Jiří Máca - atedra echaiy - B35 - tel. 435 4500 aca@fsv.cvut.cz. Pohybové rovice. Vlastí etlueé itáí 3. Vyuceé etlueé itáí 4. Volé etlueé itáí 5. Metoda ostat poddajosti 6. Přílady 7. Staticá odezace 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací 0. Přibližé vztahy pro určeí záladí frevece
. Pohybové rovice.stav u u 0 0 u t () F u () t u () t F soustava se stupi volosti u u 0.stav u () t u u 0 0 u () t u () t u 0 u u ( t) u ( t) u ( t) F ( t) u ( t) u ( t) u ( t) F ( t) prvy atice tuhosti ij
3. Pohybové rovice F F ( EI ) EI h h c 3 3 prvy atice tuhosti c
4. Pohybové rovice prvy atice tuhosti ij u = u = u 3 = 0 u (t) u (t) u 3 (t) u = u = u 3 = 0 Prvy atice tuhosti ij síla v bodě i při posuutí v bodě j rové jedé a ostatích posuutích rových ule u 3 = u = u = 0
5. Pohybové rovice u ( t) u ( t) u ( t) F ( t) u ( t) u ( t) u ( t) F ( t) K M 0 0 F () t f () t F () t u() t u() t u() t atice tuhosti (*) ( je počet stupňů volosti) atice hotosti (*) (eusí být vždy utě diagoálí) vetor zatížeí (*) vetor posuutí (*) (vetor ezáých) Ku( t) Mu( t) f( t) etoda ostat tuhosti
6. Vlastí etlueé itáí Nepůsobí žádé budicí síly, útlu se zaedbává C = 0 Cíle je staovit dyaicé charateristiy systéu vlastí ruhové frevece a odpovídající tvary itáí pohybová rovice řešeí rovice K u( t) M u( t) 0 u( t) ( Acost Bsi t) u ( t) u( t) K M ( Acost Bsi t) 0 = 0 rovice vlastího itáí ( K M) 0 ezáé: vlastí ruhové frevece tvary vlastího itáí problé vlastích čísel ( - počet stupňů volosti)
7. Vlastí etlueé itáí ( ) K M 0 podía etriviálího řešeí det. ( K M) 0 (polyo stupě N pro ) ořey polyou N reálých ladých čísel ; ;... N vlastí ruh. frevece - vlastí čísla 3 3 (... N ) pro aždou hodotu ( K M) 0 tvary vlastího itáí - vlastí vetory (N je počet stupňů volosti) je ožé určit odpovídající vetor ( ) ( )... N( ) ( ) J pořadice ()-tého vl. tvaru v bodě J
8. Vlastí etlueé itáí Modálí atice Φ () () ( N ) () () ( N ) N () N () N ( N ) (N)-tý tvar Spetrálí atice Ω ( K M) 0 K M K Φ M Φ Ω N opatí zápis rovice vlastího itáí pro všechy vl. tvary
9. Vlastí etlueé itáí Ortogoalita vlastích tvarů Dva růzé vlastí tvary odpovídající dvěa růzý vlastí frevecí ( ) splňují podíy ortogoality: Důaz: K 0 ; M 0 pro ( ) ( ) 0 0 obdobě lze doázat K 0
0. Vlastí etlueé itáí Norovaé vlastí tvary Řešeí vlastího itáí zísáe vlastí tvary jao vzájeé poěry výchyle v jedotlivých bodech, ioliv jejich sutečé veliosti. Proto je ožé vlastí tvary oralizovat, tj. přeásobit je vhodý čísle ta, aby byly splěy určité podíy (apř. ejvětší pořadice je rova ) Nejčastěji se používají vlastí tvary orovaé vzhlede atici hotosti odálí hotost M M pro orovaé tvary platí: Φ M Φ I Φ K Φ Ω (jedotová atice)
. Vlastí etlueé itáí Přílad výpočet vlastích frevecí a tvarů itáí K 4EIc 3 h 3 0 M 0 det. ( K M) 0.tvar 4 5 0 ( K M) 0 volíe apř.: () z.rov. určíe: 3() () 0 () / /
. Vlastí etlueé itáí.tvar ( K M) 0 () ().tvar vlastího itáí.tvar vlastího itáí podía ortogoality i () ii () i 0 ( ) 0
3. Vlastí etlueé itáí orovaé vlastí tvary.tvar.tvar i i 3 M i () i 0.5 () () 3 3 i ( ) 3 3 () () i M 3 i i i() i() i i
4 3. Vyuceé etlueé itáí Soustava je zatížea budicíi silai f(t), útlu se zaedbává C = 0 Cíle je staovit dyaicou odezvu systéu pohybové rovice počátečí pod. K u( t) M u( t) f( t) u(0) u u(0) u 0 0 (soustava N difereciálích rovic) řešeí - příá itegrace pohybových rovic - odálí aalýza (rozlad do vlastích tvarů) Příá itegrace pohybových rovic záladí idea: pohybové rovice se postupě řeší jedotlivých oažicích t i, t i+, časová osa se rozdělí poocí dély itegračího rou t ti ti derivace se ahradí diferecei, soustava difereciálích rovic se převede a rovice algebraicé
5 3. Vyuceí etlueé itáí ozačeí: f f ( t ) u u( t ) u u( t ) i i i i i i Μu Ku f Mu Ku f i i i i i i ezáé: Metoda cetrálích diferecí u i u u u i i i t aproxiace pole zrychleí u u i i M u Ku f i i i uiu i ui M Kui f t i Mu t f K M u M u t t i i i i (soustava N algebraicých rovic)
6 3. Vyuceí etlueé itáí Rozlad do vlastích tvarů odálí aalýza záladí idea: odezva se staoví jao obiace vlastích tvarů itáí poocí odálích souřadic q (t) ( =, N) N u( t) q ( t) Φq( t) dosazeí do pohybových rovic Ku( t) Mu( t) f( t) K Φ q( t) M Φ q( t) f ( t) Φ K Φ q( t) Φ M Φ q( t) Φ f ( t) pro orovaé vlastí tvary dále platí Ω q( t) I q( t) Φ f ( t) soustava N ezávislých q ( t) q ( t) f( t) rovic pro q (t) - řešeí apř. Duhaelův itegrál
7 3. Vyuceí etlueé itáí Ustáleé haroicé itáí soustava je zatížea haroicýi silai se stejou budicí frevecí ω f( t) fa sit F A F A pohybové rovice Ku( t) Mu( t) fasit f A... Příé řešeí F NA odezva při ustáleé itáí u( t) ua sit dosazeí do pohybových rovic ( K M) u A f A (soustava N algebraicých rovic) u A ( K M) fa
8 3. Vyuceí etlueé itáí Modálí aalýza (pro orovaé vlastí tvary) q ( t) q ( t) f sit A q q ( t) q sit q sit q sit f sit A A A A q f A A A q A f A N aplituda výchyly v bodě i u( t) q ( t) q sit A N u N ia i( ) A q q A N F i( ) ia i
9 4. Volé etlueé itáí Soustava eí zatížea budicíi silai, útlu se zaedbává Kitáí je vyvoláo eulovýi počátečíi podíai pohybové rovice K u( t) M u( t) 0 počátečí podíy u(0) u0 u(0) u0 Modálí aalýza N u( t) q ( t) (pro orovaé tvary) odálí rovice řešeí odálí rovice u q (viz soustava s SV: ) q ( t) q ( t) 0 q (0); q (0) počátečí podíy q (0) q ( ) (0)cos t q t sit ( =, N)
0 4. Volé etlueé itáí Počátečí podíy pro odálí souřadice q (0) ; q (0) N u( t) q ( t) M N M u M ( t) q ( t) vzhlede podíá ortogoality platí pro = : Mu( t) Μ q ( t) pro orovaé tvary platí: q ( t) Mu( t) q () t q q Mu() t Μ (0) Mu(0) (0) Mu(0) Odezva při volé itáí N Mu(0) u( ) t Mu(0)cost sit
5. Metoda ostat poddajosti Pro poddajé ostruce je obvyle výpočet průhybu sadější ež určeí prvů atice tuhosti u u u 3 Prvy atice poddajosti δ ij přetvořeí v bodě i při jedotové zatížeí v bodě j
5. Metoda ostat poddajosti Matice poddajosti ostruce δ u δf Kδ I δ K N N N N NN vlastí itáí ( ) I δm 0 vyuceé itáí u( t) δm u( t) δ f( t) ustáleé itáí ( I δm) u A δf A
3 6. Přílady 6. a) Pro soustavu se stupi volosti určete vlastí frevece a tvary itáí EI w 3 w 6 3 EI,8t 3,6 t 3 50 0 N L δ 3 L 768EI 9 7 3 0,35 0,05 0 7 9 0,05 0,35 0,8 0 ( ) ( I δm) 0 M 0 0 3,6 ( ) 4 4,430 3,78 0 I δm 4 4,89 0 4,86 0 (prvy atice poddajosti se staoví apř. poocí PVP)
4 6. Přílady 8 4 det. ( ) 4,67 0 I δm 7,90 0 38,98s 8,77s. tvar itáí volíe a z. rov. určíe () 4 4, 43 0 38,98 3,78 0 38,98 () 0 (),097. tvar itáí () () 0, 455 pod. ortogoality: () () () () () (),8,097 3,6 ( 0,455) 0,003 0 orovaé tvary: () 0,404 () 0,443 () 0,67 () 0, 85
5 6. Přílady b) Určete průběh aplitud ohybových oetů při ustáleé itáí pro zatížeí F ( t ) 8si08 t N wa FA 8 ( I δm) u A δf A ua fa 08 wa FA 0 3 3 w,60 w,640 A A setrvačé síly: (aplitudy) 8 37,4 M 54,8 68,9, w 08,8,60 54,8 N 3 A w 08 3,6 (,64) 0 68,9 N 3 A 00,5 33,5 budicí síly zatížeí (N) = + setrvačé síly ohybové oety (aplitudy) (N) M ( t ),5si08 t N
6 w w 6. Přílady c) Rozlade do vlastích tvarů určete aplitudy výchyle a sil působících a osí při ustáleé itáí pro zatížeí F ( t ) 8si08 t N F ( t ) 36si08 t N q q F 0,404 8 0,443 36,9 0 i() ia i A 38,98 08 F 0,67 8 ( 0, 85) 36 0,4 0 i() ia i A 8,77 08 q A ( ) A A ( ) A 3 3 3 0,404 (,9) 0 0,67 0,4 0 0,66 0 q 3 3 3 0,443 (,9) 0 ( 0,85) 0,4 0,3 0 3 3
7 6. Přílady setrvačé síly: 0, 8 w 08,8 ( 0,66) 0 3,9 N 3 A w 36 3,9 47,4 08 3,6 (,3) 0 47,4 N 3 A 7,5 budicí síly zatížeí (N) = + setrvačé síly d) Vysvětlete, proč při zatížeí F ( t ) 8si08 t N F ( t ) 36si08 t N dochází při ustáleé itáí e zvětšeí aáháí 3 3 osíu ( w A 6,50 w A,30 ) Poz.: soustava s SV (otrola řešeí) 48EI 3 L 0 39,3s
8 6. Přílady e) Určete odezvu osíu při itáí vyvolaé počátečí posuutí u(0) počátečí rychlost ulová 0 (tj. řešeí volého itáí rozlade do vlastích tvarů) q (0) q ( ) (0)cos t q t sit q q (0) Mu(0) (0) Mu(0) (0) Mu(0) 0, 404,8 0 0, 443 0, 77 0 3,6 0 (0) Mu(0) 0, 67,8 0 0, 85,86 0 3,6 0 q (0) Mu(0) q (0) 0; q (0) 0 q q
6. Přílady 9 w () t u( t) q ( t) w () t 0,404 0,67 0,443 0,85 0, 938 0, 7076 cos 38,98t cos8, 77t 0,3 0,36 0, 77 cos 38,98t,86 cos8, 77t w ( t ) 0,938cos38,98 t 0,7076cos8,77 t w ( t ) 0,3cos38,98 t 0,36cos8,77 t t = 0 s
6. Přílady počátečí posuutí u(0) w ( t ) 0,938cos38,98 t 0,0643cos8,77 t 30 f 6,Hz počátečí posuutí u(0) 0,5 w ( t ) 0,084cos38,98 t,093cos8,77 t f 8,9 Hz
3 6. Přílady 6. a) Pro soustavu se stupi volosti určete průběh aplitud sil působících při ustáleé itáí EI 3 50 MN () t wt (), 500 g/ 3t F( t) 0si 60t N t 0 MN/ EI 3 t 30 MN/ L=4 3 L 54,67 t J L L 3 50MN, 0 I M 0 u A A w A 0 3
3 6. Přílady 3 L L w 0 L/ = LL L 3 400 N 3 3 300 N 30 40 0 3 K 40 87,5 0 w N L 3 400 N N 87,50 N N 48EI 3 L 3 37,5 0 N/ 3 -
33 6. Přílady FL 0 4 60 A 3 0,93rad K M u A u A 0 0 0 0,4594 L FA 0 3 A 9,9 3 A 46, L AL 6,6 7,7 ( ( LL ) A wa 7,7 w 3 A 3,3 w A 3,8 A L 6,6 síly v pružiách síly budicí síly setrvačé w A a α A se dosazují v absolutích hodotách síla v pružiě = tuhost x zěa dély Určete reace podporách
34 6. Přílady b) Proveďte otrolu řešeí poocí odálí aalýzy ( ) K M 0 q FL 6,85030 () A 3 A q w FL,4395 0 () A 5 A 3 A ( ) qa A ( ) qa 3 45, 04s 0, 0s 0,93 0 rad 0,4594 0 - - Φ 0,3468 0,035 0,06456 0,7045 orovaé vlastí tvary
35 6. Přílady 6.3 Sestavte atici tuhosti a hotosti α w 3 3 3 w 0 w 0 4 těžiště u w 3 6 K 6 66 3 0 M 0 6 0
36 6. Přílady α w 3 3 3 w 0 w 0 K 3 8 8 6 8
37 6. Přílady α w 3 3 3 w 0 aplitudy setrvačých sil w 0 M 3 54 6 6 atice hotosti eí diagoálí
38 7. Staticá odezace Vyloučeí ehotých stupňů volosti při dyaicé aalýze reduce atice tuhosti ostruce KuMuf() t w w K (4,4) w K (,) K aa K ab ua Ma 0 ua f () t () Kba Kbb ub 0 0 ub 0 () z rov. () u K K u dosazeí do () b bb ba a K K K K u M u f () aa ab bb ba a a a t w M a u u b a 0 w w K K odezovaá atice tuhosti a (,) 0
39 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda Určeí záladí (prví) vlastí frevece aproxiace shora využívá záo zachováí echaicé eergie E Ep u ( t) Mu( t) u ( t) Ku( t) ost. eergie ieticá + poteciálí F=u u F u pro vlastí itáí: u( t) C si( t ) u( t) C cos( t ) u ax E ax E rovovážá poloha rají poloha ax. rychlost ax. výchyla p ax u( t) ax u( t)
40 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda tvar itáí se volí ta, aby odpovídal prvíu tvaru ejlépe od zatížeí vlastí tíhou F i působící ve sěru itáí F g F g F g 3 3 3 Ku F K F F 3 3 ax ax E u E N N i i i i i i N F p i i i N F i i i N i i i /
4 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda Přílad 8. určete prví vlastí freveci a tvar itáí u u u 3 3,5,5 δ 5 5 6 5 8 0 0 M 0 0 0 0 u u u u F 3 3 3 3 F 3 3 3 3 F 3 3 3 33 3 3 3 3
4 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda volba prvího tvaru itáí 3 g g g g 6 g δf 5 5 g 6 6 3 5 8g 5 F g g 6 5 6 6 33 0, 489 405 6 i i i 3 i g i 6 5 i 0,699 3,5 Přesé řešeí 0,694,6 3,98
43 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda Přílad 8. určete prví vlastí freveci a tvar itáí - l 4 g 0s 3 EI 00 N l l l 4 t 0,5t δ l 9EI 4 3 4 3 4 3 3 5 3 5 3 5 3 5,67 0 g 4 3 0 55 g 3 5 5 55 F 0 55 555 85 0887,3 4537,5 04,3 s volba zatížeí i i i 55 0,5 55 i i i -
44 8. Rayleighova etoda eergeticá etoda Přesé řešeí: 04,3s 45, s - - Φ Poz. - esprává volba zatížeí g g i i i 5 0,5 5 i i i 4 3 0 5 3 5 5 5 F 0 5 55 5 34, 637,5-45,4 s? touto etodou elze určit vyšší vlastí frevece
45 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací vlastí it. K M K M K M vlastosti Rayleighova vocietu: je-li vlastí tvar, K M Rayleighův vociet je-li pro x -tá aproxiace vlastího tvaru, x ( x ) (overgece. vlastíu tvaru)
46 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací. Startovací vetor x 0 libovolý R Mx. 0 0 Kx R x K R 0 0 x Kx x Mx ( ) x Mx x Mx 3. (Rayleighův vociet) 4. Kx Mx ( ) ( ) ( ) tol 5. Neí-li ritériu overgece splěo: orováí x x a ávrat do bodu ( = +) / x Mx x K Mx Mx
47 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací 6. Je-li ritériu overgece splěo: pro iteraci (+) ( ) x / x Mx obdobě pro jedotlivé prvy vetoru x x x x Poz. v této forulaci etoda overguje. vlastíu tvaru vyšší tvary lze určit ta, že se do algoritu zavedou podíy ortogoality ezi hledaý -tý tvare a všei předcházejícíi vlastíi tvary (uto určit všech - předcházejících vlastích tvarů)
48 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací Přílad 9. určete prví vlastí freveci a tvar itáí,5,5 5 5 6 5 8 δ δm 5 5 6 0 0 5 8 M 0 0 0 0 startovací x0 Kx Mx x Mx vetor 6 () xmx0 x δmx0 0, 489 x 6 5 x Mx,5 Rayleighův vociet orováí u
49 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací.iterace () xmx x δmx 4,5 0, 48 x, 3 6 3 x Mx,9 3.iterace, 8 (3) x3mx x3 δmx 7,70 0,48 x3,6 6 3 3 36, 43 x Mx,97 alterativě: (3) 0,694 x3, 3,9 0,699 0,695 0,69,8 7,70 36,43 6 6 6
50 9. Stodolova etoda postupých aproxiací etoda iverzích iterací Přílad 9. určete prví vlastí freveci a tvar itáí 4 3 l l l 4 δ,67 0 3 5 0 δm M 0 0,5 5 4,5 3,5 x0 startovací vetor (srovej poz. př. 8.),5 () x Mx0 0,353 x δmx0 x 0,5 xmx 0, 4,3 () x Mx 0,89 x δmx x 3,5 xmx 0,8 5, 5 (3) x 3Mx 0,8 x3 δmx x 3 5, 05 x3mx3 0,96 04,4 s (3)
5 0. Přibližé vztahy pro určeí záladí frevece Duerleyův vzorec i i ii aproxiace zdola Přílad: zadáí 8. 6 5 8 0,63 Bauaův Geigerův vzorec g ax u G g Přílad: zadáí 8. 0, 63 g 5 6 ax. výchyla od vlastí tíhy působící ve sěru. tvaru
5 0. Přibližé vztahy pro určeí záladí frevece Epiricé vztahy Budovy do 40 výšy (Euroód 8) (ČSN 73 0037) Stožáry f 00 H C H 3/ 4 t (s) H 0, 09 (s) B Věže f 40 85 H H výša budovy (v etrech) C t = 0,085 prostorové ocelové ráy odolávající oetů C t = 0,075 prostorové betoové ráy ocelové ráy s excetricý ztužeí C t = 0,050 ostatí ostruce selety ŽB, ocel B šířa ve sěru itáí () Koíy f 40 65 H