Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme toto zobrazeí fukcí (zobrazeí jsme v. kapitole ozačovali velkým F, fukci ozačujeme většiou malými písmey f, gh,,...). Ve středoškolské matematice přitom pracujeme s tzv. reálou fukcí jedé reálé proměé (tj. A, B jde o zobrazeí v možiě všech reálých čísel, čísla kompleí euvažujeme). Je-li číslu A fukcí f přiřazeo číslo y B, píšeme [, y] f ebo častěji y = f( ). Číslo azýváme vzor proměá (podroběji ezávisle proměá), číslo y obraz fukčí hodota (popř. závisle proměá). Možiu všech vzorů azýváme defiičím oborem oz. D( f ), možiu všech obrazů oborem hodot fukce f oz. H( f ). Dvě fukce f; f jsou si avzájem rovy právě tehdy, když se rovají jejich defiičí obory [tj. D( f) = D( f) ] a pro každé D( f) = D( f) je f( ) = f( ). Fukce slouží k matematickému vyjádřeí závislosti dvou veliči. Tyto závislosti (fukce) můžeme vyjádřit tabulkou, rovicí ebo grafem. Dříve ež přejdeme k ěkterým příkladům, zopakujme ěkteré důležité pojmy: Pravoúhlou soustavou souřadic v roviě rozumíme dvojici avzájem kolmých číselých os. Jejich průsečík azýváme počátkem souřadé soustavy (začíme obvykle O). Číselé osy azýváme souřadými osami a začíme obvykle, y, přičemž osa je obvykle vodorová orietovaá zleva doprava, osa y svislá orietovaá zdola ahoru. Souřadou soustavu, kde velikost jedotek a obou osách bude stejá, budeme začit Oy,, a azývat kartézskou souřadou soustavou (podle fracouzského filozofa a matematika Reé Descarta lat. Cartesiaus). Souřadé osy rozdělí roviu a čtyři pravé úhly kvadraty. Ty číslujeme většiou římskými číslicemi. Prví kvadrat je ohraiče kladými poloosami, další ásledují v kladém směru proti směru chodu hodiových ručiček. Souřadice bodu v roviě: Každému bodu L v roviě s kartézskou soustavou Oy,, přiřaďme uspořádaou dvojici čísel [, y ] takto: číslo je souřadice paty L kolmice spuštěé z bodu L a osu, číslo y je souřadice paty L kolmice spuštěé z bodu L a osu Moji epřátelé jsou hloupí pseudovědci, kteří se slepě drží Aristotela a které věda zajímá je proto, aby dobře vypadali v talárech a měli za to dobrý plat. Kdyby žil Aristoteles des, byl by prví, kdo by se obrátil proti zaslepecům, kteří stojí a jeho slovech. (Galileo Galilei) 8
y (souřadice bodu a přímce viz kpt..4.). Naopak každé uspořádaé dvojici [, y ] reálých čísel přiřadíme bod L takto: Sestrojíme body L = [ ], L = [ y] y, z bodu L vztyčíme kolmici l a osu, z L kolmici l a osu y. Bod L ajdeme pak jako průsečík těchto kolmic, tj. L l l. Říkáme, že bod L má v soustavě Oy,, souřadice [, y ], píšeme L = [, y].. Příklad: Automobil má v ádrži 4 litrů bezíu a spotřebuje 8 litrů a km. Vyjádřete možství bezíu v ádrži jako fukci ujeté vzdáleosti. Řešeí: Zde možství bezíu v ádrži závisí a ujeté vzdáleosti, proto je ujetá vzdáleost ezávisle proměá ( ), možství bezíu v ádrži je pak závisle proměá ( y ). S daým možstvím paliva ujedeme maimálě km, defiičím oborem je tedy možia D( f ) = ;, možství paliva v ádrži může abýt hodot H( f ) = ;4. Tabulka zachycuje ěkteré hodoty ezávisle a závisle proměé, apř: 4 y 4 4 6 8 Rovice y = 4, 8 Graf: Grafem fukce rozumíme možiu všech bodů roviy, jejichž souřadice vyhovují její rovici 8
. Vlastosti fukcí Lichá fukce D( f): f( ) = f( ) Sudá fukce D( f): f( ) = f( ) graf je souměrý podle počátku soustavy graf je souměrý podle osy y, apříklad: souřadic, apříklad: f : y = ; D( f ) = ; f : y = ; 4 H( f ) = ; ). D( f ) = ; H( f ) = ; K tomu, aby pro každé D( f) mohlo platit f ( ) = f( ), resp. f ( ) = f( ), musí obě fukčí hodoty f ( ); f( ) eistovat. Pro lichou i sudou fukci musí tedy být [ D( f) ] [ D( f) ]. Samotý defiičí obor liché resp. sudé fukce je souměrý podle počátku, resp. podle osy y. Je-li I D( f ) iterval, pak fukce f () je a tomto itervalu klesající pokud s rostou- cím klesá y, rostoucí pokud s rostoucím roste také y (apř. fukce g : y = je a I = ( ; klesající, a I = ; ) rostoucí), mootoí je fukce, která je buď rostoucí ebo klesající, erostoucí pokud s rostoucím eroste y, eklesající pokud s rostoucím eklesá y. erostoucí : eklesající : = ( ) f : y = ( ) f : y 4 4 8
. Elemetárí fukce Přímá úměrost: Je každá fukce a defiovaá rovicí f : y = k ; k {}. Grafem přímé úměrosti je přímka procházející počátkem. Lieárí fukce: Je každá fukce a daá rovicí f : y = k + q; kq ;. V případě k = dostaeme fukci kostatí. Grafem lieárí fukce je přímka, která je růzoběžá s osou y. Nepřímá úměrost: Je každá fukce defiováa rovicí k f : y = ; k ; D( f) = H( f) = {}. Grafem je rovoosá hyperbola (připoje graf pro k = ). Kvadratická fukce: Je každá fukce defiováa rovicí f : y =. Grafem je parabola. D( f ) = ; H( f ) = ; ) 8
. Příklad: Z pole o výměře 6 hektarů se sklidilo 68 t cukrovky. Kolik tu by se sklidilo z hektarů, předpokládáme-li stejý hektarový výos? Řešeí: a) Čím větší plochu osejeme, tím více cukrovky sklidíme. Možství cukrovky y je tedy přímo úměré oseté ploše, tedy y = k. Víme, že pro = 6 je y = 68, pro kostatu y 68 k úměrosti dostáváme k = = =. Pro = dostáváme y = k = = 6. 6 Z hektarů by se sklidilo tedy 6 tu cukrovky. Toto řešeí je tzv. řešeí přechodem přes jedotku (kostata úměrosti zde má výzam hektarového výosu, tj. možství cukrovky sklizeého z jedoho hektaru). Úlohu však můžeme řešit také trojčlekou, tj. rovostí dvou poměrů: b) 68 = = = 6. 68 6 6. Příklad: Kiha má 6 stra po 4 řádcích. Kolik stra bude mít v ovém vydáí, bude-li a stráce 6 stejě dlouhých řádků? Řešeí: a) Čím kratší budou stráky, tím jich bude více. Počet stra y je tedy epřímo úměrý k jejich délce, tedy y =. Víme, že pro = 4 je y = 6, pro kostatu k úměrosti k 4 dostáváme k = y = 4 6 = 4. Pro = 6 dostáváme y = = = 4. 6 Nové vydáí bude tedy mít 4 stra. I toto řešeí je přechodem přes jedotku. Kostata úměrosti v tomto případě vyjadřuje počet řádků kihy, tedy počet stra v případě, že a každé z ich by byl jediý řádek. Také epřímou úměrost můžeme řešit trojčlekou: b) Proceta a promile: 6 ha...68 t ha... t 4 řádků... 6 stra 6 řádků... stra 4 4 6 = = = 4 6 6 6 Speciálí úlohy a přímou úměrost jsou úlohy a proceta a promile. Proceto je jeda setia, promile pak jeda tisícia celku (základu). V těchto úlohách se volí reálé číslo z jako základ (%, popř. ), počet procet, popř. promile p a příslušá část základu č. Na ižších stupích jsme rozlišovali tři typy úloh a proceta: určováí základu, určováí počtu procet a určováí části základu (procetové části). Všechy tyto úlohy jsou však úlohami a přímou úměrost čím větší je počet procet, tím větší je procetová část. 84
. Příklad: Chceme získat g pětiprocetího roztoku soli ve vodě. Kolik vody a kolik soli potřebujeme? Řešeí: Určíme apř. možství vody, možství soli pak sado dopočítáme. Pětiprocetí roztok obsahuje 9% vody a % soli: Pro vodu tedy máme: %... g 9 %... g 9 9 = = = 4, K získáí předepsaého roztoku budeme potřebovat 4, g vody a 7, g soli. 4. Příklad: V kolika gramech vody je třeba rozpustit 8 g soli, máme-li získat devítiprocetí roztok? Řešeí: 8 g soli tvoří 9% roztoku, hledaé možství vody pak zbylých 9%: 9 %...8 g 9 %... g 9 9 8 = = = 8 8 9 9 K získáí předepsaého roztoku budeme potřebovat 8 g vody..4 Fukce prostá a iverzí V kpt. jsme hovořili o prostém zobrazeí. Pojmem fukce ozačujeme speciálí zobrazeí, kde defiičím oborem i oborem hodot jsou číselé možiy. Tedy: Zobrazeí F (fukce f ) je prosté (prostá) právě tehdy, když každý prvek y jeho (jejího) oboru hodot H( F ) [ H( f )] je obrazem právě jedoho prvku jeho (jejího) defiičího oboru DF ( ) [ D( f )]. U fukcí používáe většiou ásledující ekvivaletí (rovoceou) defiici: Fukce f je prostá právě tehdy, když pro každé ; D( f) ; platí f ( ) f( ). Fukce prostá a mootoí: Často se setkáváme s ázorem, že fukce mootoí a prostá je jedo a totéž. To ovšem eí pravda, jak se přesvědčíme ásledujícím příkladem: 8
. Příklad: Sestrojme graf fukce defiovaé takto: 4 pro < f : y = pro 4 Tato fukce je prostá, eboť každá dvě růzá ; mají skutečě dvě růzé fukčí hodoty f ( ); f ( ). Neí však mootoí, eboť a itervalu ( ;) klesá, kdežto a itervalu ; ) roste (viz graf a předchozí straě). Každá mootoí fukce je prostá, ale tuto větu elze obrátit e každá prostá fukce je mootoí. Mootoost fukce je podmíka dostačující k tomu, aby fukce byla prostá, ale eí to podmíka utá. Iverzí fukce: Mějme fukci f : y = f( ) s defiičím oborem D( f ) a oborem hodot H( f ). Tato fukce přiřazuje každému vzoru D( f) právě jede obraz y H( f), pro který je y = f( ). Sestrojme předpis (ozačme ho f ), který aopak každému obrazu y H( f) přiřadí vzor D( f) tak, že = f ( y). Jestliže je původí fukce f prostá, pak předpis f je opět fukcí, tj. každému y H( f) přiřazuje právě jedo D( f). Tuto fukci pak azýváme fukcí iverzí k fukci f. Mějme v kartézské soustavě Oy,, sestroje graf prosté fukce y = f( ). Uvažujme kartézskou souřadou soustavu Oy, ', ' týmž počátkem, kde kladá poloosa ' splye s kladou poloosou y a kladá poloosa y ' splye s kladou poloosou. Pak graf fukce y = f( ) v soustavě Oy,, splye s grafem fukce = f ( y) v soustavě Oy, ', '. Většiou však sestrojujeme graf fukce f v původí soustavě Oy,,, což odpovídá vzájemé záměě proměých ; y. Fukčí předpis platí: = f ( y) pak přejde a tvar y = f ( ). Pro fukci f iverzí k fukci f pak Defiičí obor fukce f se rová oboru hodot fukce f, tj. D( f) = H( f ). Obor hodot fukce f se rová defiičímu oboru fukce f, tj. H( f) = D( f ). Pro každé D( f) H( f = ) a každé y H( f) D( f = ) je y = f( ) f : = f ( y). Grafy fukcí f ; f sestrojeé v téže kartézské souřadé soustavě jsou souměrě sdružeé podle přímky y = (osy I. a III. kvadratu).. Příklad: Sestrojme fukci iverzí k fukci z předchozího příkladu. Řešeí: Protože fukce f je prostá, můžeme iverzí fukci sestrojit. Fukce je defiovaá a možiě D( f ) = ( ;) ; ) =. Pro ( ;) je 4 ( ;), pro ; ) ; ). Oborem hodot fukce f je možia ( ) ( ;) ; ) je 4 iverzí fukci f tak máme: D f = H f =, H f ( ) ( ) H f = =. Pro = D f =. ( ) ( ) Fukčí předpis fukce f získáme záměou proměých ve fukčím předpisu fukce f. Pro ( ;) tedy máme 86
4 4 4 f : = y = y = y pro ; ) je y f : = y = 4 y = 4 4 Graf fukce f je souměrý s grafem fukce f podle přímky y = (a obrázku vlevo je graf fukce f sestroje světlejší barvou). Zřejmě pod dojmem představy, že u iverzí fukce je všecho aopak, studeti často tvrdí, že pokud fukce f klesá, fukce f roste a aopak. Ovšem tak tomu eí. Jak je patré už z pohledu a připojeý obrázek, a itervalu ( ;) obě fukce současě klesají a a ; ) obě současě rostou. Platí věty: Fukce Fukce f klesá právě tehdy, když klesá fukce f. f roste právě tehdy, když roste fukce f.. Příklad: Sestrojme iverzí fukci k fukci f : y =. Řešeí: Daá fukce je defiováa a celé možiě, a celém defiičím oboru však eí prostá, eboť apř. f( ) = f() = 4. Pokud tedy chceme iverzí fukci sestrojit, je třeba defiičí obor zúžit tak, aby a tomto zúžeém oboru fukce byla prostá. Fukce f : y = a itervalu ( ; klesá, a ; ) roste, a těchto itervalech je tedy prostá. Lze tedy sestrojit iverzí fukci ke dvěma růzým fukcím, a to k fukci a k fukci f : y = ; D( f ) = ; ). f : y = ; D( f ) = ( ; 87
Pro fukci f : y = ; D( f) = ( ; máme H( f ) = ; ). Fukčí předpis fukce k í iverzí je f : = y a je třeba vyjádřit y. Pro číslo y řešíme tedy kvadratickou rovici s parametrem, která má obecě dva růzé reálé kořey y =±. Musíme si ovšem uvědomit, že D( f ) = H( f ) = ; ), tj. číslo je ezáporé); y H( f ) = D( f ) = = ( ; číslo y je ovšem záporé (rovici y = řešíme a itervalu y ( ; ). V tom případě ovšem vyhovuje pouze jedo řešeí, a to y =. Je tedy f y =. Pro fukci f : y = ; D( f) = ; ) je opět H( f ) = ; ). Fukčí předpis fukce f opět vychází z předpisu f : = y, tetokrát ovšem je D( f ) = H( f) = ; ) ( je opět kladé), ale y H( f ) = D( f ) = ; ) ( y je tetokrát kladé), je tedy f y =. : :. Fukce epoeciálí a logaritmická Epoeciálí fukce: Je fukce určeá rovicí f : y = a ; kde a > ; a. Podmíka a > je utá k tomu, aby mocia byla defiováa pro každé reálé, tj. D( f ) =. Pro a = by se jedalo o kostatí fukci : f y =. Oborem hodot je ( ) ( ; ). Příklad: Sestrojme grafy fukcí f : y = ; f : y =. f : y = : y H f =. 4 = 6 8 4 = 4 8 f : y = 4 y = 6 8 4 Epoeciálí fukci o základu a =, tj. y =, azýváme dekadickou epoeciálí fukcí. Zvláště důležitá je epoeciálí fukce y = e [ y = ep( ) ], jejímž základem je číslo a = e=.78 8... (Eulerovo číslo). oboru, a to pro ( ;) = a je mootoí a celém svém defiičím Logaritmická fukce: Epoeciálí fukce y a klesající, pro a ( ; ) rostoucí. Je tedy možo k í sestrojit fukci iverzí: y f : = a ; kde a > ; a. Protože ( ) H( f ) = ;, je ( ) D f = ; ( ) = D f =. Tato fukce přiřazuje každému ( ; ) D( f ) = H( f) = ; ; H( f ) ( ) číslo y, a které je třeba umocit daý základ a, abychom obdrželi hodotu ezávisle 4 8 88
proměé. Tato fukce se azývá logaritmická fukce se základem a, začíme ji log a. Místo y f : = a tedy píšeme f : y = log a. Pro a = píšeme místo log většiou je log (dekadický logaritmus), pro a= e=, 78 8... píšeme místo log e většiou l ebo lg (přirozeý logaritmus). Vlastosti logaritmické fukce: je mootoí, tudíž prostá, tj. pro každé je log log ; pro (;) a ; je rostoucí. a a a je klesající, pro ( ) 89
Platí apř. log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť = ; log = eboť = ; log =, eboť log =, eboť = = ; log = eboť ; log = log = log =, eboť Pro každé X a každé A (;) ( ; ) je = ; log = eboť = ; = = =. log A X X = A. log Je-li tedy apř. a log = a ; a y loga loga y y = a, pak y = a a a podle pravidel o počítáí loga + loga y s mociami je y = a. Položíme-li však yí y = X ; a = A; log + log y = Y, je podle předchozího rámečku: a a Y X = A Y = log X loga loga y y = a + a + a y = a y a + a y = a y A log log log ( ) log log log ( ) Podobě bychom odvodili další vlastosti: Nechť a > ; a a y> ; jsou libovolá kladá reálá čísla. Pak log a( y) = loga + loga y; log = log log y a a a r y ; log = r log ( r ) a a Je-li r = ; kde {}, pak z posledího vzorce dostáváme log a = loga. Příklady: Pro přípusté hodoty upravme pomocí výše uvedeých pravidel: ) ) ) log ( ) = log + log + log ( ) = + log + log ( ) 7 log = log 7 + log log ( + ) = + log log ( + ) ( + ) ( ) ( + ) l = ( ) l( + ) l 9
4) 4 log4 log4 4 log4 log4 log4 log4 log4 log4 r = + + r = + + r Naopak: ) 6) 7) 8) 6 + log4 log 4( + ) = log4 6 + log4 = log4 + + a a ( a ) a 6 a l a+ l( a ) l( a+ ) 6 l a = l = l a ( a ) 6 a ( a+ ) 4 ( r ) (4 r ) (6 r) + + = = 4 ( r ) log r log 4r 4log r 4log 6r log 4 4 9 4 6 4 4 7 4 6 r r r r = log = log = log( r ) = log 6 r 4 8 4 8 r r c d E cd E log c+ log d + log E log S log ρ = log = log S ρ S ρ 6 6 9 6 9 Neřešeé úlohy: 4 ) log( y ) ) log ) log y 4) log + y ) ( log8.log ) 4 4 z 6) log + log a+ ( log b+ log c) 7) log +.(logl log log g) Výsledky ) log + 4log + log y ) log + log log 4log 4 ) log + log y log z 4) 8 l log + log( + y) ) log 6) log(a bc ) 7) log 6 g.6 Epoeciálí a logaritmické rovice Epoeciálí rovice je každá rovice, ve které je ezámá v epoetu ějaké f ( ) g( ) mociy. Nejjedodušší epoeciálí rovice jsou rovice tvaru a = a, kde a > ; a. Rovají-li se základy moci, musí se rovat i jejich epoety, tato rovice je tedy ekvivaletí s rovicí f ( ) = g( ) viz př.. Dále jsou to rovice ejrůzějších tvarů, které však lze úpravami využívajícími vlastosti moci převést a předchozí případ (viz př. ).. Příklad:. Příklad:. Příklad: + + + 4 6, 7 = 8 = = 6 ( ) 4( ) = 6, 4, + + = + 4 = + ( ) = 4( ) 6 = 6,= 4, 7 = = 7; = = 9
4. Příklad:. Příklad: + + + 9 = = 7 8 6 8 + + + 8 ( ) = = 7 7 ( ) 8 ( + ) (7 ) ( ) ( + ) (7 ) = + = = /: 8 8 = + = ( ) = = = 4; = f ( ) g( ) Dále jsou to rovice tvaru a = b, a b. V ěkterých případech je možo tuto rovici r( ) s( ) upravit a tvar a = a a řešit předchozím způsobem (viz př. 6). Pokud e, je třeba řešit logaritmováím (viz. př. 7). Následují opět rovice ejrůzějších tvarů, které lze a tvar f ( ) g( ) a = b převést a řešit logaritmováím (viz př. 8). Pozor! Logaritmováí rovice epatří k ekvivaletím úpravám. Součástí tohoto řešeí je tedy zkouška. Některé epoeciálí rovice lze substitucí převést a rovice algebraické (viz př. 9). 6. Příklad: 7. Příklad Zkouška: 6 = 7 / 7 = log L = = log 7 = 7 log = log 6 6+ log ( 7) = ( )log= log log L = log = ( ) = log log = log = log L = log = ( log ) = log P = log = log log P = log log log L = log P L = P 8. Příklad: 9. Příklad: + 4 + + 4 + = 4 9 9 + 7= + 4 + + + = 4 4 subst. 9 = y 4 ( + ) = 4(4 ) y y+ 7 = 9 = 6 4 ( y )( y 9) = 6 y = ; y = 9 = 4 9 ze subst. 9 = y 9 = = 7 = 4 ze subst. 9 = y 9 = 9 = (log log 4) = log 7 log log 7 = log log 4 9
(chybějící zkoušky zde poecháme čteáři jako cvičeí). Logaritmické rovice: jsou rovice, v ichž se vyskytují logaritmy výrazů s ezámou. Nejjedodušší logaritmickou rovicí je rovice log a = b, a >, a, b, b která má řešeí = a. Další rovice řešíme obvykle úpravou a tvar log a f ( ) = log a g( ), a pak řešíme tzv. delogaritmováím, tj. úpravou a tvar f ( ) = g( ). Často lze vhodou substitucí převést logaritmickou rovici a rovici algebraickou. Pozor! Ai delogaritmováí rovice eí ekvivaletí úpravou. Součástí tohoto řešeí je tedy zkouška. Příklad : log( ) = log(4 ) log( ) log(4 ) ( ) 4 = = 4 + 4= 4 = Příklad : log ( ) = = log = log log = log = log =± = ; = Zkouška L () log( ) log log log 9 P() = log(4 ) = log 9 L() = P() L( ) = log( ) = log( 4) L( ) eí defiováa = = = = = eí kořeem možia řešeí K = {} Zkouška ( ) log ( ) L() = log = log = P() = L() = P() log L( ) = log ( ) = log ( ) = log = P = L = P ( ) ( ) možia řešeí K = {; } Příklad : log (log ) log log(log ) = log log log(log ) = log = = log(log ) = log = = = Zkouška L() = (log) = log L() eí defiováa = eí kořeem log L( ) = (log) = = P () = L() = P() možia řešeí K = {} 9
Příklad 4: Zkouška log log log log log L() = + = + = + = / log log P() = + = log log L() = P() + = log log log L( ) = + = + = subst = y P() = y y+ = L() = P() y = ; y = log log log ( ) subst = L = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) log log = log L( ) = + = + = subst log = log = = log log = log log = log =± = ; = ( ) P = ( ) = ( ) L P možia řešeí K = {;; } Neřešeé úlohy: Vypočtěte: ) log 6 ) ) log 6) ) log 4 7) 4) log 6 8) Řešte rovice: log4 6 9) 8 log6 6 ) 4 log6 6 ) log ) log log ) log 8 6 log 4) log 6 8 log ) log log 6 6) log log 7) 8) 9) ) ) ) ) = 6 9) log = 8 = 6 ) log 6 4 9 7 = ) = ) = log = log = + 79 = 8 ) log = log 9 = 9 4 + + 4 = 64 ) 4) log = 4 log log( + ) log( + ) = log(+ ) 94
4) ( ) = 6) + log( + 7) log( 7) + + + + log ) 4 + 9 = 6 4 9 7) = 8 4 = 6) ( + ) = 8) log( ) log(+ ) = log6 + + + + 7) + + = + + 9) log 4 + log = l l 8) 4 4 = 4) e e + 4e = 6 Výsledky: ) 4 ) ) 4) 8 ) 4 6) 7) 8) 9) ) 4 ) ) ) eí defiová 4) eí defiová ) eí defiová 6) 7) 4 8) 7 9). ) ). ). ) 4) ; ). 6) 9 7).7 8) 9). ) ) ) > ; ) 4) ) 6) 7) 8) emá řešeí 9) 4) 4e.7 Oblouková míra a orietovaý úhel V kpt..4 jsme stručě uvedli stupňovou míru úhlů, která však mohdy evyhovuje. Uvedeme tedy i tzv. míru obloukovou. Její jedotkou je jede radiá (rad). Před jeho defiicí je však třeba uvést tzv. středový úhel: Úhel ω = ASB, jehož vrcholem je střed kružice a ramea procházejí krajími body oblouku AB, azýváme středový úhel příslušý tomuto oblouku. Úhel má velikost jedoho radiáu právě tehdy, když je shodý se středovým úhlem kružice, jejíž poloměr je rove délce příslušého oblouku. Má-li kružice poloměr r = (tzv. jedotková kružice), pak velikost úhlu v radiáech je číselě přímo rova délce příslušého oblouku. Jedotka radiá je ve fyzikálím slova smyslu jedotkou bezrozměrou (vziká jako podíl dvou délek ). V matematice se většiou vyechává a velikost úhlu se tak udává je reálým číslem. Také my budeme tuto jedotku výslově zapisovat pouze výjimečě. Budeme-li chtít zdůrazit, že velikost úhlu α je zadáa v radiáech, budeme psát arc α ( arcus alfa ). Převod stupňů a radiáy a aopak: Uvažujme jedotkovou kružici. Ta má délku l =. Plý úhel má tedy velikost radiáů. Zároveň je zřejmé, že teto plý úhel je součtem čtyř pravých úhlů a ve stupňové míře má tedy velikost α = 4 9 = 6. Je tedy rad = 6. Velikost úhlu v radiáech (ozačme arc α ) je přímo úměrá velikosti úhlu ve stupích (ozačme α ): 6... α... arc α α arc α 8 arc α α = 6 α = arc α = α α arc α = arc α = 6 8 6 9
Příklady: 8 ) arc = =,7... rad ) arc 8 = =,4... rad 8 8 8 4, ) arc 4 ' = arc 4, =, 487... rad 8 8 8 4) rad = = 7,9 78 = 7 7'4'' Velikosti ěkterých úhlů se ve výpočtech vyskytují velmi často, proto je dobré si je rychle uvědomit: stupě 4 6 9 8 7 6 radiáy 6 4 Orietovaý úhel: Orietovaým úhlem v roviě rozumíme uspořádaou dvojici polopřímek se společým počátkem. Prví z polopřímek je počátečí rameo, druhá kocové rameo, společý počátek polopřímek pak vrchol orietovaého úhlu. Orietovaý úhel AVB budeme začit AVB. Vzhledem k tomu, že rozlišujeme počátečí a kocové rameo orietovaého úhlu, je AVB BVA. Velikost orietovaého úhlu AVB azýváme každé reálé číslo α + k ; k (v obloukové míře) popř. α + k 6 ; k (ve stupňové míře), kde α (popř. α ) určíme takto: a) Je-li VA = VB, je α = (popř. α = ) b) Je-li VA VB, je α ( α ) velikost eorietovaého úhlu, který vzike otáčeím počátečího ramee VA do polohy kocového ramee VB, a to proti směru chodu hodiových ručiček v obloukové (ve stupňové) míře. Směr proti směru chodu hodiových ručiček považujeme za kladý. Velikost α ( α ) azýváme základí velikostí orietovaého úhlu. Další velikosti α + k ( α + k 6 ) si můžeme představit jako polohu kocového ramee VB po k otáčkách..8 Goiometrické fukce Uvažujme kartézskou souřadou soustavu O ; ; s počátkem O. Ozačme J obraz jedičky a ose. Dále libovolý orietovaý úhel s vrcholem O, počátečím rameem OJ a velikostí (v obloukové míře). Sestrojme jedotkovou kružici k (tj. kružici o poloměru r = ) se středem v bodě O. Ozačme M = [ m; m] průsečík této kružice s kocovým rameem orietovaého úhlu. Pro každé pak můžeme defiovat fukci 96
sius: si = m pro každé ; H( f ) = ;, kosius: cos = m pro každé ; H( f ) = ;. Dále defiujeme tages: si tg = cos pro každé { k + } ( ) ; H( f ) =, k cos kotages: cotg = si pro každé { k} ; H( f ) =. k Přímo z defiice pro každé plye: a tedy si cos + =, si cos =, cos si =. Zaméka hodot goiometrických fukcí kvadrat I II III IV iterval ; ; ; ; si + + cos + + tg + + cotg + + 97
Důležité hodoty goiometrických fukcí 6 4 si cos tg edef edef cotg edef edef edef Dále je cotg cos si si tg k cos si( ) = cos + ; cos( ) si = + Fukce sius je lichá si = si( ) kosius sudá cos = cos( ) tages lichá tg = tg( ) kotages lichá cot g = cot g( ) = = = pro každé { k } V zápisu dalších vlastostí budeme potřebovat dvě hodoty ezávisle proměé. Abychom emuseli používat idey (apř. při ozačeí ; ) ebo aby edocházelo k záměě se 98
závisle proměou (apř. při začeí ; y ), budeme argumety goiometrických fukcí ozačovat řeckými písmey ( α, β...) tak, jak je to obvyklé v řadě aplikací. Odvoďme ěkteré další vlastosti, které záme ze středí školy: V kapitole 7. zopakujeme, že pro skalárí souči dvou vektorů u = ( u; u) ; v = ( v; v) platí: u v = u v cosϕ = = uv + uv. Speciálě pro vektory o souřadicích u = (cos α;si α) ; v = (cos β;si β ), které mají jedotkovou velikost a které svírají úhel α β, pak dostáváme u v = cos( α β) = cosαcosβ + siαsiβ, tedy cos( α β) = cosαcos β + siαsi β Dosadíme-li za β hodotu β, máme cos[ α ( β)] = cos( α + β) = cosαcos( β) + siαsi( β). Protože cos( β ) = cos β; si( β) = si( β), máme cos( α + β) = cosαcos β siαsi β. Dále využijeme vlastosti si( ) = cos + pro = α + β : si( α + β) = cos ( α + β) + = cos α + + β = cos α + cos β + si α + si β Protože však cos α + = siα a si α + = cosα, je si( α + β) = siαcos β + cosαsi β. Dosadíme-li za β hodotu β, máme si( α β) = siαcos( β) + cosαsi( β), tedy si( α β) = siαcos β cosαsi β Sečtěme vzorce pro si( α + β ) a si( α β ) si( α + β) + si( α β) = siαcos β α + β α β a dosaďme za α a za β : α + β α β α + β α β α + β α β si + + si = si cos, α + β α β tedy siα + si β = si cos. Podobě odečteím těchto vzorců dostaeme α + β α β siα si β = cos si. Ze vzorců pro cos( α + β ) a cos( α β ) podobě dostaeme: α + β α β cosα + cos β = cos cos ; α + β α β cosα cos β = si si. Položíme-li α = β, dostáváme ze vzorce pro si( α + β ) : si( α + α) = siαcosα + cosαsiα, 99
tedy si α = siαcosα. Podobě ze vzorce pro cos( α + β ) cos( α + α) = cosαcosα siαsiα α α α cos = cos si. α Dosadíme-li do vzorce pro cos α za α hodotu, dostaeme α α α α cos = cosα = cos si = si, α si tedy Koečě α α cosα α cosα cosα = si si = si =. α α cosα + cosα α + cosα cos = si = = cos =. Shrňme tedy ejdůležitější vztahy mezi fukcemi sius a kosius: si α = siαcosα α = α α cos cos si α cosα si = α + cosα cos = si( α + β) = siαcos β + cosαsi β cos( α + β) = cosαcos β siαsi β si( α β) = siαcos β cosαsi β cos( α β) = cosαcos β + siαsi β α + β α β siα + si β = si cos α + β α β siα si β = cos si α + β α β cosα + cos β = cos cos α + β α β cosα cos β = si si Příklady: Upravme výrazy ) v v v v + = v v v + v v+ = cos si ( ) si( )cos( ) cos si( )si( ) si cos = cos v( si v)( si v) + si vcos v+ = cos vsi v+ si vcos v+ = (si vcos v+ ) ) si z cos z+ si z cos z ( + tg z)cos z = + cos z cos z = = = cos z cos z cos z + = + = + = sicos+ = tg + cotg si cos si + cos + cos si si cos ) = si cos + si + cos = (si + cos ) = si + cos
4) ) (si b cos b) (si b cos b) + + = si b si b cosb cos b si b si b cosb cos b si b cos b = + + + + = + = si d si d si d( + cos d) + si d( cos d) + = = cos d + cos d ( cos d)( + cos d) si d( + cos d + cos d) si d = = = cos d si d si d si v si vcosv si vcosv si v tg v + cos v = si v+ cos v+ cos v si v = cos v = cos v = 6) si z+ si z si z+ si zcos z si z( + cos z) = = = + cosz+ cosz si z+ cos z+ cos z+ cos z si z cos z+ cos z si z( + cos z) si z = = = tg z cos z(+ cos z) cosz 7) 8) 9) cosα + cosα cos α cos α α α 4 si si cos α = = = = tgα = + cosα cosα cosα cosα cosα α α cos si α si cos si lépe : subst = : = = tg = tgα cos si cos cos( α + β) + cos( α β) cosαcos β siαsi β + cosαcos β + siαsi β = = cos( α + β) cos( α β) cosαcos β siαsi β cosαcos β siαsi β = cosα cosβ cotgαcotgβ siαsiβ = cos( α + β) + cos( α β) cos + cos y Nebo: subst. α + β = ; α β = y : = = cos( α + β) cos( α β) cos cos y + y y cos cos cosαcos β = = = cotgαcotgβ + y y si si siαsi β ) si + si + si + si 7 (si 7+ si ) + (si + si ) = = cos + cos+ cos+ cos 7 (cos 7+ cos ) + (cos+ cos ) 7+ 7 + si cos + si cos = = 7+ 7 + cos cos + cos cos si 4 cos + si 4 cos si 4 (cos + cos ) = = = tg4 cos 4 cos + cos 4 cos cos 4 (cos + cos ) Bez výpočtu t určeme hodoty zbývajících goiometrických fukcí, víme-li, že t ; :
) 4 cost = si t = = = = 9 9 sit si t = tgt = = = = cost cotgt = = tgt ) tgt =,8 : Je zřejmě cotgt = tgt =,8 = 4. Připomeňme, že t ;. Dále je tedy: Neřešeé úlohy: Upravte: tgt =,8 si t =,8 cost si t =,8 si t si t =,64 si t si t =,64,64si t =,64 si t =, 64 6, 64si, 64 si t = 4 6 4 4 4 si t = = = 4 4 4 t cost = si cost = 4 4 4 cost = 6 4 4 cost = 6 4 cost = 4 6 4 cost = 4 cost = 4 4 cost = 4 t ) cos( u)cosu si usi( u) si p ) + cos p ) + +tg +cotg 4) si a si acos a ) + si c + si c si f si g 6) cos f cos g cos u 7) si u+ cosu 8) + cos t sit α cos 9) α α si + cos 4 4 α (ávod: subst. = )
si( α + β) + si( α β) ) si( α + β) si( α β) si + si 4+ si 6+ si8 ) cos + cos 4+ cos 6+ cos8 ) cos( + z)si + cos + z si si z cos si si( + z) ) Bez výpočtu r určete hodoty zbývajících goiometrických fukcí, víte-li, že r ; : a) si r =.4 b) cos r =. c) tg. r = d) 8 cotg r = Výsledky: ) ) cos p ) 4) si a ) 6) 7) cosu si u 8) cotg t 9) cos c α α si + cos ) tgαcotgβ ) tg ) ) a) cos r = ; tg r = ; 4 4 6 6 cotg r = b) si r = ; tg r = ; cotg r = c) si r = ; 4 6 6 8 cos r = ; cotg r = d) si r = ; cos r = ; tg r = 6 6 7 7 8.9. Goiometrické rovice Goiometrická rovice je každá rovice, v íž se ezámá vyskytuje v goiometrických výrazech. Nejjedodušší jsou rovice tvaru si = a ; cos = a ; tg = a ; cot g = a. Perioda siu a kosiu je. Určíme tedy ejdříve všecha řešeí a itervalu ; ) a ke každému řešeí připojíme periodu k; k. Perioda fukcí tages a kotages je. U těchto fukcí určíme všecha řešeí a itervalu ; ) a ke každému řešeí připojíme periodu k ; k.. Příklad: Řešme goiometrickou rovici si = Řešeí: Určíme kořey v itervalu ; ), a to buď pomocí jedotkové kružice (viz připojeý obrázek) ebo pomocí grafu fukce sius. Fukce sius je kladá v I. a II. kvadratu, tj. = ; 6 = = =. K oběma řešeím je třeba 6 6 připojit periodu, tj. = + k ; k, 6 = + k; k. 6. Příklad: Řešme goiometrickou rovici cos =. Řešeí: Opět určíme ejprve kořey v itervalu ; ). Hodota fukce kosius má být záporá. V tom případě je výhodé vyjít z řešeí rovice
cosα = α =, které zakreslíme buď do jedotkové kružice ebo do grafu kosiu. Fukce kosius je záporá ve II. a III. kvadratu, tj. = α = = (II. kvadrat) 4 a = + α = + = (III. kvadrat). K oběma řešeím opět připojíme periodu, tj. = + k; k, 4 = + k; k. Pozor! V přijímacích testech se občas objevují rovice typu si =, resp. cos = apod. Tyto rovice studeti často zaměňují s rovicemi si =, resp. cos( ) = a uvádějí řešeí =, resp. = ( popř. = + k, resp. = + k ). Obor hodot fukce sius i kosius je H( f ) = ; a ; ; ;. Rovice si = ; cos = proto emají řešeí. V rovicích typu si f ( ) = a; cos f ( ) = a; tg f ( ) = a; cot g f ( ) = a zavádíme substituci f ( ) = z, čímž tyto rovice převedeme a předchozí případ.. Příklad: Řešme rovici tg 4 =. Řešeí: Zavedeme substituci 4 = z a řešíme ejdříve rovici tg z =. Je-li tg α =, pak v I. kvadratu je α =. Fukce tages má periodu a je záporá ve druhém kvadratu. Převodem hodoty α = do II. kvadratu po vzoru předchozích příkladů a připojeím periody je z = + k. V použité substituci tedy je 4 = + k 4 = + + k 4= + k k = +. 4 4
Složitější rovice lze často vhodou substitucí převést a rovice algebraické. Pokud se v rovici vyskytuje více goiometrických fukcí, převádíme je a fukci jediou. 4si cos 4. Příklad: Řešme rovici. Příklad: Řešme rovici + = si cos + si = si cos Řešeí: Řešeí: 4si cos si cos + si = + = si cos si + si + si = 4si cos si si + si = + = sicos cos subst. si = y si cos si y + y = + = si cos cos cos y = ; y =. si cos si = si cos si cos si = si cos Návratem k použité substituci se řešeí rozpade a dva případy: si cos si = cos si = cos + si si = = + k, si = si = = + k 6 = +k = + k. 6 = + k. 4 Neřešeé úlohy: Řešte rovice: ) cos = ) tg = ) cot g= 4) si = ) si = si 6 6) cos = cos 7) + si = si 8) tg + = + tg 9) cos = + cos ) 4cos + 4cos = ) si + si = ) cotg + 4cos = ) si + si = tg 4) si + si si = Výsledky: 7 ) = + k ; = + k ) = + k ) = + k 4) = + k 6 6 7 ) = + k ; = + k 6) = + k ; = + k 7) = + k ; 6 6 6 = + k 8) = + k 9) = + k ; = + k ) = + k ; 6