STUDIJNÍ OPORA Název opory/předmětu: Matematické metody počítačového zpracování dat

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA METALURGIE A MATERIÁLOVÉHO INŽENÝRSTVÍ STUDIJNÍ OPORA Název opory/předmětu: Mtemtické metody počítčového zprcování dt Číslo předmětu: 638-305 Autor/Autoři: Jiří Dvid (ktedr: 638) Ostrv 06

Popis předmětu: Předmět se zbývá problemtikou získání zákldního souboru vědomostí o principech mtemtických metod počítčového zprcování dt při řešení inženýrských výpočtů. Důrz je klden n získání prktických zkušeností s používáním probírných metod, odhdy chyb výsledku demonstrci jejich vlstností při řešení inženýrských úloh z pomoci progrmu Mtlb. Nvzující mgisterské studium 638808 Zřzení předmětu:. ročník,. semestr Rozsh: + Přednášející: doc. Ing. Jiří Dvid, Ph.D;.místnost A 556, tel.: 59 73/563, j.dvid@vsb.cz Způsob ukončení předmětu : zkoušk Podmínky zápočtu: splnění studijních podmínek dle Studijního zkušebního řádu FMMI, min. účst n cvičení: 86 %, odevzdání semestrálního projektu. Zkoušk: kombinovná sestávjící z písemné ústní části dle zkušeních témt Zkušební témt. Inženýrské tbulky výpočty. Problemtik chyb, podmíněnost stbilit výpočtů. 3. Metody řešení nelineárních rovnic. 4. Přímé metody řešení soustv lineárních rovnic. Vlstní čísl vlstní vektory, jejich numerický výpočet. 5. Iterční metody řešení soustv lineárních rovnic. 6. Aproimce funkcí, metod nejmenších čtverců 7. Interpolce funkcí 8. Zvyšování přesnosti výpočtů etrpolcí 9. Komplení úlohy s využitím nlytických nástrojů 0. Numerický výpočet integrálu derivce. Lineární progrmování. Nelineární progrmování 3. Jednokrokové metody pro řešení počátečních úloh pro obyčejné diferenciální rovnice. Vícekrokové metody. 4. Obyčejné diferenciální rovnice počáteční úlohy okrjové úlohy. 5. Soustv diferenciálních rovnic. 6. Semestrální projekt

STRUKTURA KAPITOL Čs ke studiu Cíl Výkld Příkld z pre, Řešený příkld Animce, Video Shrnutí pojmů Otázky Použitá litertur Klíč k řešení 3

. Úvod hodinu Čs ke studiu Cíl Zákldní pojmy z oblsti numerické mtemtiky lgoritmů. Výkld Numerická mtemtik je věd, která se zbývá řešením mtemticky formulovných úloh pomocí logických opercí ritmetických opercí s čísly o konečné délce. typy mtemticky formulovných úloh numericky formulovné úlohy - jednoznčný funkční vzth mezi konečným počtem vstupních výstupních dt, jedná se obvykle o lgebrické úlohy, někdy je možno nlézt teoretické řešení úlohy pomocí konečné posloupnosti ritmetických logických opercí, jindy ne (lze nlézt pouze přibližné řešení) úlohy, které nejsou numericky formulovné - obvykle úlohy mtemtické nlýzy, ve kterých je obsžen nekonečně krátký krok (npř. výpočet derivce, integrálu, řešení diferenciální rovnice); tyto úlohy je třeb nějkým způsobem převést n numerické úlohy Numerickou metodou rozumíme postup výpočtu numerické úlohy nebo její převod n úlohu jednodušší či postup, který nhrzuje mtemtickou úlohu úlohou numerickou. Numerické metody: řešení mtemtických problémů s libovolnou přesností po provedení konečného počtu ritmetických logických opercí. Algoritmem rozumíme relizci numerické metody, tj. konkrétní konečnou posloupnost opercí, která s poždovnou přesností převede vstupní dt n výsledné hodnoty. Algoritmus lze progrmovt n počítči. 4

PP + PP + PP + PP + PP + PP = PP =. Zdroje chyb stbilit při numerickém řešení uvžovných problémů hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní pojmy v oblsti zdrojů chyb při řešení numerických úloh. Výkld Zdroje typy chyb Chyby ve vstupních údjích nepřesnost měřicích přístrojů nepřesný mtemtický model Chyby způsobené použitou numerickou metodou (Trunction errors) chyby metody Zokrouhlovcí chyby (Roundoff errors) - v důsledku zokrouhlování při výpočtech s čísly o konečné délce Čísl N = {,, 3, } přirozená čísl Z = {, -3, -, -, 0,,, 3, } celá čísl p, kde p, q Z, q 0 rcionální čísl konečný nebo nekonečný periodický desetinný zlomek q, log 3, π, ircionální čísl nekonečné neperiodické desetinné zlomky R reálná čísl = rcionální + ircionální čísl Zobrzení čísel v počítči Dvojková soustv {0, } 7 6 5 4 PP PP 000 =.PP 0.PP 0.PP +.PP + + = 570 3 PP.PP + Osmičková soustv {0,,, 3, 4, 5, 6, 7} (00 0 0) = 358 =.8PP 3.8PP 5.8PP 0 5 PP PP.PP + 0.PP + 0 PP.PP = 8 + 4 + 5 = 57 0 Šestnáctková soustv {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 0 (00 0) =9D6 = 9.6PP 3.6PP 44 + 3 = 570 Neúplná čísl A přesná hodnot veličiny přibližná hodnot (proimce přesné hodnoty A) A- bsolutní chyb proimce A reltivní chyb proimce 8 + 0 + 0 + 6 + 8 + 4 + 0

A neúplné číslo ; intervl pro proimci ; pltí: A pro střední proimci + = pltí: A = α A = ±α zápis neúplného čísl A α.00 chyb) = A α = δ reltivní chyb střední proimce neúplného čísl A reltivní chyb střední proimce neúplného čísl A vyjádřená v % (procentuální Zokrouhlování ( d ) má d desetinných míst z desetinnou čárkou ( d ) je správně zokrouhlenou hodnotou čísl A když Je-li A =. 0 ( d ) d A. 0 ( d ) d, zokrouhlujeme vždy n sudou poslední číslici. k-té desetinné místo z desetinnou čárkou čísl je pltné když Počítání s neúplnými čísly předpokld: kldná čísl A A = ± α b B B = b ± β b A. 0 k Součet + b A + B + b střední proimce součtu ( + b ) + ( + b ) + b + b = + bsolutní chyb proimce součtu ( + b ) ( + b ) b b = + reltivní chyb součtu α + β + b = + b = α + β Rozdíl opčné číslo k číslu B je určeno intervlem b; b A b B b b A B b 6

střední proimce rozdílu ( b ) + ( b ) + b + b = bsolutní chyb proimce rozdílu ( b ) ( b ) b b = + reltivní chyb rozdílu α + β b = b = α + β Součin α A = ± α = ± = ± A β B = b ± β = b ± = b ± δ B b totéž v jiné formě zápisu δ A + δ ( A ) ( A ) ( δ ) B b( + δ ) ( δ ) ( ) b B B po vynásobení b δ δ AB b + δ + δ ( A )( B ) ( A )( B ) ( δ δ + δ δ ) AB b( + δ + δ + δ δ ) b A B A B po znedbání součinu δ Aδ B obdržíme b ( δ A + δ B ) AB b + δ A + δ B totéž v jiné formě zápisu AB = b[ ± ( δ A + δ B )] nebo AB = b ± b( δ A + δ B ) závěr: [ ] [ ( )] střední proimce součinu je b reltivní chyb střední proimce součinu: δ = δ + δ A bsolutní chyb střední proimce součinu: b( ) b = b Podíl odvození reltivní chyby střední proimce čísl c γ C c + γ b β B b + β pro B pk pltí B AB A B A B α β δ A + δ B = + α + β b C = B b + β B b β z porovnání výše uvedených vzthů vyplývá pro dolní mez: c γ = pro horní mez: b + β c + γ = b β 7

( c γ )( b + β ) = ( c + γ )( b β ) = po sloučení cβ γ b = cβ + γ b β γ = b c To znmená, že reltivní chyb střední proimce čísl proimce čísl B. δ C = δ B Z toho plyne δ = δ + δ = δ + δ = δ AC Závěr: A C A B A B střední proimce podílu je b reltivní chyb střední proimce podílu: δ = δ + δ bsolutní chyb střední proimce podílu: ( δ + δ ) A B b A A B B C = je rovn reltivní chybě střední B Zjednodušující prvidl V součtu rozdílu ponecháme tolik číslic z desetinnou čárkou, kolik jich má sčítnec s nejmenším počtem pltných číslic z desetinnou čárkou. V součinu podílu ponecháme tolik číslic, kolik jich má neúplné číslo s nejmenším počtem pltných číslic. Během výpočtů nezokrouhlujeme mezivýsledky, prcujeme s mimální možnou přesností, zokrouhlujeme jenom výsledek. Jsme-li nuceni zokrouhlovt i mezivýsledky, pk ponecháme lespoň o dvě číslice více než doporučují první dvě prvidl. Definice chyb - přesná hodnot ~ - přibližná hodnot A() - bsolutní chyb () - odhd bsolutní chyby R() - reltivní chyb r() - odhd reltivní chyby Intervlový odhd 8

jsou nechť PP ~ Reltivní chyb Počet pltných číslic Nechť 0, zpíšeme pomocí číslic,,, n m n nechť,,, m pltné cifry, 0. Pk Přesnost výpočtu je obvykle dán reltivní chybou. Chyby metody (proimce) Při výpočtech derivce, integrálu pod. nhrzujeme nekonečně krátký krok d konečným krokem h Tento typ chyby nijk nesouvisí se zokrouhlováním veličinu lze proimovt mnoh různými způsoby Řád metody - Je-li chyb δy veličiny y úměrná δy ~ hpp Ukázky různých způsobů proimce - odvození chyby metody derivce α α O(hPP PP ) pk α nzýváme řádem metody integrál - obdélníková metod šířk intervlu b h = N 9

yh = pro chyb v podintervlu = = celková chyb Chyb metody vyššího řádu klesá rychleji při zmenšování kroku h. Pokud jsou metody jink rovnocenné, vybereme metodu vyššího řádu. Znlost řádu metody umožňuje: Odhd chyby Zpřesnění výsledku Nejjednodušší způsob - spočtu odhdy výsledku yh Příkld pro metodu.řádu y + h + b h krok h yh/ pro krok h/ yh/ = Koeficienty,b čsto nemohu spočítt, le přesto pltí = tedy kombincí yh yh/ je chyb odhdnut řád metody o zvýšen. Zokrouhlovcí chyby TTReprezentce čísl v počítčitt TTŠíření chyb ve výpočtechtt TTZávislost chrkteru chyby n velikosti kroku htt Reprezentce čísl v počítči Celá čísl - přesné výpočty, velmi omezený rozsh INTEGER - byty (INTEGER*) - 6 bitů 6 čísel LONGINT - 4 byty (INTEGER*4) - 3 byty 3 čísel 0

Reálná čísl - čísl v pohyblivé desetinné tečce - FLOATING POINT vědecký tvr čísl V počítči mntis eponent v dvojkové soustvě. Délk MANTISY - tj. počet bitů n mntisu přesnost čísl; přesnost počet čísel mezi intervl mezi čísly mezi je rovnoměrný - do pměti se mohou ukládt jenom čísl, +, +,, -. Čím více bitů n mntisu, tím menší menší chyby při zokrouhlování (u mezivýsledků je v registrech procesoru přesnost vyšší). Byly uvedeny všechny mntisy, při změnách změnách eponentů se krok mezi čísly zvýší úměrně eponent (reltivní chyb čísl se le nemění). Délk EXPONENTU - tj. počet bitů n eponent - určuje rozsh; pozn. eponent se zvlášť musí vyhrdit pro 0, která nemá logritmus, mntisy u tohoto eponentu lze využít pro vyznčení chyb (overflow, undefined), dále se může využít pro řídkou síť čísel pod minimem k ošetření podtečení (underflow) 8 - bitů n eponent 8 bitů n eponent npř. 9 bitů n eponent - 0 bitů n eponent - bitů n eponent - Jednoduchá přesnost = 4 byty TurboPscl - Single Fortrn - Rel = Rel*4 norm IEEE ne dělení M-E čsto bit znménko + 8 bitů eponent + 3 bitů mntis Přesnost,5 = 6 bytů TurboPscl - Rel bit znménko + 8 bitů eponent + 39 bitů mntis Dvojitá přesnost = 8 bytů TurboPscl - Double Fortrn - Double = Rel*8 norm IEEE čsto bit znménko + bitů eponent

+ 5 bit mntis Dlší typy TurboPscl - Etended (Rel*0), Comp (Integer*8) Šíření chyb ve výpočtech Nebezpečné jsou operce, které mohou podsttně zvětšit reltivní chybu!! sčítání, odečítání Pokud výsledek mlý zvětší se silně r!! Čsto nemohu rozhodnout, zd výsledek je 0 nebo není!! Odečteme-li npř. čísl.348376,.3483357 známá n 9 pltných číslic (přesněji ] dostneme výsledek -y = 0.00000369 s přesností n 3 pltné číslice (přesněji ). Motivce vývoje řdy numerických postupů - snh vyhnout se odečítání dvou přibližně stejně velkých čísel. násobení, dělení Násobení dělení nemohou podsttně zvětšit zokrouhlovcí chybu, nejsou tedy nebezpečné. Pozn. Dělení číslem 0 je hrubá chyb - nejde o zokrouhlovcí chybu. Závislost chrkteru chyby n velikosti kroku h Zokrouhlovcí chyby při mlém h vznikjí z různých příčin - u derivce v důsledků odečítní přibližně stejných čísel, u integrálu v důsledku počtu opercí

Pozn. V obou přípdech při stnovení příliš krátkého kroku h může dojít i k hrubým chybám vzhledem k rozdílu rovném 0 v důsledku zokrouhlení nebo vzhledem k opkovnému provádění součtů, které se při dné numerické přesnosti neprojeví! 3

> Vlstnosti úloh numerické mtemtiky hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní pojmy vlstnosti úloh podmíněnost, korektnost numerická stbilit. Výkld Korektnost podmíněnost úlohy Korektnost úlohy Definice: Nechť úlohou je njít řešení y N (N je množin možných řešení) pro zdný vektor M (M je množin vstupních dt). Pk úloh je korektní právě tehdy, jsou-li splněny následující dvě podmínky. právě jedno řešení y pro M.. Řešení spojitě závisí n vstupních dtech, tj. jestliže pro z množiny přirozených čísel je y n řešení pro vstupní dt n, jestliže y je řešení pro vstupní dt, nechť dále ρ je norm v množině vstupních dt je norm v množině možných řešení, pk pltí V pri se řeší i nekorektní úlohy, le. krok řešení spočívá v nlezení vhodného způsobu, jk převést úlohu n úlohu korektní (npř. podmínkou n výsledek; interpretcí vstupních dt; vhodnou volbou normy v prostoru řešení pod.) Podmíněnost úlohy Definice: Podmíněnost úlohy Cp je dná poměrem reltivní změny výsledku ku reltivní změně vstupních dt, tj. Pokud C, říkáme, že úloh je dobře podmíněná, pokud Cp p Pokud je přesnost použitého typu čísel ( r () = ε ), pk úloh s 00, úloh je šptně podmíněná. C p > ε není v rámci dné přesnosti řešitelná. Čsto se pro šptně podmíněné úlohy používjí speciální metody, které omezují růst zokrouhlovcích chyb. 4

Příkld: Soustv lineárních rovnic s mticí blízkou k singulární (šptně podmíněná mtice). Nechť je dán úloh Nechť vstupem je hodnot výstupem hodnot. Pk Při Numerická stbilit je úloh šptně podmíněná. U nestbilní metody (lgoritmu) se reltivně mlé chyby v jednotlivých krocích výpočtu postupně kumulují tk, že dojde ke ktstrofální ztrátě přesnosti numerického řešení úlohy. U stbilních metod roste chyb výsledku s počtem kroků N nejvýše lineárně (v ideální, le vzácné situci, kdy je znménko chyby náhodné, zokrouhlovcí chyb roste ~ N ). U nestbilních metod roste zokrouhlovcí chyb rychleji, npř. geometrickou řdou ~ q N, kde q >. Nestbilit lgoritmu vzniká v důsledku kumulce zokrouhlovcích chyb. Typicky se objevuje v rekurzivních lgoritmech. Nestbilit metody může vznikt i v důsledku kumulce chyby metody, stbilit metody může záviset n velikosti použitého kroku h. Nestbilit metody se čsto objevuje při numerickém řešení počátečního problému pro obyčejné prciální diferenciální rovnice. Příkldy nestbilních lgoritmů. Nestbilní rekurze - ukážeme si n poněkud umělém přípdu počítání mocnin čísl zvného "Zltý řez" Lehce ukážete, že mocniny splňují jednoduchý rekursní vzth Protože známe mohli bychom zkusit počítt mocniny odečítáním, což je obvykle rychlejší než násobení. 5

Obrázek ukzuje, že uvedený postup zcel nepoužitelný, při jednoduché přesnosti dostneme viditelné chyby výsledky už od n = 6, kdy. Pro n = 0 dostnu poprvé záporný výsledek rekurze, tedy rekurze už nijk neproimuje hodnotu mocniny. Nejdříve vzroste reltivní chyb (chyb mění znménko), pk se objeví záporné hodnoty nkonec zčne dokonce růst bsolutní hodnoty. Nestbilit se projeví i ve dvojité přesnosti, zokrouhlovcí chyb nrůstá le z menší hodnoty tk by se. záporný výsledek rekurze objevil pro n=40. Příčin nestbility je v tom, že uvedená rekursní formule má ještě druhé řešení Φ = ( 5 ) / < < Φ. Protože rekurzivní relce je lineární, bsolutní velikost zokrouhlovcí chyby bude nrůstt geometrickou řdou s kvocientem q = Φ >. Protože nvíc řešení klesá, reltivní velikost zokrouhlovcí chyby roste geometrickou řdou s kvocientem q = Φ / Φ. > Uvedený příkld byl umělý, nicméně u mnoh speciálních funkcí (npř. Besselovy funkce) se k výpočtu hodnoty funkcí různých řdů používjí podobné rekurzivní relce, vždy ovšem tk, by metod byl stbilní.. Nestbilní metod pro výpočet obyčejných diferenciálních rovnic Nechť řešíme obyčejnou diferenciální rovnici. řádu y' = f(,y) N příkldu rovnice y'= - y s počáteční podmínkou y(0) = řešené ve směru růstu proměnné ukážeme, že dvoukroková metod. řádu je nestbilní. Jde vlstně o podobnou rekurzi jko výše pro poměr q = y(+h)/y() eistují řešení, q + h = h + je v bsolutní hodnotě menší než odpovídá prvním třem členům 6

Tylorov rozvoje řešení y = y( 0) ep( ), druhý kořen q = h + h je v bsolutní hodnotě větší než způsobuje nestbilitu lgoritmu. N následujícím grfu je porovnán celková reltivní chyb uvedené nestbilní metody s chybou Eulerovy metody Eulerov metod se obvykle nepoužívá, neboť jde o metodu. řádu s velkou chybou metody, nicméně je pro uvedený přípd stbilní vůči zokrouhlovcím chybám. Obrázek ukzuje, že n zčátku řešení je nestbilní metod vzhledem k reltivně mlé chybě metody přesnější, le postupný růst zokrouhlovcí chyby přivede nkonec ke ktstrofálním chybám. Ktstrofálním chybám nelze zbránit zkrcováním kroku, užití dvojné přesnosti ktstrofu pouze oddálí. U stbilní metody roste chyb s délkou intervlu nejvýše lineárně chybu lze zmenšit zkrcováním kroku. 3. Nestbilní spline Při interpolci dt pomocí kubického splinu (lokální interpolce kubickým polynomem se spojitou derivcí) je třeb zdt podmínky (npř. hodnotu derivce funkce) v obou krjních bodech. Nesprávnou nestbilní metodu dostneme, pokud obě podmínky zdáme v z okrjových bodů. Pokud jko. podmínku v prvním okrjovém bodu zdáme npř. jko. derivci rovnou hodnotě druhé derivce, která vyšl při stbilním postupu, tj. zdných. derivcích v obou okrjových bodech, obě úlohy jsou z mtemtického hledisk zcel ekvivlentní v přípdě počítání s přesnými čísly bych dostl totožný výsledek. Pokud všk numericky počítám s konečnou délkou čísel, zokrouhlovcí chyb všk při postupném počítání od okrje nrůstá řešení zčne mezi zdnými body silně oscilovt. 7

N grfu je ukázáno je několik prvních oscilcí chybně počítného kubického splinu, dlší hodnoty dále oscilují, le jejich hodnot je velmi velká (ž 03). Při počítání v dvojité přesnosti se viditelné oscilce objeví pro > 4. Volb metody (lgorimu) Zákldním poždvkem je možnost vyřešení úlohy s dosttečnou přesností. Čsto je sledován konvergence, což znmená schopnost vyřešit úlohu s libovolně vysokou přesností (omezené jen zokrouhlovcí chybou) při kroku (při počtu opercí ). Při výběru metody hrje roli i složitost lgoritmu (počet opercí nutných k získání výsledku se zdnou přesností) pměťové nároky. Numerické knihovny Pro drtivou většinu úloh jsou k dispozici procedury ve stndrdních knihovnách. Pokud úloh není triviální, neprogrmuji ji sám! Většin knihoven je ve FORTRANU Profesionální knihovny jsou drhé (bývjí k dispozici n velkých počítčích) - nejznámější NAG, IMSL Pro ukázky budeme používt knihovny NUMERICAL RECIPES (je přílohou knihy) - FORTRAN, C, Pscl - volně (byť čsto s omezeními) dostupný softwre - vyhledávání n http://gms.nist.gov, mnoho softwru n serverech NETLIB, npř. http://netlib.no. 8

PP 3. Mtice hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní pojmy z oblsti mtic úlohy řešené pomocí mtic. Výkld Nechť M je množin reálných čísel. Zobrzení A z množiny uspořádných dvojic přirozených čísel do množiny M, symbolicky zpsné A : {( i, j) : i =,,, m, j =,,, n} M nzveme reálnou mticí typu (m, n). n n A = ( ij ) i m = = j=,,,,,, n m m mn Prvky hlvní digonály:,,, mm. Mtice čtvercová řádu n typ (n, n) obdélníková typ (m, n), m n řádková typ (, n) sloupcová typ (m, ) nulová (znčíme 0) všechny prvky jsou rovny nule jednotková (znčíme I) čtvercová mtice, prvky hlvní digonály jsou rovny jedné, všechny osttní jsou rovny nule trnsponovná k mtici A T záměn řádků mtice A z sloupce (znčíme APP PP) symetrická T čtvercová mtice A, pro kterou pltí A = APP trojúhelníkový tvr mtice všechny prvky hlvní digonály jsou nenulové všechny prvky pod hlvní digonálou jsou rovny nule Operce s mticemi Rovnost mtic mtice A, B stejného typu (m, n) A = B ( = b ) Sčítání dvou mtic i=,,, m j=,,, n mtice A, B stejného typu (m, n) A + B = ( + ) pltí: ij b ij A + B = B + A A + B + C = A + B + C = A + B + ( ) ( ) C Rozdíl dvou mtic 9 ij ij

(sloupcovou mtice A, B stejného typu (m, n) A B = A + ( B) Násobení mtice sklárem k A = k( ij ) = ( k ij ) k + k = ka + k A + B = ka + k pltí: ( ) A k A ( ) B Násobení mtic mtice A typu (m, s), mtice B typu (s, n) s AB = C = ( cij ) = ikbkj k= pltí: AB BA nepltí komuttivní zákon jestliže AB = BA, pk mtice A B jsou změnitelné A ( BC) = ( AB) C = ABC A ( B + C) = AB + AC A + B C + D = A C + D + B C + D ( )( ) ( ) ( ) Hodnost mtice Nechť mezi řádky (sloupci) mtice A eistuje h lineárně nezávislých kždá soustv h+ řádků (sloupců) je lineárně závislá. Pk říkáme, že mtice A má řádkovou hodnost hř hodnost hs) rovnou h. Jestliže řádková sloupcová hodnost mtice se rovnjí, pk hovoříme o hodnosti mtice A h A min m, n. 0 znčíme h(a). Je-li A mtice typu (m, n), je ( ) ( ) Nechť A je čtvercová mtice řádu n. Jestliže je h ( A ) = n, říkáme, že A je regulární mtice. Jestliže je h ( A ) < n, je A singulární mtice. Hodnost mtice v trojúhelníkovém tvru je rovn počtu prvků hlvní digonály. Mtice A B mjí stejnou hodnost, jestliže mtice B vznikne z mtice A spoň jednou z těchto ekvivlentních úprv: záměnou pořdí dvou libovolných řádků, násobením libovolného řádku nenulovým číslem, vynecháním nebo připojením řádku, který je lineární kombincí osttních řádků, vynecháním nebo přidáním nulového řádku, přičtením lineární kombince osttních řádků k určitému řádku. Totéž pltí pro úprvy prováděné ve sloupcích. Mjí-li dvě mtice A B stejnou hodnost, říkáme, že jsou ekvivlentní znčíme A ~ B. Inverzní mtice Čtvercovou mtici A nzýváme inverzní k mtici A stejného řádu, jestliže pltí AA = A A = I. Nutnou postčující podmínkou eistence inverzní mtice A ke čtvercové mtici A je, by mtice A byl regulární. Inverzní mtice je určen jednoznčně. Elementární úprvou ve čtvercové mtici A rozumíme záměnu rovnoběžných řádků, vynásobení některého řádku nenulovou konstntou, přičtení nenulového k-násobku řádku k jinému řádku. Tyto elementární úprvy se djí vyjádřit jko součin původní mtice tzv. mtice elementárních úprv, která vznikne z jednotkové mtice záměnou dvou řádků,

APP PP záměnou jednotky v i-tém řádku konstntou k, záměnou nuly v i-tém řádku j-tém sloupci konstntou k. Gussov metod inverze mtic: Zpíšeme regulární mtici A, k níž chceme určit inverzní mtici A vedle ní jednotkovou mtici stejného řádu. Obě mtice násobíme postupně zlev mticemi elementárních úprv tk, by se mtice A změnil v jednotkovou. V posledním kroku postupu tk z původní jednotkové mtice vzniká mtice inverzní. A I I - Determinnty Nechť A je čtvercová mtice konečného řádu n. Determinntem mtice A (znčíme det A) nzýváme číslo přiřzené mtici jednoznčným způsobem: Je-li A = ( ) jednoprvková mtice, definujeme det A =. Je-li A = mtice. řádu, definujeme det A = +. A = mtice řádu n 3, definujeme determinnt mtice A rozvojem podle prvků. ij Je-li ( ) i=,,, n j=,,, n řádku mtice A: det A = A A A + + + n n, kde A j je tzv. lgebrický doplněk prvku j, což je determinnt mtice (n-) řádu, která vznikne z mtice A vynecháním. řádku j-tého j sloupce, optřený znménkem ( ) +. Obdobně lze determinnt určit rozvojem podle libovolného jiného řádku nebo sloupce. Determinnt mtice A lze zpst tké pomocí prvků mtice A: Zákldní vlstnosti determinntů n n n n nn. Záměnou dvou libovolných řádků nebo sloupců se změní znménko determinntu n opčné. Sčítání determinntů Nechť jsou dány dv determinnty stejného řádu, které se liší nejvýše v prvcích i-tého řádku, všechny osttní prvky mjí stejné. Pk pltí i n i n n in nn i n i n n + b b b = + b + b + b. in nn i n i Násobení determinntu číslem Součinem čísl k determinntu je determinnt, v němž je právě jeden libovolný řádek/sloupec k-násobkem řádku/sloupce původního determinntu. Determinnt je roven nule, mjí-li jeho řádky/sloupce lespoň jednu z těchto vlstností: některý řádek je nulový, dv řádky jsou stejné, i n i in n nn in

některý řádek je nenulovým násobkem jiného řádku, některý řádek je lineární kombincí osttních řádků. Čtvercová mtice A je singulární, právě když det A = 0. Čtvercová mtice A je regulární, právě když det A 0. Determinnt se nezmění, přičteme-li v něm k libovolnému pevně zvolenému řádku lineární kombinci osttních řádků. Používáme při úprvě determinntu n trojúhelníkový tvr. Determinnt mtice A je roven determinntu mtice řádků sloupců v mtici je rovnocenná. T A k ní trnsponovné. Z toho plyne, že úloh Určení inverzní mtice pomocí determinntů A = je regulární mtice. Mtici ij Nechť ( ) A = det A A A A n i=,,, n j=,,, n A A A n A A A n n nn T A A = det A A n A A A n A k ní inverzní lze zpst ve tvru An An Aji = det A A nn j,,, n i= =,,, n

3 4. Řešení soustv lineárních rovnic Čs ke studiu hodiny Cíl Zákldní metody pro řešení soustv lineárních rovnic. Výkld Předpokládejme soustvu m lineárních rovnic o n neznámých n,,,, kterou lze zpst ve tvru: m n mn m m n n n n b b b = + + + = + + + = + + + K M M M M K K Mtice soustvy = mn m m n n M M M K K A je mticí koeficientů při neznámých. Pro n m = nzýváme soustvu čtvercovou. Sloupcový vektor prvých strn = b m b b M B Rozšířená mtice soustvy = m mn m m n n r b b b K M M M M K K A Sloupcový vektor neznámých = n M X Mticový zápis soustvy lineárních rovnic B AX =

Dvě soustvy rovnic jsou ekvivlentní právě tehdy, když mjí stejnou množinu řešení. Z výchozí soustvy lze získt soustvu ekvivlentní těmito úprvmi: záměnou pořdí dvou libovolných rovnic soustvy, násobením libovolné rovnice soustvy nenulovým číslem, vynecháním nebo připojením rovnice, která je lineární kombincí osttních rovnic soustvy, přičtením lineární kombince osttních rovnic k jedné rovnici soustvy. Uvedenými úprvmi se nezmění hodnost mtice soustvy ni hodnost rozšířené mtice soustvy. Pro nlezení řešení soustvy lineárních rovnic uprvíme rozšířenou mtici soustvy n trojúhelníkový tvr. Frobeniov vět Soustv m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná právě tehdy, když hodnost mtice soustvy je rovn hodnosti mtice rozšířené. Jestliže společná hodnost h mtice soustvy mtice rozšířené je menší než počet neznámých n, pk soustv lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení. Hodnot rozdílu n h je rovn počtu volitelných neznámých (prmetrů) v soustvě. Prmetrické neznámé je třeb volit tk, by j j sloupcové vektory h j = zbývjících neznámých byly vzájemně lineárně nezávislé. M hj Je-li vektor prvých strn B nulový, nzýváme soustvu rovnic homogenní, v osttních přípdech nehomogenní. Homogenní soustv rovnic má vždy řešení. Nulový vektor je řešením kždé homogenní soustvy rovnic. Čtvercová soustv lineárních rovnic má jediné řešení právě tehdy, když je mtice soustvy A regulární. 0 0 Homogenní čtvercová soustv s regulární mticí má jediné tzv. triviální řešení 0 =. M 0 Crmérovo prvidlo Řešení čtvercové soustvy lineárních rovnic s regulární mticí soustvy A lze určit podle vzthu D i i = pro i =,, K, n D kde D = det A je tzv. determinnt soustvy D i jsou tzv. determinnty při neznámých, které vzniknou z determinntu soustvy tk, že v něm sloupec koeficientů při neznámé i nhrdíme sloupcem prvých strn soustvy. 4

PP Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. Řešte následující soustvu lineárních rovnic Guss-Seidlovou iterční metodou s přesností epsilon=0pp - Řešení Zdáme mtici A vektor prvých strn b. >> A=[ - 0 ; 0-3 ; -] A = - 0 0-3 - >> b=[ ;4 ;0] b = 4 0 Zjistíme zd má soustv řešení. >> rnk(a) ns = 3 >> rnk([a b]) ns = 3 Vidíme, že hodnost mtice hodnost mtice rozšířené jsou si rovny zárověn jsou rovny počty neznámých tj. 3, máme tedy právě jedno řešení nší soustvy. Převedeme soustvu A=b n iterční tvr =H+g. (Poslední příkz g=g' děláme proto, bychom měli g jko sloupcový vektor.) >>for i=:3, H(i,:)=-A(i,:)/A(i,i); H(i,i)=0; g(i)=b(i)/a(i,i); end; >>g=g'; A dostneme následující mtici H vektor g. >> H H = 5

>> g g = 0 0.5000 0 0 0 0.3333 0.5000 0.5000 0 0.5000 -.3333 0 Zjistíme, zd je splněno konvergenční kriterium, tj. zd spoň jedn z TTnorem mticett H je menší než. >> normr=m(sum(bs(h'))) normr = >> norms=m(sum(bs(h))) norms = >> norme=sqrt(sum(sum(h.^))) norme = 0.980 Vidíme, že Euklidov norm mtice H je menší než, tk tedy můžeme použít Seidlovu iterční metodu. Zvolíme počáteční proimci jko nulový vektor. >> =[0;0;0]; Uložíme si předchozí do proměnné s po složkách (pomocí cyklu for) spočítáme první proimci. >> s=; >> ()=H(,:)*+g(); >> ()=H(,:)*+g(); >> (3)=H(3,:)*+g(3); >> = 0.5000 -.3333-0.467 Dále si spočítáme chybu, tj. normu rozdílu počáteční (nulté) první proimce. >> chyb=m(bs(-s)) chyb =.3333 Vypočtené hodnoty si zpíšíme do tbulky spočteme dlší proimci. >> s=; 6

PP >> ()=H(,:)*+g(); >> ()=H(,:)*+g(); >> (3)=H(3,:)*+g(3); >> = -0.667 -.47-0.894 >> chyb=m(bs(-s)) chyb = 0.6667 V tomto výpočtu >> s=; >> ()=H(,:)*+g(); >> ()=H(,:)*+g(); >> (3)=H(3,:)*+g(3); >> >> chyb=m(bs(-s)) pokrčujeme dokud není chyb dvou po sobě jdoucích proimcí menší než zdná přesnost epsilon=0.0. Zde je tbulk postupných proimcí. k () () (3) chyb 0. 0 0 0 ----. 0.5000 -.3333-0.467.3333. -0.667 -.47-0.894 0.6667 3. -0.36 -.6065-0.93 0.343 4. -0.303 -.6404-0.978 0.067 5. -0.30 -.6573-0.9887 0.070 6. TT-0.3TT86 TT-.66TT9 TT-0.99TT58 TT0.0084TT Výsledné řešení nší úlohy je Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. Řešte následující soustvu lineárních rovnic Guss-Seidlovou iterční metodou s přesností epsilon=0pp -3 Řešení Zdáme mtici A vektor prvých strn b. >> A=[ 0; 0 - ; -] 7

A = 0 0 - - >> b=[;;0] b = 0 Zjistíme zd má soustv řešení. >> rnk(a) ns = 3 >> rnk([a b]) ns = 3 Vidíme, že hodnost mtice hodnost mtice rozšířené jsou si rovny zárověn jsou rovny počty neznámých tj. 3, máme tedy právě jedno řešení nší soustvy. Převedeme soustvu TTA=bTT n iterční tvr =H+g. Poslední příkz g=g' děláme proto, bychom měli g jko sloupcový vektor. >>for i=:3, H(i,:)=-A(i,:)/A(i,i); H(i,i)=0; g(i)=b(i)/a(i,i); end; >>g=g'; A dostneme následující mtici H vektor g. >> H H = >> g g = 0 -.0000 0 0 0.0000 0.5000 0.5000 0-0 Zjistíme, zd je splněno konvergenční kriterium, tj. zd spoň jedn z TTnorem mticett H je menší než. >> m(sum(bs(h'))) ns = 8

>> m(sum(bs(h))) ns =.5 >> sqrt(sum(sum(h.^))) ns =.345 Vidíme, že žádná z norem není menší než, tk tedy nemůžeme použít Seidlovu iterční metodu n tento tvr soustvy. >> det(a) ns = 3 >> Av=A'*A Av = 3-3 6-3 - -3 5 >> bv=a'*b bv = 0 Převedeme soustvu Av =bv n iterční tvr =Hv +gv. >> for i=:3, H(i,:)=-Av(i,:)/Av(i,i); H(i,i)=0; g(i)=bv(i)/av(i,i); end; >>g=g'; A dostneme následující mtici H vektor g. >> H H = >> g g = 0 -.5000.0000-0.5000 0 0.5000 0.4000 0.6000 0 0.5000 0 0.4000 Zvolíme počáteční proimci. 9

>> =[0;0;0]; Uložíme si předchozí do proměnné s po složkách (pomocí cyklu for) spočítáme první proimci. >> s=; >> ()=H(,:)*+g(); >> ()=H(,:)*+g(); >> (3)=H(3,:)*+g(3); >> = 0.5000-0.500 0.4500 Dále si spočítáme chybu, tj. normu rozdílu počáteční (nulté) první proimce. >> chyb=m(bs(-s)) chyb = 0.5000 Vypočtené hodnoty si zpíšíme do tbulky spočteme dlší proimce. V tomto výpočtu pokrčujeme dokud není chyb dvou po sobě jdoucích proimcí menší než zdná přesnost epsilon=0.00. Zde je tbulk postupných proimcí. k () () (3) -s 0. 0 0 0. 0.5000-0.500 0.4500 0.5000..350-0.4375 0.6675 0.850 3..838-0.578 0.786 0.4988 4..498-0.6836 0.8498 0.36 5..375-0.767 0.894 0.53 6..5365-0.80 0.94 0.63 7..6544-0.8665 0.949 0.79 8..746-0.8999 0.9567 0.087 9..8066-0.949 0.9677 0.0649 0..8550-0.9437 0.9758 0.0485..893-0.9578 0.989 0.0363..985-0.9683 0.9864 0.07 3..9389-0.976 0.9898 0.004 4..954-0.98 0.994 0.053 5..9656-0.9866 0.9943 0.05 6..974-0.9900 0.9957 0.0086 7..9807-0.995 0.9968 0.0064 8..9855-0.9944 0.9976 0.0048 9..989-0.9958 0.998 0.0036 0..998-0.9968 0.9986 0.007..9939-0.9976 0.9990 0.000..9954-0.998 0.999 0.005 3..9966-0.9987 0.9994 0.00 4. TT.997TT4 TT-0.999TT0 TT0.999TT6 TT0.0009TT Výsledné řešení nší úlohy je 30

5. Řešení nelineární rovnice hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní metody pro řešen nelineárních rovnic. Výkld Výpočet přibližných hodnot reálných kořenů jedné rovnice o jedné neznámé ( ) = 0 Kořen rovnice = nulový bod funkce f. Předpokládáme, že funkce f je spojitá. Grfický odhd kořenů Nrýsujeme grf funkce f. Kořeny rovnice = -ové souřdnice průsečíků grfu s osou. Pozn.: velmi nepřesná metod, použitelná pro určení nulté proimce. f. Seprce kořenů Hledáme seprční intervl, n kterém se nchází právě jeden z kořenů nelineární rovnice. UUBolznov-Weierstrssov vět:uu Jestliže pro < b pltí f ( ) f ( b) < 0, pk eistuje lespoň jedno číslo c (, b), pro které pltí f ( c) = 0. Postčující podmínk pro seprci kořene: Jestliže pro reálná čísl, b, < b pltí f ( ) f ( b) < 0, b, pk má rovnice ( ) = 0, b právě jeden kořen. f ( ) 0 pro všechn ( ) f v intervlu ( ) Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. 3 Proveďte seprci všech kořenů rovnice Řešení Nejprve zdáme funkci f() vykreslíme grf funkce mřížku: >> f=inline('*+-ep()') >> fplot(f,[-4,4]); grid on 3

Z grfu vidíme, že kořeny budou v dv to v intervlech <-,0> <,>. Musíme tento fkt ověřit. Nejprve se podíváme n intervl <-,0>. Zjistíme, zd má funkce opčná znménk v krjních bodech -,0: >> f(-) ns = -0.3679 >> f(0) ns = Vytbelujeme si derivci podíváme se, zd nemění znménko: >> fd=inline('-ep()') >> =-:0.:0; >> [' fd()'] ns = -.0000.63-0.9000.5934-0.8000.5507-0.7000.5034-0.6000.45-0.5000.3935-0.4000.397-0.3000.59-0.000.83-0.000.095 0.0000 Funkce je n intervlu spojitá, rostoucí v krjních bodech má funkce opčná znménk, tedy v intervlu <-,0> leží právě jeden kořen nší rovnice: Nyní se podíváme n druhý intervl <,>. Zjistíme, zd má funkce opčná znménk v krjních bodech,: >> f() ns = 3

.87 >> f() ns = -.389 Vytbelujeme si derivci podíváme se, zd nemění znménko: >> =:0.:; >> [' fd()'] ns =.0000-0.783.000 -.004.000 -.30.3000 -.6693.4000 -.055.5000 -.487.6000 -.9530.7000-3.4739.8000-4.0496.9000-4.6859.0000-5.389 Funkce je n intervlu spojitá, klesjící v krjních bodech má funkce opčná znménk, tedy v intervlu <,> leží právě jeden kořen nší rovnice: Rovnice má dv kořeny to v intervlech <-,0> <,>. Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. 4 Proveďte seprci všech kořenů rovnice Řešení Nejprve si vykreslíme grf funkce mřížku: >> f=inline('.^3-log(4-)') >> fplot(f,[-,]);grid on 33

Z grfu vidíme, že kořen je jeden v intervlu <0,> Musíme tento fkt ověřit. Zjistíme, zd má funkce opčná znménk v krjních bodech 0,: >> f(0) ns = -.3863 >> f() ns = 7.3069 Vytbelujeme si derivci podíváme se, zd nemění znménko: >> =0:0.:;fd=inline('3*.^+./(4-)'); [' fd()'] ns = 0 0.500 0.000 0.864 0.000 0.383 0.3000 0.5403 0.4000 0.7578 0.5000.0357 0.6000.374 0.7000.7730 0.8000.35 0.9000.756.0000 3.3333.000 3.9748.000 4.677.3000 5.4404.4000 6.646.5000 7.500.6000 8.0967.7000 9.048.8000 0.745.9000.306.0000.5000 34

z PP metodou Funkce je n intervlu spojitá, rostoucí v krjních bodech má funkce opčná znménk, tedy v intervlu <0,> leží právě jeden kořen nší rovnice: Rovnice má jeden kořen v intervlu <0,>. Metod půlení intervlů Pro rovnici f ( ) = 0 njdeme seprční intervl I =, b. První proimci vypočteme jko střed seprčního intervlu Podle znménk funkční hodnoty ( ) kterém vypočteme druhou proimci td. Možnosti ukončení výpočtu: velikost intervlu klesne pod zdnou hodnotu, n n <, kde ( n ) y + b =. f nhrdíme intervl I intervlem ( ) nebo (,b) je přípustná chyb v rozdílu dvou po sobě následujících proimcích, f <, kde y je přípustná chyb ve funkční hodnotě nlezené proimce. Pozn.: metod vždy konverguje, le je velmi pomlá.,, n Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. 5 Určete všechny kořeny rovnice: s přesností proimcí. =0PP Ze TTseprceTT víme, že rovnice - půlení intervlu. Pro kždý kořen uveďte tbulku postupných má dv kořeny to v intervlech <-,0> <,>. Výpočet kořene intervlu <-,0> Nejprve budeme počítt první kořen. Zdáme meze intervlu n kterém jsme seprovli kořen zdnou přesnost : >> f=inline('*+-ep()'); >> =- = - >> b=0 b = 0 >> presnost=0^- 35

-0.7500TT presnost = 0.000 Vypočteme první proimci, hodnoty funkce v bodech,,b, chybu: >> =(+b)/ = TT-0.5000TT >> [,TTTT,b,TTf(),f(),f(b)TT] ns = -.0000 TT-0.5000TT 0 TT-0.3679 0.3935.0000TT >> chyb=bs(b-)/ chyb = 0.5000 Chyb je větší než zdná přesnost, tkže počítáme dál. Ze znmének f(),f(),f(b) vidíme, že kořen leží v intervlu <,> (neboť f(), f() mjí opčná znménk). Nový intervl <,b> je ten strý <,>, tkže změníme b n : >> b=; Vypočteme druhou proimci, hodnoty funkce v bodech,,b, chybu: >> =(+b)/ = TT-0.7500TT >> [,TTTT,b,TTf(),f(),f(b)TT] ns = -.0000 TT -0.5000 TT-0.3679 0.076 0.3935TT >> chyb=bs(b-)/ chyb = 0.500 Chyb je větší než zdná přesnost, tkže počítáme dál. Ze znmének f(),f(),f(b) vidíme, že kořen leží v intervlu <,> (neboť f(), f() mjí opčná znménk). Nový intervl <,b> je ten strý <,>, tkže změníme b n : >> b=; Vypočteme třetí proimci, hodnoty funkce v bodech,,b, chybu: >> =(+b)/ = TT-0.8750TT >> [,TTTT,b,TTf(),f(),f(b)TT] ns = -.0000 TT-0.8750TT -0.7500 TT-0.3679-0.669 0.076TT >> chyb=bs(b-)/ chyb = 0.50 Chyb je větší než zdná přesnost, tkže počítáme dál. Ze znmének f(),f(),f(b) vidíme, že kořen leží v intervlu <,b> (neboť f(), f(b) mjí opčná znménk). Nový intervl <,b> je ten strý <,b>, tkže změníme n : >> =; Tkto počítáme dál dál Vypočteme sedmou proimci, hodnoty funkce v bodech,,b,chybu: >> =(+b)/ = TT-0.7734TT >> [,TTTT,b,TTf(),f(),f(b)TT] ns = 36

z -0.78 TT-0.7734TT -0.7656 TT-0.003-0.0083 0.0037TT >> chyb=bs(b-)/ chyb = 0.0078 Chyb je menší než zdná přesnost, tkže ve výpočtu skončíme. Kořen je Tbulk postupných proimcí: i -0.5000-0.7500 3-0.8750 4-0.85 5-0.78 6-0.7656 7-0.7734 Tbulk dt, která jsme si postupně zpisovli. proimce č. b f() f() f(b) chyb. -.0000-0.5000 0-0.3679 0.3935.0000 0.5000. -.0000-0.7500-0.5000-0.3679 0.076 0.3935 0.500 3. -.0000-0.8750-0.7500-0.3679-0.669 0.076 0.50 4. -0.8750-0.85-0.7500-0.669-0.0687 0.076 0.065 5. -0.85-0.78-0.7500-0.0687-0.003 0.076 0.03 6. -0.78-0.7656-0.7500-0.003 0.0037 0.076 0.056 7. -0.78-0.7734-0.7656-0.003-0.0083 0.0037 0.0078 Výpočet kořene intervlu <,> Obdobně spočítáme i druhý kořen z intervlu <,> Kořen je Tbulk postupných proimcí: i.5000.7500 3.650 4.6875 5.656 6.679 7.6797 37

Obecná iterční metod Pro rovnici f ( ) = 0 njdeme seprční intervl I =, b. Rovnici f ( ) = 0 uprvíme n tvr = ϕ ( ) tk, by pltilo f ( ) ϕ ( ) =. Zvolíme nultou proimci 0 jko jeden z vnitřních bodů seprčního intervlu, to npř. ze vzthu 0 0 = b f f ( ) ( b). Posloupnost postupných proimcí,, vypočteme z rekurentního vzorce ( ) 0, n = ϕ n ; n N. Možnosti ukončení výpočtu: n n <, kde je přípustná chyb v rozdílu dvou po sobě následujících proimcích, f ( n ) y <, kde y je přípustná chyb ve funkční hodnotě nlezené proimce. Pozn.: pro ( ) < ϕ metod konverguje, jink diverguje. Metod regul flsi (metod sečen) Pro rovnici f ( ) = 0 njdeme seprční intervl I =, b. V intervlu I nhrdíme grf funkce f úsečkou spojující body A = [, f ( ) ] B [ b, f ( b) ] = vypočítáme průsečík úsečky s osou. Tím získáme první proimci kořene α. Hodnotu f ( b) f ( ) 0 f ( ) proimce vypočteme ze vzthu = b Podle znménk funkční hodnoty ( ) kterém vypočteme druhou proimci td. Možnosti ukončení výpočtu: n n <, kde ( n ) y f nhrdíme intervl I intervlem ( ) nebo (,b) je přípustná chyb v rozdílu dvou po sobě následujících proimcích, f <, kde y je přípustná chyb ve funkční hodnotě nlezené proimce. Pozn.: metod vždy konverguje. Newtonov metod (metod tečen) Pro rovnici f ( ) = 0 njdeme seprční intervl I =, b.,, n Určíme nultou proimci 0 jko jeden z vnitřních bodů seprčního intervlu (velmi důležité, má vliv n konvergenci metody). Grf funkce f nhrdíme tečnou v dotykovém bodě o souřdnicích [, f 0 ( 0 )]. Rovnice tečny je y f ( 0 ) = f ( 0 )( 0 ). Po doszení souřdnic [,0] průsečíku tečny s osou získáme vzth f ( 0 ) pro výpočet první proimce = 0. f V dotykovém bodě [ f ( )] proimci. Možnosti ukončení výpočtu: n n <, kde ( n ) y ( ) 0, sestrojíme tečnu vypočteme její průsečík s osou tím druhou je přípustná chyb v rozdílu dvou po sobě následujících proimcích, f <, kde y je přípustná chyb ve funkční hodnotě nlezené proimce. Pozn.: metod nemusí vždy konvergovt. 38

z Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. 6 Určete všechny kořeny rovnice: -3 s přesností epsilon=0pp PP Newtonovou metodou. Pro kždý kořen uveďte tbulku postupných proimcí. Řešení Ze TTseprceTT víme, že rovnice má dv kořeny to v intervlech <-,0> <,>. Výpočet kořene intervlu <-,0> Nejprve budeme počítt první kořen. Zdáme meze intervlu n kterém jsme seprovli kořen zdnou přesnost : >> f=inline('*+-ep()'); >> =- = - >> b=0 b = 0 >> presnost=0^-3 presnost = 0.000 Ověříme předpokldy metody, tj. že první druhá derivce nemění n intervlu znménko: >> fd=inline('-ep()'); >> fdd=inline('-ep()'); >> =-:0.:0; >>[' fd()' fdd()'] ns = -.0000.63-0.3679-0.9000.5934-0.4066-0.8000.5507-0.4493-0.7000.5034-0.4966-0.6000.45-0.5488-0.5000.3935-0.6065-0.4000.397-0.6703-0.3000.59-0.7408-0.000.83-0.887-0.000.095-0.9048 0 TT.0000TT -.0000 Spočítáme m, tj.minimální hodnotu z bsolutních hodnot první derivce, jelikož druhá derivce nemění znmnénko je f' monotonní svého minim nbývá v krjních bodech intervlu: >> m= TTm = 39

z PP Určíme pročáteční proimci, neboť první druhá derivce mjí n intervlu opčná znménk zvolíme jko ==-, (kdyby byl znménk první druhé derivce stejná, zvolíme =b), dále spočítáme chybu: >> =- = - >> chyb=bs(f())/m chyb = 0.3679 Vidíme, že chyb není menší než zdná přesnost, tk počítáme dál. Vypočteme druhou proimci chybu: >> =-f()/fd() = -0.7746 >> chyb=bs(f())/m chyb = 0.00 Vidíme, že chyb není menší než zdná přesnost, tk počítáme dál. Vypočteme třetí proimci chybu: >> =-f()/fd() = -0.7680 >> chyb=bs(f())/m chyb = 9.98e-006 Chyb je menší než zdná přesnost, tkže ve výpočtu skončíme. Kořen je Tbulk postupných proimcí: i - -0.7746 3-0.7680 Tbulk dt, která jsme si postupně zpisovli. proimce č. chyb. - 0.3679. -0.7746 0.00 3. -0.7680 9.98 0PP Výpočet kořene intervlu <,> Obdobně spočítáme i druhý kořen z intervlu <,> -6 40

Kořen je m =0.783 Tbulk postupných proimcí: i.74 3.684 4.6784 4

6. Aproimce interpolce hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní metody pro řešení problemtiky proimce interpolce funkcí. Výkld Interpolční úloh: Nechť funkce f() je definován v <;b> nechť jsou známy její hodnoty v n+ různých uzlových bodech 0,,, n: f( 0)=y0, f( )=y,, f( n)=yn. Sestrojte polynom Ln() tkový, by pltilo Ln( i)=yi, pro i=0,,,, n. Aproimční úloh: V rovině je dáno n bodů [ ;y], [ ;y],, [ n;yn] njděte konkrétní vyjádření funkce y=f() známého tvru, tk by křivk odpovídjící nlezenému vyjádření funkce y=f() co nejlépe přiléhl zdným bodům. Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. 7 Aproimujte následující dt.5 3 5 7 y 0 6.5 6 5 metodou nejmenších čtverců. Použijte regresní přímku f()=c +c regresní funkci f()=c +c epp Řešení PP. Nejprve zdáme souřdnice bodů y. >> =[,.5,3,5,7] =.0000.5000 3.0000 5.0000 7.0000 >> y=[0,,6.5,6,5] y = 0.0000 6.5000 6.0000 5.0000 >> 4

Sestvíme soustvu lineárních rovnic, ve kterých jsou neznámé koeficienty c. Zdáme mtici soustvy A vektor prvých strn b. >> formt long >> A=[sum(.^) sum(.*ep()); sum(.*ep()) sum(ep(*))] A =.0e+006 * 0.0000905000000 0.008599030 0.008599030.5899809688 >> b=[sum(y.*);sum(y.*ep())] b =.0e+004 * 0.0570000000000.74874850038 Soustvu vyřešíme, tj. njdeme koeficienty c. >> c=inv(a)*b c =.43 0.0063 43

Spočítáme inde korelce: >> f=c()*+c()*ep(); >> sy=sqrt(/5*sum(y.^)-(/5*sum(y))^) sy = 5.354 >> sf=sqrt(/5*sum(f.^)-(/5*sum(y))^) syv = 5.059 >> Ik=sf/sy Ik = 0.9487 Vykreslíme si zdné body (jko izolovná body -- hvězdičky) grf regresní funkce, jež tto dt proimuje. >> hold on >> plot(,y,'*') >> fplot('.43*+0.0063*ep()',[,7]) Regresní přímk Nyní spočítáme koeficienty regresní přímky. 44

Sestvíme soustvu lineárních rovnic, ve kterých jsou neznámé koeficienty c. Zdáme mtici soustvy A vektor prvých strn b. >> A=[sum(.^) sum();sum() 5] A = 90.500 8.5000 8.5000 5.0000 >> b=[sum(y.*);sum(y)] b = 57.0000 8.5000 Soustvu vyřešíme, tj. njdeme koeficienty c. >> c=inv(a)*b c =.3647-3.0493 Spočítáme inde korelce: >> f=c()*+c(); >> sy=sqrt(/5*sum(y.^)-(/5*sum(y))^) 45

sy = 5.354 >> sf=sqrt(/5*sum(f.^)-(/5*sum(y))^) syv = 4.9376 >> Ik=sf/sy Ik = 0.97 Vykreslíme si zdné body (jko izolovná body -- hvězdičky) grf regresní přímky, jež tto dt proimuje. >> hold on >> plot(,y,'*') >> fplot('.3647*-3.0493',[,7]) Nkonec do jednoho grfu nkreslíme zdné body (červená kolečk), regresní funkci (modře) regresní přímku (zeleně). >> hold on >> plot(,y,'r*') >> fplot('.43*+0.0063*ep()',[,7],'b') >> fplot('.3647*-3.0493',[,7],'g') 46

Lgrngeův interpolční polynom Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č.8 Určete hodnotu Lgrngov interpolčního polynomu v bodě v=3. Polynom interpoluje dt: Řešení Zdáme si body y: >> =[ 4] = 4 >> y=[ -3 -] y = -3-4 y -3 - Spočteme n (počet bodů), zdáme bod v, ve kterém chceme spočítt hodnotu Lgrngeov interpolčního polynomu: >> v=3 v = 3 Sestvíme Aitkenovo schém: 47

>> for j=:3 A(,j)=()-(j); end >> for j=:3 A(,j)=()-(j); end >> for j=:3 A(3,j)=(3)-(j); end >> for j=:3 A(j,j)=v-(j); end >> A Ait = - -3-3 - Spočítáme součiny D prvků v řádcích součin S prvků n hlvní digonle: >> D=prod(A') D = 6 - -6 >> S=prod(dig(A)) S = - Vypočteme hodnotu polynomu v dném bodě v: >> L=S*sum(y./D) L = -4 Hodnot Lgrngeov interpolčního polynomu je L(3)=-4. Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č.9 Vykreslete grf Lgrngov interpolčního polynomu, který interpoluje dt: -. 0.4 3 4. y -3-4 0 Zdáme si souřdnoce bodů,y, které interpolujeme vytvoříme 00 bodů g pro vykreslení grfu: >> =[-. 0.4 3 4.]; >> y=[ -3-4 0]; >> g=linspce(min(),m(),00); Pomocí M-souboru TTitken.mTT si spočítáme hodnoty Lgrngeov polynomu v bodech g vykreslíme grf, jko kolečk vykreslíme zdné body jko spojitou čru výsledný polynom: >> for i=:00, Lg(i)=itken(,y,g(i)); end >> plot(,y,'o',g,lg) Neboť nelze Aitkenovo schém používt pro zdné uzly, při výše uvedeném výpočtu k tomu dochází, lze výpočet provést tkto: >> for i=:00, if ny(g(i)==), Lg(i)=y(find(g(i)==)), 48

else Lg(i)=itken(,y,g(i)); end; end >> plot(,y,'o',g,lg) 49

7. Numerická integrce hodiny Čs ke studiu Cíl Zákldní metody pro numerickou integrci funkcí. Výkld b Výpočet hodnot určitého integrálu f ( ) d z předpokldu spojitosti funkce f () n uzvřeném intervlu, b. Počítáme plochu obrzce, který je ohrničen osou, grfem funkce y = f () přímkmi =, = b. 00 y y =f ( ) 50 00 50 0 b 0 0 0 30 40 Postup výpočtu: Intervl, b rozdělíme n m stejně velkých podintervlů: b =,,, = 0 K i i K m, m =, b Velkost všech podintervlů je stejná: h =. m N kždém podintervlu proimujeme funkci f () polynomem zvoleného stupně. Sečteme plochy všech obrzců vzniklých n podintervlech. b Obdélníková metod ( n = 0) N jednotlivých podintervlech proimujeme funkci f () polynomy nultého stupně (konstntní funkcí: g ( ) = c ). 50

Výšku v i obdélníku n i-tém podintervlu zvolíme buď v i = f ( i ) nebo v i = f ( i ). 00 y y =f ( ) 00 y y =f ( ) 50 50 00 00 50 v i 50 v i 0 0 0 i - b 0 i 30 40 0 0 0 i - b 0 i 30 40 Potom b m f i= b m i= ( ) d = h f ( i ) + E( f ) resp. f ( ) d = h f ( ) + E( f ) kde E ( f ) je chyb výpočtu, kterou lze minimlizovt zvětšením počtu podintervlů m. i Lichoběžníková metod ( n = ) N jednotlivých podintervlech proimujeme funkci f () polynomy prvého stupně (lineární funkcí: g( ) = + b ). 00 y 50 y =f ( ) 00 50 0 0 0 i - b 0 i 30 40 Potom b f ( 0 ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( m ) + f ( ) d = h + + K + f ( m ) + E( f ) po úprvě b f ( ) d = h f ( 0 ) + f ( ) + K + f ( m ) + f ( m ) + E( f ) Pro výpočet chyby pltí 5

b E ( f ) = ( h) f ( ξ ), kde ξ, b. Má-li integrovná funkce spojitou druhou derivci, pk vhodnou volbou počtu podintervlů lze dosáhnout libovolně mlé chyby. Simpsonov metod ( n = ) N jednotlivých podintervlech proimujeme funkci f () polynomy druhého stupně (kvdrtická funkce: g ( ) + = + b c ). Počet podintervlů m musí být sudý. 00 y y =f ( ) 50 00 50 0 0 0 i - b 0 i 30 40 Potom b h f ( ) d = 3 m 3 m m 3 [ f ( ) + 4 f ( ) + f ( ) + 4 f ( ) + K+ 4 f ( ) + f ( ) + 4 f ( ) + f ( )] + E( ) 0 m f Pro výpočet chyby pltí b 4 IV E( f ) = ( h) f ( ξ ), kde ξ, b. 80 Má-li integrovná funkce spojitou čtvrtou derivci, pk vhodnou volbou počtu podintervlů lze dosáhnout libovolně mlé chyby. Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č.9 Vypočtěte následující integrál lichoběžníkovým prvidlem pro n=8: Řešení Nejprve si zdáme meze integrálu,b: >> =-;b=; Intervl si rozdělíme n n=8 dílků, vypočteme si krok h, spočteme body v nich hodnoty integrovné funkce: >> h=(b-)/n; 5

>> =:h:b; >> y=ep(.^); >> [' y'] ns= -.0000.783-0.650.4779-0.500.0645 0.50.057 0.5000.840 0.8750.503.500 4.7707.650 4.00.0000 54.598 Vypočteme přibližnou hodnotu integrálu: >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 0.463 Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č.0-3 Vypočtěte následující integrál lichoběžníkovým prvidlem s přesností epsilon=0pp PP: Použijte metodu ho kroku, kroky zpisujte do tbulky. Řešení Nejprve si zdáme meze integrálu,b: >> =0;b=; Intervl si rozdělíme n n= dílků, vypočteme si krok h, spočteme body v nich hodnoty integrovné funkce: >> n=;h=(b-)/n; >> =:h:b;y=(.^)./(+sin());[' y'] ns = 0 0 0.5000 0.690.0000 0.5430 Vypočteme přibližnou hodnotu integrálu: >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 0.03 Tuto hodnotu integrálu si uložime do Is, bychom do proměnné I mohli spočítt dlší přibližnou hodnotu integrálu pro krát tolik dílků n: >> Is=I; >> n=*n;h=(b-)/n; 53

>> =:h:b;y=(.^)./(+sin());[' y'] ns = 0 0 0.500 0.050 0.5000 0.690 0.7500 0.3345.0000 0.5430 >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 0.063 Spočítáme si chybu proimce, která má být menší než zdná přesnost epsilon: >> chyb=bs(i-is)/3 chyb = 0.0047 Jelikož chyb není menší než epsilon, pokrčujeme ve vypočtu dále: >> Is=I; >> n=*n;h=(b-)/n; >> =:h:b;y=(.^)./(+sin()); >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 0.07 >> chyb=bs(i-is)/3 chyb = 0.00 >> Is=I; >> n=*n;h=(b-)/n; >> =:h:b;y=(.^)./(+sin()); >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 0.08 >> chyb=bs(i-is)/3 chyb = 3.0097e-04 Vidíme, že je již chyb menší než epsilon, ve výpočtu skončíme: Vypočtená dt si zpisujeme do tbulky: k n I chyb. 0.03 --- 54

. 4 0.063 0.0047 3. 8 0.07 0.00 4. 6 0.08 0.0003 Nkonec provedeme Richrdsonovu etrpolci: >> I=I+(I-Is)/3 I = 0.05 Výsledkem je hodnot Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. - Vypočtěte následující integrál lichoběžníkovým prvidlem s přesností epsilon=0pp PP: Použijte metodu ho kroku, kroky zpisujte do tbulky. Řešení Nejprve si zdáme meze integrálu,b: >> =0;b=; Intervl si rozdělíme n n= dílků, vypočteme si krok h, spočteme body, v nich hodnoty integrovné funkce přibližnou hodnotu integrálu: >> n=; >> h=(b-)/n;=:h:b;y=ep(.^); >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 44.934 Tuto hodnotu integrálu si uložime do Is, bychom do proměnné I mohli spočítt dlší přibližnou hodnotu integrálu pro krát tolik dílků n: >> Is=I; >> n=*n; >> h=(b-)/n;=:h:b;y=ep(.^); >> I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) I = 6.833 Spočítáme si chybu proimce, která má být menší než zdná přesnost epsilon: >> chyb=bs(i-is)/3 chyb = 6.068 Jelikož chyb není menší než epsilon, pokrčujeme ve vypočtu dále: >> while chyb>=epsilon Is=I; n=*n; h=(b-)/n;=:h:b;y=ep(.^); I=h*((y()+y(n+))/+sum(y(:n))) 55

chyb=bs(i-is)/3; end Vypočtená dt si zpisujeme do tbulky: k n I chyb. 44.934 ---. 4 6.833 6.068 3. 8 0.463.389 4. 6 8.569 0.678 5. 3 8.0787 0.64 6. 64 7.956 0.0408 7. 8 7.955 0.00 8. 56 7.978 0.006 Nkonec provedeme Richrdsonovu etrpolci: >> I=I+(I-Is)/3 I = 7.953 Výsledkem je hodnot Příkld z pre, Řešený příkld Zdání příkldu č. -4 Vypočtěte následující integrál Simpsnovým prvidlem s přesností epsilon=0pp PP: Použijte metodu polovičního kroku, kroky zpisujte do tbulky. Řešení Nejprve si zdáme meze integrálu,b: >> =0;b=; Intervl si rozdělíme n n= dílků, vypočteme si krok h, spočteme body v nich hodnoty integrovné funkce: >> n=;h=(b-)/n; >> =:h:b;y=(.^)./(+sin()); Vypočteme přibližnou hodnotu integrálu: >> I=h/3*((y()+y(n+))+4*sum(y(::n))+*sum(y(3::n-))) I = 0.03 Tuto hodnotu integrálu si uložime do Is, bychom do proměnné I mohli spočítt dlší přibližnou hodnotu integrálu pro poloviční krát tolik dílků n: >> Is=I; 56