O NĚKTERÝCH SUMAČNÍCH TECHNIKÁCH A MOŽNOSTECH JEJICH VYUŽITÍ PŘI VZDĚLÁVÁNÍ BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEMATIKY ÚVOD

O NĚKTERÝCH SUMAČNÍCH TECHNIKÁCH A MOŽNOSTECH JEJICH VYUŽITÍ PŘI VZDĚLÁVÁNÍ BUDOUCÍCH UČITELŮ MATEMATIKY DANIEL TYR ABSTRAKT Čláe se zabývá oečými součty zejméa sumacemi zahrující ombiačí čísla Autor uvádí zámé i méě zámé sumačí techiy Lze je rozdělit do dvou supi techiy proveditelé bez užití algebraicého softwaru a techiy proveditelé algebraicým softwarem (sumačí algoritmy) Způsoby staoveí hledaého součtu jsou demostrováy a vhodě zvoleých příladech ěteré z ich lze řešit užitím aparátu středošolsé matematiy bez utosti dalších matematicých zalostí Ostatí vyžadují záladí zalosti matematicé aalýzy algebry či dovedost ovládat algebraicý software Obsah čláu je urče studetům učitelství matematiy (budoucím učitelům) Autor se zamýšlí zda při sumaci může počítač ějaou měrou přispět řešiteli úlohy a pouazuje a obtížost staoveí hledaého součtu bez pomoci počítače ve srováí s užitím sumačího algoritmu ÚVOD Něteré oečé součty lze vyčíslit užitím předepsaé uiverzálí procedury Příladem jedoho taového součtu je suma Ta je zvláští tím že vyazuje jistou ( 4)( 5) telesopicou vlastost vitře sumy se zhroutí sám do sebe Korétěji řečeo po rozladu sumadu a součet parciálích zlomů můžeme psát ( 4)( 5) 4 5 4 5 5 6 6 7 3 4 4 4 Zmiňovaou uiverzálí procedurou zde máme a mysli dva roy: provést rozlad a parciálí zlomy poté odečíst sobě odpovídající si výrazy Dodejme že a staoveí výše uvedeého součtu v otextu studetových dovedostí lze ahlížet jao a produt tzv procedurálí zalosti Za jistý protipól procedurálí zalosti považujeme tzv oceptuálí zalost Pousme se rozdíly mezi těmito dvěma pojmy vysvětlit ásledující citací: Koceptuálí zalost bývá spojováa či ztotožňováa s hlubším porozuměím podstatě učiva zatímco procedurálí zalost má představovat spíše zalost postupů a algoritmů jíž lze dosáhout i bez porozuměí [5] str 83 Vrátíme-li se výše uvedeému příladu sumy můžeme shrout že e staoveí její hodoty bohatě postačila procedurálí zalost Pozameejme že matematicý software se bez příslušého algoritmu (chápejme jej jao aalogii lidsé procedurálí zalosti) eobejde V tomto čláu se budeme zabývat eje běžými lidsými procedurami ale i dvěma sumačími algoritmy jmeovitě Gosperovým a Zeilbergerovým Uážeme že Zeilbergerův algoritmus může posloužit studetovi ejeom jao další (ová) procedurálí zalost ale i jao ástroj terý posyte studetovi líčovou iformaci (orétě jistou ombiatoricou Received by the editors 8 Mathematics Subject Classificatio A9 A35 33F Key words ad phrases Koečé součty ombiačí čísla Gosperův algoritmus Zeilbergerův algoritmus 6

NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 63 idetitu) terá může ásledě být využita vyřešeí obtížější úlohy To ovšem ezameá že by aším záměrem bylo pooušet se rozvíjet a vymezovat oceptuálí zalost v otextu sumace ýbrž ombiovat procedury lidsé s těmi počítačovými Samozřejmě lidsé metody sumace mají svá omezeí ovšem e atoli rozsáhlá jao mají metody počítačové algebry Kdyoliv má algebraicý software provést ějaou sumaci či itegraci podstatou jeho čiosti je převedeí problému (sumace či itegrace) a problém polyomů s imiž ásledě pracuje Lze potom a jeho práci ahlížet jao a užití hrubé síly protože polyomy mohou být vysoých stupňů emusí mít v daou chvíli určey všechy oeficiety apod Z těchto důvodů je pro člověa užití sumačího algoritmu epraticé (či ědy dooce emožé) vůli vysoé výpočetí áročosti Přesto se sumačími algoritmy zde zabývat budeme ovšem pro urychleí dílčích výpočtů použijeme algebraicý software jao algebraicou alulaču s jejíž pomocí apř vyřešíme soustavu rovic porováme oeficiety dvou polyomů upravíme výraz apod V tomto čláu se zaměříme především a sumy jejichž sumady obsahují ombiačí čísla orétě a sumu a sumu NĚKTERÉ ŠKOLSKÉ ZPŮSOBY STANOVENÍ HODNOTY KONEČNÉHO SOUČTU S biomicou větou se sezamují již studeti a středí šole připomeňme ji Věta Biomicá věta [4] str 66 Pro všecha omplexí čísla a aždé přirozeé číslo platí a b ( a b ) Důaz se provede matematicou iducí viz apř [3] str 59 Pomocí této věty a volby a b obdržíme idetitu Pozameejme že sížeím idexu o číslo zísáváme další idetitu Tu využijeme při řešeí ásledující úlohy Úloha Staovme hodotu součtu! ( )! Nejprve upravme sumad pišme Tedy musí ( )!! ( )!( )! platit rovost Dále pišme: a b Stojí za povšimutí že ovšem hodota tohoto součtu je ám již zámá užitím biomicé věty jsme zjistili že je rova Shrňme že platí

64 DANIEL TYR Hodotu hledaého součtu jsme staovili užitím aparátu středošolsé matematiy což ale ještě ezameá že sumace zahrující ombiačí čísla je vždy jedoduše proveditelá Již je a této poměrě sadé úloze je vidět že řešitel musel provést jistou sytézu ěolia dílčích pozatů včetě výpočtů (srovejme se sumačími algoritmy při jejich použití stačí počítat přesě dle staoveého postupu viz ap či ap 3) Existuje i řada dalších (a poěud složitějších) sumačích techi zájemce odazujeme a [] a [3] Navíc je uto podotout že zhruba od devadesátých let miulého století máme dispozici ještě jedu (počítačovou) sumačí techiu Zeilbergerův algoritmus Jím se budeme zabývat ve třetí apitole Vraťme se ještě součtu Uážeme ja staovit jeho hodotu techiou využívající derivováí podle [3] str 59 Nejprve vša připomeňme že dle biomicé věty platí a b ( a b ) Tetorát položme de x budeme považovat za proměou V tom případě vztah zísává podobu (4) Obě stray rovice Poud yí zvolíme a b x (5) x x ( x ) yí zderivujeme podle proměé dostáváme potom podle (6) obdržíme x ( x) Jeliož zřejmě platí můžeme yí psát Tímto je úloha vyřešea použitý postup byl rátý a elegatí Položme si otázu: Co dybychom obě stray rovice místo derivováí itegrovali? Odpověď: Obdržíme jiou (další) (5) ombiatoricou idetitu Uažme výpočet eboť itegraci použijeme v úloze 8 Podle (5) pišme x dx ( x ) dx po itegraci dostáváme x ( x) C Určíme ostatu C vhodou volbou Poud položíme vztah zísá podobu x x x C odtud C / ( ) Poud yí taové C dosadíme do (7) a ásledě zvolíme x zísáváme ombiatoricou idetitu Podejme ráté shrutí: Sumačí techia využívající derivováí resp itegrováí se může jevit elegatí jedoduše použitelá a avíc třeba i zábavá eboť jde o experimetováí se (7) (3) (4) (5) (6) (7)

NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 65 vzorcem uvedeém v biomicé větě což by zvídavějšího studeta učitelství matematiy mohlo zaujmout Pozameejme že tato techia je sice silě spjata s pojmem fučí (speciálě mociá) řada přesto je možé techiu využívat bez obezámeí studeta s tímto pojmem eboť zde postačí umět derivovat resp itegrovat daý výraz Ke zvládutí této techiy již samozřejmě estačí aparát středošolsé matematiy (pomieme-li ěterá gymázia a terých se ještě vyučují zálady matematicé aalýzy) Pojďme yí předložit jedu záludější úlohu a ásledě uázat ja počítač může pomoci při jejím vyřešeí Úloha 8 Staovme hodotu součtu Podle biomicé věty víme že platí a b ( a b ) Pozameejme že sumad obsahuje ombiačí číslo ombiačí číslo Můžeme rozmýšlet apř tato: zatímco v zadáí úlohy se objevuje Možá že místo biomicé věty což je v podstatě tvrzeí o jedom oečém součtu by pomohla ějaá jiá věta o jemu podobém součtu Ja si ale pomoci? Neašla by se ějaá aalogie biomicé věty? Co dybychom zali hodotu součtu a b? V deší době eí již převapující že počítačová techia zvláde odpovědět a posledí uvedeou otázu Použijeme olie alulátor WolframAlpha zadáme Sum[Biomial[]*a^(-)*b^(){}] Za malou chvíli obdržíme výslede viz ásledující obráze: OBRÁZEK Výpočet hodoty oečého součtu alulátorem WolframAlpha Pomocí počítače jsme tedy obdrželi idetitu a b ( a b) ( a b) Obdobě jao v úloze položme a b x de budeme považovat za proměou V tom případě dostáváme Na staoveí idetity již alezl počítač má velý podíl Zeilbergerovův algoritmus Přesěji řečeo teto algoritmus aleze reuretí vyjádřeí poslouposti f ( ) a b Následě vzorec pro tý čle poslouposti f ( ) tj pravou strau rovice a obrázu výše je možé alézt Petovšeovým algoritmem zájemce o jeho studium odazujeme a [4] x (9)

66 DANIEL TYR ( ) ( ) x x x Obě stray rovosti zusme itegrovat Pišme ( ) ( ) x dx x x dx po itegraci obdržíme () x ( x) ( x) C () Určíme ostatu C vhodou volbou Položíme-li dostaeme C odtud Dosazeím této ostaty do () obdržíme C Zvolíme-li yí x x x x ( x) ( x) a dosadíme jej do rovosti vychází () () GOSPERŮV ALGORITMUS Ralph William Gosper jr vytvořil v roce 978 algoritmus určeí poslouposti částečých součtů číselé řady terý představil prostředictvím čláu Decisio procedure for idefiite hypergeometric summatio [5] V této práci uvádí (a doazuje) ásledující větu: Věta Každou eulovou racioálí fuci u v lze zapsat ve tvaru jsou polyomy splňující podmíu j u p q de v p r gcd q r pro všecha ezáporá celá Tato věta představuje jedo z líčových tvrzeí o polyomech se terými Gosperův algoritmus pracuje Pozameejme že podle [7] [6] ebo též dle [] trojici polyomů q r azýváme regulárí reprezetace podílu u / v splňují-li polyomy q r výše uvedeou podmíu Od rou 978 byl Gosperův algoritmus ěolia odboríy eje studová ale taé byl jejich vlastími postupy odvozová (a dooce i zobecňová) Moho matematiů zabývajících se tímto algoritmem používá odlišou symboliu ež použil R W Gosper ve svém čláu Výše uvedeou větu uveďme pomocí té symboliy terou poládejme za ejpoužívaější Věta Nechť K je omutativí těleso s ulovou charateristiou Každou eulovou racioálí a( ) c( ) fuci r ( ) lze zapsat ve tvaru r ( ) de a( ) b( ) c( ) jsou polyomy ad b( ) c( ) tělesem K splňující podmíu a b h gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá h p p q j r Zrata gcd zameá greatest commo divisor (ejvětší společý dělitel)

Forma zápisu racioálí fuce NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 67 r ( ) uvedeá v této větě se azývá Gosperova reprezetace racioálí fuce Dále je potřeba zmíit že utým (ioli vša postačujícím) předpoladem úspěšé práce Gosperova algoritmu je požadave aby sumadem byla tzv hypergeometricá posloupost Vyslovme příslušou defiici Defiice 3 Posloupost t r ( ) se azývá hypergeometricá právě dyž pro všecha ezáporá celá lze podíl dvou ásledujících čleů poslouposti t t vyjádřit ve tvaru t u ( ) t v( ) de jsou polyomy [6] Pozameejme že z defiice vyplývá jeda sutečost posloupost u( ) v( ) hypergeometricá právě dyž podíl je racioálí fucí proměé Jedím z úolů algoritmu je otestovat zda uživatelem zadaá posloupost (sumad) splňuje defiici 3 a v ladém případě zapsat podíl ve tvaru terý vyžaduje věta Pojďme yí stručě vysvětlit práci Gosperova algoritmu dle [] Algoritmus hledá řešeí rovice t / t t / t t z z de je předem zadaá hypergeometricá posloupost Poud je avíc posloupost hypergeometricá algoritmus staoví vzorec pro její tý čle V tom případě je ale již velmi t sadé určit hodotu součtu t Nyí totiž můžeme psát: t ( z z ) z z z z z3 z z z z z z z Jiými slovy záme-li proložíme orétí úlohou Úloha 4 Ozačme t z ic již ebráí v určeí hodoty součtu Staovme hodotu součtu ( 4)( 5) t a vypočteme podíl ( 4)( 5) t racioálí fuce tudíž polyomy a( ) b( ) c( ) taové že platí t 4 t t je z Další výlad Ihed je vidět že teto podíl je 6 je hypergeometricá Dále podle věty algoritmus žádá zavést t a( ) c( ) t b( ) c( ) de a b h gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá h V aší úloze eí těžé Gosperovu reprezetaci uhodout položíme-li a( ) 4 b( ) 6 a ( ) gcd 4 6 h) pro c sutečě platí aždé ezáporé celé Samozřejmě polyomy a( ) b( ) c( ) lze určit algoritmicy viz [] str 8 Z odvozeí Gosperova algoritmu (zájemce jej aleze v [] ap 5) vyplývají ještě dvě sutečosti: I hypergeometricé řešeí z rovice z z t je ve tvaru b( ) x( ) z t de c ( ) h II x ( ) je polyom splňující podmíu a( ) x( ) b( ) x( ) c( )

68 DANIEL TYR Abychom určili posloupost x ( ) z musíme tedy ejprve staovit polyom x ( ) To provádíme ve dvou rocích pomocým algoritmem Step 3 (viz [] str 86) vypočítáme jeho stupeň d d poté polyom zapsaý v obecém tvaru x( ) c c cd dosadíme do rovice a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) a porováím oeficietů přísl moci alezeme jeho oeficiety c i tedy polyom Přispějme si ápovědou že v aší úloze algoritmus Step 3 dává výslede d x ( ) je ultého stupě Proto položme x( ) c de c Dosazeím polyomů x( ) a( ) b( ) c( ) do rovice a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) dostaeme ( 4) c ( 5) c po rozásobeí obdržíme posloupost z pišme: Odtud sado vypočteme z c b ( ) x ( ) ( 5)( ) t c( ) ( 4)( 5) ( 4) z / 4 a aoec dostáváme: t z z ( 4)( 5) 4 4 4( 4) Nyí již můžeme určit Shrňme že algoritmus zvládl vešerou svou práci terou bylo potřeba vyoat Říáme že tato suma t je gosperovsy sčitatelá [6] Poud algoritmus svou práci ezvláde řeeme že daá suma je gosperovsy esčitatelá [6] Příladem taové sumy je pomocý algoritmus hledající stupeň polyomu x ( ) dává výslede ( ) Zde což je epřípusté eboť stupeň polyomu emůže být záporý V matematice je moho gosperovsy esčitatelých sum mezi ě patří zejméa ty jejichž sumady obsahují ombiačí čísla Naštěstí matemati Doro Zeilberger sestrojil algoritmus terý si poradí eje s aždou gosperovsy sčitatelou řadou ale dooce i s moha gosperovsy esčitatelými řadami Gosperův algoritmus byl v roce 3 prezetová Haou Mahelovou v její disertačí práci Klasicé a počítačové sčítáí číselých řad v íž autora podrobě algoritmus popsala a uvedla moho řešeých příladů jeho použití zájemce odazujeme a [] 3 ZEILBERGERŮV ALGORITMUS Teto algoritmus jehož autorem je zámý matemati Doro Zeilberger byl představe a začátu devadesátých let dvacátého století prostředictvím čláů The Metheod of Creative Telescopig [] a A fast algorithm for provig termiatig hypergeometric idetities [] Zeilbergerův algoritmus a rozdíl od Gosperova estaoví hodotu hledaého součtu ale pouze jeho reuretí vyjádřeí To je výsledem jeho práce dle [] Např suma (tou jsme se již zabývali v apitole tohoto čláu) má reuretí vyjádřeí ve tvaru ( ) Poud yí položíme f ( ) reuretí vyjádřeí můžeme zapsat v přehledějším tvaru f ( ) ( ) f ( ) de f ( ) je posloupost V aší úloze eí těžé alézt

vzorec pro tý čle poslouposti NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 69 f ( ) že sumad obvyle začíme F ( ) v ašem případě sumy výpočet provedeme v dalším textu Pozameejme bychom zapsali F ( ) Ještě ež uvedeme líčovou defiici a větu pojďme uázat odvozeí jedoho užitečého vztahu Mějme ějaý sumad a předpoládejme že splňuje rovost de FG Ozačme obou stra rovosti F ( ) a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) G( ) G( ) jsou disrétí fuce proměých f ( ) F( ) tudíž je (3) od do a a( ) a( ) jsou polyomy eurčité (3) f ( ) F( ) Předpoládejme že sumace je proveditelá Můžeme tedy psát a( ) F( ) a( ) F( ) G( ) G( ) Nyí staovíme hodotu pravé stray rovosti G( ) G( ) (3) počítejme: G( ) G( ) G( 3) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) G( ) Díy provedeí tohoto výpočtu a volbě tvaru Jaá je hodota sumy f ( ) F( ) můžeme yí vztah (3) a( ) f ( ) a( ) F( ) G( ) G( ) F( ) vysytující se a levé straě rovosti (33) (3) zapsat ve (33)? Odpověď je převapivě jedoduchá výpočtu použijeme počtářsý tri vypůjčit si a vrátit Pišme: F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F( ) F ( ) F ( ) f ( ) F ( ) Rovost (33) je tedy možé zapsat ve tvaru a ( ) f ( ) a ( ) f ( ) F( ) G( ) G( ) po drobé úpravě obdržíme a ( ) f ( ) a ( ) f ( ) G( ) G( ) a ( ) F ( ) (34) Vztah představuje reuretí vyjádřeí pro sumu Pozameejme že stejou ideu odvozeí lze použít v situaci v íž středem ašeho zájmu je (34) f ( ) suma F( ) a předpolad že její sumad F ( ) splňuje rovost a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) a ( ) F( J ) G( ) G( ) pro fixí ezáporé celé číslo J Výsledý vztah po sumaci této rovosti od do aleze zájemce v [8] str 3 Nyí pojďme představit jedu třídu disrétích fucí J

7 DANIEL TYR Defiice 3 Ryze hypergeometricá fuce [] str 64 Disrétí fuce se azývá ryze hypergeometricá (proper hypergeometric term) jestliže může být vyjádřea ve tvaru de P je polyom F ( ) x M ( ai bi ci )! F ( ) P( ) x je omplexí číslo i M i ( u v w )! ai bi ui vi i i i jsou specificá celá čísla tj čísla terá ejsou závislá a ; ai a dalších dodatečých parametrech M M jsou ezáporá specificá celá čísla Čláe [9] avíc dodává že ci w i jsou omplexí čísla Pozameejme že v ěterých publiacích apř v [8] str ebo [9] str 59 je defiováa ryze hypergeometricá fuce pomocí gamma fuce Tou se v tomto čláu zabývat ebudeme a adále se omezíme a situace ve terých jsou celá čísla Přílad 3 Podejme ěoli uáze Napřílad fuce hypergeometricá eboť ji lze zapsat ve tvaru F ( ) c w x i i 5 4 F( ) 6 i i i i ( ui vi wi )! i je ryze ( a b c )! (5 4)! ( a b c )! 6 6 (5 3)!( )! ( u v w )!( u v w )! de P( ) x 6 M M a 5 b 4 c u 5 v w 3 u v w Taé fuce fuce a je ryze hypergeometricá eboť ji lze zapsat ve tvaru eí ryze hypergeometricá poud a ( )!!! je parametr Ai fuce Ovšem pozor eí ryze hypergeometricá eboť ji elze zapsat ve tvaru vyžadovaém defiicí 3 Dalším důležitým pojmem je ulová hodota ryze hypergeometricé fuce Defiice 33 Nulová hodota ryze hypergeometricé fuce (zformulováo dle [] str 64) Řeeme že disrétí fuce F ( ) splňující defiici 3 abývá ulové hodoty v bodě ( ) jestliže žádé z čísel a i bi ci i z čísel u i vi wi i M M eí záporé celé a avíc platí: Aspoň jedo je záporé celé ebo P( ) Přílad 34 Položme F ( ) Podle defiice 3 je tato fuce ryze! ( a b c )! hypergeometricá eboť platí F( ) ( )!( )! ( u v w )!( u v w )! de a u v b c w v w Podle defiice 3 apř dostáváme: F (3 7) eboť číslo 37 4 tj číslo u v w je záporé celé

F (6 5) NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 7 eboť číslo 6 ( 5) 6 tj číslo u v w je záporé celé Nyí zformulujeme líčovou větu Zeilbergerova algoritmu Věta 35 O telesopicém reuretím vyjádřeí pro daou sumu [] str 5 Nechť F ( ) je ryze hypergeometricá Potom existuje etriviálí reuretí vyjádřeí pro sumu f ( ) F( ) ve tvaru J a j ( ) F( j ) G( ) G( ) j (35) de G( ) / F ( ) je racioálí fuce proměých Důaz aleze zájemce v [] str 5 my se vša zaměříme a vysvětleí výzamu této věty Zeilbergerův algoritmus startuje svou práci volbou J Poud je pous alezeí předpisu pro fuci eúspěšý algoritmus svou práci očí a ásleduje volba G( ) J Poté algoritmus opět zouší alézt fuci G( ) splňující vztah (35) Poud se ai teď práce algoritmu evydaří tj při volbě eexistuje etriviálí reuretí vyjádřeí ve tvaru (35) ásleduje volba Tímto azačeým postupem vysvětlujeme jedu z předostí algoritmu poud jistá volba čísla eí ta správá (dostatečě vysoá) ještě to ezameá že algoritmus eí schope ajít reuretí vyjádřeí ve tvaru aopa jisté vyjádřeí řádu J J J J existuje a je etriviálí je-li sumad F ( ) (35) ryze hypergeometricá fuce ja sděluje věta 35 Taé stojí za povšimutí že volba J impliuje předpolad a ( ) F ( ) G( ) G( ) terý ápadě připomíá rovici t z z jejíž hypergeometricé řešeí hledá Gosperův algoritmus ja jsme již zmíili ve druhé apitole tohoto čláu Jiými slovy volba ve své podstatě představuje apliaci Gosperova algoritmu a sumad F ( ) zadaý uživatelem Bohužel moho sumadů teré obsahují ombiačí čísla emají etriviálí reuretí vyjádřeí při volbě tj příslušá suma je gosperovsy esčitatelá V tomto čláu jsme již ěolirát zmiňovali sumu f ( ) Připomeňme že i tato je gosperovsy esčitatelá tj Zeilbergerův algoritmus při volbě očí svou práci ozámeím No recurrece of order was foud Zvolíme-li ásledě J máme štěstí reuretí vyjádřeí sumy je alezeo Uažme tuto situaci v programu Maple : J f ( ) J J z OBRÁZEK Uáza reuretího vyjádřeí sumy f () v prostředí Maple Ja se ale algoritmus dopracoval uvedeému výsledu? Uážeme v ásledující úloze

7 DANIEL TYR Úloha 36 Nalezeme reuretí vyjádřeí sumy f ( ) Řešeí: Již víme viz Obráze že volba je edostačující proto položme a ozačme F ( ) Podle věty 35 volbou předpoládáme že sumad F ( ) má reuretí vyjádřeí ve tvaru a ( ) F ( ) a ( ) F ( ) G( ) G( ) de a( ) a( ) G( ) jsou polyomy a J G( ) J J je disrétí fuce Oba tyto polyomy i předpis fuce bude zapotřebí určit Položme t a( ) F ( ) a( ) F ( ) Nyí a apliujeme Gosperův algoritmus tj vypočítáme podíl vychází t / t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a t ( ) a ( ) ( ) a ( ) Hledáme Gosperovu reprezetaci výše uvedeého podílu ta má být ve tvaru t (36) t t P ( ) P( ) P ( ) P( ) 3 gcd ( ) ( ) pro všecha ezáporá celá čísla h Teorie říá viz [] str 8 de P P h 3 že polyomy a( ) a( ) jsou zahruty pouze v polyomu P ( ) P ( ) ( ) a ( ) ( ) a ( ) Sutečě tato volba polyomu Zusme tedy položit P ( ) je v pořádu eboť dle í zísáváme P( ) ( ) a( ) ( ) a( ) což je v souladu se vztahem (36) Tudíž dle aší volby P ( ) se dále abízí položit P ( ) a P ( ) 3 Musíme ovšem respetovat podmíu esoudělosti polyomů P( ) P3( h) V aší úloze máme štěstí je totiž zřejmé že při teréoli volbě čísla h 3 jsou polyomy P ( ) P ( h) esoudělé Výpočet pomocí softwaru 3 provést tato: Mathematica bychom mohli OBRÁZEK 3 Zavedeí výrazu t a sumadu F() výpočet podílu t + / t OBRÁZEK 4 Zavedeí polyomů P () P 3() a P() tj staoveí Gosperovy reprezetace

NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 73 Poračujme v užití Gosperova algoritmu Připomeňme že jedím z jeho úolů bylo staovit polyom splňující podmíu a( ) x( ) b( ) x( ) c( ) viz druhá apitola tohoto x ( ) čláu I tato podmía má svou aalogii Zeilbergerův algoritmus žádá alézt polyom splňující podmíu P ( ) x( ) P ( ) x( ) P( ) 3 x ( ) (37) Opět si přispějeme ápovědou že v aší úloze je polyom x ( ) ultého stupě položme proto x( ) c de c zapisovat zráceě obdržíme a a Pro lepší přehledost textu budeme polyomy Dosazeím polyomů ( ) ( ) 3( ) ( ) a( ) a( ) x P P P do rovice c c c a a a a a Porováím oeficietů u příslušých moci proměé rovic: : c a Z prví rovice soustavy ihed plye soustavy dostaeme c a c : c c a a a a a c Jeliož víme že Pojďme provést rátou reapitulaci volba x( ) a a ( ) P( ) ( )( ) ( ) adále zísáváme ásledující soustavu Dosazeím taového a a do druhé rovice (37) je polyom eurčité abízí se položit c dává: t af ( ) af ( ) ( ) Přidejme uázy výše provedeých výpočtů v prostředí Mathematica : OBRÁZEK 5 Nalezeí vztahů mezi polyomy a a c OBRÁZEK 6 Volba c = + zavedeí a a vyplývající z této volby

74 DANIEL TYR Opět se vraťme e Gosperovu algoritmu samotému v předchozí apitole tohoto čláu bylo ostatováo že: b( ) x( ) Hypergeometricé řešeí rovice je ve tvaru z t c ( ) Toto tvrzeí ve spojitosti se Zeilbergerovým algoritmem má svou aalogii ahlédeme že ryze hypergeometricé řešeí G( ) rovice G( ) G( ) t bude ve tvaru z z z t P ( ) ( ) 3 x G( ) t P ( ) Dosazeím P ( ) ( ) ( ) 3 x P t do vztahu (38) obdržíme ( ) G( ) ( ) ( ) po úpravách výrazu a pravé straě lze psát ( )! G( ) ( )!( )! Pozameejme že fuci G( ) je možé v prostředí Mathematica (38) (39) zavést ásledově: OBRÁZEK 7 Zjedodušeí vztahu (38) a ásledá delarace fuce G() Připomeňme že rovice (34) tj a f ( ) a f ( ) G( ) G( ) a F ( ) představuje reuretí vyjádřeí pro sumu pravé straě počítejme: f ( ) F( ) Určíme čley vysytující se a ( )! Podle (39) dostáváme G( ) ( ) ( )!( )! ( )! ( )! dále obdržíme G ( ) ( )!( )!!( )! ovšem tato hodota je ulová ve smyslu defiice 33 Můžeme tedy psát G ( ) Naoec dostáváme af ( ) ( ) ( ) Shrňme že pravá straa rovice (34) je ulová eboť platí G( ) G( ) a F ( ) ( ) ( ) Krátý výpočet pomocí softwaru Mathematica :

NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 75 Závěrem ještě do rovice OBRÁZEK 8 Kalulace pravé stray rovice (34) (34) ostatovat že reuretí vyjádřeí sumy f ( ) je ve tvaru dosadíme polyomy a ( ) a a můžeme ( ) f ( ) f ( ) (3) OBRÁZEK 9 Zobrazeí rovice (3) Tímto výsledem očí práce Zeilbergerova algoritmu Poud bychom chtěli ještě zát hodotu součtu zbývá rovici vyřešit V ašem případě to ale eí vůbec těžý f ( ) úol pojďme jej provést Z rovice (3) (3) vyplývají ásledující rovosti: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( 3) f (4) 4 f (3) 3 f (3) 3 f () f () f () Počet těchto vypsaých rovostí je Poud je mezi sebou vyásobíme obdržíme 4 3 f ( ) f ( ) f ( ) f (3) f () f ( ) f ( ) f () f () 3 po ráceí dostaeme f ( ) ( ) f () odtud f ( ) f () Zbývá určit počátečí podmíu f () Jeliož máme zavedeo f ( ) stačí položit a obdržíme f() Bude tedy platit f ( ) Závěrem ještě přidejme uázu výpočtu pomocí Mathematica :

76 DANIEL TYR OBRÁZEK Nalezeí řešeí f () rovice (3) ZÁVĚR Sumace v ichž figurují ombiačí čísla představují rozsáhlou problematiu patrě i v otextu vzděláváí V této souvislosti má středošolsá sumace velé omezeí eboť cetrem zájmu je zde pouze biomicá věta a ásledá volba čísel a b Ovšem budoucí učitel matematiy (vysoošolsý studet) může zísat začý adhled ad sumací eboť je vybave aparátem difereciálího a itegrálího počtu Domíváme se že poud avíc zapojíme do problematiy sumace s ombiačími čísly výpočetí techiu otevírají se budoucímu učiteli matematiy dvě ové cesty: ) Studet může hodotu oečého součtu staovit přímo užitím techiy uvedeé v ap 3 přičemž pro vysoou áročost dílčích výpočtů bude potřebovat umět ovládat algebraicý software terý využije jao algebraicou alulaču ) Studet může počítačem objevit potřebou ombiatoricou idetitu (viz úloha 8) a ásledě ji využít e staoveí hodoty oečého součtu techiou derivováí resp itegrováí LITERATURA [] PETKOVŠEK Maro Herbert S WILF a Doro ZEILBERGER A=B Wellesley Mass: A K Peters c996 ISBN 9785688638 [] HERMAN Jiří Jaromír ŠIMŠA a Rada KUČERA Metody řešeí matematicých úloh Praha: Státí pedagogicé aladatelství 99 ISBN 8---8 [3] LARSON Lore C Problem-solvig through problems New Yor: Spriger-Verlag c983 ISBN -387-983-X [4] CALDA Emil a Václav DUPAČ Matematia pro gymázia: ombiatoria pravděpodobost a statistia Praha: Jedota česých matematiů a fyziů 993 ISBN 8-75-444-6 [5] GOSPER R W Decisio procedure for idefiite hypergeometric summatio Proceedigs of the Natioal Academy of Scieces [olie] 978 75() 4-4 [cit 8--4] DOI: 73/pas754 ISSN 7-844 Dostupé z: < http://wwwpasorg/cgi/doi/73/pas754> [6] HORA Jaroslav O ěterých otázách souvisejících s využíváím programů počítačové algebry ve šole - III díl Plzeň: Pedagogicé cetrum Plzeň 74 s ISBN 8-7-9-8 [7] WINKLER Fraz Polyomial Algorithms i Computer Algebra Viea: Spriger Viea 996 ISBN 978-3-79-657-3 [8] BO NA Milós Hadboo of eumerative combiatorics Boca Rato: CRC Press/Taylor & Fracis Group 5 ISBN 978--48-85-8 [9] KOEPF Wolfram Hypergeometric Summatio A Algorithmic Approach to Summatio ad Special Fuctio Idetities Spriger Uiversitext Series 4 XII 53 pp ISBN 978--447-6463- [] MAHNELOVÁ Haa Klasicé a počítačové sčítáí číselých řad Plzeň 3 Disertačí práce (PhD) Západočesá uiverzita v Plzi Faulta pedagogicá Katedra výpočetí a didaticé techiy 3-9-3

NĚKTERÉ KONEČNÉ SOUČTY A ZPŮSOBY JEJICH STANOVENÍ 77 [] ZEILBERGER Doro The method of creative telescopig Joural of Symbolic Computatio [olie] 99 (3) 95-4 [cit 8--4] DOI: 6/S747-77(8)844- ISSN 74777 Dostupé z: <http://liighubelseviercom/retrieve/pii/s747778844> [] ZEILBERGER Doro A fast algorithm for provig termiatig hypergeometric idetities Discrete Mathematics [olie] 99 8() 7- [cit 8--4] DOI: 6/-365X(9)9-7 ISSN 365X Dostupé z: <http://liighubelseviercom/retrieve/pii/365x997> [3] WILF Herbert S a Doro ZEILBERGER Ratioal Fuctios Certify Combiatorial Idetities Joural of the America Mathematical Society [olie] 99 3() [cit 8--4] DOI: 37/99986 ISSN 894347 Dostupé z: <https://wwwjstororg/stable/99986?origi=crossref> [4] PETKOVŠEK Maro Hypergeometric solutios of liear recurreces with polyomial coefficiets Joural of Symbolic Computatio[olie] 99 4(-3) 43-64 [cit 8--3] DOI: 6/747-77(9)938-6 ISSN 74777 Dostupé z: <http://liighubelseviercom/retrieve/pii/7477799386> [5] VONDROVÁ Naďa a Miroslav RENDL Kriticá místa matematiy záladí šoly v řešeích žáů V Praze: Uiverzita Karlova aladatelství Karolium 5 ISBN 9788463346 KATEDRA MATEMATIKY PEDAGOGICKÁ FAKULTA JIHOČESKÉ UNIVERZITY ČESKÁ REPUBLIKA E-mail address : da58@cetrumcz