Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky školní rok 014/015 www.zvladnimatiku.cz
Toto je bonus číslo 1 k výukovému videu: Funkce. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňuj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a budeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když už tě Funkce unaví, nebo tě přestanou bavit, dej si jednoduše pauzu a pokračuj později. Pracovní sešit ti bude sloužit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k tématu Funkce musíš znát. Není už tedy třeba hledat informace v učebnicích, starých sešitech nebo si platit doučování. Příjemné učení s www.zvladnimatiku.cz! Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním produktem, který doprovází výukové video Funkce. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešitu třetím osobám bez souhlasu autorky je zakázáno! Děkuji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiálu rozumíte, že jakékoli použití informací z tohoto materiálu a úspěchy či neúspěchy z toho plynoucí, jsou pouze ve Vašich rukách a autorka za ně nenese žádnou zodpovědnost. školní rok 014/15
4. FUNKCE 4.1 ZÁKLADNÍ POZNATKY O FUNKCÍCH Co je to funkce? Funkce f na množině D R je předpis y f, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y. Množina D se nazývá funkce. Funkci si představme jako nějaký, do kterého se z jedné strany hodí nějaké reálné číslo. Pak se zatočí kličkou a se podle jistého mechanismu ( ) promění v druhé číslo y, které ze strojku vypadne jako výsledek. Mechanismus strojku je jednoznačný z každého vhozeného čísla vypadne právě jedno číslo výsledné. Funkce: f : y 5 Příklady funkcí: školní rok 014/15
Definiční obor funkce & obor hodnot funkce Proměnná se nazývá funkční proměnná nebo také funkce. Množina D všech hodnot proměnné se nazývá definiční obor funkce f a značí se nebo D f. D f Číslo y přiřazené číslu se nazývá funkční nebo hodnota funkce f v bodě a značí se též f. Množina všech hodnot funkce f se nazývá obor hodnot funkce f a značí se H f nebo H f. Určete definiční obor, obor hodnot funkcí a vypočítejte hodnotu funkcí ve zvolených bodech: f : y 5 f f g : y g g 0 1 h : y 4 h h 4 1 j : y 5 j j 4 1 Graf funkce Názornou představu o vlastnostech funkce nám poskytuje její znázornění v (kartézské) soustavě souřadnic, neboli funkce. Graf funkce f je množina všech v rovině, které mají souřadnice ; f. Sestrojte graf funkce f : y 1 školní rok 014/15 4
y Průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s -ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu y rovnou. Máme-li určit průsečík (nebo průsečíky) grafu funkce s y-ovou osou, hledáme bod či body, které mají hodnotu rovnou. f : y 1 Z grafu funkce lze ledacos vyčíst Určete definiční obor a obor hodnot funkcí: školní rok 014/15 5
Způsoby zadání (určení) funkce K zadání funkce potřebujeme: 1. definiční obor. funkční předpis Způsoby zadání: a) Analytické zadání - b) Grafické zadání - c) Zadání výčtem (tabulkou) - Vlastnosti funkcí Některé funkce mají určité společné vlastnosti, které si nyní ukážeme: Funkce f se nazývá: shora omezená, jestliže eistuje takové číslo pro všechna D h R, že zdola omezená, jestliže eistuje takové číslo d R, že pro všechna D omezená, jestliže je shora a zároveň i zdola omezená školní rok 014/15 6
rostoucí, právě když 1, D platí: 1 f 1 f klesající, právě když 1, D platí: 1 f 1 f nerostoucí, právě když 1, D platí: 1 f 1 f neklesající, právě když 1, D platí: 1 f 1 f sudá, právě když f f f D je - graf funkce je osově souměrný podle osy y lichá, právě když D f je f f - graf funkce je středově souměrný podle počátku školní rok 014/15 7
periodická, právě když eistuje takové číslo p 0 zvané perioda, že pro každé p D f a platí: f p f ; f D je také 4. LINEÁRNÍ FUNKCE, NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Lineární funkce Předpis obecné lineární funkce: kde: Příklady lineárních funkcí:.. Definičním oborem lineární funkce je: Oborem hodnot lineární funkce je: Graf lineární funkce Grafem lineární funkce je! Graf protíná osu v bodě: osu y v bodě: Zobrazte grafy funkcí f : y 1 g : y 4 školní rok 014/15 8
Zapište předpis daných funkcí a určete jejich definiční obor a obor hodnot. Vlastnosti lineárních funkcí Pro a>0 je lineární funkce. Pro a=0 je lineární funkce. Pro a<0 je lineární funkce. Speciální lineární funkce Konstantní funkce: Přímá úměrnost: Funkce nepřímá úměrnost Nepřímá úměrnost je každá funkce tvaru: kde: = vyjadřuje závislost: Kolikrát se, tolikrát se y. Příklady nepřímé úměrnosti: školní rok 014/15 9
Definičním oborem je: Oborem hodnot je: Graf nepřímé úměrnosti Grafem nepřímé úměrnosti je! Vlastnosti nepřímé úměrnosti Pro k>0 Pro k<0 4. KVADRATICKÉ FUNKCE Předpis obecné kvadratické funkce: kde: Příklady kvadratických funkcí:.. Definičním oborem kvadratické funkce je: školní rok 014/15 10
Graf kvadratické funkce Grafem kvadratické funkce je! Pro jednodušší určení grafu kvadratické funkce budeme vždy: hledat souřadnice vrcholu paraboly: V 0 ; y 0 v něm funkce nabývá svého, buďto minima, nebo maima určovat, zda je funkce a také kon ení a funkce je nejprve a pak nebo konk vní a funkce je nejprve a pak f : y 1 g1 : y f : y 4 g : y školní rok 014/15 11
f : y 6 11 g : y 8 7 - v těchto případech hledáme souřadnice vrcholu V 0 ; y 0 tak, že kvadratický trojčlen doplníme na úplný - anebo využijeme vzorečků: f 0 0 : y a y, kde.., y.. 0 0 školní rok 014/15 1
4.4 EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ FUNKCE, JEDNODUCHÉ ROVNICE Eponenciální funkce Předpis obecné eponenciální funkce: kde: Příklady eponenciálních funkcí: dekadická ep. f-ce: přirozená ep. f-ce:.. Definičním oborem ep. f-ce je: Oborem hodnot ep. f-ce je: Graf eponenciální funkce Grafem eponenciální funkce je, která vždy prochází bodem ;! Vlastnosti: f : y 1 Obecně pro eponenciální funkci o základu: a 1; platí: školní rok 014/15 1
f 1 : y Obecně pro eponenciální funkci o základu: a 0; 1 platí: Logaritmická funkce Předpis obecné logaritmické funkce: kde: Příklady logaritmických funkcí: dekadická log. f-ce: přirozená log. f-ce:.. Logaritmická funkce o základu a je funkce k eponenciální funkci o stejném základu!!! f : y a f 1 : y log a školní rok 014/15 14
Definičním oborem log. f-ce je: Oborem hodnot log. f-ce je: Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají! 9 log log 1 1 9 log log 1000 log 1 4 log 5 8 5 log log 5 ln 5 Graf logaritmické funkce Grafem logaritmické funkce je, která vždy prochází bodem ;! Vlastnosti: f1 : y log Obecně pro logaritmickou funkci o základu: a 1; platí: školní rok 014/15 15
f1 : y log 1 Obecně pro logaritmickou funkci o základu: a 0; 1 platí: Jednoduché eponenciální a logaritmické rovnice Nejprve si osvětlíme, jaká pravidla platí pro eponenty při počítání s mocninami a také jaká pravidla platí pro počítání s logaritmy. Vlastnosti: 0, a R \ m, n R : NÁSOBENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM a m a n. DĚLENÍ MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM. a m : a n m UMOCŇOVÁNÍ MOCNINY a. n školní rok 014/15 16
a R,, y, n R : SOUČET LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM log a log a y ROZDÍL LOGARITMŮ SE STEJNÝM ZÁKLADEM log a log a y NÁSOBENÍ LOGARITMU REÁLNÝM ČÍSLEM n log a dále platí: log a Eponenciální rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně:.. 16 9 1 1 5 5 školní rok 014/15 17
Pokud to nelze, pomůžeme si tím, že celou rovnici zlogaritmujeme. 10 5 1 7 Logaritmické rovnice: Snažíme se rovnici upravit tak, abychom měli na každé straně pouze: Potom můžeme rovnici odlogaritmovat a vypočítat. Musíme také určit řešení! log 4 log log log log log 7 log ( 1) log 1 4.5 GONIOMETRICKÉ FUNKCE Úhel stupňová míra vs. oblouková míra Velikost úhlu můžeme měřit ve: stupňové míře ve stupních.. školní rok 014/15 18
obloukové míře v radiánech.. Platí převod: převeďte na radiány: 90 45 60 0 převeďte na stupně: 4 Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku V pravoúhlém trojúhelníku jsou goniometrické funkce definovány jako délek příslušných stran trojúhelníku. Sinus úhlu: = je poměr odvěsny k sin Kosinus úhlu: = je poměr odvěsny k cos školní rok 014/15 19
Tangens úhlu: = je poměr odvěsny k odvěsně tg Kotangens úhlu: = je poměr odvěsny k odvěsně cotg stupně 0 0 45 60 90 180 70 60 radiány 0 6 4 sinus 0 kosinus 1 tangens 0 1 kotangens -- 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 -- 0 -- 0 0 -- 0 -- Funkce sinus školní rok 014/15 0
Obecný předpis funkce sinus: Definiční obore funkce sinus: Obor hodnot funkce sinus: Grafem funkce sinus je křivka. Vlastnosti funkce sinus: Funkce kosinus Obecný předpis funkce kosinus: Definiční obore funkce kosinus: Obor hodnot funkce kosinus: Grafem funkce kosinus je křivka. Vlastnosti funkce kosinus: školní rok 014/15 1
Funkce tangens Obecný předpis funkce tangens: Definiční obore funkce tangens: Obor hodnot funkce tangens: Grafem funkce tangens je křivka. Vlastnosti funkce tangens: Funkce kotangens školní rok 014/15
Obecný předpis funkce kotangens: Definiční obore funkce kotangens: Obor hodnot funkce kotangens: Grafem funkce kotangens je křivka. Vlastnosti funkce kotangens: SKVĚLE, TEORII K FUNKCÍM MÁŠ ZA SEBOU! A MŮŽEŠ NA DALŠÍ TÉMA školní rok 014/15