Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé poloze dvou přímek v roviě rozhodout a základě počtu jejich společých bodů. Dvě přímky v roviě mají buď ekoečě moho společých bodů (pak jsou totožé) ebo právě jede společý bod (pak jsou růzoběžé) ebo emají žádý společý bod (pak jsou rovoběžé. Budeme tedy hledat body splňující vždy rovice obou přímek, proto sestavíme soustavy dvou rovic o dvou ezámých a ty vyřešíme. Krom zámých metod (sčítací, dosazovací, grafické) můžeme využít Gaussovy elimiačí metody, která poskytuje vhodý zkráceý zápis: 1 1 1 ř1 1 1 1 a) 1 1 3ř1ř2 0 2 2 Platí tedy h( A) h( A) 2, soustava má tedy jedié řešeí. Z druhé rovice dostáváme, že y 1, dosazeím do prví rovice obdržíme x 2. Přímky p, a jsou tedy růzoběžé a jejich průsečíkem je bod P 2, 1. b) 1 1 1 ř1 1 1 1 2 2 3 ( 2) ř ř 0 0 1 1 2 Platí tedy h( A) 1, h( A) 2, soustava tedy emá řešeí a přímky p, b jsou rovoběžé vzhledem k lieárí závislosti jejich ormálových vektorů p (1,1), (2,2). c) 1 1 1 ř1 1 1 1 3 3 3 ( 3) ř ř 0 0 0 1 2 Platí tedy h( A) h( A) 1, soustava má tedy ekoečě moho řešeí. Přímky p, c jsou tedy totožé. Z obecé rovice (kterékoliv z ich) můžeme sado vypočítat jejich společé parametrické vyjádřeí. Zvolíme apř. y t a sado dopočítáme, že x1 t. Parametrické vyjádřeí má tedy tvar p c : x 1 t, Grafické řešeí úlohy je a obrázku 4.1. y t, t. b 1
Obrázek 4.1.: Vzájemá poloha přímek v roviě Soustavy lieárích rovic Nejprve zobecíme dobře zámé pojmy: Soustavou r lieárích rovic o ezámých x,, 1 x (počet rovic se emusí rovat počtu ezámých) rozumíme zápis a x a x a x b, 11 1 12 2 1 1 a x a x a x b, 21 1 22 2 2 2 (7.1) a x a x a x b. r1 1 r 2 2 r r Reálá čísla a kl, pro k 1,, r a l 1,, azýváme koeficiety soustavy (7.1), reálá čísla b i azýváme sloupcem pravých stra. Uspořádaou -tici ( k1,, k ) azveme řešeím soustavy (7.1), jestliže po jejím dosazeí za ezámé x,, 1 x budou všechy rovice v soustavě (7.1) splěy. 7.2. Defiice Maticí A typu ( r s) rozumíme obdélíkovou tabulku a11 a12 a13 a1s a21 a22 a23 a2s A ar1 ar 2 ar3 ars utvořeou z libovolých r s reálých (či v případě potřeby komplexích) čísel uspořádaých do r řádků a s sloupců. Čísla a ij, kde i 1,, r a j 1,, s, azýváme prvky matice. Jelikož prvek a ij leží a průsečíku i -tého řádku a j -tého sloupce, azýváme číslo i (prví idex) řádkovým idexem a číslo j (druhý idex) sloupcovým idexem. a ij měí se j a a a a a a a a w a a a a r řádků 11 12 13 1 měí se i s sloupců Matice r krát s 21 22 23 2 m1 m2 m3 m Obrázek 2.1: Sloupcové a řádkové idexy v matici 2
7.3. Pozámky. (i) Matice ozačujeme velkými písmey, jejich prvky odpovídajícími malými písmey, B b m. (ii) Matici, která má pouze jede řádek, tedy matici typu (1 s), azýváme řádkovým vektorem, podobě matici, která má pouze jede sloupec, tedy matici typu ( r 1), azýváme sloupcovým vektorem. tedy A a ij, Operace s maticemi Při defiici základích operací se využívá toho, že řádky a sloupce matice lze chápat jako vektory. Nic ám tedy ebráí použít vektorovou defiici těchto operací: 7.4. Defiice Buďte A a ij a B b ij matice stejého typu ( r s) a buď k. Součtem matic AB, rozumíme matici C A B, která je rověž typu ( r s) a pro jejíž prvky platí cij aij bij, pro i 1,, r a j 1,, s. Podobě k -ásobkem matice A rozumíme matici D ka, rověž typu ( r s), pro jejíž prvky platí d k a i 1,, r j 1,, s. ij, pro a ij 7.5. Příklad Pro matice 1 0 3 1 A, B 2 1 0 4 spočítejme matice AB, 2 A, 3A B. Platí: 4 1 2 0 0 1 A B, 2 A, 3 A B. 2 5 4 2 6 1 7.6. Defiice Součiem matice A a ij ik typu ( m ) s maticí B b jk C c A B typu ( m p), pro jejíž prvky platí typu ( p) je matice ik i1 1k i2 2k i k ij jk j1 c a b a b a b a b. (7.2) Tedy, prvek ik c vzike jako skalárí souči i -tého řádku prví matice a k -tého sloupce druhé matice. 3
7.7. Příklad K zápisu ásobeí matic C A B je výhodé použít tzv. multiplikačí schéma: 2 1 0 3 A, B, 3 0 1 4 0 3 A B C 1 4 2 1 1 10 3 0 0 9 Multiplikačí schéma ás avádí ke správému výběru řádku a sloupce z matic AB., Například 0 a druhém řádku a v prvím sloupci výsledé matice C vzikla jako skalárí souči druhého řádku matice A a prvího sloupce matice B, tedy ( 3) 00 ( 1) 0. Obrázek 2.2: Multiplikačí schéma 7.8. Defiice Maticí soustavy (7.1) rozumíme matici a11 a12 a1 a21 a22 a2 A (7.3) ar1 ar 2 ar typu ( r ), kde r se emusí rovat. Rozšířeou maticí soustavy (7.1) pak rozumíme matici a11 a12 a1 b1 a21 a22 a2 b2 A (7.4) ar1 ar 2 ar br typu ( r 1). Ozačíme-li x1 b1 x2 b2 X, B, x br můžeme soustavu (7.1) zapsat v maticovém tvaru AX B. (7.5) 7.9. Pozámky. (i) V literatuře se rozšířeá matice ozačuje moha růzými způsoby, krom ámi preferovaého ozačeí A se často používá také A, A B, R, apod. 4
(ii) Rovice (7.5) se často zapisuje ve tvaru Ax b, zejméa v případech, kdy potřebujeme zdůrazit vektorový charakter matic X a B, které jsou opravdu sloupcovými vektory, tedy maticemi typu ( r 1). 7.10. Defiice Soustavu rovic Ax b azýváme homogeí, je-li b o, tedy je-li bi 0 pro všecha i 1,, r. V opačém případě azýváme soustavu ehomogeí. 7.11. Věta (i) Homogeí soustava má vždy řešeí. (ii) Možia všech řešeí homogeí soustavy tvoří vektorový podprostor K. Důkaz. (i) o je vždy řešeím homogeí rovice Ax o, jelikož Ao o. (ii) Podívejme se, zda jsou splěy podmíky z defiice vektorového podprostoru. Jelikož z předchozího víme, že o K ( o je vždy řešeím), stačí ukázat, že pro každý skalár c a pro každá dvě řešeí xy, jsou také c x a x y řešeí (tedy patří do K ). To je ale sadé: A( c x) c A x co o a podobě A( x y) A x A y o o o. 7.12. Pozámka. Každé řešeí soustavy Ax o získáme jako lieárí kombiaci prvků z K. Jakoukoliv bázi podprostoru K azýváme fudametálí systém řešeí. Homogeí soustavy hrají důležitou roli i pro řešeí ehomogeích rovic. 7.13. Věta (i) Každé řešeí ehomogeí soustavy lieárích rovic Ax b se dá vždy vyjádřit ve tvaru x x x, (7.6) h kde x p je pevě zvoleé řešeí ehomogeí soustavy Ax b, tedy tzv. partikulárí řešeí, a x je ějaké řešeí příslušé homogeí soustavy Ax o. h (ii) Je-li x, 1 x fudametálí systém řešeí soustavy Ax o, pak lze možiu všech, r řešeí ehomogeí soustavy Ax b apsat ve tvaru K x c x c x c c., p 1 1 r r 1 r Tato věta je velmi důležitá také proto, že platí i pro lieárí difereciálí rovice, se kterými se sezámíme v ásledujícím semestru. Možia K všech řešeí ehomogeí soustavy tvoří tzv. afií prostor. p 5
Hodost matice Stejě jako s rovicemi v soustavách můžeme maipulovat s řádky matice. Při vhodých úpravách se důležité vlastosti matice eměí, přitom můžeme převodem a vhodější tvar, dosáhout toho, že ěkteré důležité vlastosti matice budou mohem lépe patré. 7.14. Defiice Maticí ve schodovitém tvaru rozumíme matici, ve které každý eulový řádek začíá více ulami ež te předchozí. Přitom prví řádek emusí začíat vůbec žádými ulovými prvky, a ulové řádky (ty mají všechy prvky ulové) jsou umístěy pod všemi eulovými řádky. Gaussovou Jordaovou maticí rozumíme matici ve schodovitém tvaru, kde prví eulové prvky a řádcích (azýváme je pivoty) jsou rovy jedé, a dále jsou všechy ostatí prvky ve sloupci s pivotem (ad i pod ím) ulové. Horí trojúhelíkovou maticí rozumíme matici, ve které aij 0 vždy když je i j. Aalogicky pro dolí trojúhelíkovou matici platí aij 0 pro i j. 7.15. Příklad Matice 1 1 0 1 1 0 1 0 4 0 6 A 0 2 3, B 0 0 3, C 0 1 3 0 4 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 jsou všechy horí trojúhelíkové, ale ve schodovitém tvaru jsou pouze matice A, C. Matice C je avíc Gaussova Jordaova matice. 7.16. Defiice Ekvivaletí řádkovou úpravou rozumíme 1. výměu pořadí řádků matice, 2. vyásobeí libovolého řádku reálým číslem k 0, 3. přičteí (k ěkterému řádku) libovolé lieárí kombiace zbývajících řádků, speciálě přičteí k -ásobku ěkterého řádku k jiému řádku a 4. vyecháí řádku, který je lieárí kombiací ostatích řádků, speciálě vyecháí řádku, který je ulový ebo stejý jako jiý řádek v matici. Matici B ve schodovitém tvaru, která vzikla ekvivaletími řádkovými úpravami matice A, azýváme ekvivaletí s A a ozačujeme to A B. 7.17. Věta (1) Hodost matice A je rova počtu eulových řádků ekvivaletí matice B A ve schodovitém tvaru. (2) Hodost matice se aplikací ekvivaletích řádkových úprav ezměí. Dodejme, že eulovým řádkem rozumíme každý řádek, který eí ulový, tedy každý řádek, který má alespoň jede prvek růzý od uly. 6
7.18. Příklady (i) Určete hodost matic A z předchozího příkladu. (ii) Určete hodost ásledující matice A. Hodost matice učíme tak, že matici A převedeme a schodovitý tvar: 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 3 2 A 0 2 2 1 B 2 0 0 1 0 0 1 1 5 1 1 0 a spočítáme eulové řádky ekvivaletí matice B. Tedy, ha ( ) 3. 7.19. Frobeiova věta (i) Soustava lieárích rovic AX B má řešeí právě tehdy, když h( A) h( A). (ii) Ozačme k h( A) h( A). Má-li soustava ezámých a je-li k, pak má soustava AX B právě jedo řešeí. k, pak má soustava AX B ekoečě moho řešeí, která tvoří ( k) - dimezioálí podprostor (řešeí můžeme popsat ( k) ezávislými parametry). Frobeiova věta odpovídá a otázku existece a jedozačosti řešeí, ale eposkytuje metodu jejich výpočtu. Tři možé metody výpočtu řešeí soustavy představíme v ásledujících kapitolách. Zámé metody hledáí řešeí (zejméa sčítací a dosazovací metoda) se také dají přímo zobecit a teto případ. 7.20. Příklad x y z 4, x y 4z 9, 2x 3y z 3, x y 2z 3, x 2y 2z 1, x y z 6, K (1, 2,1) K (5 t, t,1), t K x x 4x 9, x x 2x 3, x x x 9, Gaussova elimiačí metoda Gaussova elimiačí metoda je ve většiě případů velmi účiou metodou řešeí soustav lieárích algebraických rovic. Prodělala dlouhý historický vývoj, byla patrě záma již ve starověké Číě a přelomu ašeho letopočtu jako fag čcheg. Nezávisle se metoda vyvíjela v Evropě, a to ve třech fázích: ejjedodušší strategii postupé elimiace ezámých formuloval již I.Newto v 17. století, zobecil a vyprecizoval ji a počátku 19. století především C. F. Gauss (avazující a L. Eulera a J.-L. Lagrage) a později Camille Jorda. O maticový popis soustav se zasloužilo ěkolik matematiků, apříklad J. vo Neuma ebo Ala Turig, ovšem až ve 20. století. 7.21. Gaussova elimiačí metoda: Mějme zadáu soustavu lieárích algebraických rovic (7.1). 1. Zapíšeme koeficiety do rozšířeé matice soustavy (7.4). 2. Matici převedeme pomocí ekvivaletích řádkových úprav a schodovitý tvar. 7
3. Aplikujeme Frobeiovu větu. Tím zjistíme počet řešeí soustavy. 4. Ze schodovitého tvaru rozšířeé matice sestavíme zpět soustavu rovic, ze které sado dopočítáme řešeí soustavy. Postupujeme od posledí rovice, která obsahuje ejméě ezámých, postupým dosazováím do vyšších rovic. 7.22. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x 2x 2x 9, 1 3 4 x 3x 2x x 0, 4 2x 5x 3x 3x 0, 4 2x1 x2 4x3 9x4 3. 1. Rozšířeá matice soustavy je 1 0 2 2 9 1 3 2 1 0 A 2 5 3 3 0 2 1 4 9 3 2. Při převodu matice a schodovitý tvar oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy. A 1 0 2 2 9 1 0 2 2 9 1 0 2 2 9 1 3 2 1 0 0 3 4 3 9 0 1 0 13 15 2 5 3 3 0 0 5 7 7 18 0 5 7 7 18 2 1 4 9 3 0 1 0 13 15 0 3 4 3 9 1 0 2 2 9 1 0 2 2 9 1 0 2 2 9 0 1 0 13 15 0 1 0 13 15 0 1 0 13 15 0 0 7 72 93 0 0 2 21 27 0 0 2 21 27 0 0 4 42 54 0 0 14 144 186 0 0 0 3 3 3. Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 4, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 4. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí, a jelikož k h( A) h( A) je rovo počtu ezámých, 4, jde o řešeí jedozačé. 4. Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které dopočítáme řešeí: x 2x 2x 9, 1 3 4 x 13x 15, 2 4 2x 21x 27, 3 4 3x 3. Z posledí rovice dostáváme, že x4 1. Dosazeím do třetí rovice dostaeme opět lieárí rovici 2x3 21 27, a tedy x3 3. Dosazeím do druhé rovice spočítáme x2 2 a koečě dosazeím do prví rovice dostaeme x1 23 2 ( 1) 9, a tedy x1 1. Jediým řešeím soustavy je tedy uspořádaá čtveřice x (1,2,3, 1). 4 8
7.23. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x x x 3, 2x x 2x 1, x 2x 3x 1, x1 x2 3x3 1. 1. Rozšířeá matice soustavy je 1 1 1 3 2 1 2 1 A 1 1 1 3 1 2. Při převodu matice a schodovitý tvar oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy. 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 2 1 2 1 0 1 4 5 0 1 4 5 0 1 4 5 A 1 0 1 4 2 0 0 8 7 0 0 8 7 1 1 3 1 0 0 4 4 0 0 4 4 0 0 0 1 3. Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 3 (matice A má pouze tři eulové řádky), a hodost rozšířeé matice ha ( ) 4. Z Frobeiovy věty vyplývá, že soustava emá řešeí. Při přepisu matice zpět a soustavu rovic je vidět, co zameají rozdílé hodosti matic Aa A: soustava zahruje esplitelou rovici 0 1, proto emá řešeí. 7.24. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x x x 1 2 4 2x 4x 2x 7x 4, 4 4x 2x 6x 4x 3, 4 x1 x2 2x3 1. 1. Rozšířeá matice soustavy je 1 1 0 1 3 2 4 2 7 4 A 4 2 6 4 3 1 1 2 0 1 2. Při převodu matice a schodovitý tvar opět oddělujeme sloupec pravých stra svislou čárou, která v rozšířeé matici odděluje matici soustavy: 3, 9
A 1 1 0 1 3 1 1 0 1 3 1 1 0 1 3 2 4 2 7 4 0 2 2 5 10 0 2 2 5 10 4 2 6 4 3 0 6 6 0 15 0 0 0 15 45 1 1 2 0 1 0 2 2 1 2 0 0 0 4 12 1 1 0 1 3 0 2 2 5 10 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 3. Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 3, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 3. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí. Jelikož k h( A) h( A) 3 je meší ež počet ezámých ( 4 ), má soustava ekoečě moho řešeí. Všecha řešeí se dají popsat pomocí k 43 1 parametru. 4. Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které dopočítáme řešeí: x x x 3, Z posledí rovice dostáváme, že x4 3 1 2 4 2x 2x 5x 10, 2 3 4 x 4. Dosazeím do druhé rovice dostaeme lieárí rovici o dvou ezámých 2x2 2x315 10. Tu vyřešíme volbou parametru za jedu z 5 ezámých, apř. x3 p. Potom 2x2 2p 5 a tedy x2 2 p. Koečě dosazeím do 5 7 prví rovice dostaeme x1 2 p3 3, a tedy x1 2 p. Možiu všech řešeí pak můžeme zapsat ve tvaru 7 5 K p, p, p, 3, p 2 2 Nezámá x 3 vystupuje jako parametr řešeí pro každou hodotu p dostaeme právě jedo kokrétí řešeí soustavy. Naopak, každé jedotlivé řešeí soustavy získáme vhodou volbou parametru. V případě že má soustava ekoečě moho řešeí může čiit jisté obtíže volba parametrů a dopočítáí ezámých tak, abychom získali všecha řešeí. Proto se ěkdy ekočí převodem a schodovitý tvar, ale rozšířeá matice se dále upraví a tzv. Gauss Jordaův tvar. 3, 7.25. Gauss Jordaova elimiačí metoda: Mějme zadáu soustavu lieárích algebraických rovic (7.1). 1. Zapíšeme koeficiety do rozšířeé matice soustavy (7.4). 2. Matici převedeme pomocí ekvivaletích řádkových úprav a Gauss Jordaův tvar. 3. Aplikujeme Frobeiovu větu. Tím zjistíme dimezi podprostoru řešeí soustavy. 4. Z Gauss Jordaova tvaru rozšířeé matice sado určíme parametrické ezámé. Ty totiž odpovídají sloupcům matice, ve kterých eleží hlaví prvek (tzv. pivot). Přitom počet pivotů záme z Frobeiovy věty. Nezámé ve sloupcích s pivotem (tzv. hlaví ezámé) dopočítáme velmi sado převedeím parametrických ezámých a pravou strau rovic. 10
7.26. Příklad Nalezěte všecha řešeí soustavy x 2x 2x x 1, 4 2x 4x 2x 2x 1, 4 4x 8x 6x 1, 5x1 10x2 4x3 7x4 4. 1. Rozšířeá matice soustavy je 1 2 2 1 1 2 4 2 2 1 A 4 8 6 0 1 5 10 4 7 4 2. Při převodu matice a Gauss Jordaův tvar postupujeme zpočátku stejě jako při převodu a schodovitý tvar, dále však ještě potřebujeme, aby byl každý pivot rove jedé a aby ad každým pivotem byly uly: A 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 4 2 2 1 0 0 2 4 3 0 0 2 4 3 4 8 6 0 1 0 0 2 4 3 0 0 0 0 0 5 10 4 7 4 0 0 6 12 9 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 0 3 2 3 3 0 0 2 4 3 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 3. Spočítáme hodost matice soustavy, ha ( ) 2, a hodost rozšířeé matice ha ( ) 2. Jelikož se obě hodosti rovají, vyplývá z Frobeiovy věty, že soustava má řešeí, a jelikož k h( A) h( A) 2 a 4 (počet ezámých), má rovice ekoečě moho řešeí, které budou záviset a k 2 parametrech. 4. Parametrické ezámé zvolíme x2 r a x4 s (druhou a čtvrtou ezámou protože ve druhém a čtvrtém sloupci ejsou pivoty, písmea rs, si můžeme zvolit, jak chceme). Z prvků matice sestavíme ekvivaletí soustavu, ze které vyjádříme zbylé ezámé: x 2x 3x 2, 1 2 4 x 2 x, 3 3 4 2 3 Z druhé rovice dostáváme, že x s a z prví rovice dostaeme x1 2 2r 3s. 3 2 2 3 Řešeím je tedy uspořádaá čtveřice K 2 2r 3 s, r, 2 s, s, rs,. Později se dozvíme, že ji lze iterpretovat jako roviu (dvourozměrý afií podprostor) v 3 dáa bodem 2,0,,0 r 2,1,0,0 a s 3,0,2,1. 2 a vektory 2 4, která je Doplňující zdroje: Olie zdroje J.F. Grcar, Mathematicias of Gaussia Elimiatio, Notices of the AMS 58 (2011) (6) 782 792. [olie, citováo 29. 1. 2013]. Dostupý z WWW: www.ams.org/otices/201106/rtx110600782p.pdf 11
A. Hlaváč, Soustavy lieárích rovic a jejich geometrická iterpretace, [olie, citováo 29. 1. 2013]. Dostupý z WWW: homepages.math.slu.cz/adamhlavac/soustavyrovic.pdf J. Šaršo, Maticové rovice, Sbírka úloh z matematiky pro MFF UK, [olie, citováo 29. 1. 2013]. Dostupý z WWW: http://kam.mff.cui.cz/~sbirka/show_exercise.php?c=29&e=80 Literatura Burda P., Havelek R. a Hradecká R.: Algebra a aalytická geometrie (VŠB-TU Ostrava, 2005). Vrbeská H. a Bělohlávková J.: Základy matematiky pro bakaláře I. (VŠB-TU Ostrava, 2003). Škrášek J. a Tichý Z.: Základy aplikovaé matematiky I. (SNTL Praha, 1989). J.F. Grcar, How ordiary elimiatio became Gaussia elimiatio, Historia Mathematica 38 (2011) 163 218. 12