Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec. Viz Obrázek. Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, z,. Pak pomocí Dirichletovy věty integrál dopočítáme. Obrázek : : z, x + y x + y dxdydz ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ) ϱ dϱdϕdz ϱ dϱdϕdz ϱ dϱ dϕ ϱ dz ] ϕ] z].. Příklad Spočtěte dxdydz, kde : x, z, y + z. Řešení Vztahy x, z, y + z definují horní polovinu válce, jehož osa splývá s osou x. Viz Obrázek. Obrázek : : x, z, y + z Provedeme transformaci do válcových souřadnic. Transformační rovnice jsou tvaru x x, y ϱ cos ϕ, z ϱ sin ϕ. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 9 Jakobián transformace je J cos ϕ ϱ sin ϕ sin ϕ ϱ cos ϕ ϱ. dxdydz ϱ dxdϱdϕ dx ϱ dϱ dϕ x] ϱ ] ϕ].. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : x + y z. Řešení Oblast je těleso, které je zdola ohraničeno paraboloidem z x + y a zhora rovinou z. Viz Obrázek. Obrázek : : x + y z Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, z ϱ,. x + y dxdydz ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ ϱ dϱdϕdz ϱ dϱdϕdz ϱ ϱ ) dϕ)dϱ ϱ ϱ dz)dϕ)dϱ ϱ ϱ ) ϕ] dϱ ϱ 5 ϱ5 ϱ z] ϱ dϕ)dϱ ] 5 5.. Příklad Spočtěte z dxdydz, kde : z x + y. Řešení Oblast je těleso, které je zdola ohraničeno rovinou z a zhora kuželovou plochou z x + y. Viz Obrázek. Provedeme transformaci do válcových souřadnic ϱ,, ϕ,, z, ϱ. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek : : z x + y z dxdydz zϱ dϱdϕdz ϱ ϱ) ϱ dϕ)dϱ zϱ dz)dϕ)dϱ ϱ) ϱ dϱ 6. z ] ϱ ϱ dϕ)dϱ 5. Příklad Spočtěte z x + y ; dxdydz, kde : z, z, y, x + y x. Řešení Vztah x +y x upravíme na tvar x ) +y. Odtud a ze vztahů z, z, y plyne, že je polovina válce. Viz Obrázek 5. Provedeme transformaci do válcových souřadnic, kde ϱ, cos ϕ, ϕ,, z,. Obrázek 5: : z, z, y, x + y x z x + y dxdydz zϱ dϱdϕdz cos ϕ ] z ϱ dϱ)dϕ 9 ϱ ] cos ϕ cos ϕ zϱ dz)dϱ)dϕ dϕ cos ϕ dϕ 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 6. Příklad Spočtěte x z dxdydz, kde : z, x + y + z a. Řešení Integrační obor je horní polovina koule. Viz Obrázek 6. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ, a, ϕ,, ϑ,. Obrázek 6: : z, x + y + z a x z dxdydz ϱ cos ϕ sin ϑ) ϱ cos ϑ)ϱ sin ϑ)dϱdϕdϑ ϱ 5 cos ϕ sin ϑ cos ϑ dϱdϕdϑ t sin ϑ dt cos ϑdϑ, 6 a6 ϱ 5 dϱ ϕ + ] sin ϕ cos ϕ dϕ sin ϑ cos ϑdϑ t dt 6 a6 a6. 7. Příklad Spočtěte x + y + z dxdydz, kde : x, y, z, x + y + z. Řešení Integrační obor je osmina koule ležící v prvním oktantu. Viz Obrázek 7. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. x + y + z dxdydz ϱ cos ϕ sin ϑ + ϱ sin ϕ sin ϑ + ϱ cos ϑ ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ sin ϑ dϑ)dϕ)dϱ ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ 8. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek 7: : x, y, z, x + y + z 8. Příklad Spočtěte dxdydz x + y + z ), kde : x + y + z. Řešení Oblast je ohraničena poloprostorem z a dvěma sférami. Viz Obrázek 8. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. Obrázek 8: : x + y + z dxdydz x + y + z ) ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ ) ϱ ] ϕ] cos ϑ] sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ 7 7. dϱ ϱ dϕ dϑ 9. Příklad Spočtěte dxdydz, kde : x + y + z. Řešení Vztah x + y + z upravíme na tvar x + y + z Elipsoid ztransformuje v kouli. Stačí položit. Odtud plyne, že je elipsoid. x u, y v, z w. Jakobián této transformace je J. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 5 Obrázek 9: : x + y + z Provedeme transformaci do sférických souřadnic, která kouli ztransformuje v kvádr, tj. trojrozměrný interval. Viz Obrázek 9. dxdydz dudvdw ϱ ] ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ dϱ ϕ] cos ϑ] 6. dϕ sin ϑ dϑ. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : x + y + z z. Řešení Vztah x + y + z z upravíme na tvar x + y + z ). Odtud plyne, že je koule se středem v bodě,, ] a poloměrem. Provedeme transformaci, která posune střed koule do počátku. Stačí položit Jakobián této transformace je J x u, y v, z w +.. Dále provedeme transformaci do sférických souřadnic, která ztransformujeme kouli v kvádr. Viz Obrázek 5. Obrázek 5: : x + y + z z x u + y dxdydz + v dudvdw ϱ sin ϑ ϱ sin ϑ dϱϕdϑ ϱ dϱ dϕ ϱ sin ϑ dϑ ] ϕ] ϑ sin ϑ ] 6 6. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 5 Aplikace vícerozměrných integrálů. Příklad Spočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného přímkami y x, y x a křivkami x + y x, x + y 8x. Řešení Nejprve provedeme úpravu rovnice x + y x na tvar x ) + y. Podobně x + y 8x upravíme na tvar x ) + y 6. Odtud plyne, že zadané křivky jsou kružnice. Viz Obrázek 5. Obrázek 5: : y x, y x, x + y x, x + y 8x. Obsah obrazce určíme ze vztahu S) dxdy. Protože je částí kruhu, provedeme transformaci do polárních souřadnic. Transformováním jednotlivých rovnic získáme, že ϕ, cos ϕ ϱ 8 cos ϕ. Platí dxdy ϱ dϱdϕ cos ϕ dϕ 8 cos ϕ cos ϕ + cos ϕ) dϕ ϱ dϱ)dϕ ϕ + sin ϕ ] ϱ ] 8 cos ϕ cos ϕ dϕ + 6.. Příklad Spočtěte objem tělesa určeného vztahy x + y z, x + y + z, z. Řešení Oblast je ohraničena kuželovou plochou z x + y a dvěma kulovými plochami. Viz Obrázek 5. Provedeme transformaci do sférických souřadnic, kde ϱ,, ϕ,, ϑ,. Objem tělesa určíme ze vztahu V ) dxdydz. dxdydz ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ ϱ ] ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ ϕ] cos ϑ] 7 7 ). RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 55 Obrázek 5: : x + y z, x + y + z, z. Příklad Spočtěte objem tělesa určeného vztahem x + y z 6 x + y ). Řešení Oblast je ohraničena zhora paraboloidem z 6 x + y ) a zdola kuželovou plochou z x + y. Viz Obrázek 5. usíme zjistit, v jaké výšce se paraboloid s kuželem protnou. Vyřešíme rovnici x + y 6 x + y ). áme x + y + x + y 6. Zavedeme substituci z x + y. Odtud z + z 6 a z )z + ). Řešení z nevyhovuje. Platí tedy z. Ve výšce z protne paraboloid kužel v kružnicim x + y. Provedeme transformaci do válcových souřadnic. Z předchozího plyne, že ϱ,, ϕ,, z ϱ, 6 ϱ. Objem tělesa určíme opět ze vztahu V ) dxdydz. Obrázek 5: : x + y z 6 x + y ) dxdydz ϱ dϱdϕdz 6ϱ ϱ ϱ )dϱ 6 ϱ ϱ dz)dϕ)dϱ ϱ ϱ ϱ ϱ ]. zϱ] 6 ϱ ϱ dϕ)dϱ. Příklad Spočtěte velikost povrchu části paraboloidu fx, y) x y, kde fx, y). Řešení Velikost povrchu S paraboloidu určíme ze vztahu S + f x) + f y) dxdy, kde je kruh x + y. Spočteme parciální derivace. Platí f x x, f y y. Dosadíme do výše uvedeného vztahu a pak provedeme transformaci do polárních souřadnic, kde ϱ,, RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 56 ϕ,. Platí + x + y dxdy ϱ + ϱ dϱ t + ϱ ϱdϱ 8 dt, 5 ϱ + ϱ dϱdϕ 5 tdt dϕ ϱ + ϱ dϱ 5 t ] 6 5 5 ). 5. Příklad Spočtěte velikost povrchu tak zvaného Vivianova oka, které vznikne jako průnik polokoule x + y + z a, z s válcovou plochou x + y ax, kde a >. Řešení Velikost povrchu S určíme opět ze vztahu S + f x) + f y) dxdy, kde je kruh x + y ax, tj. x a) + y a. Spočteme parciální derivace. Platí f x f y x a x y, y a x y. Dosadíme do výše uvedeného vztahu a pak provedeme transformaci do polárních souřadnic. Pro usnadnění výpočtu budeme integrovat pouze přes polovinu oblasti, kterou označíme. Korektnost tohoto zjednodušení plyne ze symetrie Vivianova oka. Viz Obrázek 5. Po transformaci do polárních souřadnic platí, že ϕ,, ϱ, a cos ϕ. Obrázek 5: : x + y + z a, z a x + y ax + a x a x y + y a x y dxdy ϱ dϱdϕ a ϱ a 8a cos ϕ a a x y dxdy ϱ a ϱ dϱ)dϕ a sin ϕ) dϕ 8a ϕ + cos ϕ] a ). a dxdy a x y ] a cos ϕ a ϱ dϕ RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 57 6. Příklad Určete hmotnost krychle o straně a. Hustota krychle je přímo úměrná čtverci vzdálenosti od průsečíku tělesových úhlopříček a ve vrcholech je rovna. Řešení Střed krychle umístíme do počátku systému souřadnic. Tedy a, a. Dále nalezneme funkci hustoty ϱx, y, z). Vzdálenost bodu a x, y, z] od počátku je dán vztahem da, o) x + y + z. Odtud plyne ϱx, y, z) kx + y + z ). Konstantu přímé úměrnosti určíme dosazením souřadnic některého vrcholu. Platí ϱa, a, a) ka + a + a ). Tedy k a. Celkem ϱx, y, z) a x +y +z ). Vzhledem k symetrii tělesa i funkce lze integrovat pouze přes první oktant. Konečně hmotnost tělesa určíme ze vztahu m) ϱx, y, z) dxdydz. Platí 8 a m) 8 a a x + y + z )dxdydz 8 a x + y + z dxdydz ) x + y + z )dzdy dx 8 a x + y + ) a )dy dx 8 x z + y z + ] a ) z dy dx x + a ) dx 8 a. 7. Příklad Určete hmotnost koule o poloměru a. Hustota koule je přímo úměrná vzdálenosti od středu koule a na povrchu je rovna. Řešení Střed koule umístíme do počátku systému souřadnic. Nalezneme funkci hustoty ϱx, y, z). Platí ϱx, y, z) k x + y + z. Konstantu přímé úměrnosti určíme dosazením souřadnic některého bodu na povrchu koule. Například bodu a,, ]. Platí ϱa,, ) ka. Odtud k a. Celkem ϱx, y, z) a x + y + z. Hmotnost tělesa určíme opět ze vztahu m) ϱx, y, z) dxdydz. Je výhodné provést transformaci do sférických souřadnic. Platí m) x + y a + z dxdydz ϱ sin ϑ dϱdϕdϑ a a ϱ dϱ dϕ sin ϑ dϑ a ] a ϱ ϕ] cos ϑ] a a a. 8. Příklad Určete těžiště rovinného obrazce, který je ohraničen křivkami y x, x + y. Hustota obrazce je konstantní a je rovna. ] Řešení Těžiště T rovinného obrazce určíme ze vztahu T Sx) m), Sy) m). Obrazec zapíšeme jako oblast typu x, y).řešením rovnice x x dostáváme x )x + ) a odtud x, x. Platí tedy x, x y x. Viz Obrázek 55. Obrázek 55: RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6
Aplikace vícerozměrných integrálů - řešené příklady 58 m) dxdy x x ) dy dx x x ) dx x x x ] 9. S x ) ydxdy x x ) y dy dx x) x dx x x + 6 x x5 ] 6 5. S y ) x dxdy x x ) x dy dx x x x )dx x x ] x 9. Odtud plyne, že T, 8 5]. 9. Příklad Určete těžiště tělesa s konstantní hustotou, kde,,, a,,,. ] Syz) Řešení Těžiště T tělesa určíme ze vztahu T m), Sxz) m), Sxz) m). Viz Obrázek 56. Je-li hustota ϱx, y, z) c, pak zřejmě m) c. Obrázek 56: S xy ) S xz ) S yz ) czdxdydz + cydxdydz + cxdxdydz + czdxdydz c cydxdydz c cxdxdydz c dx dy z dz + c dx dy dx ydy dz + c dx ydy xdx dy dz + c xdx dy z dz 5 c. dz 5 c. dz c. Odtud plyne, že T, 5 6, 5 6]. RNDr. Jiří Klaška, Dr. Ú FSI v Brně, 7.. 6