ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE

ALGEBRA, ROVNICE A NEROVNICE Gymnázium Jiřího Wolker v Prostějově Výukové mteriály z mtemtiky pro nižší gymnázi Autoři projektu Student n prhu 1. století - využití ICT ve vyučování mtemtiky n gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinncován Evropským sociálním fondem státním rozpočtem České repuliky Prostějov 009

Alger Úvod Vytvořený výukový mteriál pokrývá předmět mtemtik, která je vyučován v osnovách temtických plánech n gymnáziích nižšího vyššího stupně. Mohou ho všk využít všechny střední zákldní školy, kde je vyučován předmět mtemtik, které mjí dosttečné technické vyvení zázemí. Cílová skupin: Podle chápání schopností studentů je stnoven úroveň náročnosti vzdělávcího plánu výukových mteriálů. Zvláště výhodné jsou tyto mteriály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou prvidelně zúčstňovt výuky. Tito studenti mohou s pomocí nšich výukových mteriálů částečně kompenzovt svou neúčst ve vyučovném předmětu mtemtik, formou e-lerningového studi.

Alger Osh Poměr, měřítko plánů, mp.... 7 Poměr... 7 Měřítko plánu, mpy... 9 Poměr, plány, mpy... 10 Vrint A... 10 Poměr, plány, mpy... 1 Vrint B... 1 Poměr, plány, mpy... 1 Vrint C... 1 Výrzy... 15 Číselné výrzy... 15 Číselné výrzy... 16 Vrint A... 16 Číselné výrzy... 17 Vrint B... 17 Číselné výrzy... 18 Vrint C... 18 Výrzy s proměnnými, mnohočleny... 19 Výrzy s proměnnými, mnohočleny... 0 Vrint A... 0 Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint B... Výrzy s proměnnými, mnohočleny... Vrint C... Mnohočleny, operce s nimi... 5 Mnohočleny, operce s nimi... 0

Alger Vrint A... 0 Mnohočleny, operce s nimi... Vrint B... Mnohočleny, operce s nimi... Vrint C... Lomený výrz... 6 Lomený výrz... 7 Vrint A... 7 Lomený výrz... 9 Vrint B... 9 Lomený výrz... 1 Vrint C... 1 Rovnice... Lineární rovnice... Lineární rovnice... 5 Vrint A... 5 Lineární rovnice... 6 Vrint B... 6 Lineární rovnice... 8 Vrint C... 8 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 50 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 51 Vrint A... 51 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint B... 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli... 5 Vrint C... 5

Alger 5 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy... 55 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy... 58 Vrint A... 58 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy... 59 Vrint B... 59 Vyjádření neznámé ze vzorce, slovní úlohy... 61 Vrint C... 61 Soustv dvou lineárních rovnic... 6 Soustv dvou lineárních rovnic... 67 Vrint A... 67 Soustv dvou lineárních rovnic... 69 Vrint B... 69 Soustv dvou lineárních rovnic... 71 Vrint C... 71 Kvdrtické rovnice, nerovnice... 7 Kvdrtické rovnice, nerovnice... 78 Vrint A... 78 Kvdrtické rovnice, nerovnice... 79 Vrint B... 79 Kvdrtické rovnice, nerovnice... 80 Vrint C... 80 Nerovnice... 81 Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 81 Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 8 Vrint A... 8 Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 85 Vrint B... 85

6 Alger Lineární nerovnice, soustvy lineárních nerovnic... 87 Vrint C... 87

Alger 7 Poměr, měřítko plánů, mp. Poměr Porovnáme-li dvě veličiny ( npříkld oshy, ovody, délky, počty lidí, peněz ) rozdílem použijeme slovní spojení o kolik (npř. Petr má 60 Kč, Miln 0 Kč, o kolik Kč má Petr víc než Miln? 60-0=0. Petr má o 0 Kč víc jk Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem použijeme slovní spojení kolikrát (Kolikrát má Petr víc než Miln?: 60 0 =. Petr má třikrát víc Kč než Miln.). Porovnáme-li dvě veličiny podílem, nzýváme potom příslušný zápis poměr (počet Kč Petr Miln jsou v poměru 60:0, čteme 60 ku 0). V pri se s poměrem čsto setkáváme, npříkld v hokeji zvítězili domácí nd hosty :1, poměr rnek dných domácími hráči rnek hostů je :1, tedy domácí dli dvkrát víc rnek než hosté, čteme dv ku jedné. Poměr : čteme ku e, kde = 1. člen poměru, =. člen poměru. Poměr k němu převrácený je :. Při stnovení poměru musíme o členy vyjádřit ve stejných jednotkách (strn 1. čtverce =1cm, strn. čtverce =dm. Poměr délek strn 1.. čtverce je 1:0). Poměr můžeme npst do tvru zlomku. A lze jej tedy krátit neo rozšiřovt podle potřey. Npř.. Krácení poměru = členy poměru vydělím stejným nenulovým číslem (npř. poměr krátíme n poměr. Rozšiřování poměru = členy poměru vynásoím stejným nenulovým číslem.

8 Alger Rozdělení celku v dném poměru: Tyč dlouhou, m rozděl v poměru Tyč, která je dlouhá, m se má rozdělit n dvě nestejně části, které jsou v poměru :5 První část tyče předstvuje nějké díly stejné velikosti, druhá část tyče předstvuje těchto stejných dílů 5, y yl dný poměr zchován. Dohromdy tedy 7 dílů tyče. to je 1 díl. část 1., část.. Tyč se rozřeže n díly dlouhé 1,m m. Kdyychom si chtěli provést kontrolu výpočtem: 1,m + m =,m celková délk tyče odpovídá součtu jejích dílů, 1, : máme jkýsi poměr, který jsme spočítli který rozšíříme 10, ychom z něj odstrnili desetinnou čárku, tedy dostáváme 1 : 0, následně tento dný poměr ještě vykrátíme 6, dostneme : 5, což je zdný poměr. (Poměr 1, : jsme mohli přímo krátit č. 0,6). Zvětšování zmenšování v dném poměru: Uprvit v dném poměru znmená tímto poměrem vynásoit Poměr lze psát zlomkem, tedy dné číslo, rozměr, počet tímto zlomkem vynásoíme. Je-li zlomek, tedy 1. člen menší jk. člen, jde o zmenšení, je-li zlomek, tedy 1. člen větší jk. člen, potom jde o zvětšení. Npř.: č. 00 uprv v dném poměru ) 1:00 ) :5 c) 11: ) ) c) Postupný poměr má víc jk dv členy. Jirk má 100 Kč, Petr 60 Kč, Mrtin 0 Kč. Jejich onosy jsou v poměru 100:60:0, po zkrácení 0 jsou v poměru 5::17. Postupný poměr krátíme (rozšiřujeme) jko poměr, tedy kždý člen poměru vydělíme (vynásoíme) stejným nenulovým číslem. Poměr v zákldním tvru je poměr, jehož členy mjí největšího společného dělitele č.1. Členy poměru jsou tedy nesoudělná přirozená čísl.

Alger 9 Měřítko plánu, mpy Měřítko plánu, mpy v ěžném životě je zpotřeí, y se dli příliš velké neo mlé ojekty znázornit n ppíře v přiměřené velikosti. K tomuto účelu slouží měřítko plánu, měřítko mpy. Je to zápis n plánku, mpě, který je ve tvru poměru, jehož 1.člen udává vzdálenost (rozměr) n mpě, plánku,. člen ve skutečnosti. : = rozměr n mpě (plánku) = rozměr skutečný npř. M 1:5 000 znmená, že 1cm n mpě je 5000 cm ve skutečnosti, tedy 50 metrů npř. M 1: 000 000 znmená, že 1 cm n mpě je 000 000 cm ve skutečnosti ( 000 000cm = 0 km), tedy 1 cm n mpě znmená 0 km ve skutečnosti (neo tké 1dm n mpě znmená 000 000 dm tedy 00 km ve skutečnosti, 1mm n mpě znmená 000 000 mm ve skutečnosti, tedy m, td.. Někdy mlé věci potřeujeme znázornit ve větším rozměru, potom máme tře poměr M :1 znmená to, že cm n výkresu předstvují 1 cm ve skutečnosti, tedy skutečný šrou dlouhý 1cm je n mpě cm, šrou dlouhý cm je n orázku znázorněn o délce 6 cm, šrou dlouhý 5cm je n mpě 15 cm. Chci-li zjistit, jká ude délk n mpě, je-li zdné měřítko mpy skutečná délk, (vzdálenost), tk dným měřítkem (poměrem) tuto skutečnou vzdálenost vynásoím. Npř. Máme mpu s měřítkem 1:500 000. Trs z Olomouce do Prostějov je dlouhá 15 km. Urči, kolik měří tto trs n dné mpě: 15 km = 1 500 000cm n mpě. Kdyychom převedli dnou skutečnou vzdálenost n dm, tk ychom ji vynásoili opět dným poměrem (měřítkem), le rozměr y vyšel v dm: 15 km = 150 000dm, tedy. Což odpovídá již dříve spočítné hodnotě cm. Vždy se jedná o poměr orázek : skutečnost Chci-li určit měřítko plánu mpy, položím stejné jednotky (!) do poměru tk, že 1. členem je plánek, mp,. členem je skutečnost krátím. Npříkld urči měřítko mpy, n níž cm předstvují skutečnou vzdálenost 60 km. Dostávám poměr : 60 000, krátím dostávám M 1 : 15 000.

10 Alger Poměr, plány, mpy Vrint A Uprvte poměr n zákldní tvr: Příkld: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Ve škole je 0 chlpců 0 dívek. V jkém poměru jsou chlpci dívky ve škole? ) Uprvte n zákldní tvr poměr ) Číslo 0 uprvte v poměru ) Utvořte poměr v zákldním tvru převrácený k poměru 5) Tyč dlouhou m rozděl v poměru :1

Alger 11 6) Tyč dlouhou 18 dm rozděl v poměru 5: 7) N šňůře o délce cm udělej uzly tím šňůru rozděl n tři části v poměru 1:6:5. V jké vzdálenost ude 1. Suk od krje jk dlouhé udou jednotlivé díly šňůry? 8) Mp má měřítko 1: 150 000. Jký úsek ve skutečnosti předstvuje n mpě ) 1cm )1dm c) 8cm d) 0cm 9) Jké je měřítko plánku, je-li skutečná velikost 8 mm znázorněn n plánku 1 cm?

1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint B Výdělek z rigády si Jn, Hn Jirk rozdělili v poměru 5::9. Dohromdy si vydělli 00 Kč. Kolik Kč dostl kždý z nich? Příkld: Jn Hn Jirk Provedení zkoušky: Výsledek řešení: Jn si vyděll 600 Kč, Hn 60 Kč, Jirk 1080 Kč. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Tyč dlouhá 5, m se má rozřezt n díly v poměru 1:::7. Kolik udou měřit díly? ) Měřítko mpy je 1:50000. Kolik km předstvuje 8 cm? ) Njděte neznámý člen v poměru

Alger 1 ) 18 cm n plánku předstvuje 6 m ve skutečnosti. Určete měřítku plánku. 5) Měřítko mpy je. Jk dlouhá je vzdálenost n mpě, je-li skutečná vzdálenost 1, km? 6) Měřítko technického výkresu je. Jká je skutečná délk součástky, je-li n orázku dlouhá 1 cm? 7) Měřítko mpy je. Kolik ve skutečnosti předstvuje úsečk dlouhá n mpě 8 cm?

1 Alger Poměr, plány, mpy Vrint C Strny odélníku jsou v poměru :9, jeho ovod je 598 cm. Jký je jeho osh? Příkld: Součet délek všech strn je 598 cm, součet strny je polovin ovodu, tedy 99 cm. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C 1) Určete dvě dvojciferná čísl, y yl v poměru 7: jejich rozdíl yl 7. ) N plánku má odélníkový pozemek rozměry 18 cm 7 cm. Plánek je v poměru 1:00. Určete výměru pozemku. ) Čtverce mjí délky strn v poměru :5. V jkém poměru udou jejich ovody, oshy? ) Mp má měřítko 1:00000. Jká je n ní vzdálenost měst A B, je-li ve skutečnosti jejich vzdálenost rovn km? 5) Měřítko plánu je :15. Jká ude ploch čtverce n plánku, jestliže jeho skutečná ploch je

Alger 15 Výrzy Číselné výrzy Číselný výrz = zápis, v němž se vyskytují pouze čísl početní operce jko je sčítání, odčítání, násoení, dělení, umocňování, odmocňování, závorky, pod.. Jestliže určujeme hodnotu číselného výrzu, musíme dodržovt správný postup: Nejdříve umocňujeme odmocňujeme, potom násoíme dělíme ž nkonec sčítáme odčítáme. Jsou-li ve výrzu závorky, počítáme nejprve hodnoty výrzů v závorkách, tedy odstrňujeme závorky. Pokud je ve výrzu více druhů závorek, postupujeme od závorek vnitřních kulté, potom odstrníme závorky hrnté nkonec vypočítáme hodnotu výrzu závorky vnější, tedy složené. Opčný výrz má opčná znménk u jednotlivých členů npř. opčný výrz k výrzu 5, 10 je výrz 5, 10. Převrácený výrz převrátíme jej, tedy čísl z čittele dáme do jmenovtele nopk npř. k výrzu 5, 10 je výrz převrácený 6 1,5 8. 1, k výrzu 5, 10 8 6 1,5 je převrácený výrz

16 Alger Číselné výrzy Vrint A Určete hodnotu číselného výrzu 8 80 (1 15) Výsledek řešení: 8 80 (1 15) 80 ( ) 10 107 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 5-(-)+18 5 ) 5-()+(-18) 15 7 c) ( ) 1 d) ( 1) ( ) 15 e) 5 9 ) ) 169 15 (10 15 ) [-97] ) (18 15) [-9] 9 ) ) Rozdíl čísel 15 7 zvětši o dvojnásoek čísl 11 [0] ) Polovinu nejmenšího dvojciferného čísl zvětši o dvojnásoek největšího jednociferného čísl. [] c) Součet čísel 17 11 zmenši o jejich rozdíl. [] ) ) Rozdíl druhé mocniny čísl 8 třetí mocniny čísl ztrojnáso. [168] ) Polovinu druhé mocniny čísl 1 zvětši o součin čísel 5. [8] c) Součin součtu rozdílu čísel 8 zmenši o jejich podíl. [56]

Alger 17 Číselné výrzy Vrint B Určete hodnotu číselného výrzu 580 55 557 7 Výsledek řešení: 5 80 55 5 5 7 7 15 80 55 8 0 7 1 15 80 0 1 15 1 Operce umocňování, násoení dělení má přednost před sčítáním odčítáním. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 15 9 5 1) 8 18 6 1 [ 16 ] 6 ) 0,1 0, 0, 0 110 [80] ) )Druhou mocninu rozdílu čísel 8 6 zmenši o součet dvojnásoku čísl poloviny čísl 1. [-9] ) Druhou mocninu rozdílu čísel 5 1 zmenši o polovinu druhé mocniny čísl 8. [-16] ) ) Podíl dvojnásoku čísl 16 trojnásoku čísl 16 zvětši o polovinu druhé mocniny 1 čísl 6. [ 18 ] ) Druhou odmocninu rozdílu čísel 196 7 zvětši o podíl čísel 8 1. [ ]

18 Alger Číselné výrzy Vrint C 5 Určete hodnotu číselného výrzu 5 0,5 10 80 000,1 Výsledek řešení: 5 5 0,5 10 80 00 0,1 5 9 500 80 5 9 500 8 5 1 05 Dodržujeme správný sled opercí, závorky řešíme od vnitřních (kultých) po vnější (hrnté přípdně složené). Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) 5 1 ( 6) 6 [ ] 8, ) 1,96 0,6 0,06 0,8 7 5 [71,5] ) 5 1 1 5 1 0, 5 1 [ ] 5 0,0 5 ) 100, 0 0,5 10 0, 0, [-19]

Alger 19 Výrzy s proměnnými, mnohočleny Chceme-li vypočítt ovod odélníku, známe vzorec Písmen O., jsou proměnné. Jestliže doszujeme různé číselné hodnoty z strny, podle konkrétních odélníků, zjistíme hodnotu výrzu, tedy ovod zdných odélníků. Tento výrz yl dvojčlenem o dvou proměnných,. Čísl v jednočlenech, členech mnohočlenu se nzývjí koeficienty, je tedy koeficient jk prvního tk druhého členu v dném vzorci. Písmeno ve význmu čísl se nzývá proměnná, doszením z proměnnou vypočítáme hodnotu výrzu. Pozn.: násoení proměnné číslem (koeficientem) neo násoení více proměnných se ovykle píše ez znku násoení, tedy npř. y y, O Mnohočlen s jedním členem se nzývá jednočlen, se dvěm členy dvojčlen, se třemi členy trojčlen,. Jednotlivé členy jsou odděleny znménkem + neo -. Jednočlen neoshuje součet neo rozdíl. 5 5 Jednočlen Dvojčlen 5,, 0,, 6 y, c 6 1, 6 yz, 1 c, y 0,0 1 Trojčlen 1 y, 6, m n n 15000 Čtyřčlen 6 m m n 5mn 0, 05 z

0 Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint A Určete hodnotu výrzu - (6 10) + 0 pro = 1; 0; (-10): Příkld: = 1 : 1 6 101 0 0 7 = 0 : 0 6 100 0 0 6 0 0 6 0 1 = (-10): 106 1010 0 0 6 100 0 0106 0 116 Výsledek řešení: 10: 116 pro 1: 7, pro 0 : 1, pro Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Určete hodnotu výrzu 10 m + 0,1m pro m = (-1); 0; 100; 0,5 Řeš.: 10,9; (-8); (-80); 9,55 ) ) Npiš vzorec pro ovod osh odélníku o strnách s p Řeš.: o s p, S s p ps ) Npiš vzorec pro ovod odélníku, jehož jedn strn má délku stejnou jko strn čtverce o ovodu n druhá strn odélníku je třikrát delší. Řeš.: o n n

Alger 1 ) Zpiš jko výrz (neuprvuj): ) dvojnásoek čísl zvětši o třetinu čísl y ) polovinu trojnásoku čísl m zvětši o šestinu m. c) desetinásoek čísl vyděl trojnásokem čísl y. ) Určete počet členů mnohočlenu 5 ) 7 50 c 1 6 ) y y z 50 Řeš.: y m m Řeš.: 6 10 Řeš.: y Řeš.: ), )

Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint B Určete hodnotu výrzu 10 y y 10 pro = ; y = (-10) y Příkld: 10 10 10 1110 9 1 110 50 60 10 10 6 510 7 1 Pozor n přednost opercí n počítání se zápornými čísly. Výsledek řešení: hodnot 60 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 6 pro ) = ; = 0 5 1) Určete hodnotu výrzu ) = 1; = 10 Řeš.: ) 0 ) výrz nemá smyl číselný výrz pod odmocninou musí ýt nezáporný ) Mrtin koupil 0,5 kg jlek po Kč, kg cukru po Kč, 5 prášků do pečiv po c Kč, 6 lízátek po d Kč. Pltil nkovkou h hodnoty. Kolik Kč jí prodvčk vrátil? Řeš.: h 0,5 5c 6 d ) Do čtverce o strně je vepsán kružnice. Spočítejte délku této kružnice. Řeš.: O ) Zpiš výrz (neuprvuj): Polovinu součtu druhé mocniny čísl třetí odmocniny čísl y zvětši o rozdíl dvojnásoku čísl y nejmenšího prvočísl. 1 Řeš.: y y

Alger Výrzy s proměnnými, mnohočleny Vrint C První okldč oloží z 1 hodinu k metrů stěny, druhý okldč oloží z tutéž dou o 1, m méně. Druhý okldč prcovl h hodin, první o 1 půl hodiny méně než druhý. Kolik metrů oložili o dohromdy? Příkld: 1. Okldč..k metrů z hodinu..prcovl h 1,5 hodin oložil tedy h 1, 5 k. okldč.. k 1, metrů z hodinu.prcovl h hodin oložil tedy h k 1, Dohromdy tedy h 1,5 k hk 1, Výsledek řešení: Okldči dohromdy oložili 1,5 k hk 1, h metrů stěny. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Ve třídě je n žáků. Zvázli se, že odevzdjí ve sěrně m kg ppíru. Do třídy nstoupili noví žáci. )kolik kg ppíru měl donést kždý žák původně? ) kolik kg ppíru má donést kždý žák nyní, jestliže zůstl zchován původní plán závzku sěrně sěr donesou i dv noví žáci? c) kolik odevzdjí ve sěrně ppíru, jestliže zůstne zchován závzek kg n žák donesou i dv noví žáci? m Řeš.: ) kilogrmů ) n n m m kilogrmů c) n n kilogrmů

Alger ) Zpiš výrz : Dvojnásoek třetí mocniny čísl zmenši o součet druhé mocniny rozdílu čísel m n pětinásoku druhé mocniny nejmenšího dvojciferného složeného čísl. Určí hodnotu dného výrzu pro = 5; m = (-11); n = (-1). Řeš.: m n 510 5 11 1 510 5 ) Do kvádru o podstvných hrnách výšce v yl vyřezán čtvercový otvor do středu horní podstvy o strně do hlouky h. Všechny rozměry jsou v cm. Npiš vzorec pro ojem povrch tkto vzniklého těles toto vypočítej pro = 0; = 1; v = 5; = 6; h = 0. Řeš.: V v h V 1100cm v v h S S 58cm ) Zpiš výrz: Podíl třetí mocniny rozdílu čísel m n druhé mocniny trojnásoku čísl zvětši o součin druhé mocniny součtu čísel m n třetí odmocniny rozdílu dvojnásoku čísl poloviny čísl n. Urči hodnotu dného výrzu pro m = 1; n = (-); =. Řeš.: m n m n n ; hodnot: 19 81

Alger 5 Mnohočleny, operce s nimi Mějme mnohočlen A: 8 B: 0 6 1 11 C: D: Sčítání mnohočlenů Sčítt můžeme pouze ty členy mnohočlenů, které mjí stejný zákld i eponent (tedy tkové členy, které se liší nnejvýš v koeficientech). Zákld s eponentem opíšeme sčítáme koeficienty podle prvidel pro sčítání reálných čísel. Npř. A+B: 8 6 15 1 0 8 6 1 1 11 0 6 1 11 8 Opčný mnohočlen má znménk jednotlivých členů opčná Npř. A = 8 Odčítání mnohočlenů Mnohočlen odčítáme tk, že přičítáme mnohočlen opčný Npř. D A = D+ (-A) 11 8 8 A D Násoení mnohočlenů Násoíme-li mezi seou jednočleny s různými proměnnými, jednočleny pouze opíšeme s tím, že vynecháme znménko krát. Npř.:, 5 5 15 5 o m n o n m. Koeficienty jednotlivých členů se násoí podle prvidel pltných pro násoení reálných čísel. Násoíme-li různé mocniny stejné proměnné, proměnnou opíšeme umocníme ji součtem eponentů. Koeficienty vynásoíme. Npř.: 11 1 7 7 5 1 6 1 6,.

6 Alger Mnohočleny násoíme tk, že kždý člen jednoho mnohočlenu násoíme kždým členem druhého mnohočlenu (násoíme-li mnohočlen jednočlenem, kždý člen mnohočlenu tímto jednočlenem vynásoíme). Získné jednočleny sečteme. Npř. B C 60 1 8 0 6 1 11 0 6 1 11 5 5 6 10 8 6 9 8 8 8 5 6 5 6 D A Dělení mnohočlenů (podíl můžeme vždy npst jko zlomek) ) Jednočlen jednočlenem: koeficienty jednočlenů vydělíme podle prvidel pro dělení reálných čísel, mocniny o stejném zákldu dělíme tk, že zákld umocníme rozdílem eponentů. Pokud má dělenec vyšší eponent než dělitel, mocnin zůstává v čitteli npř.: 7 11 7 11 1 neoli 7 11 7 11. Pokud jsou si eponenty mocniny rovny, eponent mocniny je 0, npř.: 1 6 0. pozn.: 1 0 cokoliv. Pokud má dělitel eponent větší než dělenec, mocnin zůstne ve jmenovteli (neo v čitteli, le se záporným eponentem), npř.: 7 7 9 9 1 neoli. Pokud jsou mocniny o různém zákldu, necháme je ve tvru zlomku, npř.: y neoli y y

Alger 7 Několik řešených jednoduchých příkldů: 1 5 5 11 11 11 11 5 5 5 6 6 7 7 50 50 0, 15 0, 15, 8 8 16 16,, 0,5 1 6, neoli y neoli y y y neoli m neoli m m m m m ) Mnohočlen jednočlenem: Dělence (mnohočlen) uspořádáme sestupně (od nejvyššího řádu eponentu - po nejnižší). Kždý člen dělence vydělíme dělitelem, jednočlenem. Tedy dostáváme dělení jednočlene jednočlenem. Npř.: 10 1 0 6 1 0 6 6 6 c) Mnohočlen mnohočlenem: Dělence i dělitele uspořádáme sestupně. Dělíme první člen dělence prvním členem dělitele, výsledkem dělení je první člen podílu. Vynásoíme tímto výsledkem dělitele výsledný mnohočlen odečteme od dělence. Tím získáme nového dělence pro dlší dělení stejným postupem. Tento postup opkujeme s nově získným dělencem tk dlouho, dokud není zylý mnohočlen nižšího stupně než dělitel. Npř.: 8 Dělence i dělitele uspořádáme sestupně potom dělíme první člen dělence prvním členem dělitele 6 8 výsledek násoíme dělitelem zpíšeme pod dělence, odečteme, výsledkem je nový dělenec dělení opkujeme s novým dělencem

8 Alger opět dostáváme nový dělenec, dělení se opkuje 0 1 Algoritmus dělení je stejný jko dělení víceciferných čísel zpisujeme tkto: 0 6 1 8 Kontrol správnosti dělení : podíl vynásoím dělitelem dostneme dělenec (jko u reálných čísel). Dělení mnohočlenu mnohočlenem se zytkem: 7 6 7 8 7 8 7 konečný mnohočlen je nižšího řádu než dělitel, tedy jej npíšeme jko zytek ve tvru zlomku, kdy do jmenovtele dáváme dělitele do čittele onen zylý mnohočlen (v nšem přípdě č.).

Alger 9 Umocňování jednočlenů, mnohočlenů 8 1 6 8 1 9 8 0 1 y y y y c c c c Pro některé mocniny dvojčlenů používáme vzorce viz. Rozkld mnohočlenů n součin. N mocniny lgerických výrzů s přirozeným mocnitelem (eponentem) pohlížíme stejně jko n mocniny reálných čísel s využitím znlostí o násoení jednočlenů, mnohočlenů. Rozkld mnohočlenů n součin ) Vytýkáním společné činitele jednotlivých členů mnohočlenu mohu vytknout, tedy je to opk násoení mnohočlenu jednočlenem, přípdně mnohočlenem. Npř.: 1 6 v zdném dvojčlenu yl největším společným dělitelem oou členů, tedy po vytknutí zůstává z prvního člene z druhého člene 1. Kontrolu správnosti vytýkání lze provést opětovným roznásoením. ) Užitím vzorců

0 Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint A Uprvte: Příkld: = roznásoíme závorku jednočlenem dvojčlen - odečtu tk, že přičtu mnohočlen opčný 6 neo odečteme členy, které mjí stejný zákld i eponent 8. Výsledek řešení: 8 teď už jen sečteme Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Zpiš stručně jednočlen: ) 5 ) 0,m m m 0 n c) k l k d) cc e) y f) p q r p p p q q 0,1 p q q Řeš.: ) 15 ) m n c) 6 k l d) 6 6 c e) y f) p qr p q 0,1 p q

Alger 1 ) Vypočítej: ) 1 ) c) 0, 5 6 h 5h 5m h m h h m m d) 0. e) 6,5 10 6 1, 7 f) 7 5 10 11 g) ( y) ( 5y) (7 y) h) ( ) i) y y z 5 y z 1 y y 6y j) k) 6 Řeš.:) 1 ) 16,6 5 c) h 6m m d), e) 6,5 11 9, 7 f) 1 g) 11 y h) 7 i) 9y z 1 j) y 6y k) ) ) 5 ) 5 c) 1 d) m m n 8 e) p q 1 p f) 6 1 g) y y 6y h) Řeš.: ) 10 15 ) 6 10 c) 1 d) m 6mn m e) p p 6pq q f) 6 18 6 g) h) 8 y ) Vypočítej: ) 18 6 ) 6 7 m c) 10 y 5y m d) 5 e) f) 1 5 g) 1 1 Řeš.: ) ) 5 h) 16 c c m c) 6 y i) d) e) f) 9 6 1 g) 1 h) 8 c i) 9 1

Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint B )Uprvte 1 5 )Rozložte n součin: Příkld: ) 1 5 Operce umocňování má přednost před násoením dělením to před sčítáním odčítáním ) Rozlož n součin: nejdříve se vytkl největší spol. dělitel, potom se závork rozložil pomocí vzorce. Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) 1 ) Řeš.: ) 1 ) ) ) 1 1 c c c ) c c c Řeš.: ) 0 ) 5-+9c Výsledek řešení:) 15 7 ) 15 7 15 10 1 15 10

Alger ) ) 15 9m 5m m 5 m ) y y y y Řeš.: ) m ) y ) Rozlož n součin ) 8 18y ) c) p q 16 16 d) Řeš.: ) y y ) 5 d) c c c) p q p q 6 9 c

Alger Mnohočleny, operce s nimi Vrint C Rozlož n součin p q 1 p q 1 p q 1 Příkld:... p q 1 p q 1 p q 1 trojčlenu p q 1 p q 1 vytkneme... p q 1... poslední závorkje vzorec... p q 1 závorky roznásoíme... p q 1... vytkneme z dného Výsledek řešení: p q 1 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Rozlož n součin ) c ) 6 1y 6y y Řeš.: ) c c c ) y6 6y ) Určete nejmenší společný násoek výrzů:, 8 Řeš.:

Alger 5 ) ) 10 1 7 1 ) m 0 m 10m m 1 Řeš.: ) 5 ) 1 10 m m 10 m ) Vypočítej: ) 5 1 8 0,1 ) 0,,1 50,5 0,,1 0, 1 Řeš.: ) 5 0,6 0,1 ) 5 5 0,

6 Alger Lomený výrz Lomený výrz je výrz tvru, kde jsou mnohočleny,. Rozšiřování lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu násoíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz rozšířen výrzem 5y. Krácení lomených výrzů čittele i jmenovtele lomeného výrzu dělíme stejným číslem, výrzem, různým od 0. Npř. dný výrz krácen č. 8. Sčítání odčítání lomených výrzů jko u zlomků. Tedy výrzy převedeme n nejmenšího společného jmenovtele (rozšiřováním) potom sečteme (odečteme) čittele podle prvidel pro sčítání (odčítání) mnohočlenů. Npř. Násoení dělení lomených výrzů Lomené výrzy násoíme tk, že čittele násoíme čittelem, jmenovtele jmenovtelem. Před vynásoením krátíme. Dělíme tk, že násoíme výrzem převráceným. Postup při násoení: 1. Čittele i jmenovtele rozložíme n součin ( vytýkáním neo pomocí vzorců ). Krátíme. Součin čittelů lomíme součinem jmenovtelů. Uvedeme podmínky Npř. před vynásoením rozložíme čittele i jmenovtele n součin krátíme Npř. Umocnění lomeného výrzu umocníme čittele i jmenovtele Npř. Složené lomené výrzy uprvujeme odoně jko složené zlomky s dodržováním prvidel pro operce s mnohočleny stnovením podmínek, z kterých má výrz smysl.

Alger 7 Lomený výrz Vrint A Stnovte, kdy mjí dné výrzy smysl uprvte je. ) ) c) d) e) Příkld: ) čittel jsme vytknutím rozložili n součin výrzem se potom celý výrz vykrátil. Podmínky jmenovtel nesmí ýt nulový, protože nulou dělit nelze. ) nejmenší společný jmenovtel dvou lomených výrzů, které máme sečíst, je, tedy první zlomek se rozšířil výrzem, druhý zlomek výrzem Potom již čittele i jmenovtele jen uprvíme. Podmínky: jmenovtel lomených výrzů musí ýt nenulový, tedy c) nejprve jsme první lomený výrz uprvili v čitteli n součin vykrátili výrzem, následně nejmenším společným jmenovtelem oou lomených výrzů yl výrz, tk jsme o lomené výrzy n něj rozšířili následně uprvili čittel. Podmínky pro první výrz nutnost jeho nenulového jmenovtele d). vytknutím druhého čittele jsme výrzy rozložili n součin poté krátili výrzem, podmínky: opět pro nenulovost jmenovtelů dných lomených výrzů, tedy.

8 Alger e) dělili jsme výrzem tk, že jsme násoili převrácenou hodnoutou poté již násoili podle prvidel násoení lomených výrzů. Před vynásoením se krátilo výrzem. U podmínek musíme dát n nenulovost dělitele, tedy celého druhého výrzu, protože nulou dělit nelze. Tedy i jeho čittel musí ýt nenulový. Výsledek řešení:) ) c) e) d) Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) Pomocí rozšiřování neo krácení doplňte tk, y pltil rovnost ) ) c) d) ) Krťte ) ) c) d) e) f) g) ) Stnovte, kdy má dný výrz smysl: ) ) Stnovte podmínky uprvte ) ) c) d)

Alger 9 Lomený výrz Vrint B Zjednodušte Příkld: V prvním kroku jsme o lomené výrzy rozložili n součin pomocí vytýkání, potom jsme v prvním lomeném výrzu krátili výrzem v druhém lomeném výrzu jsme jmenovtele ještě rozložili no součin pomocí vzorce následně krátili výrzem. Násoit lomený výrz celistvým výrzem znmená násoit tímto výrzem čittele (lze si celistvý výrz předstvit jko lomený výrz se jmenovtelem 1, tedy v nšem přípdě ). Nkonec se k lomenému výrzu přičetl 1, tedy výrz. Podmínky: tedy z druhého lomeného výrzu určujeme podmínky ž po rozložení jmenovtele n součin, kdy ni jeden z činitelů nesmí ýt nulový, tedy z toho podmínky. Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

0 Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) c) d) e) f) g) h) i) 0 ) + 1 ; ) + ) ;, ; ) ; ) ) ) c) d) e) f) g) 0 ),, )8 ;,, )1; 1; ) )

Alger 1 Lomený výrz Vrint C Uprvte rozhodněte, kdy má výrz smysl: Příkld: Tento složený lomený výrz uprvíme tk, že nejdříve čittele i jmenovtele převedeme n společný jmenovtel potom vše uprvíme n součin. Následně krátíme výrzem, tím dostáváme jednoduchý lomený výrz, kde uprvíme čittel i jmenovtel po rozložení n součin opět krátíme, to výrzem. Podmínky: Jednk jednotlivé zlomky v lomeném výrzu musejí mít smysl, tedy jejich nenulové jmenovtele, i celý jmenovtel složeného lomeného výrzu musí ýt nenulový, tedy ještě Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

Alger Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

Alger Rovnice Lineární rovnice rovnost rovnice s neznámou rovnice s neznámou Řešit rovnici znmená njít tková čísl, která když do rovnice z neznámou dosdím, djí rovnost. Kždé tkové číslo se nzývá řešení rovnice neoli kořen rovnice. Správnost řešení rovnice prověříme zkouškou. Tj. řešení rovnice dosdíme do levé strny rovnice i do prvé strny rovnice pokud máme správný kořen, dostneme rovnost. Ekvivlentní úprvy rovnic jsou tkové úprvy rovnic, při nichž se řešení rovnice nezmění. Kořen rovnice se nezmění ) přičteme-li k oěm strnám rovnice totéž číslo, týž výrz, neo změníme-li levou prvou strnu rovnice ) násoíme-li oě strny rovnice týmž nenulovým číslem, výrzem. Npř.: k oěm strnám rovnice přičtu 5 oě strny rovnice vydělím Zkoušk: = tedy dostli jsme rovnost, č. je kořenem nší rovnice.

Alger Pokud při řešení rovnice dojdeme k neprvdě, npř. 0=8, rovnice nemá řešení, říkáme, že řešením je prázdná množin, neoli. Pokud při řešení rovnice dojdeme k prvdě, npř. 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, řešením jsou všechn čísl z ooru rovnic, v němž řešíme.

Alger 5 Lineární rovnice Vrint A Dnou rovnici vyřešte proveďte zkoušku Příkld: /-- / Zk.: Výsledek řešení: Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: Dné rovnice řešte proveďte zkoušky 1) ) ) )

6 Alger Lineární rovnice Vrint B Řešte dnou rovnici proveďte zkoušku Příkld: sčítáním výrzů odstrníme závorky správným roznásoením chceme neznámou n levé strně, čísl n strně prvé, tedy k oěm strnám rovnice přičteme posčítáme tedy dostli jsme prvdu, 0=0, rovnice má nekonečně mnoho řešení, tedy řešením je kždé reálné číslo. Zkoušku nelze provést, pouze ověření pro náhodně zvolené číslo: npř.: m=10 Výsledek řešení: rovnice má nekonečně mnoho řešení Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C

Alger 7 Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

8 Alger Lineární rovnice Vrint C Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: roznásoíme závorky mohli ychom násoit celou rovnici nejmenším společným jmenovtelem, tedy č. 6, le když se podíváme, je lépe nejdříve sečíst některé zlomky, tedy k oěm strnám rovnice přičíst ž poté vynásoit společným jmenovtelem zlomků, ychom zlomky odstrnili. nyní celou rovnici vynásoíme č. 9 k oěm strnám přičteme (-1) oě strny rovnice vydělíme č. (-1). Zk.: Výsledek řešení: ;

Alger 9 Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

50 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Při řešení rovnic, v nichž se vyskytuje neznámá ve jmenovteli, musíme vyloučit ty hodnoty neznámé, pro něž dná rovnice nemá smysl, tedy zjistíme nenulovost jmenovtelů v rovnici. Po stnovení podmínek můžeme oě strny rovnice vynásoit nejmenším společným jmenovtelem lomených výrzů v dné rovnici tím odstrnit z rovnice zlomky.

Alger 51 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint A Řešte dnou rovnici Příkld: / vyloučíme nulovost jmenovtelů oě strny rovnice vynásoíme nejmenším společným jmenovtelem dných lomených výrzů, tedy. / / Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ) ) )

5 Alger Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint B Řešte rovnici proveďte zkoušku: Příkld: / / / rovnice nemá řešení, tedy z podmínek pro rovnici le plyne, že, tedy Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C Příkldy k procvičení: 1) ;5 ) 6; 0 ) 5 ;, 5 7 ) 7, 5

Alger 5 Rovnice s neznámou ve jmenovteli Vrint C Řešte dnou rovnici: Příkld: Rovnice má smysl, pokud má nenulové jmenovtele, tedy / / / Zk.: Výsledek řešení: ; Příkld: Vrint A Vrint B Vrint C