Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/ 20
Určitý integrál Určitý integrál můžeme stručně chrkterizovt jko reálné číslo, kterým vyjdřujeme celkové množství, npříkld obsh, hmotnost, práci proměnné síly,... Motivční úloh: JkseurčíobshSobrzce? S. =0,25.f(0)+0,25.f(0,25)+0,25.f(0,5)+0,25.f(0,75)=0,55208 Počet částí Součet Počet částí Součet 4 0,552080 128 0,662669 8 0,606766 256 0,664429 16 0, 636 056 512 0, 665 176 32 0, 651 175 1024 0, 665 218 64 0, 658 848 2048 0, 666 228 Tkto vyjádříme čísl(součty), která přibližně vyjdřují číslo S. Přitom pltí, že číslo S může být vyjádřeno uvedeným postupem s libovolnou přesností. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 2/ 20
Určitý integrál Poznámk Obdélníky můžeme vyjádřit mnoh způsoby tk, že jednu strnu kždého z nich volíme funkční hodnotu f(c), kde c je libovolné číslo v částečném intervlu. (v příkldě jsme volili levý krjní bod) HlednéčísloSjeurčenofunkcí f(x)=x 2 + 1 3 intervlem[0,1],zpisujemeho 1 0 (x 2 + 1 3 )dx čteme určitýintegrálfunkce x 2 + 1 3 nintervlu[0,1]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 3/ 20
Určitý integrál Definice Nechť fjefunkcedefinovnánintervlu[,b]. ) Intervl[, b] rozdělíme n částečné intervly [x 0,x 1 ],[x 1,x 2 ],...,[x n 1,x n ], kde =x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Množinu dělících bodů D={x 0,x 1,x 2,...,x n } nzveme dělením D intervlu[, b]. Délkuintervlu[x i 1,x i ]oznčíme x i,tj. nzveme krokem dělením D. Mximální krok dělení D oznčíme x i = x i x i 1, i=1,2,...,n h(d)=mx 1 i n { x i }. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 4/ 20
Určitý integrl b)kdnéfunkci fdělení Dutvořímesoučet S(D,f)=f(c 1 ) x 1 +f(c 2 ) x 2 + +f(c n ) x n, kde c 1, c 2,..., c n jsoulibovolnébody,zvolenévjednotlivýchčástečnýchintervlech, tj. c 1 [x 0,x 1 ], c 2 [x 1,x 2 ],...,c n [x n 1,x n ]. Součet S(D,f)nzvemeintegrálnímsoučtemfunkce f. c) Jestliže z uvedených předpokldů existuje tkové číslo I, které lze proximovt integrálním součtem s libovolnou přesností, tktotočíslo Inzývámeurčitýintegrálfunkce fnintervlu[,b] píšeme I= f(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 5/ 20
Určitý integrál Poznámk(přesný význm proximovt číslo I integrálním součtem s libovolnou přesností ) Prokždépřirozené kexistuječíslo H >0tk,žeprolibovolnédělení Dintervlu [,b]smximálnímkrokem h(d) < Hprolibovolnouvolbu c i [x i 1,x i ]pltí nerovnost S(D,f) I 0,5.10 k. Definice Jestližekdnéfunkci fnintervlu[,b]existujeurčitýintegrál,pkřekneme,žeje funkce f integrovtelná n intervlu[, b]. Intervl[,b]senzýváintegrčníobor,čisl, bjsouintegrčnímeze, jedolní mez, bhornímezfunkce fsenzýváintegrovnáfunkce. Poznámk Výpočet integrálu funkce f n intervlu[, b] se nzývá integrování funkce f n intervlu[, b]. Vstupem této operce je funkce f integrční meze, výstupem operce je číslo. Příkld Podledefiniceurčeteintegrálfunkce f(x)=knintervlu[,b]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 6/ 20
Určitý integrál Vět 8.1. Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b], potom je n tomto intervlu integrovtelná. Vět 8.2. Je-lifunkce fomezenápočástechspojitánintervlu[,b],potomjentomto intervlu integrovtelná. Příkld Funkce f(x)= sinx x. (není definován v bodě 0, le je integrovtelná n libovolném intervlu[, b]) Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 7/ 20
Vlstnosti integrálů Hodnot integrálu závisí A) n integrčním oboru B) n integrovtelné funkci A) Vět 8.3. (ditivit integrálu vzhledem k integrčnímu oboru) Nechťje < c < b,funkce fjeintegrovtelnánintervlu[,b],právěkdyžje integrovtelná n intervlech[, c],[c, b]. Přitom pltí f(x)dx= c f(x)dx+ c f(x)dx. Větu 8.3 používáme v těchto přípdech: ) Integrovtelná funkce je zdán různými vzorci n různých intervlech. b) Integrovtelná funkce má konečný počet bodů nespojitosti. Příkld. f(x)= x, x [ 1,1]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 8/ 20
Vlstnosti integrálů Vět 8.4. Uvžujmedvěfunkce f g,definovnénintervlu[,b]lišícísenvzájemv konečnémpočtubodů.je-lijednznichintegrovtelnáv[,b],potomjeidruhá integrovtelná n[, b] plti f(x)dx= g(x)dx. Důsledek. Integrál nezávisí n tom, jk je funkce f definován v krjních bodech integrčního oboru. f(x)dxvyjdřujeintegrál fnkterémkolizintervlů[,b],[,b),(,b],(,b). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 9/ 20
Vlstnosti integrálů Definice. Pro bdefinujemeurčitýintegráltkto: 1)Je-li > b,potom f(x)dx= (slovy: Záměnou mezí se změní znmení integrálu) 2)Je-li =b,potom b f(x)dx=0. f(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 10/ 20
Vlstnosti integrálů B) Vět 8.5. (linerit integrálu vzhledem k integrndu) Jsou-lifunkce f gintegrovtelnénintervlu[,b]kjelibovolnákonstnt, potomjsouintegrovtelnén[,b]funkce Kf f+g.přitompltí Kf(x)dx=K f(x)dx. (slovy: Vytknutí konstnty před integrční znk.) (f(x)+g(x))dx= f(x)dx+ g(x)dx. (slovy: Integrál součtu je roven součtu integrálů.) Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 11/ 20
Vlstnosti integrálů Důkz. Integrál proximujeme integrálními součty resp. n Kf(c i ) x i = K i=1 n [f(c i )+g(c i )] x i = i=1 n f(c i ) x i i=1 n f(c i ) x i + i=1 n g(c i ) x i s libovolnou přesností. Z integrovtelnosti funkcí f g vyplývá integrovtelnost funkcí n levé strně rovnosti. i=1 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 12/ 20
Vlstnosti integrálů Vět 8.6. Jestliže pro integrovtelnou funkci f n intervlu[, b] pltí nerovnosti m f(x) M, potom pro její integrál pltí následující odhdy: m(b ) f(x)dx M(b ). Důsledek. 1. Je-li funkce f integrovtelná nezáporná n intervlu[, b], potom tké integrál n[,b]jenezáporný,tj. f(x)dx 0. 2.Jsou-lifunkce f gintegrovtelnén[,b]pltízdenerovnost f(x) g(x), potomstejnánerovnostpltíiprointegrályn[,b],tj. f(x)dx g(x)dx. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 13/ 20
Vlstnosti integrálů Vět 8.7. (citlivost integrálu n mlou změnu integrovné funkce) Jsou-lifunkce f gintegrovtelnénintervlu[,b]pltízdenerovnost potom je f(x) g(x) 0,5.10 k, f(x)dx g(x)dx 0,5.10 k.(b ). Poznámk Význm věty lze vyjádřit tkto: Nhrdíme-li f v mlém intervlu dosttečně přesně funkcí g, bude přibližně stejně přesně nhrzen tké její integrál. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 14/ 20
Vlstnosti integrálů Vět 8.8. (o střední hodnotě funkce n intervlu) Je-lifunkce fspojitánintervlu[,b],potomexistujelespoňjednočíslo x 0 [,b] tkové, že pltí f(x 0 )= 1 f(x)dx. (1) b f(x)dx=f(x 0 )(b ) Číslo f(x 0 )vyjádřenéintegrálem(1)senzývástředníhodnotfunkce fnintervlu [,b]. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 15/ 20
Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce V některých přípdech můžeme vyjádřit určitý integrál pomocí hodnot elementárních funkcí. Zákldem těchto metod jsou vzorce pro derivci funkce. Příkld Je-li F(x)=x 2,potom F (x)=2xpro x (, ). Obrácená úloh: Víme,žeje F (x)=2xpro x (, )mámeurčit F(x). (řešení,tj.funkci x 2 nzvemeprimitivnífunkcíkfunkci2xnintervlu(, )) Definice Funkci F nzveme primitivní funkcí k funkci f n intervlu J, jestližeprovšechnčísl x Jpltí Příkld x =1 F= x f=1 (sinx) =cosx F=sinx f=cosx (tgx) = 1 cos 2 x F=tgx f= 1 cos 2 x F = f. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 16/ 20
Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce Je-li Fprimitivnífunkcíkfn J(tj. F = fn J), pk F+cjetképrimitivnífunkcíkfn J(neboť(F+c) = F +c = f) To znmená: Má-li funkce primitivní funkci, pk jich má nekonečně mnoho. Příkld f(x)=2x F(x)=x 2 x 2 +1 x 2 2 Vět 9.1. Je-li Fprimitivnífunkcíkfunkci fnintervlu J, potomkždáprimitivnífunkcerůznáod Fjevetvru F+c,kde cjekonstnt.!!!!! Ne ke kždé funkci existuje primitivní funkce!!! Vět 9.2. Je-lifunkce fspojitánintervlu J,potomkníexistujeprimitivnífunkce Fn J. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 17/ 20
Použití primitivní funkce pro výpočet určitého integrálu Je-lifunkce fintegrovtelnánintervlu[,b],potomprokždé c [,b]existuje c f(x)dx. Definujemenovoufunkcipro x [,b]předpisem H(x)= x f(u)du. Vět 9.3.(zákldní vět integrálního počtu) Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b], potom funkce H(x)= máderivciprokždé x [,b]pltí x f(u)du H (x)=f(x). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 18/ 20
Použití primitivní funkce pro výpočet určitého integrálu H(x)...vyjdřujejednuzprimitivníchfunkcíkfunkci fn[,b],dosď x= H()= f(u)du=0, dosď x=b tedy H(b)= f(u)du, f(x)dx=h(b)=h(b) 0=H(b) H(). Projinouprimitivnífunkci G(x)=H(x)+cdostneme f(x)dx=h(b) H()=G(b) c (G() c)=g(b) G(). Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 19/ 20
Výpočet integrálu pomocí primitivní funkce Vět 9.4.(Newton- Leibnizov) Je-li funkce f spojitá n intervlu[, b] F její primitivní funkce n tomto intervlu, potom je někdy píšeme f(x)dx=f(b) F(), f(x)dx=[f(x)] b. Příkld 2 1 2xdx=[x2 ] 2 1=2 2 1 2 =3. Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 20/ 20