( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2

Podobné dokumenty
je daná vztahem v 0 Ve fyzice bývá zvykem značit derivaci podle proměnné t (podle času) tečkou, proto píšeme

INTERGRÁLNÍ POČET. PRIMITIVNÍ FUNKCE (neurčitý integrál)

L HOSPITALOVO PRAVIDLO

Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.

ln(1 + 3x) lim lim lim ln(x 2 x + 1) lim ln(x 10 + x + 1) = ln x 2 (1 1 x + 1 x 2 ) ln x 10 (1 + 1 x = lim 2 ln x + ln(1 1 x 2 + ln(1 1 x

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

ε, budeme nazývat okolím bodu (čísla) x

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

1 ) 3, a 5 6 b ( 4. x+2 x, b) f(x)= sin 3x = 3 sin x 4 sin 3 x ] (užijte vzorce: sin(α + β), sin 2x a cos 2x) f 1 : y = x 1. f 1 : y = 3 + ln x 1

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

Elementární funkce. Polynomy

Rozklad na součin vytýkáním

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Lomené výrazy sčítání a odčítání lomených výrazů

1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů

II. 3. Speciální integrační metody

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE - CVIČENÍ

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

Anotace: Digitální učební materiály slouží k zopakování a k testování získaných znalostí a dovedností.

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

Variace. Číselné výrazy

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a

Algebraické výrazy-ii

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Limita a spojitost funkce

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

Kapitola 7: Integrál. 1/17

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

LIMITA FUNKCE, SPOJITOST FUNKCE

Limita ve vlastním bodě

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

M - Algebraické výrazy

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Matematika 1 pro PEF PaE

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:


Algebraické výrazy Vypracovala: Mgr. Zuzana Kopečková

Teorie. kunck6am/ (a) lim. x x) lim x ln ) = lim. vnitřní funkce: lim x. = lim. lim. ln(1 + y) lim = 1,

MA1: Cvičné příklady funkce: D(f) a vlastnosti, limity

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Funkce základní pojmy a vlastnosti

2 Reálné funkce jedné reálné proměnné

Diferenciální rovnice 1

55. ročník matematické olympiády

( ) ( ) ( ) ( ) Základní goniometrické vzorce III. Předpoklady: 4301, 4305

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

Digitální učební materiál

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.

Algebraické výrazy pro učební obory

CVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

VYSOK A ˇ SKOLA POLYTECHNICK A JIHLAVA Katedra matematiky Matematick y semin aˇ r Petra Hor aˇ ckov a, Miroslav Han aˇ cek 2016

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Lomené algebraické výrazy

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Práce s čísly. Klíčové pojmy: Základní matematické operace, zápis složitějších příkladů, mocniny, odmocniny, zkrácené operátory

M - Kvadratické rovnice

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

Navazující magisterské studium MATEMATIKA 2016 zadání A str.1 Z uvedených odpovědí je vždy

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

Transkript:

I Drivac jdnoduchých funkcí pomocí pravidl a vzorců Užitím P U druhého a třtího člnu použijm P Nní podl V a posldní čln podl V Použijm P Dál V a na drivaci trojčlnu v poldní závorc V a V Výsldk upravím vtknutím, potom Použijm P K výpočtu drivací, ktré zbývá vpočítat, použijm V a V, pro goniomtrické funkc V7 a V8 Z prvního a posldního součinu vtknm, z ostatních Podl pravidla P j K drivaci částí, ktré zbývá zdrivovat použijm V a V: Podobně

Užijm P a potom V7 a V8 : upravím čitatl zlomku, protož Po vkrácní arctg arctg Drivaci zlomku bchom mohli provést podl P, al protož j v jmnovatli pouz konstanta, j a použijm raději P Td arctg arctg arctg Na drivaci součinu použijm P : arctg Po drivaci jště upravím krácním v součinch, takž arctg II Drivac složných funkcí Tato složná funkc má dvě složk Vnější j třtí mocnina, vnitřní racionální lomná funkc podíl Proto njdřív použijm V a potom pravidlo pro drivaci podílu P zbývá zdrivovat čln v čitatli druhého zlomku a upravit

ln Funkc j složná z dvou složk Vnější j přirozná logaritmická funkc, vnitřní racionální lomná funkc podíl Proto njdřív použijm V a potom pravidlo pro drivaci podílu P Dopočítám drivac dvojčlnů P, V a V a upravím arc Vnější složkou j u arc a vnitřní u Proto použijm V a potom V Drivaci upravím Njdřív užijm P drivac součinu Dál použijm V a v závorc j složná funkc, jjíž vnější složkou j druhá odmocnina a vnitřní polnom, proto Funkc j součinm, proto použijm P a druhý činitl j složná funkc s vnější složkou u V a vnitřní složkou u P, P, V, V: Vtknutím ponnciální funkc

ln Njdřív užijm P drivac součtu [ ln ] První sčítanc drivujm podl V a druhý j složná funkc, takž budm drivovat vnější složku podl V: Drivací vnitřní složk dostanm ln tg Tato vícnásobně složná funkc má složk, drivujm od vnější: ln tg ln tg ln tg tg tg ln tg tg ln tg tg [ ] [ ] Vpočtět hodnotu první drivac funkc arctg v bodě Funkc má dvě složk, njdřív použijm V na drivaci vnější složk a potom P na drivaci podílu Drivaci bchom mohli úpravami v zlomku na spolčný jmnovatl, zjdnodušit složný zlomk, v zlomku upravit čitatl a potom krátit přvést na tvar Počítám-li hodnotu drivac v bodě, nní nutné úprav provádět Můžm zadaný bod dosadit za přímo Tntokrát dosadím do upravné drivac 8

Vpočtět hodnotu první drivac funkc v bodě Funkc má složk, postupně drivujm: Výsldk nní třba upravovat, protož počítám hodnotu drivac v bodě Po dosazní Vpočtět hodnotu první drivac funkc ln tg v bodě π Vpočítám drivaci vícnásobně složné funkc [ ln tg ] [ ln tg ] [ ln tg ] tg tg [ ln tg ], tg ln tg tg π dosadím za zadaný bod π π ln ln tg π π tg ln III Drivac všších řádů Vpočtět drivaci druhého řádu funkc Drivujm jako podíl [ ] Protož budm znovu drivovat, j třba funkci upravit V čitatli můžm vtknout a potom zlomk krátit : [ ] [ ] Potom druhou drivaci vpočítám znovu jako drivaci podílu

Kdbchom počítali drivaci [ ] v konkrétním bodě, mohli bchom dosadit přímo Protož počítám drivaci obcně, j vhodné ji opět upravit vtýkáním, krácním a sčtním člnů: [ ] [ ] 8 Vpočtět drivaci druhého řádu funkc ln J to složná funkc, postupně drivujm přiroznou logaritmickou funkci, potom odmocninu a nakonc podíl Protož budm opět drivovat, j třba funkci co njlép upravit Výsldk drivujm jako podíl protož nní proměnná v čitatli, mohli bchom také drivovat jako složnou funkci Vpočtět hodnotu třtí drivac funkc v bodě Drivujm složnou funkci: Druhá drivac j navíc drivací součinu Drivac třtího řádu podobně [ ] Počítám-li drivaci v bodě, nbudm provádět úprav, al hnd po drivaci dosadím zadaný bod [ ]