LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ Kil Mleček Dgr Szrková FSv ČVUT Prh Thákurov 7 66 9 Prh 6 ČR e-il: kil@tfsvvutz SjF STU Brtislv Ná Slood 7 8 3 Brtislv SR e-il: szrkov@sjfstusk Astrkt V řísěvku je osý geoetriký zůso vtvářeí lieáríh trsforí v roviě ooí dlší rovi složeí dvou lieáríh roítáí Jsou zde odvoze vlstosti trsforí jejih tetiký ois V závěru je oložeo ěkolik otázek kterýi se řídí zájei ohou zývt Úvod Ukážee zůso jk geoetrik tvořit lieárí trsfore v roviě π háé jko rozšířeou euklidovskou roviu E která je voře do rozšířeého euklidovského rostoru E 3 K vtvořeí trsforí užijee dlší rovi κ E 3 κ π složeí dvou lieáríh roítái f f Z vlstostí složeí oou roítáí odvodíe ěkteré vlstosti trsforí ooí zvoleé soustv souřdi odvodíe ltiké vjádřeí trsforí v roviě π Geoetriký zůso tvor trsforí V rostoru ěje dáu roviu π Dále zvole v rostoru roviu κ dvě růzá lieárí roítáí f f Nehť je liovolý od rovi π Jeho orz od π sestrojíe tkto: Sestrojíe od který je růěte odu do rovi κ v roítáí f ted f Bod je růěte odu do rovi π v roítáí f ted f Ozčíe-li f výsledou trsfori v roviě π ve které f f o k
3 Klsifike trsforí Lieárí roítáí které užijee ři tvorě trsforí ude rovoěžé středové roítáí Pk jsou tři ožosti jk volit roítáí f f : i oě roítáí jsou rovoěžá roítáí ii jedo roítáí je rovoěžé druhé je středové roítáí iii oě roítáí jsou středová roítáí Roviu κ ůžee zvolit tk l uď rovoěžá eo růzoěžá s roviou π Uvedeá vol oou roítáí oloh rovi κ vzhlede k roviě π uožňuje vtvářet růzé trsfore 4 Vlstosti trsforí Z geoetrikého zůsou vtvořeí trsforí je zřejé že trsfore jsou lieárí ted orze řík je řík Uvedee dlší vlstosti trsforí Sodružé od Sodružé od trsfore v roviě π jsou dvojího druhu: S Jsou to od růsečie o rovi π rovi κ S Je to růsečík S solečé roítí řík roítáí f f s roviou π Sodružé řík Bodově sodružá řík je řík o Dlší sodružé řík už ikoli odově jsou řík které jí solečé roítí rovi v oou roítáí To zeá že řík které roházejí sodružý ode S jsou sodružé Sodružé sěr Sodružý sěr je dá sěrový vektore řík která se zorzí říku rovoěžou Protože růsečík orzu vzoru řík je od říe o tk v řídě že o je vlstí řík její sěrový vektor určuje sodružý sěr Jestliže sodružý od S je evlstí k jeho sěr je sodružý sěre Pokud o je evlstí řík ted κ // π k kždý sěr je sodružý V trsfori tk ohou stt tto ožosti: - všeh sěr jsou sodružé jestliže řík o je evlstí - jede sěr je sodružý jestliže řík o i od S jsou vlstí eo S je evlstí od řík o - dv sěr jsou sodružé jestliže řík o je vlstí od S je evlstí eleží říe o Uvedeé vlstosti uožňují klsifikovt trsfore odle očtu sodružýh odů říek sěrů Zákldí vlstosti trsforí: V Sojie odu jeho orzu vj sodružýh odů je řík která rohází sodružý ode S Důvode je že roítí řík oou roítáí které užíváe ři kostruki orzu odu tvoří roviu ve které leží solečá roítí řík oou roítáí
V Průsečík řík jejího orzu vj sodružýh říek je od sodružé říe o Stereoetriké zdůvoděí je zřejé 5 Klsifike trsforí jejih tetiký ois Ní uvedee klsifiki trsforí odvodíe jejih ltiké vjádřeí I Rovi κ je rovoěžá s roviou π f f jsou rovoěžá roítáí zdá vektor roítíh říek ejsou vektor ze zěřeí rovi π z Ozče: _ [ 0] [ 0] s κ O s κ : z π Or Kostruki odu který je orze zvoleého odu vidíe or které rověž vidíe volu krtézské soustv souřdi O z Odvodíe tetiký ois trsfore Proítí řík je dá odovou fukí [ t t t ] t t R Bod Proítí řík je dá odovou fukí u u u u u R Bod 0
Trsfore á ltiké vjádřeí Ozčíe-li k rovie ůžee sát ve tvru to je ltiké vjádřeí trsle v roviě π Pozák : Nehť trsle je dá roviei 3 Pteje se jk usíe zvolit roviu κ vektor ho dostli trsli 3 dříve osý geoetriký zůsoe Jed z ožostí je zvolit roviu κ vektor le oto vektor už je dá Souvisí to s roviei které jsou elieárí soustvou dvou rovi ro sed ezáýh Vektor je totiž urče ž eulový ásoek f je středové roítáí dé střede S f je rovoěžé roítáí dé vektore S π S κ eí vektore ze zěřeí rovi π 3 z S Ozče: [ 0] [ 0] S [00 ] _ κ : z κ O S π Or N or jse kroě kostruke odu sestrojili od S který je sodružý ode trsfore Seiálí vol odu S ose z i ezěí vlstosteh trsfore
Stejý zůsoe jko v ředhozí odstvi odvodíe ltiké vjádřeí trsfore: 4 Ozčíe-li k 5 k rovie 4 ůžee sát ve tvru k k 6 to je ltiké vjádřeí stejolehlosti v roviě π Pozák : I v toto řídě si ůžee oložit stejou otázku jko v ozáe f f jsou středová roítáí dá střed S S které eleží v roviáh π κ Ozče: [ ] [ ] 0 0 S [0 0 ] S [ ] κ : z Trsfore á ltiké vjádřeí 7 Or 3 _ κ O S S S π z
Ozčíe-li k k rovie 7 ůžee řest ve tvru 6 Mohou stt dv říd: i k trsfore je stejolehlost viz or3 ii k k trsfore je trsle Tkže ltí: Jestliže κ //π k výsledá trsfore je uď stejolehlost eo trsle to jsou trsfore které jí všeh sěr jsou sodružé II Rovi κ je růzoěžá s roviou π Z ředhozího je jsé že ke klsifiki trsforí stčí uvžovt f f jko středová roítáí Uvedee ltiké vjádřeí trsforí jeho odvozeí je odoé jko v ředhozí části Rovi κ á rovii z Středová roítáí f f jsou dá střed S [00 ] S [ ] S i π S i κ i Trsfore á ltiké vjádřeí 8 Rovie 8 ůžee řest ve tvru 3 3 9 to je ltiké vjádřeí koliee Je zřejé že koliee řejde v fiitu okud řík S S //π ted Jestliže ví rovi κ á rovii 0 0 od S [0 ] 0 k rovie 8 jí tvr 0 Rovie 0 ředstvují ltiké vjádřeí osové souěrosti Dlší odroou klsifiki eudee rovádět Je ožé oložit si ještě ásledujíí otázk: Nehť koliee je dá roviei 9 Jk zvolit roviu κ od S S koliei lo ožé vtvořit zůsoe osý ve odstvi? Viz ozák Všeh lieárí trsfore eí ožé vtvořit zůsoe osý ve odstvi Tkto evtvoříe ř otáčeí v roviě π eo zěu ěřítk oou osáh To le ze skutečosti že tto trsfore ejí ěkteré vlstosti uvedeé ve 4 odstvi Které dlší lieárí trsfore elze vtvořit geoetriký zůsoe? Jk tto trsfore vtvářet?