Kristýna Kuncová. Matematika B3

(7) Křivky a křivkový integrál Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 1 / 39

y Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 2 / 39

y Zdroj : http://pgfplots.net/tikz/examples/spiral-cone/ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 6 / 39

y Zdroj : https://www.howtogeek.com/106221/stupid-geek-tricks-how-to-plot-the-batman-curve-in-google-search/ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 9 / 39

Pokus o definici křivky Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme spojité zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou spojité. Definice Křivkou γ v R 3 rozumíme spojité zobrazení γ : [a, b] R 3, γ = (γ 1, γ 2, γ 3 ), kde γ 1, γ 2, γ 3 : [a, b] R 3 jsou spojité. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 10 / 39

Problematické příklady - vybarví plochu Zdroj : https://people.math.osu.edu/fiedorowicz.1/math655/peano.html Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 11 / 39

Problematické příklady 2 - nekonečná délka Zdroj : https://en.wikipedia.org/wiki/koch snowflake Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 12 / 39

Def: Křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Definice Křivkou γ v R 3 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 3, γ = (γ 1, γ 2, γ 3 ), kde γ 1, γ 2, γ 3 : [a, b] R 3 jsou C 1 ([a, b]). Poznámka Derivace v a a b jsou jednostranné. Interval [a, b] je omezený a uzavřený. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 13 / 39

y γ 1 (t) = t, γ 2 (t) = sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 14 / 39

y γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 15 / 39

y γ 1 (t) = cos t/(1 + (sin t) 2 ), γ 2 (t) = cos t sin t/(1 + (sin t) 2 ) Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 16 / 39

y γ 1 (t) = e t/25 cos t, γ 2 (t) = e t/25 sin t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 17 / 39

y γ 1 (t) = t cos t, γ 2 (t) = t sin t, γ 3 (t) = t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 18 / 39

y γ 1 (t) = cos 3 t, γ 2 (t) = sin 3 t Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 19 / 39

y γ 1 (t) = 16 sin 3 t, γ 2 (t) = 13 cos t 5 cos(2t) 2 cos(3t) cos(4t) Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 20 / 39

y Zdroj : https://www.howtogeek.com/106221/stupid-geek-tricks-how-to-plot-the-batman-curve-in-google-search/ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 21 / 39

Def: Oblouk Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá oblouk, jestliže γ je prosté na [a, b], Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 22 / 39

Def: Uzavřená křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá uzavřená, jestliže γ(a) = γ(b), Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 23 / 39

Def: Jordanova křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá uzavřená, jestliže γ(a) = γ(b), Jordanova, jestliže γ je prosté na [a, b) a křivka je uzavřená, Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 24 / 39

Def: Jednoduchá a hladká křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá jednoduchá, jestliže je bud Jordanova nebo oblouk, hladká, jestliže je jednoduchá a funkce γ 1, γ 2 mají spojité první derivace pro každé t [a, b] je alespoň jedna z derivací γ 1(t), γ 2(t) nenulová. Zdroj : Není hladká Zdroj : Je hladká Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 25 / 39

Def: Orientace křivky Nakreslete následující křivky: 1 1 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 1 ] 2 2 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 3 ] 4 3 γ 1(t) = t, γ 2(t) = 1 t, t [0, 1] 2 1 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 1 ] 2 2 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 3 ] 4 3 γ 1(t) = 1 t, γ 2(t) = t, t [0, 1] Definice Orientace křivky znamená, že je dán směr zvětšování délky. Dvě parametrizace jedné křivky jsou orientovány souhlasně, pokud mají stejný směr růstu. (Jejich tečné vektory jsou orientovány stejným směrem.) Určete, zda jsou následující křivky souhlasně orientované: 1 γ 1 (t) = t, γ 2 (t) = 1 t, t [0, 1] 2 γ 1 (t) = 1 t, γ 2 (t) = t, t [0, 1] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 26 / 39

Def: Orientace křivky Definice Pro Jordanovu křivku je kladná orientace proti směru hodinových ručiček. Nakreslete následující křivky: 1 1 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, π ] 2 2 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, π] 3 γ 1(t) = cos t, γ 2(t) = sin t, t [0, 2π] 2 1 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π ] 4 2 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π ] 2 3 γ 1(t) = cos 2t, γ 2(t) = sin 2t, t [0, π] 3 1 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, π ] 2 2 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, π] 3 γ 1(t) = sin t, γ 2(t) = cos t, t [0, 2π] Určete orientaci křivek: 1 γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] 2 γ 1 (t) = cos 2t, γ 2 (t) = sin 2t, t [0, π] 3 γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 27 / 39

Parametrizace Definice γ = γ([a, b]) R 2 značí geometrický obraz křivky. Zobrazení γ jako takové zveme parametrizace. Poznámka Různé parametrizace mohou mít stejný obraz. γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 4π] γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] γ 1 (t) = sin t 2, γ 2 (t) = cos t 2, t [0, 2π] γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos (t), t [0, 4π 2 ] Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 28 / 39

Parametrizace - úlohy Otázka Které z následujících parametrizace neparametrizují jednotkovou kružnici? A γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] B γ 1 (t) = sin 2 t, γ 2 (t) = cos 2 t, t [0, 2π] C γ 1 (t) = sin t 2, γ 2 (t) = cos t 2, t [0, 2π] D γ 1 (t) = sin 2t, γ 2 (t) = cos 2t, t [0, π] B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 29 / 39

Parametrizace - úlohy 2 Otázka Obrázek vpravo znázorňuje křivku x(t) = f (t), y(t) = g(t). Který obrázek ukazuje křivku x(t) = f (t) + 2, y(t) = g(t) 3? B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 30 / 39

Parametrizace - úlohy 3 Otázka Obrázek vlevo znázorňuje křivku x(t) = f (t), y(t) = g(t). Jaký předpis patří k obrázku vpravo? A x(t) = f (t), y(t) = g(t). B x(t) = f (t), y(t) = g(t). C x(t) = f (t), y(t) = g(t). D x(t) = f ( t), y(t) = g(t). E x(t) = f (t), y(t) = g( t). B Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 31 / 39

Tečný vektor Definice Vektor γ (t) = (γ 1 (t), γ 2 (t)) nazveme tečným vektorem křivky γ. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 32 / 39

Tečný vektor - příklad Spočtěte tečný vektor pro křivky 1 γ 1 (t) = cos t, γ 2 (t) = sin t, t [0, 2π] 2 γ 1 (t) = cos 2t, γ 2 (t) = sin 2t, t [0, π] 3 γ 1 (t) = sin t, γ 2 (t) = cos t, t [0, 2π] Nejprve obecně a pak v bodech [1, 0], [0, 1], [ 1, 0]. 1 ( sin t, cos t), t = 0, (0, 1), t = π 2, ( 1, 0), t = π, (0, 1), 2 ( 2 sin 2t, 2 cos 2t), t = 0, (0, 2), t = π 4, ( 2, 0), t = π 2, (0, 2), 3 (cos t, sin t), t = π 2, (0, 1), t = 0, (1, 0), t = 3 π 2, (0, 1), Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 33 / 39

Po částech hladká křivka Definice Křivkou γ v R 2 rozumíme zobrazení γ : [a, b] R 2, γ = (γ 1, γ 2 ), kde γ 1, γ 2 : [a, b] R 2 jsou C 1 ([a, b]). Křivka se nazývá hladká, jestliže je jednoduchá a funkce γ 1, γ 2 mají spojité první derivace pro každé t [a, b] je alespoň jedna z derivací γ 1 (t), γ 2 (t) nenulová. Křivka se nazývá po částech hladká, jestliže je hladká až na konečně mnoho bodů. Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 34 / 39

Křivkový integrál 1. druhu Definice (Křivkový integrál 1. druhu) Necht γ je po částech hladká křivka a necht je dána funkce f : γ R. Pak definujeme křivkový integrál 1. druhu funkce f podél křivky γ jako γ f (s) ds = b a f ((γ 1 (t), γ 2 (t)) γ 2 1 b (t) + γ 2 2 (t) dt = f (γ(t)) γ (t) dt. a Zdroj : https://en.wikipedia.org/wiki/line integral Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 35 / 39

Křivkový integrál 1. druhu - úlohy Otázka Na obrázcích je znázorněn křivkový integrál I j = C j x ds přes následující křivky. Vyberte pravdivé tvrzení: Zdroj : http://www.cpp.edu/ conceptests/question-library/index.shtml A I 3 < I 2 < I 1 B I 3 < I 1 < I 2 C I 3 = I 2 < I 1 D I 1 < I 2 < I 3 E Nemáme dost informace. D Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 36 / 39

Křivkový integrál 1. druhu - úlohy 2 Otázka Na obrázcích je znázorněn křivkový integrál I j = C f j ds přes následující funkce (čím světlejší barva, tím vyšší hodnoty). Vyberte pravdivé tvrzení: Zdroj : http://www.cpp.edu/ conceptests/question-library/index.shtml A I 1 = I 3 < I 2 B I 1 = I 2 = I 2 C I 2 < I 1 = I 3 D I 1 < I 2 < I 3 E Nemáme dost informace. A Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 37 / 39

Vlastnosti křivkového integrálu 1. druhu Věta (Vlastnosti křivkového integrálu 1. druhu) Necht γ a γ jsou křivky, f a g jsou funkce (R 2 R), a, b R jsou čísla. Pak, za předpokladu, že integrály jsou dobře definovány a existují, platí a γ af + bg ds = a f ds + b g ds γ γ γ+γ f ds = γ f ds + f ds. γ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 38 / 39

Věta: O nezávislosti na parametrizaci (křivk. 1. druhu) Věta (O nezávislosti na parametrizaci křivkového integrálu 1. druhu) Necht γ a γ jsou hladké křivky takové, že γ = γ. Necht f je definována na γ a je spojitá. Pak f ds = f ds. γ γ Kristýna Kuncová (7) Křivky a křivkový integrál 39 / 39