Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím pojmem ombiatoriy je pojem SKUPINA o - prvcích. Z těchto - prvů můžeme vytvářet : - variace - permutace - ombiace V uvedeých vzorcích se vysytují čísla a tato čísla musí být z oboru čísel přirozeých. Variace -té třídy z -prvů Je to aždá uspořádaá -tice sestaveá pouze z těchto prvů ta, že aždý je v í obsaže ejvýše jedou. V ().(-).(-)...(-) Jiý vzorec: V ( ) ( ) Určete počet všech trojciferých přirozeých čísel, v jejichž deadicém zápisu jsou aždé dvě číslice růzé a jsou sestavea pouze z číslic,,,,. Jedá se o variace z pěti prvů třetí třídy. V ().. 6 Těchto čísel je možo sestavit 6. Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž deadicém zápisu jsou aždé dvě číslice růzé. Jedá se o variace z deseti prvů čtvrté třídy. Musíme vša vyřadit všecha čísla začíající ulou. Těch je V (). V () - V (). 9. 8. 7 -. 9. 8. 9. 8. ( 7 ). 9. 8. 6 Variace -té třídy z -prvů s opaováím Je to aždá uspořádaá -tice sestaveá pouze z těchto prvů. Prvy se mohou i opaovat. V () Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel. (v jejich deadicém zápisu se číslice mohou opaovat) V () V () 9 Koli šestimístých telefoích čísel je možo sestavit, má-li mít telefoí číslo a počátu číslici 7?
Čísla budou mít teto tvar: 7** *** Telefoích čísel tedy bude V (). a těchto místech budeme střídat libovolé číslice ( 9), tyto číslice se mohou opaovat V Tramtárii mají S PZ u auta tvořeu uspořádaou sedmicí,, jejíž prví tři čley jsou písmea a další číslice. K dispozici mají 8 písme a číslic. Koli SPZ mají dispozici? Písmea tvoří uspořádaé trojice, mohou se opaovat: V (8) 8 Čísla tvoří uspořádaé čtveřice, mohou se též opaovat: V () Celem: 8. 9 Permutace z -prvů je to aždá variace -té třídy z těchto -prvů P().(-).(-)... Na poliču chceme postavit do řady vedle sebe ih. Kolia způsoby je můžeme seřadit? P() 76768 Kombiace -té třídy z -prvů je to aždá -prvová podmožia možiy určeé těmito prvy C () ( ) - ombiačí číslo ( čteme ad ) Volejbalového utáí se zúčastí 8 družstev. Určete, oli utáí bude sehráo, jestliže hraje aždý s aždým. Z 8 družstev vytváříme dvojice, teré spolu hrají: 8 C (8) 8 ( 8 ) 8 6 8 7 6 6 7 8 Ve třídě je žáů, z ichž je třeba vybrat trojici a literárí soutěž. Kolia způsoby je možo tuto trojici vybrat? Jedá se o ombiaci z prvů. třídy, tedy C () ( ). 7 9 8 7 6 7 9 8 6
Pro ombiačí čísla platí: Upravte výraz ( ) Úpravy výrazů s fatoriály a ombiačími čísly ( ) ( ) V daých zlomcích rozložíme vždy větší čle - čitatel ebo jmeovatel a rátíme: ( ) ( ). Cvičeí:. Upravte výraz:. Upravte výraz: ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ] [ ( ). Upravte výraz: ( ) ( ) [ ]. Upravte výraz:. Upravte výraz: 6. Upravte výraz: 9 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ [ ] [ ] ( ) ] Rovice s ombiačími čísly Řešte rovici: x x x x 6
Levou strau rovice musíme ejprve upravit ta, abychom odstraili ombiačí čísla: ( x ) ( x ) ( x x ). ( x ) ( x ) ( x ) ( x ). ( x ) ( x ) ( x x ) 6. ( x ) ( x ) ( x ) ( x ). ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) 6 x x 6 x 7x x x /: x 6x 7 ( x ).( x ) 7 Tato rovice by měla dva ořey x 7 ; x -. Protože se jedá o rovici s ombiačími čísly, musíme řešeí doplit o podmíy. Musí platit: Aby mělo ombiačí číslo smysl, musí být: ; > ; > a i musí být přirozeá čísla. Podmíy: x - >... x > x - >... x > x - >... x > x - >... x > Rozhodující je podmía x > a té evyhovuje druhý oře. Rovice má pouze jedo řešeí x 7. Cvičeí x x 7. Řešte rovici : [ ] 8. Řešte rovici : 88 [ 6 ] x x 9. Řešte rovici: x x /. x [ řeš. jsou všecha x ]. Řešte rovici : 6 [ ]. Řešte rovici : [ ]
. Řešte rovici :. Řešte rovici : 8 ( ) ( ).. Řešte rovici:. Řešte rovici: 8 [ 7 ] [ ] [ 7 ] [ ] Kombiatoricé pravidlo součiu Nejlépe je vidět a úlohách typu: Ve třídě je díve a 6 chlapců. Na sportoví utáí máme postavit družstvo, v ěmž jsou dívy a chlapec. Koli je možostí? Z díve tvoříme C (). Ke aždé z těchto možostí přidáme chlapce tedy dalších 6 možostí počet všech možostí se zvětší 6 rát... Počet řešeí je tedy 6 6 6 6...6 676... Platí: Počet všech uspořádaých, jejichž prví čle lze vybrat způsoby, druhý čle způsoby atd až tý čle způsoby, je rove.... V ašem příladě jsme tedy tvořili pouze uspořádaé dvojice, de a prvím místě byla supia díve a a druhém místě supia chlapců. Ve třídě je díve a 6 chlapců. Na sportoví utáí máme postavit družstvo, v ěmž jsou dívy a chlapci. Koli je možostí? Dívy: Chlapci: C () 6 C (6)
6 6... 6.. Dohromady:... 99.... Z písme ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVZ máme vytvořit SPZ, v íž jsou obsažea tři písmea a čtyřmísté číslo. Koli je možostí? (uspořádáí písme eí vázáo žádými obecími pravidly ) Písme je, číslic. Záleží a uspořádáí a číslice i písmea se mohou opaovat. jedá se o variace s opaováím. 68 Smíšeé úlohy: Určete olia způsoby lze sestavit rozvrh hodi a jede de pro třídu, má-li být teto de a rozvrhu 6 hodi ( aždá jiá)a ve třídě se učí předmětů. Bereme v úvahu pořadí předmětů. (předmětů) jedá se o variace 6. třídy z jedeácti prvů V 6 ().. 9. 8. 7. 6 66 - z těchto předmětů tvoříme uspořádaé šestice V oddíle je vojáů. Kolia způsoby z ich lze vytvořit dvojčleou hlídu? jedá se o ombiace.třídy ze dvaácti prvů C () 6 66..... - z těchto dvaácti prvů tvoříme dvouprvové podmožiy Koli existuje trojciferých přirozeých čísel, jež lze zapsat pouze užitím cifer,,6,8? V trojciferém čísle se cifry mohou libovolě opaovat, jedá se o variace třetí třídy ze čtyř prvů s opaováím: V () 6 Koli existuje růzých šesticiferých přirozeých čísel, jež lze sestavit z cifer,,,..., 9? Z těchto cifer by se dalo sestavit V 6 () 6 čísel. Čísla, terá mají a začátu ulu vša emají smysl. Taových čísel je V (). Výslede je 6-9 čísel. Určete, olia způsoby se může v šestimísté lavici posadit 6 žáů, jestliže dva chtějí sedět vedle sebe. 6
Tyto dva žáy vímáme jao jedoho a jejich místo taé jao jedo. Pouze rozlišujeme dva stavy, dy jede sedí vlevo a druhý vpravo a aopa: Jedá se o permutace:. P(). Určete, olia způsoby se může v šestimísté lavici posadit 6 žáů, jestliže dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět a raji. Tyto dva žáy opět vímáme jao jedoho a třetího žáa posadíme jedou a levý raj a podruhé a pravý raj:.. P(). 96 Kufří má dva heslové otouče. Jede a levé straě, a ěmž je třeba uhodout trojčíslí, jede a pravé straě, a ěmž je třeba uhodout čtyřčíslí. Koli je možostí jeho otevřeí? 7 ( ) V ( ). V Záazí se v obchodě rozhoduje ad oupí ufříu. Mají a výběr ze dvou usů za stejou ceu. Jede je jiště dvěma třímístými číselými ódovými zámy po straách, druhý jedím pětimístým ódovým zámem s písmey ABCDEFGHIJKLMNO. Který si má vybrat? V V. 6 Číselý ufří: ( ) ( ) Kufří s písmey: V ( ) 797 Je výhodější vybrat ufří s čísly. Cvičeí: 6. Kolia přímami můžeme spojit bodů, z ichž žádé tři eleží v jedé přímce? [C () 66 ] 7. Kolia způsoby může být odměěo.,.,. ceou účastíů soutěže? [V () 7 ] 8. Zvětšíme-li počet prvů o jede, zvětší se počet variací druhé třídy o 8. Určete původí počet prvů. 9. Z olia prvů lze vytvořit variací druhé třídy?. Určete počet prvů, je-li počet ombiací druhé třídy bez opaováí 9. [ 9 ] [ ] [ ]. Koli trojmístých čísel začíajících číslem 9 pro předvolbu v automaticém telefoím provozu je možo utvořit? [ V () ]. Koli je možých tipů ve Sportce, volíme-li jao jedo ze šesti čísel a aždém tietu číslo 7? [ C (8),7 ] 7
. Vypočtěte:. Vypočtěte: [ ] 6 7 8 9 6 6 6 6 6 [ ]. Řešte rovici: ( x ). ( x - ) [ ] 6. Kolia způsoby můžeme z pěti barev vybrat tři? 7. Koli áhrdelíů lze sestavit z deseti růzých orálů? [ C () ] 8. V ole tačí 7 díve, olia růzými způsoby mohou být seřazey v ruhu? [ 6 ] 9. Fotbalového utáí se zúčastí 8 družstev. Koli zápasů bude sehráo, jestliže se družstva rozlosují do dvou čtyřčleých supi a v aždé supiě bude hrát aždý s aždým, o prví místo se utají vítězové supi a o třetí místo druzí s obou supi? [ ]. Určete počet způsobů, terými se do pětimísté lavice může rozesadit žáů, jestliže dva chtějí sedět vedle sebe. [. ]. Určete počet způsobů, terými se do pětimísté lavice může rozesadit žáů, jestliže jede chce sedět a raji. [. ]. Určete počet způsobů, terými může osob obsadit pět růzých fucí. [ 78 ]. Určete, oli zače Morseovy abecedy lze utvořit sestaveím teče a čáre do supi o jedom až prvcích. [ ]. Kufří má heslový záme, terý se otevře, dyž a aždém z pěti otoučů astavíme správou číslici, těchto číslic je a aždém otouči 9. Určete ejvětší možý počet pousů, teré je uto provést, chceme-li ufří otevřít, jestliže jsme zapoměli číslo. [ 9 9 ]. Odvoďte vztah pro počet úhlopříče v - úhelíu. [ ( ). 6. Koli příme je určeo šesti body, jestliže žádé tři z ich eleží v jedé přímce? [ ] 7. Koli příme je určeo šesti body, jestliže tři z ich leží v jedé přímce? [ ] 8. Koli růzých pěticiferých čísel lze sestavit z číslic,,? [ 6 ] 9. Určete, olia způsoby lze ze sedmi mužů a že vybrat šestičleou supiu, v íž jsou právě dvě žey. [ ]. Určete, olia způsoby lze ze sedmi mužů a že vybrat šestičleou supiu, v íž jsou právě dvě žey. [ ]. Určete, olia způsoby lze ze sedmi mužů a že vybrat šestičleou supiu, v íž jsou právě dvě žey. [ ]. Určete, olia způsoby lze ze sedmi mužů a že vybrat šestičleou supiu, v íž jsou právě dvě žey. [ ]. Určete, olia způsoby lze ze sedmi mužů a že vybrat šestičleou supiu, v íž jsou alespoň dvě žey. [ 7 ] ] 8
. Určete počet všech přirozeých čísel meších ež, v jejichž deadicém zápisu jsou pouze cifry,,7,9, aždá ejvýše jedou. [ ] Pascalův trojúhelí Biomicé oeficiety lze přehledě uspořádat do Pascalova trojúhelíu je - tý prve v řádu 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 6 7 6 8 8 9 * * * * * * * * * * * * * * * * * ************************************************************************** Pascalův trojúhelí je symetricý - obecě : - tý prve v (r) řádu je součtem (-)-tého a -tého prvu v r-tém řádu Toto tvrzeí lze zapsat vztahem: Např. V řádu začíajícím číslem 7 je a třetím místě číslo. Podíváme-li se o řáde výš a dvě čísla ejbližší ašemu číslu, ajdeme čísla 6 a. Jejich součtem je číslo. V Pascalově trojúhelíu je dále vidět platost rovosti: 9
Biomicá věta Pro aždá dvě omplexí čísla a, b a aždé celé ladé číslo platí: a b a a b a b... a b Teto vzorec azýváme BINOMICKÝ ROZVOJ Symbolicy můžeme zapisovat: a b ( ) b Vypočtěte čtvrtý čle rozvoje výrazu Hledáme čtvrtý čle rozvoje: 8 x. x 8 8 8 x x Je to čle terý má : 8 8 8.7.6 x.8. x 8x x. Určete ( i ) ( i ) 6 7 8 9.. i. i i i i i i i i i i 6 7 8 9. i ( ) ( i). i.( ).( i). i.( i).9.8.7.6. 6. 7. 8. 9...9.8.7.9.8.7.6.9.8.7.9.8 i i. i i i....... 6 i i i i Cvičeí:. Určete x z oboru ladých reálých čísel ta, aby pátý čle v biomicém rozvoji byl. x. Určete desátý čle biomicého rozvoje mociy. Který čle biomicého rozvoje mociy x x x x obsahuje x 6? x. [ x ] 8 x 9 x [ pátý ]