Aplikovaná matematika IV (NMAF74) Mirko Rokyta (KMA MFF UK) LS 211/12 21 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 1 21.1 Základní termíny 1 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar 3 22 Základní vlastnosti distribucí 5 22.1 Temperované distribuce 5 22.2 Derivování distribucí, násobení distribuce funkcí 6 22.3 Lineární transformace distribucí 9 23 Fourierova transformace 11 23.1 Fourierova transformace funkcí 11 23.1 Fourierova transformace distribucí 14 24 Parciální diferenciální rovnice 16 24.1 Rovnice vedení tepla 16 24.2 Vlnová rovnice 18 24.3 Laplaceova-Poissonova rovnice 19 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik 23 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných 24 25 Laplaceova transformace 28 25.1 Laplaceova transformace funkcí 28 25.2 Laplaceova transformace distribucí 29 25.3 Aplikace L.T. na řešení ODR 3 26 Některé speciální funkce 32 26.1 Gamma funkce 32 26.2 Beta funkce 33 26.3 Besselovy funkce 33 26.4 Hypergeometrická řada 36 Bonus: Některé Laplaceovy transformace (ke kap. 25)
Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika IV (NMAF74), kterou jsem v letním semestru akademického roku 211/12 vedl na MFF UK. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a zejména důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobnějším korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese rokyta@karlin.mff.cuni.cz Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/ M. Rokyta, 212
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 21: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 1 21 Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 21.1 Základní termíny Definice. Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {}, j = 1,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde α := α 1 + + α m. Definice. Pro multiindex α = (α 1,...,α m ) a funkci u C α (Ω), kde Ω R d je neprázdná otevřená množina, definujeme derivaci u dle multiindexu α, v bodě x Ω, D α α u(x) u(x) := x α 1 1..., x = (x 1,...,x d ) Ω. (1) xαm m Pro k N {} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, D α f(x) := ( D α f 1 (x),...,d α f s (x) ) T, D (k) f(x) := {D α f(x); α = k}. Definice. Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) =, (2) kde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R dn R (3) Poznámka. Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2). BÚNO: řád (2) je n. Definice. Bud te s, d, n N, s, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Systémem s parciálních diferenciálních rovnic pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R s nazvu výraz tvaru F ( x, u(x), D u(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) =, (4) kde F : Ω R s R sd R sdn 1 R sdn R s (5) je daná funkce. Poznámka. Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x, t), x = (x 1,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x. Někdy však také pro úsporu času ponecháváme časovou proměnnou jako jednu ze složek časoprostorové proměnné x, tedy například u = u(x), x = (x 1,...,x d, t), (t x d+1 ).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 21: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 2 Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase; nestacionární (evoluční): hledané řešení závisí na čase. Definice. tvaru Parciální diferenciální rovnici (dále jen "rovnici") (2) nazveme lineární, lze-li ji psát ve α n a α (x)d α u(x) = f(x), x Ω, (6) pro dané funkce a α, f. Rovnici (6) nazveme homogenní, pokud f. V opačném případě jí říkáme nehomogenní, případně "s pravou stranou". Jsou-li všechny funkce a α konstantní, nazýváme rovnici (6) lineární rovnicí s konstantními koeficienty. Definice. Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,...,D (n 1) u). Rovnici (2) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x, u, Du,...,D (n 1) u)d α u(x) = f, x Ω, (8) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,...,D (n 1) u). Definice. Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární. Rovnici (2) nazveme ryze nelineární, je-li funkce F v (2) nelineární funkcí v některé z proměnných, do kterých dosazujeme nějakou derivací u nejvyššího řádu. Příklad 1. Bud u = u(x, t), t (, ), x R d. Potom následující evoluční PDR lze charakterizovat takto: ( ) u t + x 2 x + cos u = je lineární (homogenní) rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; x 2 +1 u t + ( x 2 + sin ( u 2 + u x ) 2 ) u = je nelineární, a přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u t + x2 u + sin ( u 2 + u x) 2 = je nelineární, a přitom semilineární rovnice 2. řádu; u t + ( u)2 = je ryze nelineární rovnice 2. řádu; u t + d a j (x, t, u) u x j = f(x, t, u) je nelineární, a přitom kvazilineární, 1. řádu. j=1 Příklad 2 (Základní lineární PDR). Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = ; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x);
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 21: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 3 Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a2 u = f(x, t); a > ; Vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 u = f(x, t); c > ; Rovnice lineárního transportu: u t + a(x, t) u = f(x, t); Příklad 3 (Některé nelineární PDR). Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) u Rovnice minimální plochy: div = ; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a2 u = f(u); a > ; Rovnice porézního média: u t a2 (u γ ) = ; a > ; Nelineární vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 div( a( u)) = f(x, t); c > ; 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je 1,...,d, lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i, j,= 1,...,d. 2 u x i x j = 2 u x j x i i, j,= Matice A = (a ij ) d i,j,=1 je tedy reálná a symetrická, a tedy diagonalizovatelná. Proto existují regulární (a ortogonální) matice P a diagonální matice D = diag(γ j ) d j=1 takové, že Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j=1 γ j 2 u y 2 j P A P T = D. (1) + y = P x, (11) d j=1 β j u y j + αu = f(y), (12) přičemž podle zákona setrvačnosti kvadratických forem je počet prvkůγ j na diagonále matice D, které jsou rovny nule, resp. kladné, resp. záporné, invariantní, tedy nezávisí (až na pořadí) na konkrétní transformaci (11). Rozložení znamének prvků γ j na diagonále matice D tedy určuje typ studované rovnice. Tvar (12) nazýváme kanonickým tvarem rovnice (9).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 21: Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic 4 Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu). Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1. eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2. hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u t 2 u = f. 3. parabolická, jestliže je N = d 1, (BÚNO γ d = ), všechna znaménka nenulových prvků D jsou stejná a koeficient rovnice (9) u u x d je nenulový a má znaménko opačné. Typickým zástupcem je rovnice vedení tepla: u t u = f. Poznámka. Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná. Poznámka. Transformační matici P lze volit tak, aby na diagonále matice D byla pouze čísla {, 1, 1}. Matici P pak již nelze nalézt ortogonální, bude pouze regulární. Cvičení. Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (13) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a, b, c, nenulové. Potom je rovnice (13) eliptická b 2 4ac < ; parabolická (v širším slova smyslu) b 2 4ac = ; hyperbolická b 2 4ac >. Poznámka. Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f; Parabolický případ: u t u = f. V eliptickém a hyperbolickém případě nelze obecně zaručit, že k =. Nelze tedy například převést Helmholtzovu rovnici na rovnici Laplaceovu a naopak.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající (v nekonečnu), pokud pro libovolný multiindex α a libovolné q N := N {} platí sup x R m (1 + x 2 ) q D α ϕ(x) <. (1) Prostoru těchto funkcí říkáme Schwarzův prostor (nebo prostor rychle klesajících funkcí) značíme S (R m ), resp. pouze S, není-li hodnota m podstatná. Poznámka. e x 2 S (R m ); S (R m ) L 1 (R m ). Definice. Řekneme, že posloupnost ϕ n S (R m ) konverguje v prostoru S (R m ) k funkci ϕ S (R m ), pokud (1 + x 2 ) q D α (ϕ n (x) ϕ(x)) (2) pro libovolný multiindex α a libovolné q N. V této situaci píšeme ϕ n S ϕ. Poznámka. Pro q N lze na S (R m ) definovat normu řádu q předpisem ϕ q := Tedy např. ϕ = sup x R m ϕ(x). Platí: ϕ ϕ 1 ϕ 2 Platí: ϕ n S ϕ ϕn ϕ q q N. sup (1 + x 2 ) q D α ϕ(x). x R m, α q Definice. Temperovanou (Schwarzovskou) distribucí na R m nazveme libovolný spojitý lineární funkcionál na S (R m ), tedy zobrazení T : S (R m ) C, které je lineární a navíc pro libovolnou posloupnost ϕ n S (R m ) splňuje Prostor temperovaných distribucí na na R m značíme S (R m ). ϕ n S ϕ = T(ϕn ) T(ϕ). (3) Poznámka. Díky linearitě T je podmínka (3) ekvivalentní podmínce ϕ n S = T(ϕn ). Definice. Bud te T 1, T 2 S (R m ). Řekneme, že T 1 = T 2 v S (R m ), pokud T 1 (ϕ) = T 2 (ϕ) pro všechna ϕ S (R m ). Poznámka. Zvažte tuto analogii: Funkce f je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že funkci vyčíslíme v bodech x (hodnoty f(x) jsou čísla). Distribuce T je zobrazení; informaci o něm získáváme např. tak, že distribuci vyčíslíme v "bodech" ϕ (hodnoty T(ϕ) jsou čísla). Definice. Řekneme, že funkce f : R m C je pomalu rostoucí (v nekonečnu), pokud: K f dx < pro každý kompakt K Rm ; existuje R > a polynom p(x) takový, že f(x) p(x) pro všechna x R m, x > R.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 6 Tedy jde o tzv. lokálně integrovatelné funkce s nejvýše polynomiálním růstem (v nekonečnu). Příklad 1 (Důležitý!). Je-li f pomalu rostoucí v nekonečnu a ϕ S (R m ), potom T f (ϕ) := f(x)ϕ(x) dx (4) R m je (temperovaná) distribuce. Říkáme jí distribuce generovaná funkcí f. Každou takovou distribuci nazýváme regulární distribuce. Poznámka. Vztah (4) ukazuje způsob, jakým je možné na každou funkci (pomalu rostoucí v nekonečnu) pohlížet jako na (regulární) temperovanou distribuci. Pro regulární distribuce často ztotožňujeme T f f. Další příklady (temperovaných) distribucí Diracova (resp. posunutá Diracova) distribuce: δ(ϕ) := ϕ(), resp. δ a (ϕ) := ϕ(a), a R m. Distribuce "v.p. 1 x " S (R): v.p. 1 ϕ(x) x (ϕ) := lim ε + x ε x dx. Plošná distribuce ν r S (R m ), r > : ν r (ϕ) := ϕ(x) ds, S r() kde S r () = {x R m ; x = r}. Uvedené tři distribuce jsou neregulární. 22.2 Derivování distribucí, násobení distribuce funkcí Definice. Bud T S a α multiindex. Potom definujeme α-tou derivaci T ve smyslu distribucí jako distribuci D α T splňující D α T(ϕ) := ( 1) α T(D α ϕ). (5) Poznámka. Každá distribuce má všechny derivace všech řádů a všechny smíšené parciální derivace jsou si rovny (jsou záměnné). Je-li T f regulární distribuce a funkce f, která ji generuje, má ve všech bodech x R m vlastní klasickou derivaci f (x), platí (T f ) = T f, tedy je "derivace ve smyslu distribucí rovna klasické derivaci". Příklad 2. Funkce sgn má klasickou derivaci rovnou nule pro všechna x, a derivace v nule neexistuje vlastní. Ve smyslu distribucí platí (sgn) = 2δ. Poznámka. Je-li T f f regulární distribuce generovaná funkcí f a funkce f má vlastní klasickou derivaci f (x) ve skoro všech bodech x R m, označujeme tuto klasickou derivaci [f ], zatímco pro distributivní derivaci zůstane vyhrazen symbol f. V předchozím příkladu tedy lze psát (sgn) S = [(sgn) ] + 2δ = [] + 2δ = 2δ.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 7 Věta 22.1. Bud a R, f C n( (, a) (a, ) ), přičemž všechny její derivace až do řádu n včetně jsou pomalu rostoucí na R. Necht dále existují vlastní Potom s k := [f (k) ](a+) [f (k) ](a ), k =, 1,...,n 1. f (n) S = [f (n) ] + s n 1 δ a + s n 2 δ a + s δ (n 1) a. Definice. Bud te T, S S, bud te dále α, β C. Pak definujeme (αt + βs)(ϕ) := T(αϕ) + S(βϕ), ϕ S. (6) Definice. Bud T S, f C, jejíž všechny derivace jsou pomalu rostoucí funkce. Pak lze definovat součin funkce f a distribuce T předpisem Poznámka. Obecně nelze definovat násobení dvou distribucí. Cvičení. Ukažte, že platí: xδ S = x v.p. 1 x xδ S = δ S = 1 e iax δ S = δ iaδ (Tf)(ϕ) = (ft)(ϕ) := T(fϕ), ϕ S. (7) Poznámka. Pokud by bylo definováno (asociativní a komutativní) násobení dvou distribucí, muselo by platit δ = δ 1 = δ (x v.p. 1 x ) = (x δ) v.p. 1 x = v.p. 1 x =. Věta 22.2. Bud L obyčejný lineární diferenciální operátor n-tého řádu s konstatními koeficienty, tj. Ly := a n y (n) + + a 1 y + a y, a j C, a n. (8) Bud y C n( (, ) (, ) ), s pomalu rostoucími derivacemi. Necht y = y R pro x > a y = y L pro x <, přičemž L(y R ) = pro x > a L(y L ) = pro x <. Necht dále existují vlastní limity y (k) (+) = y(k) ( ) pro k =,...,n 2, a navíc necht y(n 1) (+) y (n 1) ( ) = s. Potom Ly S = a n sδ. Definice. Bud L (jakýkoli, tj. i parciální) lineární diferenciální operátor n-tého řádu. Distribuci y S (R m ) nazýváme fundamentálním řešením operátoru L, pokud platí Ly S = δ. Poznámka. Předchozí věta umožňuje nalézt fundamentální řešení operátoru L z (8) nalezením funkce y, splňující podmínky skoků v nule pro s = 1/a n. S Později uvidíme, že pokud je Ly = δ a y := y f (pokud operace " ", tzv. konvoluce, má smysl), bude y splňovat rovnici Ly S = f. Poznámka. Postup hledání fundamentálního řešení operátoru L z (8):
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 8 nalezneme klasické řešení úlohy Ly =, separátně pro x > a x < ; na x > resp. x < vybereme obecná řešení y R resp. y L, která jsou pomalu rostoucí spolu se všemi svými derivacemi; tato řešení "slepíme" v nule tak, aby y (k) R (+) = y(k) L ( ) pro k =,...,n 2, a navíc aby y (n 1) R (+) y (n 1) L ( ) = 1/a n ; y := y R pro x > resp. y := y L pro x < je potom fundamentálním řešením operátoru L. Cvičení. Nalezněte y S (R) splňující rovnici y + k 2 y = δ, k >. Ukažte, že funkce y := x n 1 (n 1)! x > x < je fundamentálním řešením operátoru Ly = y (n), n N. Lemma 22.3 (Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce). Bud f(x) = R( x ) = R(r) sféricky symetrická funkce, f C 2 (R m ), m N. Potom pro všechna x R m, x, platí f(x) = R (r) + m 1 R (r). (9) r Chování v nule popisuje následující věta. Věta 22.4. Necht v situaci předchozího lemmatu platí navíc, že funkce R, R, R jsou pomalu rostoucí na R a necht dále existuje vlastní limita Potom kde klasický Laplaceův operátor [ f] je dán vztahem (9) pro x, a je povrch jednotkové sféry v prostoru R m. lim r + rm 1 R (r) = A. (1) Poznámka. Mějme k N. Pro m = 2k je Γ( m 2 ) = Γ(k) = (k 1)!, a tedy f S = [ f] + Aκ m δ, (11) κ 2k = κ m = 2π m 2 Γ( m 2 ) (12) 2πk (k 1)!, k N. Pro m = 2k+1 je Γ( m 2 ) = Γ(k + 1 2 ) = (k 1 2 )(k 3 2 ) 1 2 Γ(1 2 ) = = (2k)! 2 2k k! π, a tedy κ 2k+1 = 22k+1 k!π k (2k)! Odtud κ 2 = 2π, κ 3 = 4π, κ 4 = 2π 2, κ 5 = 8 3 π2, κ 6 = π 3,..., k N.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 9 Příklad 3 (Důležitý!). Ukažte, že pro m N, m > 2 platí ( ) 1 S x m 2 = (2 m)κ m δ, zatímco pro m = 2 je (ln x ) S = 2πδ. Odvod te odtud tvar fundamentálních řešení Laplaceova oparátoru v dimenzích 2, 3, 4,... Definice (distribuce s kompaktním nosičem). Řekneme, že T S (R m ) má kompaktní nosič, pokud existuje kompakt K R m takový, že ϕ S (R m ), ϕ = na K = T(ϕ) =. (13) Množinu distribucí s kompaktním nosičem značíme S K (Rm ). Nejmenší kompaktní množinu s vlastostí (13) nazveme nosičem distribuce T a značíme supp (T). Příklad 4. δ a S K (Rm ) pro všechna a R m, supp (δ a ) = {a}; T := δ 3 + δ 4 S K (R), supp (T) = { 4, 3}; je-li Y (x) Heavisideova funkce, je Y (x)y (1 x) (regulární) distribuce s kompaktním nosičem, 1. 22.3 Lineární transformace distribucí Motivace: Pro x R m uvažujme lineární transformaci y := A x, kde A M m m je regulární matice. Uvažujme regulární distribuci T, generovanou funkcí f = f(x), tj. T(ϕ) = R f(x)ϕ(x) dx, a dále m transformovanou regulární distribuci T, generovanou funkcí f(y) = f(a 1 y), tj. T f(ϕ) = T(ϕ) = f(y)ϕ(y) dy = f(a 1 y)ϕ(y) dy. R m R m Pomocí věty o substituci (y=a x, dy= det A dx) je T(ϕ) = f(a 1 y)ϕ(y) dy = f(x)ϕ(ax) deta dx. R m R m To nás motivuje k následující definici. Definice (lineární transformace distribucí). Bud T S (R m ) a A M m m bud regulární matice. Definujeme ÃT S (R m ), distribuci lineárně transformovanou maticí A, předpisem ÃT(ϕ) := deta T(ϕ(Ax)), ϕ S (R m ). (14) Poznámka. Ãδ = deta δ, nebot pro všechna ϕ S je: Ãδ(ϕ) = δ(ϕ(ax)) deta = ϕ() deta = deta δ(ϕ). Odtud plyne, že je-li A M m m regulární matice splňující deta = 1, pak Ãδ = δ. Protože taková matice reprezentuje otočení, plyne odtud, že Diracova distribuce je invariantní vůči otočení souřadné soustavy. Definice. Řekneme, že T S (R m ) je sféricky symetrická distribuce, pokud platí ÃT = T pro všechny regulární matice A M m m, splňující deta = 1.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 1 Cvičení. Nalezněte fundamentální řešení jednorozměného vlnového operátoru, tj. u S (R 2 ), u = u(x, t), splňující 1 c 2 u tt u xx = δ, c >. Návod: pomocí transformace souřadnic ξ = ct x, η = ct + x převed te rovnici na u ξη = c 2 δ; ukažte, že rovnici u ξη = c 2 δ řeší funkce, která je rovna c 2 pro {ξ & η } a jinde je nulová; odvod te odtud, že fundamentálním řešením jednorozměného vlnového operátoru je funkce u, která je rovna c 2 pro { ct x ct} a jinde je nulová.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 11 23 Fourierova transformace 23.1 Fourierova transformace funkcí Fourierova transformace funkcí je jednou z takzvaných intergrálních transformací, které přiřazují jedné funkci jinou funkci prostřednictvím integrálu s parametrem: f f(x) K(x, ξ) dx M }{{} integrační jádro Fourierova transformace funkcí je charakterizována integračním jádrem typu c 1 exp(±c 2 i(x, ξ)), kde c 1 >, c 2 > jsou reálné konstanty a (x, ξ) = m j=1 x jξ j je skalární součin v R m. Konkrétní tvary Fourierovy transformace se liší volbou znaménka a konstant c 1, c 2 (různí autoři používají různé volby). Nejběžnější volbou je exp( i(x, ξ)) nebo exp( 2πi(x, 1 ξ)). (2π) m Definice (F.T. a zpětná F.T.). Bud f L 1 (R m ). Definujeme Fourierovu transformaci (někdy též přímou nebo "dopřednou") Fourierovu transformaci funkce f předpisem F[f](ξ) f(ξ) := f(x)e 2πi(x,ξ) dx; (1) R m zpětnou Fourierovu transformaci funkce f předpisem F 1 [f](ξ) f (ξ) := f(x)e 2πi(x,ξ) dx. (2) R m Poznámka. Je vidět, že f(ξ) = f ( ξ), resp. f( ξ) = f (ξ). POZOR! Obecně F 1 [F[f]] f! Tento vztah platí jen pro některé třídy funkcí (časem budeme specifikovat pro jaké). Funkci f nazýváme též Fourierovým obrazem funkce f, funkci f nazýváme též Fourierovým vzorem funkce f. Ve smyslu předchozí poznámky tedy ne vždy platí, že vzor obrazu nějaké funkce je tatáž funkce. Poznámka. Obecně lze ukázat, že pokud 2πAB = c, tvoří transformace f(ξ) := A m R m f(x)e ci(x,ξ) dx (3) a f (ξ) := B m R m f(x)e ci(x,ξ) dx (4) vzájemně kompatibilní dvojici dopředné a zpětné Fourierovy transformace. (Napište jako cvičení některé z nich: nejběžnější volby jsou (a) A = B = 1, c = 2π, (b) A = B = 1 2π, c = 1, resp (c) A = c = 1, B = 1 2π.) Věta 23.1 (vlastnosti symetrie pro F.T.). lichá) v proměnné ξ j. 1. Je-li f sudá (resp. lichá) v proměnné x j, je f i f sudá (resp. 2. Je-li m = 1, je f(ξ) = f(ξ) = i cos(2πxξ)f(x) dx pro f sudou, (5) sin(2πxξ)f(x) dx pro f lichou. (6)
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 12 3. Je-li f sféricky symetrická, je f i f sféricky symetrická a platí f = f. Věta 23.2 (F.T. v R 3 ). Bud f L 1 (R 3 ) sféricky symetrická funkce, f(x) = R(r), r = x. Potom f(ξ) = 2 ξ Věta 23.3 (posunutí a škálování). Platí: r R(r) sin(2πr ξ )dr, ξ. (7) f(x+z)(ξ) = e 2πi(ξ,z) f(ξ) f(αx)(ξ) = 1 f( ξ ) α m α z R m (8) α R, α. (9) Cvičení. Bud χ 1,1 (x) charakteristická funkce intervalu 1, 1, tj. funkce, která nabývá na tomto intervalu hodnoty 1, a mimo něj nabývá hodnoty. Ukažte, že χ 1,1 (x)(ξ) = sin(2πξ) πξ. Pomocí tvrzení o škálování (9) ukažte dále, že χ n 2π, n 2π (x)(ξ) = 1 sin(nξ) π ξ. Fourierovy obrazy takto "rozpínajících se charakteristických funkcí" (pro zvětšující se n) jsou tedy tlumeně a "stále více kmitající" sinusovky, které v nule (ve smyslu limity) nabývají hodnoty n. Cvičení. Ukažte, že ê πx2 = e πξ2, tedy že Fourierova transformace (tak, jak jsme ji definovali) zobrazuje funkci e πx2 samu na sebe. [Návod: je ê πx2 (ξ) = e πx2 e 2πixξ dx = e πξ2 e π(x+iξ)2 dx. } {{ } =:A(ξ) Pro výpočet A(ξ) využijte residuovou větu: integrujte funkci e πz2 přes obvod obdélníka o vrcholech R, R, R + iξ, R + iξ a ukažte, že po R dostanete identitu A(ξ) = A(), přičemž víme, že A() = 1.] Poznámka. Mějme f integrabilní na ( 1 2, 1 2 ) a 1-peridickou. Potom její komplexní Fourierův koeficient je definován jako c n = 1 2 1 2 f(x)e 2πinx dx. Pokud tutéž funkci f integrabilní na ( 1 2, 1 2 ) dodefinujeme nulou mimo interval ( 1 2, 1 2 ), dostaneme pro její Fourierovu transformaci f(ξ) = a tedy s uvedenou konvencí platí c n = f(n). 1 2 1 2 f(x)e 2πiξx dx, Poznámka. Uvedená analogie pokračuje takto: pro jisté funkce platí, že jsou rovny své komplexní Fourierově řadě: f(x) = c n e 2πinx, stejně tak bude pro jisté funkce platit f(x) = f(ξ)e 2πixξ dξ = ( f) (x).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 13 Věta 23.4 (Věta o inverzi I). Bud S (R m ) prostor rychle klesajících funkcí. Potom Fourierova transformace i zpětná Fourierova transformace zobrazují prostor S (R m ) prostě a na S (R m ): Navíc platí tzv. inverzní formule pro F.T., neboli F(S (R m )) = F 1 (S (R m )) = S (R m ). ( f) (x) = (f )(x) = f(x) x R m, f S (R m ) F 1 [F[f]](x) = F[F 1 [f]](x) = f(x) x R m, f S (R m ). Věta 23.5 (Věta o inverzi II). Je-li f L 1 (R m ), pak existuje f(ξ) ve všech bodech ξ a platí: f C(R m ), f(ξ) f 1, lim ξ f(ξ) =. Obecně ale nemusí být f prvkem prostoru L 1 (R m ). Je-li f L 1 (R m ) taková, že i f L 1 (R m ), pak inverzní formule pro F.T. platí pro skoro všechna x: neboli ( f) (x) = (f )(x) = f(x) pro s.v. x R m F 1 [F[f]](x) = F[F 1 [f]](x) = f(x) pro s.v. x R m. Definice (konvoluce funkcí). Bud te f, g L 1 (R m ). Pak definujeme jejich konvoluci jako (f g)(x) := f(x y)g(y) dy. (1) R m Věta 23.6 (základní vlastnosti konvoluce). Pro f, g L 1 (R m ) je f g L 1 (R m ), g f L 1 (R m ), a navíc Věta 23.7 (konvoluce a F.T.). f g = g f. Pro f, g L 1 (R m ) platí f g = f ĝ. Pokud je f, g, f,ĝ, f g L 1 (R m ), platí i f g = f ĝ. Věta 23.8 (vztah F.T., konvoluce a derivace na S ). Bud te f, g S (R m ). Potom i f g S (R m ), g f S (R m ), D α f, D α g S (R m ) (pro jakýkoli multiindex α); navíc platí D α (f g) = (D α f) g = f (D α g) D α xf(ξ) = (2πi) α ξ α f(ξ) Dξ α f(ξ) = ( 2πi) α xα f(x)(ξ) kde pro x = [x 1,...,x m ], α = (α 1,...,α m ), definujeme x α := x α 1 1 xαm m. Cvičení. Nalezněte metodou Fourierovy transformace (jedno, partikulární) řešení ODR y y = e x2. Ukažte, že jediné řešení rovnice y = v prostoru S (R) je identicky nulové řešení. Uvědomte si omezení, které tedy vynucuje metoda Fourierovy transformace, uvažovaná pouze v prostoru S (R).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 14 23.2 Fourierova transformace distribucí Lemma 23.9. Bud te f, g S (R m ), potom f(x)g(x) dx = f(x)ĝ(x) dx. (11) R m R m Definice. Bud T S (R m ). Definujme Fourierovu transformaci resp. zpětnou Fourierovu transformaci distribuce T jako T(ϕ) = T( ϕ), ϕ S (R m ), (12) resp. T (ϕ) = T(ϕ ), ϕ S (R m ). (13) Věta 23.1. Fourierova (resp. zpětná Fourierova) transformace je na S (R m ) dobře definovaná, tj. je-li T S (R m ), pak i T, T S (R m ). Fourierova transformace je prosté zobrazení prostoru S (R m ) na prostor S (R m ). Totéž tvrzení platí o i zpětné Fourierově transformaci. Pro všechna T S (R m ) platí ( T) = T = T. Cvičení. Ukažte, že pro T S (R m ) platí T(ϕ(x)) = T (ϕ( x)) a tedy pokud je T(ϕ(x)) = T(ϕ( x)) (těmto distribucím se někdy říká sudé distribuce), pak T = T. Cvičení. Spočtěte: δ = δ = 1, 1 = 1 = δ, δ a = e 2πiaξ, ê2πiax = δ a, sin x = 1 2i ( δ 1 δ 2π 1 2π ). Věta 23.11 (vztah F.T. a derivace na S ). Bud T S (R m ) a α multiindex; pak resp. D α T = (2πi) α ξ α T, D α T = ( 2πi) α xα T, (D α T) = ( 2πi) α ξ α (T), D α (T) = (2πi) α (x α T). Poznámka (parametrické distribuce). V případě, že T S (R m ) a ϕ = ϕ(x, y), kde x R m, y R k, píšeme místo T(ϕ(x, y)) často pro upřesnění T x (ϕ(x, y)), abychom zvýraznili skutečnost, že "distribuce T působí pouze na proměnnou x funkce ϕ". Výraz T x (ϕ(x, y)) pak obsahuje ještě "volnou proměnnou y". Takovému výrazu se někdy také říká distribuce s parametrem, stejně jako bychom integrálu T(x)ϕ(x, y) dx (pokud by T byla funkce) říkali integrál s parametrem. M
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 23: Fourierova transformace 15 Tvrzení 23.12. Bud T S K (Rm ), tj. distribuce s kompaktním nosičem. Potom T je regulární distribuce, tj. distribuce reprezentovaná funkcí f(ξ), kde f(ξ) ( T(ξ)) = T x (e 2πixξ ). Navíc, f C (R m ) je pomalu rostoucí v nekonečnu. Definice (Tenzorový součin funkcí a distribucí). Tenzorový součin funkcí f L 1 (R m ), g L 1 (R k ), resp. distribucí S S (R m ), T S (R k ) je definován takto: ( ) ( ) f g (x, y) := f(x)g(y), S T (ϕ) := S(T(ϕ(x, y))). x y Věta 23.13. Pro f L 1 (R m ), g L 1 (R k ), resp. S S (R m ), T S (R k ) platí f g(ξ, η) = f(ξ) ĝ(η), Ŝ T = Ŝ T. Definice (Konvoluce funkcí a distribucí). Konvoluce funkcí f, g L 1 (R m ) (pro zopakování) a distribucí S S, T S K je definována takto: ( ) f g (x) := f(x y)g(y)dy, R ( ) m S T (ϕ) := S(T(ϕ(x + y))). x y Věta 23.14 (Vztah F.T. a konvoluce v distribucích). Bud te S S, T S K. Potom Ŝ T = Ŝ T. Cvičení. Ukažte, že pro T S (R m ) platí: T = ; δ T = T ; D α δ T = D α T. Poznámka. Platí, že pokud studujeme konvoluci n distribucí T 1,...,T n S (R m ), přičemž alespoň (n 1) z nich má kompaktní nosič, je konvoluce T 1 T n komutativní a asociativní. Obecně však nemusí platit ani asociativita: ukažte, že 1 (δ Y ) = 1 Y = 1 δ = 1 zatímco (1 δ ) Y = Y =. Věta 23.15. Bud te S, T S (R m ), přičemž alespoň jedna z nich má kompaktní nosič. Potom (D α S) T = D α (S T) = S (D α T). Věta 23.16. Bud L lineární diferenciální operátor (obyčejný nebo parciální) s konstantními koeficienty. Necht u je fundamentální řešení operátoru L, tj. necht platí L(u ) S = δ. Bud f S taková, že konvoluce je dobře definovaná v S. Potom u := u f L(u) S = f.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 16 24 Parciální diferenciální rovnice 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla). Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x) u t div(k(x, t, u) u) = f(x, t) (1) nazýváme obecnou rovnicí vedení tepla. Zde c(x) má význam (bodové) měrné tepelné kapacity, ρ(x) je bodová hustota látky, k(x, t, u) je koeficient tepelné vodivosti a f(x, t) vyjadřuje hustotu tepelných zdrojů. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu teploty v čase t a bodě x. Poznámka. Zjednodušený model je charakterizovaný volbami c = ρ = 1, k = konst. = a 2 >. Potom má rovnice (1) tvar u t a2 u = f(x, t). (2) Rovnici (1) resp. (2) často doplňujeme tzv. počáteční podmínkou kde g představuje rozložení počáteční teploty v čase t =. Věta 24.1 (Fundamentální řešení operátoru vedení tepla). Bud operátor vedení tepla. Potom funkce (viz obrázek) u(x,) = g (x), x R m, (3) L(u) = u t a2 u, a >, (4) G(x, t) := 1 (4πa 2 t) m 2 e x 2 4a 2 t, x R m, t >, (5) je fundamentálním řešením operátoru L. Fundamentální řešení operátoru vedení tepla. Věta 24.2 (Řešení RVT). G(x, t) C (R m (, + )), lim t + G(, t) = +, lim t + G(x, t) = pro všechna x. R m G(x, t) dx = 1 pro všechna t >.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 17 Je-li g spojitá a omezená na R m, a f spojitá a omezená na R m (, T), pak u(x, t) := g(y)g(x y, t) dy (6) R m t + f(y, τ)g(x y, t τ) dy dτ, R m řeší na R m (, T) rovnici (2), a navíc splňuje počáteční podmínku lim (x,t) (x,+) u(x, t) = g(x ) pro všechna x R m. Poznámka. Úloze, kdy řešíme nějakou evoluční PDR na celém prostoru a pro t >, s počáteční podmínkou (nebo počátečními podmínkami) pro t =, říkáme Cauchyova úloha. Poznámka. S využitím explicitniho tvaru funkce G lze (6) psát jako 1 u(x, t) = g(y)e x y 2 (4πa 2 t) m 4a 2 t dy (7) 2 R m 1 t 1 + f(y, τ)e x y 2 (4πa 2 ) m 2 (t τ) m 4a 2 (t τ) dy dτ, 2 R m případně s využitím operátoru konvoluce jako u(x, t) = g(x) (x) G(x, t) + (f(x, t)y (t)) (x,t) (G(x, t)y (t)), kde Y je Heavisideova funkce, a index u operátoru konvoluce vyjadřuje, podle kterých proměnných konvoluce probíhá. Poznámka. V jednodimenzionálním případě se často řeší speciální úlohy vedení tepla s tzv. okrajovými podmínkami (a také s počáteční podmínkou pro t = ). Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u(, t) = pro t > (tzv. Dirichletova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující hodnoty funkce), tj. tzv. Dirichletovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme liše na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky lichosti g podmínku u(, t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT v prvním kvadrantu s počáteční podmínkou g, zadanou pro x >, a okrajovou podmínkou u x (, t) = pro t > (tzv. Neumannova okrajová podmínka, tj. okrajová podmínka předepisující derivace funkce), tj. tzv. Neumannovu úlohu, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě na R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. Výsledná funkce u splňuje díky sudosti g podmínku u x (, t) = pro t >. Poznámka. Úlohu pro RVT na omezeném intervalu a, b s počáteční podmínkou g, zadanou pro x a, b, a s nulovými okrajovými podmínkami Dirichletova a/nebo Neumannova typu jako výše, řešíme tak, že funkci g rozšíříme sudě vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Neumannova podmínka, a liše vzhledem ke krajnímu bodu, v nemž je předepsána Dirichletova podmínka. Poté ji rozšíříme periodicky na celé R a řešíme Cauchyovu úlohu (na celém R) s takto rozšířenou počáteční podmínkou. K vyřešení této úlohy využijeme následující tvrzení. Tvrzení 24.3 (vedení tepla na tyči). Necht g(x) = n Z b ne 2π p inx je p-periodická, po částech hladká omezená funkce na R. Potom funkce u(x, t) := n Z b n e 4π2 a 2 n 2t e 2π p inx je řešením Cauchyovy úlohy pro rovnici vedení tepla s počáteční podmínkou g. Navíc, je-li g lichá (resp. sudá) vzhledem k bodu a R, je u(a, t) = pro t > (resp. u x (a, t) = pro t > ).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 18 Cvičení. Řešte úlohu vedení tepla na R m, m 2, s nulovou počáteční podmínkou a s pravou stranou f = δ x Y (t) (ve všech kladných časech je v počátku jednotkový bodový zdroj tepla). Studujte chování řešení této úlohy pro t +, konkrétně ukažte: pro m = 2 je lim t + u(x, t) = +, prostor R 2 se působením vytrvalého bodového zdroje tepla "přehřívá"; pro m > 2 je lim t + u(x, t) = 1 (m 2)κ m x m 2, v prostoru R m pro m > 2 je dosaženo rovnovážného rozložení teploty, které je rovno fundamentálnímu řešení Laplaceova operátoru v R m. 24.2 Vlnová rovnice Definice (Vlnová rovnice). Parciální diferenciální rovnici 1 2 u c 2 t 2 u = f(x, t), x Rm, t >, (8) nazýváme lineární vlnovou rovnicí. Zde c > má význam rychlosti šíření vlny a f(x, t) vyjadřuje hustotu vnějších sil. Hodnota řešení u(x, t) pak vyjadřuje hodnotu výchylky vlny v čase t a bodě x. Poznámka. Rovnici (8) často doplňujeme dvěma počátečními podmínkami: u(x,) = g (x), x R m, (9) a u t (x,) = g 1(x), x R m. (1) Zde g má význam hodnoty počáteční výchylky a g 1 má význam rychlosti počáteční výchylky. Poznámka. Díky linearitě rovnice (8) i podmínek (9), (1) lze snadno ukázat tzv. princip superpozice řešení: úlohu (8) (1) řeší funkce u = u + u 1 + u 2, kde u resp. u 1 resp. u 2 jsou řešení (8) (1) postupně s daty f =, g 1 = resp. f =, g = resp. g =, g 1 =. Poznámka. Dále lze (již ne tak jednoduše) ukázat, že u = E (x) g, u 1 = E 1 (x) g 1, u 2 = E 2 (x,t) f Y (t), kde Y (t) je Heavisideova funkce, a E (x, t), E 1 (x, t), E 2 (x, t) splňují Ê(ξ, t) = Ê1(ξ, t) = sin(2πc ξ t), 2πc ξ Ê (ξ, t) = cos(2πc ξ t) = d dtê(ξ, t), Ê 2 (ξ, t) = c 2sin(2πc ξ t) Y (t) = c 2 Ê(ξ, t) Y (t), 2πc ξ přičemž symbol značí Fourierovu transformaci vzhledem k proměnné x. sin(2πc ξ t) Věta 24.4. Bud Ê(ξ, t) = 2πc ξ a E(x, t) bud její vzor ve Fourierově transformaci podle proměnné x. Potom u(x, t) := d ( ) E (x) g + E (x) g 1 + c 2 ( E Y (t) dt (x,t) f Y (t) ) je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f, které splňuje počáteční podmínky (9), (1) s funkcemi g, g 1. Pozn. Mlčky předpokládáme, že funkce (případně distribuce) g, g 1, f jsou takové, že všechny uvedené operace jsou dobře definovány. Funkci (resp. obecně distribuci) E nazýváme fundamentálním řešením vlnového operátoru.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 19 Věta 24.5 (Vlnová rovnice v R 1, d Alembertův vzorec). Bud te g C 2 (R), g 1 C 1 (R), f C 1 (R (, T)). Potom u(x, t) := g (x + ct) + g (x ct) + 1 2 2c + c 2 t x+c(t τ) x c(t τ) f(y, τ) dy dτ x+ct x ct g 1 (y) dy je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 1, které splňuje počáteční podmínky (9), (1) s funkcemi g, g 1. Věta 24.6 (Fundamentální řešení vlnového operátoru v R 2 a R 3 ). Pro fundamentální řešení vlnového operátoru v R m platí 1 m = 2 = E(x, t) = 2πc (c 2 t 2 x 2 ) + m = 3 = E(x, t) = 1 4πc 2 t ν ct kde symbolem (...) + rozumíme: "funkce E je dodefinovaná nulou všude tam, kde by výraz pod odmocninou byl nulový nebo záporný", a ν ct je plošná distribuce na sféře s poloměrem ct, působící přes proměnnou x R m. Věta 24.7 (Vlnová rovnice v R 2 ). Bud te g C 3 (R 2 ), g 1 C 2 (R 2 ), f C 1 (R 2 (, T)). Potom u(x, t) := 1 d g (x y) 2πc dt y ct c 2 t 2 y dy 2 + 1 g 1 (x y) 2πc y ct c 2 t 2 y dy 2 + c t f(x y, t τ) dy dτ 2π c 2 τ 2 y 2 y cτ je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 2, které splňuje počáteční podmínky (9), (1) s funkcemi g, g 1. Věta 24.8 (Vlnová rovnice v R 3 ). Bud te g C 3 (R 3 ), g 1 C 2 (R 3 ), f C 2 (R 3 (, T)). Potom ( 1 g u(x, t) := 4πct S ct() ct + g ) (x y)ds(y) n + 1 4πc 2 g 1 (x y)ds(y) t + 1 4π S ct() ct S r() f ( x y, t r ) c ds(y) dr r je řešením vlnové rovnice (8) s pravou stranou f v R 3, které splňuje počáteční podmínky (9), (1) s funkcemi g, g 1. 24.3 Laplace-Poissonova rovnice Definice. Bud Ω R m oblast s dostatečně hladkou hranicí. Laplace-Poissonovou rovnicí v Ω rozumíme rovnici u = f, x Ω, (11)
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 2 kde f je daná funkce. (Je-li f =, mluvíme o (11) jako o Laplaceově rovnici.) Rovnici (11) často doplňujeme o okrajové podmínky, a to Dirichletova typu (u = g na Ω), Neumannova typu ( u n = h na Ω), nebo smíšeného typu, kdy je na části Ω zadána Dirichletova a na části Neumannova okrajová podmínka. Podle toho mluvíme o Dirichletově, Neumannově nebo smíšené úloze. Věta 24.9 (Řešení Poissonovy rovnice v R m ). řešení Laplaceova operátoru, tedy Bud f S (R m ), m 2 a bud U fundamentální U(x) = 1 (m 2)κ m x m 2, m > 2, U(x) = 1 2π ln 1 x, m = 2. Potom funkce u := U f řeší rovnici u = f v prostoru S (R m ) (vždy, když je daná konvoluce dobře definovaná). Řešení rovnice u = f v prostoru S (R m ) je určeno jednoznačně až na harmonický polynom, tedy polynom P splňující rovnici P =. Věta 24.1 (Řešení Dirichletovy úlohy v Ω). Řešení rovnice u = na oblasti Ω s (Dirichletovou) okrajovou podmínkou u = g na Ω je jednoznačné, pokud 1. Ω R m, m 2 je omezená oblast, nebo 2. Ω R 2 je (obecně i neomezená) oblast a předpokládáme omezenost řešení u, nebo 3. Ω R m, m 2 je neomezená oblast a předpokládáme, že existuje koule B R () a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B R (). Poznámka. Omezenost řešení ve druhém bodě je podstatná. Například funkce u(x, y) = y i u(x, y) = řeší Laplaceovu rovnici na horní polorovině s okrajovou podmínkou u(x, ) =. Bod tři je vyjádřením skutečnosti, že řešení Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici na neomezené oblasti je jednoznačné ve třídě funkcí, které "v nekonečnu klesají stejně rychle jako elementární řešení". Věta 24.11 (Dirichletova úloha na horní polorovině). Bud u (x, y) = 1 π y x 2 + y 2. Bud dále g = g(x) omezená lokálně integrovatelná funkce taková, že pro všechna (x, y) R (, ) existuje vlastní konvoluce u(x, y) := g( ) (x) u (, y) = y π g(t) (x t) 2 dt. (12) + y2 Potom funkce u(x, y) definovaná předpisem (12) je omezená, řeší rovnici u = v horní polorovině {(x, y) R 2 ; y > }, a přitom splňuje okrajovou podmínku u(x,) = g(x) ve smyslu limity ve všech bodech spojitosti funkce g. Příklad 1. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici na horní polorovině s podmínkou u(x, ) = g(x) = χ a,b (x). Ukažte, že řešením je funkce u(x, y) = 1 π ( arctg x b arctg x a ). y y
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 21 Řešení Příkladu 1 Věta 24.12 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( r R) n e inϕ, (13) r (, R), ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Řešení Dirichletovy úlohy na kruhu, u(r,α) = 4 n=1 rn ( 1) n cos(3nα) n 2 +4. Věta 24.13 (Dirichletova úloha na kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sint]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 π R 2 r 2 g(t) 2π π R 2 dt, (14) 2rR cos(ϕ t) + r2 r (, R), ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 22 Věta 24.14 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení řadou). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(α) = n Z a ne inα funkce, rovnající se součtu své Fourierovy řady pro α R. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := n Z a n ( R r ) n e inϕ, (15) r > R, ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Věta 24.15 (Dirichletova úloha na vnějšku kruhu - řešení integrálem). Bud K R R 2 kruh o poloměru R > a bud g(t), t π, π) funkce, zadaná na hranici kruhu, tj. v bodech tvaru [R cos t, R sint]. Potom (sféricky symetrická) funkce u(x, y) = u(r, ϕ), definovaná předpisem u(r, ϕ) := 1 2π π π g(t) r 2 R 2 R 2 dt, (16) 2rR cos(ϕ t) + r2 r > R, ϕ (, 2π), řeší (po spojitém dodefinování) rovnici u = na vnějšku kruhu K R a splňuje okrajovou podmínku u(r, ϕ) = g(ϕ) ve smyslu limity v bodech spojitosti g. Navíc u je omezená na svém definičním oboru. Zajímavá otázka: je-li zadáno g na hranici kruhu K R R 2 o poloměru R > jako v předchozích dvou větách, a definujeme-li u uvnitř a vně kruhu řadami (13) a (15), případně integrály (14) a (16), bude pak u řešením Laplaceovy rovnice na celém R 2? Z následující věty plyne, že odpověd je záporná. Věta 24.16 (Liouville). Bud u C 2 (R m ), u = v R m, která je alespoň jednostranně omezená v R m. Potom u je konstantní v R m. Z Liouvilleovy věty tedy plyne, že v bodech kružnice bud nemůže být u třídy C 2 nebo v nich nemůže splňovat Laplaceovu rovnici. Věta 24.17 (o řešení Dirichletovy úlohy na kouli). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = 1 g(y) R2 x 2 ds(y), x < R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (B R ()) C(B R ()), u = v B R () a u = g na S R (). Věta 24.18 (o řešení Dirichletovy úlohy vně koule). Bud g spojitá na sféře S R () R m a definujme funkci u(x) předpisem u(x) = 1 g(y) x 2 R 2 ds(y), x > R. κ m R S R () x y m Potom u C 2 (R m \ B R ()) C(R m \ B R ()), u = v R m \ B R () a u = g na S R (). Navíc existuje koule B() a konstanta c > takové, že u(x) c/ x m 2 vně koule B(). Věta 24.19 (o průměru). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom pro všechna x Ω a všechny koule B R (x) Ω platí 1 1 u(x) = u(y)ds(y) = u(y)dy. S R () S R () B R () B R () Věta 24.2 (princip maxima a minima). Bud Ω R m omezená oblast s dostatečně hladkou hranicí, u C 2 (Ω) C(Ω), u = v Ω. Potom u nabývá svého maxima a minima na hranici Ω. Věta 24.21 (o regularitě). Bud Ω R m omezená oblast, u C 2 (Ω), u = v Ω. Potom u C (Ω).
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 23 24.4 Transportní rovnice, metoda charakteristik V této sekci budeme uvažovat rovnici lineárního transportu u t + a(x, t) u = f(x, t), x Rm, t >, (17) kde a je dané spojité vektorové pole a f je daná spojitá pravá strana, resp., pro f = ("bez vnějších sil"), u t + a(x, t) u =, x Rm, t >. (18) Rovnici (17) resp. (18) doplňujeme o počáteční podmínku tvaru u(x,) = g(x), x R m. (19) Řešení úlohy (18) (19) (s f = ) lze hledat tzv. metodou charakteristik. Definice. Rovnici (18) přiřadíme systém obyčejných diferenciálních rovnic (zvaný též charakteristický systém rovnice (18)) pro neznámé funkce t = t(s), x j = x j (s), j = 1,...,m, d t(s) = 1, ds (2) d ds x ( ) j(s) = a j x(s), t(s)), j = 1,...,m, (21) s (α, β) R, kde a = (a 1,...,a m ) jsou funkce z (18). Každé klasické řešení (x, t) : (α, β) R m (, ) systému rovnic (2) (21) nazvu charakteristikou (charakteristickou křivkou) rovnice (18). Poznámka. Charakteristika je tedy křivka v R m (, ), jejíž parametrizace je dána zobrazením z (x, t) : (α, β) R m (, ). Vzhledem k tomu, že systém (2) (21) je systém se spojitými pravými stranami a j, existuje podle teorie ODR řešení tohoto systému alespoň lokálně v okolí každé počáteční podmínky typu t(s) = t, x j (s) = x j, (x,t) R m (, ), (22) kde s (α, β) je hodnota parametru, odpovídající počáteční podmínce. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že s = (α, β). Studujme nyní chování funkce u C 1 (R m (, T)) na charakteristice ( x(s), t(s)), přiřazené (18). Derivováním podle s (a s uvážením, že x = x(s), t = t(s)) dostaneme: d m u(x, t) = ds = j= u x j (x, t) d ds x j(s) + u t (x, t) d ds t(s) = m ( ) u a j x, t) (x, t) + u (x, t). x j t j= Je-li levá strana této identity nulová, znamená to, že funkce u je konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)). Nulovost pravé strany pak znamená, že funkce u je klasickým řešením rovnice (18) v bodech, které leží na charakteristice. Odtud plyne následující lemma. Lemma 24.22. Uvažujme funkci u C 1 (Ω T ), kde Ω T (, T) R m je neprázdná oblast. 1. Bud u konstantní na charakteristice ( x(s), t(s)), s (α, β), ležící v Ω T, a přiřazené rovnici (18). Potom funkce u řeší v klasickém smyslu rovnici (18) v bodech charakteristiky, ležících v Ω T.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 24 2. Necht naopak u je klasické řešení rovnice (18) v oblasti Ω T. Potom u je konstantní na libovolné charakteristice, ležící v oblasti Ω T. Nepřesně, ale poněkud výstižněji lze uvedené lemma vyjádřit sloganem: u řeší (18) u je konstantní na charakteristikách. Příklad 2. Řešte rovnici u t + x u x = s obecnou počáteční podmínkou u, a poté s konkrétní počáteční podmínkou u (x) = e x2, x R. Řešení: Charakteristika, procházející bodem [x, t], x, t >, má rovnici t = ln x + (t ln x ), jde tedy o "logaritmický vějíř", viz obrázek. Na základě toho lze explicite vyjádřit řešení uvedené rovnice pro data u C 1 (R), a sice u(x, t) = u (xe t ). Pro u (x) = e x2, x R, dostaneme u(x, t) = exp( x 2 e 2t ), x R, t, viz obrázek. 5 4 3 y 2 1 4 2 2 4 x Charakteristiky rovnice u t + xu x =. 1.8.6.4.2 3 2 4 2 1 2 t x 4 Funkce u(x,t) = e x2 e 2t pro x 5,5, t,3. 24.5 Fourierova metoda rozdělení proměnných Fourierova metoda rozdělení proměnných slouží k hledání řešení okrajových resp. počátečně-okrajových úloh pro některé PDR (například pro Laplace-Poissonovu rovnici, rovnici vedení tepla, vlnovou rovnici...) na oblastech, které lze psát jako kartézský součin jednorozměrných intervalů. Postup budeme ilustrovat na následujících úlohách:
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 25 Příklad 3. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami (pro g C(, a ), g() = g(a) = ): Postup při řešení. u(x,) = g(x), x, a, u(x, b) =, x, a, u(, y) =, y, b, u(a, y) =, y, b. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = X(x) Y (y) (s tzv. rozdělenými proměnnými), předpokládáme X, Y. Po dosazení do Laplaceovy rovnice dostaneme u(x, y) = X (x) Y (y)+x(x) Y (y) =, odkud X X = Y Y = λ = const. (jde o rovnost funkce proměnné x a funkce proměnné y, proto obě musí být konstantní.) Má-li být u(, y) = X() Y (y) =, y, b, musí být X() =, podobně X(a) =. Okrajová úloha pro X(x) tvaru X = λx na (, a), X() =, X(a) =, má nenulové řešení jen pro λ = λ n = ( nπ a )2, potom X n (x) = sin( nπ a x) (až na násobek libovolnou konstantou). Podmínku u(x, b) = X n (x) Y (b) =, x, a lze splnit volbou Y (b) =, podmínku u(x,) = X n (x) Y () = g(x), x, a, však obecně splnit nelze, budeme ji muset řešit jinak. Řešíme tedy úlohu pro Y n (x) tvaru Y = λ n Y n na (, b) jen s podmínkou Y n (b) = (s již spočtenými konstantami λ n ), a hledáme nenulové řešení. Dostaneme Y n (y) = 2e nπ a b sinh( nπ a (y b)) (až na násobek libovolnou konstantou). Abychom splnili i poslední okrajovou podmínku (s funkcí g), hledáme u ve tvaru s neznámými konstantami c n. u(x, y) = c n X n (x)y n (y) n=1 Víme, že g() = g(a) =, a předpokládejme, že g lze rozvinout na x, a do Fourierovy řady v systému X n (x), tj. g(x) = n=1 γ nx n (x). Pak z okrajové podmínky u(x,) = g(x), tedy n=1 c nx n (x)y n () = n=1 γ nx n (x) dostaneme γ n = c n Y n (), odkud spočteme dosud neznámé kostanty c n. Proved te celý výpočet a ukažte, že kde u(x, y) = sinh( nπ a (b y)) a n sinh( nπ a b) n=1 a n = 2 a a ( nπ ) g(x) sin a x dx. ( nπ ) sin a x, Příklad 4. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g 1 (x), x, a, u(, y) = g 3 (y), y, b, u(x, b) = g 2 (x), x, a, u(a, y) = g 4 (y), y, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech a jsou nulové v krajních bodech těchto intervalů.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 24: Parciální diferenciální rovnice 26 Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u = u 1 + u 2 + u 3 + u 4, kde u j (x, y) = na obdélníku (, a) (, b) pro všechna j = 1, 2, 3, 4, a přitom u j = g j na odpovídající části hranice obdélníku a na ostatních částech hranice je u j nulová. Tímto stojíme před čtyřmi úlohami předešlého typu, které vyřešíme jako v předešlém příkladě. Příklad 5. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplaceovu rovnici u(x, y) = na obdélníku (, a) (, b), s okrajovými podmínkami u(x,) = g 1 (x), x, a, u(, y) = g 3 (y), y, b, u(x, b) = g 2 (x), x, a, u(a, y) = g 4 (y), y, b. Přitom předpokládáme, že funkce g j (x), j = 1, 2, 3, 4 jsou spojité na svých definičních intervalech, mají v rozích obdélníka obecně nenulové hodnoty, přičemž ovšem okrajová podmínka je spojitá na obvodu celého obdélníka, tedy g 1 () = g 3 (), g 1 (a) = g 4 (), g 2 () = g 3 (b), g 2 (a) = g 4 (b). Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = v(x, y) + c(x, y), kde c(x, y) = c + c 1 x + c 2 y + c 3 xy. Potom c(x, y) = na obdélníku (, a) (, b) a vhodnou volbou konstant c 1, c 2, c 3, c 4 lze dosáhnout toho, aby funkce c(x, y) měla v rozích obdélníka stejné hodnoty jako funkce g j. Tím jsme úlohu převedli na úlohu pro neznámou funkci v(x, y), splňující v(x, y) = na obdélníku (, a) (, b) s novou okrajovou podmínkou na všech čtyřech stanách obdélníka, která má však v rozích nulové hodnoty, tj. na úlohu předešlého typu. Příklad 6. Řešte Dirichletovu úlohu pro Laplace-Poissonovu rovnici u(x, y) = f(x, y) na obdélníku (, a) (, b), s nulovými okrajovými podmínkami. Přitom předpokládáme, že funkci f lze (alespoň pro skoro všechna y (, b)) rozvinout do sinové Fourierovy řady vzhledem k proměnné x, tj. f(x, y) = n=1 ( nπ ) f n (y)sin a x, kde tedy f n (y) = 2 a a ( nπ ) f(x, y)sin a x dx. Postup při řešení. Hledáme u ve tvaru u(x, y) = n=1 c n(y)sin ( nπ a x). Dosazením u a f do původní rovnice a porovnáním koeficientů ve Fourierových řadách dostaneme rovnice pro neznámé funkce c n ( nπ c n(y) a a okrajové podmínky, které mají splňovat: ) 2 cn (y) = f n (y) c n () = c n (b) =. Dořešte úlohu.