Elementární funkce Základními elementárními funkcemi nazýváme funkce mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické. Elementární funkcí nazveme každou funkci, která je vytvořena ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu základních algebraických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení), nebo pomocí skládání funkcí. Dělení elementárních funkcí: Elementární funkce Racionální Algebraické (mocninné) Iracionální Nealgebraické (exponenciální, logaritmické, obecná mocnina goniometrické (sin, cos, tg, cotg), cyklometrické (arcsin, arccos, arctg, arcctg)) Polynomické Racionální lomené 1. Algebraické funkce Racionální funkce zahrnují funkce polynomické (celé racionální funkce) a racionální lomené funkce. Iracionální funkce funkce n-tá odmocnina pro n 2 přirozené. a) Polynomické funkce Def.: Polynomem n-tého stupně nazveme funkci P n, pro kterou platí: a) D(P n ) = R b) P n x =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0, kde a 0,a 1, a 2... a n R - koeficienty polynomu, a n 0 Věta.: c je nulový bod polynomu <=> je c kořen polynomu (platí tedy P n (c) = 0; kde c R ). Věta: Polynom n-tého stupně P n má nejvýše n nulových bodů. Věta: Nechť P n je polynom n-tého stupně a Q m je polynom m-tého stupně, tedy: P n x =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 a Q m x =b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0. Potom (P n (x) = Q m (x)) <=> n=m a i =b i ; i=0,1... n Lineární funkce polynom prvního stupně: P n (x) = a*x + b Nulová funkce nulovou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a = 0, b = 0 jedná se o nulový polynom P n (x) = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {0}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p R, grafem je přímka o rovnici f(x) = 0, tedy osa x kartézské soustavy. 1/11
Konstantní funkce konstantní funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, a = 0, b R jedná se o polynom nultého stupně P n (x) = b vlastnosti: D(f) = R, H(f) = {b}, omezená, nerostoucí, neklesající, není prostá, v každém x R má maximum a minimum, sudá, spojitá, periodická s libovolnou periodou p, p R, grafem je přímka o rovnici f(x) = b, tedy rovnoběžka s osou x kartézské soustavy. Obrázek viz dále. Identická funkce identickou funkcí nazveme funkci tvaru id(x) = a*x + b, kde a = 1, b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí, prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je přímka o rovnici id(x) = x, prochází bodem [0,0]. Obr. viz dále. Přímá úměrnost přímou úměrností nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b, kde a R {0}, b = 0 vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a Z ) nebo klesající (pro a Z ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka f(x) = a*x, prochází bodem [0,0]. Lineární funkce - lineární funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x + b; a R {0} b R {0} vlastnosti: D(f) = R, H(f) = R, není omezená shora ani zdola, je rostoucí (pro a R {0} ) nebo klesající (pro a R {0} ), prostá, spojitá, nemá maximum ani minimum, neperiodická, ani lichá ani sudá, grafem je přímka. y y b id(x) = x f(x) = b [0,0] x Konstantní funkce [0,0] x Identická funkce Kvadratické funkce polynom druhého stupně: P n (x) = a*x 2 + b*x + c Ryze kvadratická funkce ryze kvadratickou funkcí nazveme funkci tvaru f(x) = a*x 2 +b*x+c, kde a R {0}, b = 0, c = 0 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = <0, ), zdola omezená nulou, shora neomezená, není prostá, klesající na (-,0>, rostoucí na <0, ), minimum v bodě [0,0], nemá maximum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. pro a<0: D(f) = R, H(f) = (-,0>, zdola neomezená, shora omezená nulou, není prostá, rostoucí na (-,0>, klesající na <0, ), maximum v bodě [0,0], nemá minimum, sudá, spojitá, neperiodická, grafem je parabola. Kvadratická funkce kvadratickou funkcí nazveme funkci ve tvaru f(x) = a*x 2 +b*x+c, kde a,b, c R, a 0 vlastnosti: pro a>0: D(f) = R, H(f) = < c b2, ), zdola omezená, shora 4 a neomezená, není prostá, klesající na (-,-b/2*a>, rostoucí na <-b/2*a, ), v bodě x 0 má minimum, x 0 = -b/2*, y 0 = c b2 4 a 2/11, nemá maximum, není sudá ani lichá,
neperiodická, grafem je parabola s vrcholem[-b/2*a, c b2 4 a ]. pro a<0: D(f) = R, H(f) = <,c b2 ), shora omezená, zdola 4 a neomezená, není prostá, rostoucí na (-,-b/2*a>, klesající na <-b/2*a, ), v bodě x 0 má maximum, x 0 = -b/2*a, y 0 = c b2 4 a neperiodická, grafem je parabola s vrcholem [-b/2*a, c b2 4 a ]., nemá minimum, není sudá ani lichá, Funkce k-tá mocnina pro k-přirozené - k-tou mocninou pro k-přirozené nazveme funkci tvaru f x =x k kde k N {0 } vlastnosti: pro k = 1 je grafem přímka (viz identická funkce), pro k>1 je grafem parabola k- tého stupně, graf vždy prochází body [0,0] a [1,1]; další vlastnosti viz obrázek b) Racionální funkce Def.: Racionální funkcí nazýváme podíl polynomů P n Q m ; kde P n je polynom n-tého stupně a Q m je polynom m-tého stupně: P n =a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 Q m =b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0. Pro racionální funkci P n Q m platí: a) D P n Q m =R {x R ;Q m x =0} - c 1, c 2,...c k kořeny racionální funkce, pro k platí: 0 k m - nechť c 1 <c 2 <c 3 <...<c k, potom: D P n Q m =...=,c 1 c 1,c 2 c 2,c 3... c k, b) D P n Q m = a n x n a n 1 x n 1... a 1 x 1 a 0 b m x m b m 1 x m 1... b 1 x 1 b 0 Nepřímá úměrnost nepřímou úměrností nazveme funkci ve tvaru f(x) = k/x, kde k R {0} vlastnosti: pro k>0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je klesající na (-,0) a na (0,- ), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. pro k<0: D(f) = R-{0}, H(f) = R-{0}, není omezená shora ani zdola, je rostoucí na (-,0) a na (0,- ), prostá, nemá maximum ani minimum, lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem [0,0]. Lineárně lomená funkce lineárně lomenou funkcí nazveme funkci ve tvaru f x = a x b, kde a,b, c, d R, c 0, a d b c 0 c x d vlastnosti: D(f) = R-{-d/c}, H(f) = R-{a/c}, není omezená ani shora ani zdola, klesající na (-,-d/c) a na int. (-d/c, ), je prostá, nemá maximum ani minimum, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je rovnoosá hyperbola se středem v bodě [-d/c,a/c]. 3/11
Funkce k-tá mocnina pro k celé záporné - k-tou mocninou pro k-celé záporné nazveme funkci ve tvaru f x =x k = 1 x k, kde k N vlastnosti: D(f) = R-{0}, grafem je hyperbola k stupně, další vlastnosti viz obrázek c) Iracionální funkce Funkce n-tá odmocnina pro n 2 přirozené n-tou odmocninou pro n 2 přirozené 1 nazveme funkci ve tvaru f(x) = n n x= x, kde n N, n 2 vlastnosti: n-sudé: D(f) = <0, ), H(f) = <0, ), zdola omezená nulou, shora neomezená, rostoucí, prostá, minimum v bodě [0,0], maximum nemá, není sudá ani lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1].Obrázek viz dále. n-liché: D(f) = R, H(f) = R, zdola i shora neomezená, rostoucí, prostá, nemá minimum ani maximum, je lichá, neperiodická, grafem je je část paraboly n-tého stupně se sklopenou osou, procházející vždy body [0,0] a [1,1]. Obrázek viz dále. 4/11
2. Nealgebraické funkce Věta o inverzní funkci: Nechť f je spojitá a ryze monotónní funkce v intervalu I, který zobrazuje na interval J. Potom k ní na intervalu I existuje inverzní funkce f -1, která má - D(f -1 ) = J, H(f -1 ) = I - funkce f -1 je ryze monotónní v J, je-li f rostoucí (klesající) v I, je-li f -1 rostoucí (klesající) v J - f -1 je spojitá v J; inverzní funkcí k f -1 je v intervalu J funkce f. Funkce přirozený logaritmus existuje právě jedna funkce kterou nazveme přirozený logaritmus (značíme ji f(x) = ln(x) (v učebnicích log) tak, že má 1) D(ln) = (0, ) 2) pro každé x, y 0, je ln x y =ln x ln y ln 1 x ln 1 x ln 1 3) lim =lim =1 ; existuje derivace v 1 a platí ln (1) x 0 x x 0 x = 1 Další vlastnosti funkce ln kde a,b 0, k Z : 1) ln(1) = 0 2) ln(1/a) = -ln(a) 3) ln(a/b) = ln(a) ln(b) 4) ln(a k ) = k*ln(a) 5) pro každé a 0, existuje ln (a) = 1/a 6) spojitá na (0, ) 7) rostoucí na (0, ) 8) ln(x)<0 <=> x 0,1, ln(x)>0 <=> x 1, 9) lim ln(x) = pro x->, lim ln(x) = - pro x->0 + 10) H(ln) = R Pozn.: ln je prostá na (0, ), existuje tedy jediné číslo x 0, pro které je ln(x 0 ) = 1. Toto číslo nazýváme Eulerovo číslo, e=lim 1 1 n= n n. 2,718 Funkce exponenciála funkce ln(x) je v (0, ) rostoucí, spojitá a zobrazuje ho na (-, ). V intervalu (0, ) k ní existuje funkce inverzní, kterou nazýváme exponenciála f(x) = exp(x) s vlastnostmi: 1) D(exp) = R, H(exp) = (0, ) 2) spojitá a rostoucí v R 3) inverzní funkcí k exp(x) je funkce ln(x), exp(x) = y <=> x = ln(y), x R, y 0, 4) pro každé c R existuje vlastní derivace exp (c) = exp(c) 5) exp(0) = 1, exp(1) = e 6) pro každé x, y R platí: exp(x+y) = exp(x)*exp(y) 7) pro každé x R, k Z platí: (exp(x)) k = exp(k*x) 8) pro každé x R platí: exp(-x) = 1/exp(x) 9) lim exp(x) = pro x->, lim exp(x) = 0 pro x->- 5/11
Def.: Nechť u 0,, v R. Definujeme u v vztahem u v = exp(v*ln(u)). Pozn.: volím-li ve vztahu v-pevně, lze definovat obecnou mocninu x b = exp(b*ln(x)) s exponentem b. Volím-li ve vztahu u-pevně, lze definovat obecnou exponenciálu a x = exp(x*ln(a)). Funkce obecná mocnina (pro reálný exponent) obecnou mocninou s exponentem b nazveme funkci ve tvaru f(x) = x b = exp(b*ln(x)), kde b R vlastnosti: 1) D(f) = (0, ); H(f) = (0, ) pro b 0, H(f) = {1} pro b = 0 2) pro b = 0 je konstantní na (0, ), pro b>0 je rostoucí na (0, ), pro b<0 je klesající na (0, ) 3) spojitá na (0, ) 4) v každém a 0, existuje vlastní f (a) = b*a b-1 5) pro b>0 je lim x b = pro x->, lim x b = 0 pro x->0 + ; pro pro b<0 je lim x b = 0 pro x->, lim x b = pro x->0 + Obecná exponenciální funkce obecnou exponenciální funkcí (obecnou exponenciálou) o základu a nazveme funkci ve tvaru f(x) = a x = exp(x*ln(a)), kde a 0, a 1 vlastnosti: 1) D(f) = R, H(f) = (0, ) 2) pro každé c R existuje vlastní derivace f (c) = a c *ln(a) 3) spojitá v R 4) pro a>1 je rostoucí na R; pro 0<a<1 je funkce klesající v R. 5) pro a>1 je lim a x = pro x->, lim a x = 0 pro x->- ; pro pro 0<a<1 je lim a x = 0 pro x->, lim a x = pro x->- Pozn.: Volíme-li jako základ e, platí: f(x) = e x = exp(x*ln(e)) = exp(x) Dále viz obrázek. 6/11
Funkce obecný logaritmus Nechť a 0,, a 1. Funkce f(x) = a x je spojitá a ryze monotónní v R a zobrazuje R na (0, ). Existuje k ní v R inverzní funkce, kterou nazýváme obecný logaritmus (logaritmus o základu a), f(x) = log a (x) a má 1) D(f) = (0, ), H(f) = R 2) pro každé x 0, je log a x = ln x ln a 3) v každém c 0, existuje vlastní derivace f (c) = 1/(c*ln(a)) 4) je spojitá v (0, ) 5) pro a>1 je rostoucí v (0, ); pro 0<a<1 je klesající v (0, ). 6) pro a>1 je lim log a (x) = pro x->, lim log a (x) = - pro x->0 + ; pro 0<a<1 je lim log a (x) = - pro x->, lim log a (x) = pro x->0 + 7) pro každé x, y 0, je log a (x*y) = log a (x)+log a (y) Pozn.: bod 2) nám umožňuje pracovat s jedinou logaritmickou funkcí s přirozeným logaritmem. 7/11
Funkce sinus Existuje právě jedna funkce, kterou nazveme sinus a kladné číslo, které označíme znakem π takové, že funkce sinus(x) = sin(x) a má 1) D(sin) = R 2) fce sinus je rostoucí v intervalu <0,π/2>, sin(0) = 0 3) pro každé x, y R je sin(x+y)+sin(x-y) = 2*sin(x)*sin(π/2-y) 4) lim x 0 sin x =1 x Funkce kosinus definována vztahem kosinus(x) = cos(x) = sin( π/2 -x) Další vlastnosti funkce sinus: 1) je lichá 2) rostoucí v intervalu <-π/2,π/2> 3) sin(π/2) = 1, sin(-π/2) = -1 4) je periodická funkce s periodou 2*π 5) pro každé x, y R je sin(x±y) = sin(x)*cos(y)±cos(x)*sin(y) 6) pro každé x R platí sin 2 x+cos 2 x = 1 7) pro každé x, y R je sin(x)+sin(y) = 2*sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x, y R je sin(x)-sin(y) = 2*cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x R existuje vlastní (sin(x)) = cos(x) 11) H(sin) = <-1,1> Vlastnosti funkce kosinus: 1) D(cos) = R, H(cos) = <-1,1> 2) rostoucí v intervalu <-π,0> 3) cos(0) = 1, cos(π) = -1 4) je sudá, periodická s periodou 2*π 5) pro každé x, y R je cos(x+y) = cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) 6) pro každé x, y R je cos(x-y) = cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y) 7) pro každé x, y R je cos(x)+cos(y) = 2*cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2) 8) pro každé x, y R je cos(x)-cos(y) = -2*sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) 9) spojitá v R 10) v každém x R existuje vlastní (cos(x)) = -sin(x) 8/11
Funkce tangens je definována předpisem f(x) = tg(x) = sin(x)/cos(x) a má 1) D(tg) = R- { x R, x= 2 k 1 2,k Z } 2) je lichá, tg(0) = 0 3) je periodická s periodou π 4) spojitá v D(tg) 5) lim tg(x) = pro x->π/2 zleva, lim tg(x) = - pro x->π/2 zprava 6) H(tg) = R 7) pro každé a D tg existuje vlastní derivace (tg(x)) = (sin(x)/cos(x)) = ((cos(x)*cos(x)-sin(x)*(-sin(x))/cos 2 (x)) = 1/cos 2 (x) 8) v každém intervalu I, I D tg je tangens rostoucí Funkce cotangens je definována předpisem f(x) = cotg(x) = cos(x)/sin(x) a má 1) D(cotg) = R- {x R, x=k,k Z } 1) je lichá, cotg(π/2) = 0 1) je periodická s periodou π 2) spojitá v D(cotg) 3) lim cotg(x) = pro x->0 +, lim cotg(x) = - pro x->0-4) H(cotg) = R 5) pro každé a D cotg existuje vlastní derivace (cotg(x)) = (cos(x)/sin(x)) = ((-sin(x)*sin(x)-cos(x)*(cos(x))/sin 2 (x)) = -1/sin 2 (x) 6) v každém intervalu I, I D cotg je cotangens klesající 9/11
Funkce arkussinus Funkce sinus je v intervalu <-π/2,π/2> spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <-π/2,π/2> inverzní funkce k funkci sinus, kterou nazveme arkussinus, f(x) = arcsin(x) a má 1) D(arcsin) = <-1,1>, H(arcsin) = <-π/2,π/2> 2) je rostoucí a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkussinus v intervalu <-1,1> je funkce sinus v intervalu <-π/2,π/2>, (arcsin(a) = b <=> a = sin(b), kde a 1,1, b 2, 2 ) 4) je lichá 5) pro každé a 1,1 existuje vlastní derivace (arcsin(a)) = 6) arcsin zprava (-1) = arcsin zleva (1) = 1 1 a 2 Funkce arkuskosinus Funkce kosinus je v <0,π> spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na interval <-1,1>. Existuje tedy v intervalu <0,π> inverzní funkce k funkci kosinus, kterou nazveme arkuskosinus, f(x) = arccos(x) a má 1) D(arccos) = <-1,1>, H(arccos) = <0,π> 2) je klesající a spojitá v <-1,1> 3) funkcí inverzní k funkci arkuskosinus v intervalu <-1,1> je funkce cosinus v intervalu <0,π> 4) pro každé x 1,1 je arcsin(x)+arccos(x) = π/2 5) pro každé a 1,1 existuje vlastní derivace (arccos(a)) = 1 1 a 2 6) arccos zprava (-1) = arccos zleva (1) = - Funkce arkustangens Funkce tangens je v intervalu (-π/2,π/2) spojitá, rostoucí a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (-π/2,π/2) inverzní funkce k funkci tangens, kterou nazveme arkustangens, f(x) = arctg(x) a má 1) D(arctg) = R, H(arctg) = (-π/2,π/2) 2) je rostoucí a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkustangens v R je funkce tangens v intervalu (-π /2,π/2) 4) je lichá 5) lim arctg(x) = π/2 pro x->, lim arctg(x) = -π/2 pro x->- 1 6) pro každé a R existuje vlastní derivace (arctg(a)) = 1 a 2 Funkce arkuscotangens Funkce cotangens je v intervalu (0,π) spojitá, klesající a zobrazuje tento interval na R. Existuje tedy v intervalu (0,π) inverzní funkce k funkci cotangens, kterou nazveme arkuscotangens, f(x) = arccotg(x) a má vlastnosti: 1) D(arccotg) = R, H(arccotg) = (0,π) 10/11
2) je klesající a spojitá v R 3) funkcí inverzní k funkci arkuscotangens v R je funkce cotangens v intervalu (0,π) 4) pro každé x R je arccotg(x)+arctg(x) = π/2 5) lim arccotg(x) = 0 pro x->, lim arccotg(x) = π pro x->- 6) pro každé a R existuje vlastní derivace (arccotg(a)) = 1 1 a 2 Zpracováno z přednášek MANS1,2 a z knihy Matematická analýza pro učitelské studium, 1. semestr, Jiřina Frolíková, SPN Praha, 1980 11/11