v R 3, tj. S 2 = {(ξ, η, ζ) R 3 : ξ 2 + η 2 + ζ 2 = }. Dále definujme zobrazení χ : S 2 C předpisem {, (ξ, η, ζ) = (,, ), χ(ξ, η, ζ) = jinak. ξ+iη ζ, Pak χ je prosté zobrazení S 2 na C a χ S2\{(,,)} je homeomorfismus S 2 \ {(,, )} na C. Definujme dále metriku ρ na C předpisem ρ (z, w) = ρ e (χ (z), χ (w)), z, w C, kde ρ e je eukleidovská metrika na R 3. Pak limita a spojitost funkcí z C do C definovaná výše se shoduje s limitou a spojitostí v metrice ρ. 4.2 Izolované singularity holomorfních funkcí Necht a C a r >. Prstencovým okolím bodu a o polomˇeru r rozumíme množinu P (a, r) = U(a, r) \ {a}. 3

Věta 2: Casorati-Weierstrassova Necht a C, r > a funkce f je holomorfní na P (a, r). Pak nastává právě jedna z následujících možností: () Existuje takové ρ (, r), že f je omezená na P (a, ρ). Pak existuje vlastní lim z a f(z). Dodefinujemeli funkci f v bodě a hodnotou této limity, dostaneme funkci holomorfní na U(a, r). (Pak říkáme, že f má v bodě a odstranitelnou singularitu.) (2) lim z a f(z) =. Pak existuje právě jedno p N, pro které existuje vlastní nenulová lim z a (z a) p f(z). Navíc existují jednoznačně určená čísla a p, a (p ),..., a C, a p, že funkce f a z a a 2 (z a) 2... a p (z a) p ( ) má v bodě a odstranitelnou singularitu. (Pak říkáme, že f má v bodě a pól násobnosti p.) (3) lim z a f(z) neexistuje. Pak pro každé ρ (, r) je f(p (a, ρ)) hustá v C. (Říkáme, že f má v bodě a podstatnou singularitu.) () Necht f je omezená na P(a, ρ). Pak bud f a je to jasné, nebo f. V tom případě definujeme funkci g(z) = (z a)f(z). Funkce g je holomorfní na P(a, ρ) a lim z a g(z) =. Po dodefinování je g holomorfní na U(a, ρ) a g(a) =. Podle věty o kořenech holomorfní funkce g(z) = (z a) p h(z), kde h je holomorfní na U(a, ρ) a h(a). Pak f(z) = (z a) p h(z), limita f v bodě a existuje a lze funkci f dodefinovat její hodnotou. Po dodefinování je f holomorfní na U(a, ρ), tedy i na U(a, r). (2) Necht lim z a f(z) =, pak Definujme funkci g předpisem g = lim z a f(z) =. { f(z), z a,, z = a Funkce g je holomorfní na U(a, r) a g(a) =. Podle věty o kořenech holomorfní funkce existují p N a h holomorfní na U(a, r), h(a) tak, že Funkci f pak lze napsat ve tvaru a platí Na okolí U(a, r) je h g(z) = (z a) p h(z). f(z) = (z a) p h(z) lim (z z a a)p f(z) = h(z) C \ {}. holomorfní, lze ji tedy rozvinout v mocninnou řadu h(z) = c n (z a) n, z U(a, r) f(z) = = c n (z a) n p, z P(a, r) p c n (z a) n p + c n (z a) n p n=p holomorfní na U(a, r) a platí a p = c = h(a). 32

Jednoznačnost. Sporem. Necht (a i ) a (b i ) jsou čísla splňující ( ), pak funkce p a j b j p b j p (z a) j = f (z a) j a j f (z a) j j= j= má v bodě a odstranitelnou singularitu, protože je to rozdíl dvou funkcí, které mají odstranitelnou singularitu v a. Pokud je nějaký ze sčítanců nenulový, pak což je spor. lim p z a j= a j b j (z a) j =, (3) Sporem. Necht existuje ρ (, r), existuje b C a existuje δ > tak, že f(p(a, ρ)) U(b, δ) =, tj. pro každé z P(a, ρ) : f(z) b δ, tedy f(z) b δ. Pak funkce g = (f(z) b) je omezená a holomorfní na P(a, ρ) a podle bodu () existuje lim g(z) = c C, z a j= ale pak tedy existuje, což je spor. ( ) lim f(z) = lim z a z a g(z) + b = c + b, Poznámka: Platí dokonce Velká Picardova vˇeta: Má-li f v bodě z podstatnou singularitu, pak v každém prstencovém okolí z nabývá f všech hodnot z C s výjimkou nejvýše jedné. Necht f je funkce definovaná na U(, r) pro nějaké r >. Řekneme, že () f je holomorfní v bodˇe, (2) f má v bodˇe koˇren násobnosti p, pokud příslušnou vlastnost má funkce g(z) = f( z ) v bodě. Je-li f holomorfní na P (, r) pro nějaké r >, pak říkáme, že f má v bodˇe odstranitelnou singularitu (pól násobnosti p, podstatnou singularitu), jestliže příslušný typ singularity má funkce g(z) = f( z ) v bodě. 4.3 Laurentovy řady a funkce holomorfní v mezikruží Poznámka: Jméno Laurent se čte francouzsky, tj. přibližně Lorán. 33

Laurentovou ˇradou o stˇredu a C rozumíme symbol ( ) n= a n (z a) n, kde a n C pro každé n Z. Regulární ˇcástí řady ( ) rozumíme mocninnou řadu a n (z a) n, hlavní ˇcástí řady ( ) rozumíme symbol ( ) n= a n (z a) n. Říkáme, že hlavní ˇcást ˇrady ( ) konverguje (v bodˇe z, absolutnˇe, stejnomˇernˇe na mnoˇzinˇe M, lokálnˇe stejnomˇernˇe na mnoˇzinˇe M, atp.), pokud příslušnou vlastnost má řada a n (z a) n. n= Součet této řady nazveme souˇctem hlavní ˇcásti ˇrady ( ) a značíme jej rovněž ( ). Říkáme, že ˇrada ( ) konverguje (v bodˇe z, absolutnˇe, stejnomˇernˇe na mnoˇzinˇe M, lokálnˇe stejnomˇernˇe na mnoˇzinˇe M, atp.), pokud příslušnou vlastnost má regulární i hlavní část. Souˇctem ˇrady ( ) rozumíme součet součtu regulární části a součtu hlavní části, tj. n= a n (z a) n = a n (z a) n + n= a n (z a) n. Věta 3: Necht r < R + a a C. Pak označme P (a, r, R) = {z C : r < z a < R}. Tuto množinu nazveme mezikruˇzím o stˇredu a, vnitˇrním polomˇeru r a vnˇejˇsím polomˇeru R. Mějme Laurentovu řadu ( ). Pak existují r, R [, + ], pro která platí: Regulární část řady ( ) konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na {z C : z a < R} a diverguje pro z a > R. Hlavní část řady ( ) konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na {z C : z a > r} a diverguje pro z a < r. Je-li r < R, pak řada ( ) konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně na mezikruží P (a, r, R) a její součet je na tomto mezikruží holomorfní. Toto mezikruží pak nazýváme mezikruˇzím konvergence ˇrady (*). () Bud R poloměr konvergence regulární části R = lim sup n n a n. 34

Věta 4: Věta 5: (2) Na hlavní část použijeme Cauchyho kritérium lim sup n n a n (z a) n = lim sup n { n a n <... konverguje absolutně, z a >... diverguje. Označme r = lim sup n n a n, pak pro z a > r řada konverguje absolutně a pro z a < r řada diverguje. Necht ρ > r, pak hlavní část řady konverguje stejnoměrně na {z : z a ρ}, protože a n (z a) n a n ρ n a řada a n ρ n konverguje absolutně dle Cauchyho kritéria. (3) Necht r < R, pak řada ( ) na P(a, r, R) konverguje z definice absolutně a lokálně stejnoměrně. Podle Weierstrassovy věty je tedy součet holomorfní funkce. Necht a C, r < R + a θ [, 2π). Necht G = P (a, r, R) \ {a + te iθ : t (, + )}. Pak pro množinu G platí Cauchyova věta, tj., pro každou f holomorfní na G a každou uzavřenou křivku v G platí f =. Ukážeme, že každá f holomorfní má na G primitivní funkci.. krok: Chceme: c > α R je množina {a + se it : s (r, R), t (α, α + c)} hvězdovitá. Necht u (r, R), stačí zvolit c = 2 arccos r u, pak platí. 2. krok: Nalepuji. Na každé výseči existuje primitivní funkce, protože je to hvězdovitá množina. Jejich průnik je souvislá množina, tedy na sjednocení také existuje primitivní funkce. Necht f je holomorfní funkce v mezikruží P (a, r, R), kde a C a r < R. Pro ρ (r, R) označme ρ kladně orientovanou kružnici o středu a a poloměru ρ. Pak platí: () ρ f nezávisí na ρ, tj. nabývá stejné hodnoty pro každé ρ (r, R). (2) (Cauchyův vzorec pro mezikruží) Necht z P (a, r, R) a r < ρ < z a < ρ 2 < R. Pak ( f(z) = ) f(w) 2πi ρ2 w z dw f(w) ρ w z dw. () Podle V4 platí f = f = µ µ 2 = f + f = f f. µ µ 2 ρ ρ2 (2) Definujme pomocnou funkci g g(w) = { f(w) f(z) w z, w z, f (a), w = a. 35

Potom g je holomorfní na P(a, r, R) kromě bodu z. V bodě z je spojitá, tedy g je holomorfní na P(a, r, R). ρ g = ρ2 g = ρ ρ2 f(w) f(z) w z f(w) f(z) w z dw = dw = ρ ρ2 f(w) dw + f(z) w z ρ w z dw = =2πi ind ρ z = f(w) dw + f(z) w z ρ2 w z dw = =2πi ind ρ2 z Podle bodu () se tyto dva integrály rovnají, dostáváme tedy ( f(z) = ) f(w) 2πi ρ2 w z dw f(w) ρ w z dw. = ρ ρ f(w) dw + f(z)2πi, w z f(w) w z dw. Věta 6: Necht f je holomorfní funkce v mezikruží P (a, r, R), kde a C a r < R. Pak f je v P (a, r, R) součtem Laurentovy řady a n (z a) n n= o středu a, která na P (a, r, R) konverguje. Její koeficienty jsou určeny jednoznačně a platí pro ně a n = f(z) dz, n Z, 2πi ρ (z a) n+ kde ρ (r, R) je libovolné a ρ je jako ve Větě 4. Jednoznačnost. Necht ρ (r, R), ρ f(z) dz = (z a) m+ ρ f(z) = n= n= a n (z a) n, a n (z a) n m dz ( ) = z P(a, r, R). n= kde ( ) platí, protože řada je stejnoměrně konvergentní na ρ. Existence. Necht z P(a, r, R), r < ρ < z a < ρ 2 < R. Podle V5 ( f(z) = ) f(w) 2πi ρ2 w z dw f(w) ρ w z dw. Necht w ρ2 w z = (w a) (z a) = w a z a w a = w a a n (z a) n m dz = 2πia m, ρ } {{ } =, n m = 2πi, n = m ( ) n z a = w a (z a) n (w a) n+. 36