Hodnost matice
Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči oběma operacím (tj. výsledky obou operací jsou prvky množiny V n ). b) Pro libovolné prvky množiny V n a definované operace platí zákony komutativnosti a distributivnosti c) V n obsahuje tzv. nulový prvek o, přičemž pro libovolný prvek u V n platí u + o = u. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u) Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů, kde rozlišujeme pořadí a vektory se mohou opakovat. S: v 1, v 2,, v k Prázdný soubor O soubor, který neobsahuje žádný vektor
Lineární kombinace vektorů Ve vektorovém prostoru V n je dán soubor vektorů S: v 1, v 2,, v k a reálná čísla c 1, c 2,, c k. Vektor v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k nazveme lineární kombinací souboru S (vektorů v 1, v 2,, v k ) s koeficienty c 1, c 2,, c k. Jsou-li všechny koeficienty rovny nule, nazýváme lineární kombinaci triviální dostaneme nulový vektor. Je-li alespoň jeden koeficient nenulový, nazýváme lineární kombinaci netriviální.
Příklad Máme vektory v 1 = (1, 1,2,0), v 2 = (4,2,0, 2), v 3 = (0,3,2,1). Ukázka triviální lineární kombinace je: 0 (1, 1,2,0) + 0 (4,2,0, 2) + 0 (0,3,2,1) = (0,0,0,0) = o Ukázka netriviální lineární kombinace vektorů je: 2 1, 1,2,0 + 0 4,2,0, 2 + 1 0,3,2,1 = (2, 2,4,0) + (0,0,0,0) + (0, 3, 2, 1) = (2, 5,2, 1) = v Vektor v = (2, 5,2, 1) vznikl netriviální lineární kombinací vektorů v 1 = (1, 1,2,0), v 2 = (4,2,0, 2), v 3 = (0,3,2,1) s koeficienty 2, 0 a -1
Lineární obal souboru Lineární obal souboru S je množina všech možných lineárních kombinací. Značíme S. Př: Máme soubor S: v 1 = (1,0), v 2 = 0,1. Budeme-li vytvářet všechny možné lineární kombinace, dostaneme celou rovinu S = R 2
Závislost souboru Soubor S nazýváme nezávislým, jestliže nulový vektor lze získat pouze triviální lineární kombinací. V nezávislém souboru není žádný vektor kombinací ostatních. Soubor S nazýváme závislým, jestliže nulový vektor lze získat nějakou netriviální lineární kombinací. V závislém souboru je některý vektor kombinací ostatních.
Hodnost souboru Hodností souboru S nazýváme velikost maximálního nezávislého podsouboru, který lze ze souboru vybrat a značíme ji h(s). Jestliže je soubor S složen z k vektorů, pak 0 h(s) k. Hodností matice A nazýváme hodnost souboru všech jejích řádkových vektorů. Vektor v patří do lineárního obalu souboru S (je lineárně závislý), právě když nezvyšuje jeho hodnost. Hodnost matice se zjišťuje její úpravou do Gaussova tvaru.
Gaussův tvar Matice má Gaussův tvar, jestliže: Neobsahuje nulový řádek Každý další řádek má více levých nul Je-li matice A v Gaussově tvaru, pak h(a) je rovna počtu jejích řádků. Každou nenulovou matici lze ekvivalentními úpravami převést na Gaussův tvar. Platí: h A = h A T
Příklad Rozhodněte, jestli jsou následující matice v Gaussově tvaru: A = 4 5 1 0 0 0 B = 4 5 1 0 3 2 C = 0 5 1 0 3 2 D = 0 5 1 0 0 2
Příklad Rozhodněte, jestli jsou následující matice v Gaussově tvaru: A = 4 5 1 0 0 0 B = 4 5 1 0 3 2 C = 0 5 1 0 3 2 D = 0 5 1 0 0 2 Matice A není v Gaussově tvaru obsahuje nulový řádek Matice B je v Gaussově tvaru první řádek nemá levou nulu, druhý řádek má jednu levou nulu Matice C není v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek také Matice D je v Gaussově tvaru první řádek má jednu levou nulu, druhý řádek má dvě levé nuly
Ekvivalentní úpravy matice Mezi ekvivalentní úpravy patří následující: Můžeme změnit pořadí řádků, násobit řádek libovolným nenulovým číslem (tedy i dělit), přičíst/odečíst k libovolnému řádku lineární kombinaci ostatních řádků, vyškrtnout nulový řádek Ekvivalentní úpravy nemění hodnost souboru (matice). Vzniklý soubor je ekvivalentní s původním, zapisujeme: A~B
Strategie pro úpravu nenulové matice na Gaussův tvar 1. Najdeme první nenulový sloupec a výměnou řádků dosáhneme toho, aby a 1j = 1 (klíčová jednička). 2. Pomocí ekvivalentních úprav dosáhneme toho, aby všechny prvky pod klíčovou jedničkou se změnily na nuly. 3. Odstraníme nulové řádky. 4. Kroky 1.- 3. aplikujeme opakovaně na zbytek matice.
Příklad A = 2 1 1 4 1 0 1 2 1 3 2 0 4 0 2 7 ~ 1 0 1 2 2 1 1 4 1 3 2 0 4 0 2 7 / (-2) ~ + + / (-2) + ~ 1 0 1 2 0 1 3 0 0 3 3 2 0 0 6 1 ~ / (-3) + 1 0 1 2 0 1 3 0 0 0 12 2 0 0 6 1 ~ / 2 + ~ 1 0 1 2 0 1 3 0 0 0 12 2 0 0 0 0 h A = 3