7. ZÁKADNÍ TYPY DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 7.. SPOJITÉ SYSTÉMY Téměř všechny fyzálně realzovatelné spojté lneární systémy (romě systémů s dopravním zpožděním lze vytvořt z prvů tří typů: proporconálních členů (deálních zeslovačů; ntegrátorů; součtových členů (sumátorů; Zatímco první dva členy jsou unární, tj. mají jeden vstup a jeden výstup a ntegrátor má dynamcé vlastnost, má součtový člen více vstupů a jeden výstup a podobně jao proporconální člen má přenosové vlastnost onstantní bez ohledu na frevenc přenášených členů. Přílad: Určete realzační schéma systému popsaného dferencální rovncí Řešení: Převeďme zadanou dferencální rovnc do tvaru a dále Tato rovnce znamená, že dervace výstupní proměnné (její hodnotu dostaneme, dyž y (t ntegrujeme je rovna rozdílu váhovaných hodnot vstupní a výstupní velčny. Realzační schéma proto vypadá ta, ja je zobrazeno na obr.7. Z tohoto schématu vyplývá, že byly opravdu použty členy tří typů - násobení onstantou (proporconální člen, ntegrátor a součtový člen. a y (t+a 0 y(t = x (t, (7. a y (t = x (t - a 0 y(t (7. y (t = x (t/a - a 0 y(t/a (7.3 Kromě těchto tří záladních realzačních prvů exstují další záladní typové členy s určtým typovým vlastnostm. Jsou to zejména: systém se setrvačností. řádu; dervační systém; statcý systém. řádu; systém s dopravním zpožděním. 7... Proporconální člen Proporconální člen (obr.7- je určen rovncí y(t =.x(t (7.4 Z defnční rovnce plyne, že obrazová přenosová funce je defnována vztahem a frevenční přenosová funce Obr.7 Realzační schéma systému podle rov.(7. Obr.7- Proporconální člen = Y(p/X(p = (7.5 H(ω = Y(ω/X(ω = (7.6 Frevenční přenosová funce tedy není závslá na frevenc, frevenční charatersty jsou zobrazeny na obr.7-3. 68
a Obr.7-3 Frevenční charatersty proporconálního členu - a v omplexní rovně; b modulová a fázová frevenční charatersta Další způsoby popsu proporconálního členu: mpulsní charatersta - Dracův mpuls s mocností ; přechodová charatersta - soová funce s výšou sou ; nuly a póly přenosové funce - neexstují. 7... Integrační člen Chování ntegračního členu určuje dferencální rovnce terá přechází po aplacově transformac do tvaru y (t =.x(t (7.7 p.y(p y(0 =.X(p (7.8 a z toho je obrazová přenosová funce (za předpoladu nulové počáteční podmíny - y(0 = 0 Y(p X (p p T p. de nazýváme zesílení a T je časová onstanta ntegrátoru. Frevenční přenosová funce je Y( X ( j b (7.9 F ( j (7.0 a tedy frevenční charatersty mají průběh ja je zobrazeno na obr. 7-4. Bodeho logartmcá modulová charatersta je vyjádřena rovncí g(t db 0.log. (t (7. Tato funce má tedy v logartmcých souřadncích přímový průběh, s frevencí lesá (záporný druhý člen se slonem 0 db na deádu a pro úhlový mtočet = nabývá hodnoty. Impulsní charatersta je popsána vztahem g(t. (t, (7. má tedy tvar soové funce o výšce a přechodová charatersta h(t. p.t T.t (7.3 je lneárně rostoucí funce se směrncí rovnou převrácené hodnotě časové onstanty ntegrátoru. 69
a Obr.7-4 Frevenční charatersty proporconálního členu - a v omplexní rovně; b modulová a fázová frevenční charatersta v logartmcých souřadncích 7..3. Systém. řádu se setrvačností Systém tohoto typu nazýváme též zpožďující člen. řádu, aperodcý člen, případně statcý člen. řádu. Defnční dferencální rovnce je případně jsou-l a y (t + a 0 y(t = x(t, (7.4 T = a/a0; = /a0 (7.5 de T je časová onstanta a zesílení systému, nabývá dferencální rovnce tvaru T.y (t + y(t =.x(t. (7.6 Operátorová přenosová funce je za předpoladu nulové počáteční podmíny a frevenční přenosová funce Z toho plyne, že její reálná a magnární část jsou Re T F (p Tp. (7.7 F (. (7.8 j T a Im T T. b. (7.9 a frevenční charatersta v omplexní rovně má tvar půlružnce ve 4. vadrantu omplexní rovny a je zobrazena na obr.7-5. Modulová logartmcá (Bodeho frevenční charatersta je dána výrazem ( T db. (7.0 terý aproxmujeme lomenou přímou s bodem zlomu pro = /T. Pro ω «/T je (Tω «a tedy db (7. 70
Obr.7-5 Frevenční charatersta v omplexní rovně systému. řádu se setrvačností Průběh obou Bodeho frevenčních charaterst je na obr. 7-6. má onstantní hodnotu bez ohledu na mtočet. Naopa, pro ω» /T je (Tω» a tedy db T (7. je lesající příma se slonem 0 db/de. Fázová frevenční charatersta je dána vztahem ( arctg Re( Im( arctg ( T arctg ( T (7. v rozsahu od 0 do -90 pro 0 ω <, ja plyne z frevenční charatersty v omplexní rovně (obr.7-5. Obr.7-6 Bodeho frevenční charatersty systému. řádu se setrvačností Impulsní charatersta je dána vztahem g(t - (7.3 Tp T.e t/t a přechodová charatersta vztahem h(t (p.( e t/ T. (7.4 Jejch průběhy jsou na obr. 7-7. p F. p(tp Obr.7-7 Impulsní a přechodová charatersta systému. řádu se setvačností 7
7..4. Dervační systém Defnční dferencální rovnce dervačního systému má tvar a jeho obrazová přenosová funce y(t = d.x (t (7.5 = Y(p/X(p = d.p (7.6 To znamená, že má jednu nulu v počátu omplexní rovny. Tato přenosová funce je v onfltu s dříve vysloveným předpoladem, že řád čtatele raconální lomené přenosové funce musí být menší č maxmálně roven řádu jmenovatele. V tomto případě je řád čtatele roven, řád jmenovatele je nulový. Znamená to, že jestlže se vstup změní soem, měl by být výstup úměrný Dracovu mpulsu, což neumíme realzovat (neonečně vysoý mpuls s neonečně rátou dobou trvání. Frevenční přenosová funce je F ( Y( X ( j. (7.7 To znamená, že průběh frevenční charatersty v omplexní rovně je totožný s ladnou magnární osou, ja je znázorněno na obr.7-8. Obr.7-8 Frevenční charatersta v omplexní rovně a Bodeho frevenční charatersty deálního dervačního systému. Modulová logartmcá frevenční charatersta je určena funcí db 0.log d. (7.8 To znamená, že v logartmcých souřadncích má tato funce tvar rostoucí přímy se směrncí 0 db/de. Fázová charatersta je nezávslá na frevenc a nabývá hodnoty 90. Impulsní charatersta je určená vztahem g(t d p.. (7.9 a přechodová charatersta g(t - d d. (7.30 p p p. To znamená, že mpulsní charatersta má tvar tzv. Dracova mpulsu. řádu (neonečně vysoého a neonečně rátého mpulsu, terý nabývá obou polart - obr.7-9 a přechodová charatersta tvar Dracova mpulsu s mocností d. 7
Obr.7-9 Impulsní odezva deálního dervačního systému 7..5. Reálný dervační systém Každý reálný dervační článe je zatížen určtou setrvačností, proto jeho přenosová funce je alespoň ve tvaru de T je malá časová onstanta. Frevenční charatersta je popsána vztahem a její průběh v omplexní rovně má tvar podle obr.70. T d p. p., (7.3 T d.j. j, (7.3 Modulová frevenční charatersta v logartmcých souřadncích je popsána vztahem 0.log T db d, (7.33 terý aproxmujeme lomenou přímou s bodem lomu pro a pro ω»/tε je ω db = (d + 0 log(ω ω db = (d + 0 log(ω - 0 log(t ε. Obr.70 Frevenční charatersta reálného dervačního článu v omplexní rovně = /T. pro ω«/tε je Tomu odpovídá průběh (včetně fázové charatersty zobrazený na obr.7. (7.34 (7.35 Obr.7 Modulová a fázová Bodeho frevenční charatersta reálného dervačního článu Obr.7Přechodová charatersta reálného dervačního článu 73
Impulsní charatersta tohoto systému je popsána vztahem g(t d (7.36 Tp p. a přechodová charatersta vztahem (obr.7 h(t - d d et/t (7.37 p 7..6. Statcý systém. řádu T p Tento systém je popsán dferencální rovncí ve tvaru čemuž odpovídá obrazová přenosová funce ve tvaru nebo T a y (t + a y (t + a 0 = x(t, (7.38 Y(p X F (p (7.39 (p ap a p. a0 Tp T p., (7.40 de = /a 0 je zesílení systému, T a a0 je jeho časová onstanta a tlumení. a jeho poměrné aa Chování tohoto systému závsí především na pozcích pólů přenosové funce, přčemž rozlšujeme tř následující stuace: reálné různé póly; reálné násobné póly; omplexně sdružené póly. Charaterstcé tvary odezev systému byly zobrazeny v ap.5..3 na obr.5-. 0 74