VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý, Oto Přibyl 4
Obsh Úvod. 4. Cíle modulu................................. 4. Poždovné znlosti............................ 4.3 Dob potřebná ke studiu......................... 4.4 Klíčová slov................................ 5 Newtonův integrál. 6 3 Riemnnův integrál. 9 4 Zákldní vlstnosti určitého Newtonov integrálu. 5 Integrál jko funkce horní (resp. dolní) meze. Integrály závislé n prmetru. 5 6 Geometrické plikce určitého integrálu. 6 6. Délk křivky................................ 6 6. Plošný obsh rovinného obrzce...................... 6.3 Objem rotčního těles.......................... 6.4 Obsh rotční plochy............................ 4 7 Aplikce určitého integrálu v mechnice. 6 7. Hmotnost, sttický moment moment setrvčnosti soustvy hmotných bodů..................................... 6 7. Hmotnost, sttické momenty, těžiště momenty setrvčnosti tenké homogenní rovinné desky......................... 7 7.3 Hmotnost, sttické momenty, těžiště momenty setrvčnosti homogenního rovinného oblouku............................. 3 7.4 Guldinovy věty.............................. 33 8 Některé dlší fyzikální plikce. 34 9 Kontrolní otázky. 37 Výsledky cvičení. 38 Studijní prmeny. 4 A Pojem křivky v rovině. 4 B Vzorová zdání kontrolních testů. 47 3
Úvod.. Cíle modulu. Odstvec. Seznámíte se s pojmem zobecněné primitivní funkce jejím využitím při definici Newtonov integrálu, který nám umožní výpočet,,určitých integrálů. Je nutné dobře zvládnout tuto definici se všemi předpokldy (zvláště nezpomínejte n poždvek spojitosti primitivní funkce F ) umět pomocí této definice řešit určité integrály. Odstvec. Seznámíte se definicí Riemnnov integrálu, kterou budeme využívt při odvozování jednotlivých vzthů u geometrických fyzikálních plikcí určitého integrálu. Odstvec 3. Je věnován zákldním vlstnostem Newtonov integrálu, metodě per prtes substituční metodě po výpočet určitých integrálů. Je nutné znát předpokldy pro použití těchto integrčních metod porozumět změně mezí u substituční metody. Odstvec 4. Je spíše informtivního chrkteru jeho cílem je poskytnout pozntky pro využití integrálu závislých n prmetru v dlších prtiích mtemtické nlýzy. Odstvec 5. Užitím definice Riemnnov integrálu jsou zde odvozeny jednotlivé geometrické plikce určitého integrálu. Tento odstvec je dosti náročný jeho cílem je, byste uměli sestvit integrální součty pro uvedené plikce tím porozuměli vzorcům pro jejich výpočet. Bez propočítání dosttečného množství příkldů se vám jen stěží podří tuto problemtiku zvládnout. Odstvce 6. ž 8. Tké v těchto odstvcích je hlvním cílem porozumět vytváření integrálních součtů pro jednotlivé plikce určitého integrálu v mechnice fyzice. Projděte si důkldně vyřešené příkldy n jejich zákldě si spočítejte příkldy ze cvičení.. Poždovné znlosti. Pro zvládnutí určitého integrálu je potřebné dobře umět výpočty primitivních funkcí (viz modul Neurčitý integrál). V plikcích určitého integrálu je nezbytné znát grfy rovnice zákldních rovinných křivek (viz Dodtek tohoto modulu)..3 Dob potřebná ke studiu. Přibližně lze odhdnout potřebnou dobu ke studiu jednorozměrného integrálu n 5 hodin. Pro získání zkušeností zručnosti ve výpočtu plikčních úloh bude ještě zřejmě zpotřebí dlší čs závislý n dosvdní početní prxi student. 4
.4 Klíčová slov. Zobecněná primitivní funkce, Newtonův integrál, Riemnnův integrální součet, norm dělení, Riemnnův integrál, zákldní vlstnosti Newtonov integrálu, metod per prtes pro Newtonův integrál, metod substituční pro Newtonův integrál, délk křivky, plošný obsh rovinné oblsti, objem rotčního těles, obsh rotční plochy těles, těžiště rovinné desky, těžiště rovinného oblouku. 5
Newtonův integrál. Historicky nejstrší je definice Newtonov integrálu, která je zložen n pojmu primitivní funkce. Definice.. Řekneme, že funkce F je zobecněná primitivní funkce k funkci f v intervlu (, b), < b, jestliže pltí () F je spojitá n (, b), (b) F (x) = f(x) pro kždé x (, b) s výjimkou nejvýše spočetné podmnožiny M intervlu (, b). Poznámk.. Funkce f přitom nemusí být definovná n L M. Kždá konečná množin je nejvýše spočetná. Množin všech přirozených čísel resp. celých čísel je nejvýše spočetná. Posloupnost { n } n= je nejvýše spočetná. Poznámk.. V dlším budeme místo zobecněné primitivní funkce užívt stručnější oznčení primitivní funkce. Definice.. Je-li funkce F primitivní funkcí k funkci f v (, b), kde < b, existují-li vlstní (konečné) limity lim x + F (x), lim x b F (x), pk číslo b f (x) dx = [F (x)] b = lim F (x) lim F (x) x b x + nzýváme Newtonovým integrálem funkce f n intervlu (, b). Množinu všech funkcí, které mjí Newtonův integrál n intervlu (, b), znčíme N (, b). Poznámk.3. () Je-li funkce F spojitá v, b, pk [F (x)] b = F (b) F (). (b) Pokud známe primitivní funkci, Newtonův integrál podle předešlé definice sndno spočítáme. Dále si všimněme, že v předešlé definici nepoždujeme omezenost intervlu I ni ohrničenost integrovné funkce. 6
Příkld.. Vypočtěte integrál + x dx. Řešení. Funkce má n intervlu (, ) primitivní funkci rctg x pltí +x [rctg x] = lim rctg x lim rctg x = π ( x x π ) = π podle Definice. máme dx = π. + x Příkld.. Vypočtěte integrál kde < < b, pro funkci b f(x) dx, pro x (, ), f(x) = pro x =, pro x (, b). Řešení. Funkce f má n intervlu (, b) zobecněnou primitivní funkci F (x) = x pltí [ ] b x = b ( ) = b + podle Definice. máme b f(x) dx = b +. Příkld.3. Vypočtěte integrál x dx. Řešení. Funkce x má n intervlu (, ) primitivní funkci rcsin x pltí [rcsin x] = rcsin rcsin ( ) = π ( π ) = π 7
podle Definice. máme dx = π. x Příkld.4. Vypočtěte integrál (x dx. ) 3 Řešení. Zdná funkce má n intervlu (, ) primitivní funkci 3 3 x pltí podle Definice. máme [ 3 3 x ] = 3( ( )) = 6 dx = 6. 3 (x ) Příkld.5. Vypočtěte integrál sin x dx. Řešení. Funkce sin x má n intervlu (, ) primitivní funkci cos x pltí [ cos x] = lim cos x + cos = lim cos x, x x protože předešlá limit neexistuje, neexistuje tké zdný integrál. Příkld.6. Vypočtěte integrál e ln x dx. Řešení. Pltí ln x pro x (, ), ln x = ln x pro x (, e). 8
Podle Příkldu.4(h) v Modulu Neurčitý integrál je k dné funkci ln x primitivní funkce x(ln x ). Zobecněná primitivní je pk podle Definice. máme e x(ln x ) pro x (, ), F (x) = x(ln x ) + pro x (, e). ln x dx = [F (x)] e = F (e) lim F (x) = + =. x + 3 Riemnnův integrál. Nyní si zvedeme definici Riemnnov integrálu, která je geometricky velmi názorná lze ji využít jko zákld pro přibližný (numerický) výpočet určitého integrálu při odvozování fyzikálních veličin. Uvžujme intervl I =, b R, < b jsou konečná, reálná čísl nech D n je dělení intervlu, b s dělicími body = x < x < x < < x n = b. Kždý intervl I i = x i, x i, i =,,..., n nzýváme částečným intervlem dělení D n. Obrázek : Riemnnův integrlní součet. Délku (míru) intervlu I i definujeme µ(i i ) = x i x i = x i, i =,,..., n. Výrz ν(d n ) = mx i=,,...,m { x i } nzýváme normou dělení D n. 9
Definice 3.. Nech f je ohrničená funkce n I, D n dělení I s dělicími body = x < x < < x n = b. Oznčme D n množinu všech n-tic bodů ξ (n) = (ξ, ξ,..., ξ n ), ξ i I i. íslo n n S(f, D n, ξ (n) ) = f (ξ i ) (x i x i ) = f (ξ i ) x i i= i= pro ξ (n) D n se nzývá Riemnnovým integrálním součtem funkce f, příslušným dělení D n n-tici ξ (n) D n. Definice 3.. ekneme, že funkce f má n intervlu, b určitý Riemnnův integrál A R tehdy jen tehdy, když pltí lim S(f, D n, ξ (n) ) = A n pro kždou posloupnost {D n } n= tkovou, že lim n ν(d n ) =, kždou posloupnost {ξ (n) } n= tto limit nezávisí n volbě posloupnosti {D n } n= výběru posloupnosti {ξ (n) } n=. Vět 3.. Kždá spojitá funkce n, b má určitý Riemnnův i Newtonův integrál tyto integrály jsou si rovny. Poznámk 3.. Množinu všech riemnnovsky integrovtelných funkcí n, b znčíme R(, b). Poznámk 3.. Počítt Riemnnův integrál přímo z definice by bylo ovšem velice prcné. Je tedy zřejmé, že počítáme Riemnnův integrál pomocí Newtonov. Poznámk 3.3. Všimněte si, že při konstrukci Riemnnov integrálu jsme předpokládli, že jk funkce f tk i intervl, b jsou ohrničené. Při rozšiřování Riemnnov integrálu n neohrničené intervly pro neohrničené funkce dostáváme tzv. nevlstní integrály, které se definují užitím limit, npř. integrál f(x) dx, kde R, f je ohrničená integrovtelná v kždém intervlu, b, ), definujeme jko lim b b f(x) dx. Anlogicky definujeme nevlstní integrál pro neohrničenou funkci v intervlu, b. V přípdě, že jsou limity konečné, říkáme, že nevlstní integrál konverguje (nebo že existuje). Pokud vlstní limit neexistuje, říkáme, že nevlstní integrál diverguje.
Vidíme, že tyto úvhy jsou již velmi blízké nšemu pojetí Newtonov integrálu. Přitom pltí, že existují-li Newtonův integrál i Riemnnův vlstní nebo nevlstní integrál, pk se sobě rovnjí. 4 Zákldní vlstnosti určitého Newtonov integrálu. Zákldní vlstnosti určitého Newtonov integrálu jsou shrnuty v následující větě. Vět 4.. Necht < b. () Necht funkce f g mjí Newtonův integrál n intervlu (, b) (tj. f, g N (, b)). Pk pltí b ( ) b kf(x) + lg(x) dx = k kde k, l jsou libovolná reálná čísl. b f(x) dx + l g(x) dx, (b) Necht < c < b. Pk f N (, b) právě tehdy, když f N (, c) f N (c, b). Nvíc pltí b f(x) dx = (c) Necht f, g N (, b). Pk pltí b c f(x) dx f(x) dx + b b c g(x) dx, f(x) dx. je-li f (x) g (x) všude, kde funkce f g jsou spojité. (d) Jestliže f N (, b), pk pltí b b f(x) dx f(x) dx. (e) Jestliže f (x) M všude, kde funkce f je spojitá, f N (, b) čísl, b jsou konečná, pk b f(x) dx M(b ). (f) Jestliže je funkce f spojitá n, b čísl, b jsou konečná, pk existuje bod ξ, b tk, že b f(x) dx = f (ξ) (b ).
(g) Jestliže f N (, b), pk pltí b f(x) dx = b f(x) dx. Vět 4.. (Metod per prtes.) Necht u, v N (, b), < b. Jsouli funkce u v spojité n (, b) mjí zde derivci s výjimkou nejvýše spočetné množiny bodů, pk pltí b u(x)v (x) dx = [ ] b b u(x)v(x) u (x)v(x) dx, mjí-li lespoň dv ze tří výrzů konečnou hodnotu. Poznámk 4.. Výrzem [u(x)v(x)] b rozumíme lim u(x)v(x) lim u(x)v(x) x b x + Důkz. Plyne z věty o derivci součinu funkcí definice primitivní funkce. Příkld 4.. Vypočtěte integrál I = ( + 3x) sin( x)π dx. Řešení. Funkce u(x) = + 3x, v(x) = cos( x)π mjí n intervlu (, ) π spojité derivce tedy pltí ( + 3x) sin( x)πdx = u(x) = + 3x, v (x) = sin( x)π u (x) = 3, v(x) = cos( x)π π = [ ] ( + 3x) cos( x)π 3 π π = π + π + 3 [ sin( x)π 4π ] cos( x)π dx = 3 π. Příkld 4.. Vypočtěte integrál te t dt.
Řešení. Funkce te t má n intervlu (, ) primitivní funkci (t + )e t pltí [ (t + )e t ] = lim t (t + )e t + = podle Definice. máme te t dt =. Příkld 4.3. Vypočtěte integrál x ln x dx. Řešení. Funkce x ln x je spojitá n (, ) má zde derivci v kždém bodě intervlu (, ). x ln x dx = = u(x) = ln x, v (x) = x u (x) =, x v(x) = x [ x ln x] x dx = lim x + x ln x 4 [ x ] = 4 = 4. Vět 4.3. (Vět o substituci.) Necht < b, funkce ϕ je ryze monotonní, spojitá má konečnou nenulovou derivci n (, b) s výjimkou nejvýše spočetné množiny bodů funkce f je spojitá n intervlu J tkovém, že ϕ (, b) J. Pk pltí ϕ(b ) ϕ(+) f(x) dx = b f (ϕ(t)) ϕ (t) dt, existuje-li jeden z integrálů kde ϕ(+) = lim t + ϕ(t), ϕ(b ) = lim t b ϕ(t). Příkld 4.4. Vypočtěte integrál /π x sin x dx. Řešení. Zvedeme substituci x = ϕ(t) =. Funkce ϕ je ryze monotonní, spojitá t má nenulovou derivci n (, π). Funkce f(x) = sin je spojitá n (, x x π ). 3
/π x sin x dx = = x = ϕ(t) = t, t = π, ϕ (t) = t, x = ( π, π/ sin t dt = π/ sin t dt = [ cos t] π/ = cos π + cos =. Příkld 4.5. Vypočtěte integrál I = π/ ( + tg t) cos t dt. Řešení. Zvedeme substituci ϕ(t) = tg t = x. Funkce ϕ je rzye monotonní, spojitá má nenulovou derivci ϕ (t) = n (, π ). Funkce f je spojitá n (, ). cos t I = = π x = ϕ(t) = tg t, t =, ϕ (t) =, x =, = cos t ( + x) dx [ ] = lim + x x + x + =. Cvičení 4.. Vypočtěte integrály: ) b) c) d) e) e x dx xe x dx x (x + ) dx e /x x dx + x x dx f) g) h) i) j) x x dx rctg x + x dx + x 3 dx rctg x x x dx dx 4
5 Integrál jko funkce horní (resp. dolní) meze. Integrály závislé n prmetru. Vět 5.. Necht < b, f N (, b) c (, b) libovolné. Pk je funkce F (x) = x c f(t) dt, x (, b) zobecněnou primitivní funkcí k funkci f n (, b). Oznčme I(t) = b f(x, t) dx. ( ) Vět 5.. Necht funkce f(x, t) je spojitá n intervlu J =, b c, d. Pk integrál ( ) je spojitou funkcí proměnné t n intervlu c, d. Příkld 5.. Necht c d, c < d jsou libovolná čísl tková, že / c, d. Pro libovolné t c, d vypočtěte integrál I(t) = f(x, t) dx, kde funkce f :, c, d R je dán předpisem f(x, t) = e x/t. Řešení. I(t) = = t e x t dx = x = ϕ(u) = tu, u =, t ϕ (u) = t, x =, /t ] /t e u du = t [e u = t ( ) e t. Vět 5.3. Nech funkce f(x, t) je spojitá v proměnné x n intervlu, b pro kždé t c, d. Dále předpokládejme, že existuje prciální derivce f t(x, t), která je spojitá n J = (, b) (c, d). Pk pltí pro kždé t (c, d). I (t) = b f t(x, t) dx 5
Příkld 5.. Je dán funkce ( ) x f(x, t) = rctg t n intervlu, c, d, / c, d, c < d libovolná reálná čísl. Pk pro funkci I(t) = rctg x t dx, t c, d pltí pro kždé t c, d. I (t) = ( rctg x ) x dx = t t x + t dx [ = ln ( x + t )] t = ln. + t Příkldy integrálů závislých n prmetru: Gm funkce Γ(t) = e x x t dx, t >. Využitím funkce Γ lze vypočítt integrály, které se využívjí v teorii prvděpodobnosti: (tzv. Lplceův Gussův integrál) e x dx = π, R, >, πσ t e (x µ) σ dx, µ, σ R, σ >, kde µ je střední hodnot σ je směrodtná odchylk. 6 Geometrické plikce určitého integrálu. 6. Délk křivky. Před studiem tohoto odstvce si nejprve pozorně prostudujte část Pojem křivky v rovině v dodtku tohoto modulu klikněte zde. 6
Necht je dán oblouk γ R, který má prmetrické rovnice x = ϕ(t), y = ψ(t), t, b. Uvžujme dělení intervlu, b R s dělicími body = t < t < t < < t n = b. Předešlým zobrzením je prmetru t i přiřzen bod křivky A i = [ϕ(t i ), ψ(t i )]. Chceme znát délku celé křivky. Oznčme l i délku úsečky A i A i. Délk úsečky A i A i je tedy dán vzthem l i = (ϕ(t i ) ϕ(t i )) + (ψ(t i ) ψ(t i )). Délk lomené čáry A A... A i A i+... A n je součet n n L n = l i = (ϕ(t i ) ϕ(t i )) + (ψ(t i ) ψ(t i )). i= i= Toto číslo jistě neudává délku křivky γ přesně, le přibližně. Obrázek : Délk křivky. Nyní n kždý výrz pod odmocninou použijeme větu o střední hodnotě ϕ(t i ) ϕ(t i ) = ϕ (ξ i )(t i t i ) = ϕ (ξ i ) t i ψ(t i ) ψ(t i ) = ψ (η i )(t i t i ) = ψ (η i ) t i, kde ξ i η i jsou body ležící v intervlu (t i, t i ), i =,..., n. 7
Můžeme tedy psát L n = = n i= n i= [ϕ (ξ i )] ( t i ) + [ψ (η i )] ( t i ) [ϕ (ξ i )] + [ψ (η i )] t i = n i= [ϕ (ξ i )] + [ψ (η i )] t i Nhrdíme-li v předešlém výrzu bod η i bodem ξ i pro i =,..., n máme L n = n i= tento výrz je integrálním součetm funkce [ϕ (ξ i )] + [ψ (ξ i )] t i, ν n = mx { t, t,..., t n }. Dá se ukázt, že když ν n pk L n L n. (ϕ (t)) + (ψ (t)). Položme přejdeme-li ve výrzu L n k limitě, tj. bude-li existovt limit lim L n = lim L n = lim ν n νn νn n i= [ϕ (ξ i )] + [ψ (η i )] t i, pk tuto limitu nzveme délkou křivky. V přípdě prmetrických rovnic x = ϕ(t), y = ψ(t), t, b, je tedy délk křivky dán vzthem b L = [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, ve speciálních přípdech, je-li dán křivk předpisem y = f(x), x, b derivce f je konečná n (, b), pk pltí L = b + [f (x)] dx, nebo je-li dán křivk předpisem x = g(y), y c, d derivce g je konečná n (c, d), pk pltí d L = + [g (y)] dy. c Délk křivky v přípdě polárních souřdnic r = g(ϕ), kde g je spojitá n, β, g konečná n (, β) je β L = g (ϕ) + [g (ϕ)] dϕ. 8
Příkld 6.. Vypočtěte délku jednoho oblouku cykloidy o prmetrických rovnicích x = ϕ(t) = (t sin t), y = ψ(t) = ( cos t), t, π, kde >. Řešení. ϕ (t) = ( cos t), ψ (t) = sin t, L = π [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt = π ( cos t) + sin t) dt = π π cos t dt = sin t π dt = sin t dt [ = cos t ] π = 4( cos π + cos ) = 8 [m]. Příkld 6.. Vypočtěte délku křivky o rovnici f(x) = ln x, x 3, 8. Řešení. L = = = = = 8 3 3 8 + [f (x)] dx = 3 + x 8 dx = x + dx x x = ϕ(u) = u x = 3, 8 ϕ (u) = u u u =, 3 3 ( [ u 3 u du = + ( + ) du u ) (u ) (u + ) u + ln u u + ] 3 = + ln 3 du 3. =.3 [m]. Cvičení 6.. Vypočtěte délku křivky: 9
( ) y = ln(cos x), x, π ) ; 4 b) y = ln ex +, x (ln, ln 5); e x c) y = e x, x (, ) ; d) y = x x + rcsin x, x (, ) ; e) x = cos 3 t, y = sin 3, t (, π), > ; f) x = (t sin t + cos t), y = (sin t t cos t), t (, π ), >. 6. Plošný obsh rovinného obrzce. Plošný obsh části roviny A = {[x, y] R : < x < b, f (x) < y < f (x)}, kde f, f jsou spojité funkce tkové, že f (x) f (x), pro kždé x (, b), se spočte podle vzorce P (A) = Podobně, plošný obsh části roviny b [f (x) f (x)] dx. B = {[x, y] R : c < y < d, g (y) < x < g (y)}, kde g, g jsou spojité funkce tkové, že g (y) g (y) pro kždé y (c, d), se spočte podle vzorce P (B) = d c [g (y) g (y)] dy. Obsh části roviny ohrničené grfem funkce dné prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t, β. P = P = β β ψ(t) ϕ (t) dt, ϕ(t) ψ (t) dt, ψ(t), ϕ (t), t (, β), ϕ(t), ψ (t) t (, β).
Plošný obsh v přípdě polárních souřdnic r = g(ϕ), kde g je kldná spojitá funkce definovná n intervlu, β, π, je dný vzthem P = Příkld 6.3. Vypočtěte obsh elipsy x Řešení. b P = 4 x dx = = 4b π/ β sin t cos t dt = 4b = b [t ] π/ sin t = πb [m ]. g (ϕ) dϕ. + y b =,, b >. x = ϕ(t) = cos t t = π, ϕ (t) = sin t x =, π/ sin t dt = 4b π/ cos t dt Příkld 6.4. Vypočtěte obsh oblsti omezené osou x křivkou trktrix s prmetrickými rovnicemi kde >. Řešení. ( π x = ϕ(t) = cos t + ln tg(t/), y = ψ(t) = sin t, t 4, 3π 4 β P = = ψ(t) ϕ (t) dt = 3π/4 π/4 + cos t 3π/4 π/4 sin t sin t sin t dt = dt = [ t + sin t ] 3π/4 = ( 3 4 π + sin 3 π 4 π sin π ) π/4 = π [m ]. 3π/4 π/4 ), cos t dt Příkld 6.5. Vypočtěte obsh lemniskáty r = g(ϕ) = cos ϕ, >. Řešení. Ze symetrie máme 4 P = π/4 Potom P = [m ]. g (ϕ) dϕ = π/4 cos ϕ dϕ = [ ] π/4 sin ϕ = 4 [m ].
Příkld 6.6. Vypočtěte plošný obsh části roviny Řešení. P = P = P = Celkem tedy [ A = {[x, y] R : x + y < 8, y < x}. (8 y y ) y 8 y + 4 rcsin [ ] 3 y3 = 8 3 dy = ( 4 y )] P = 4 3 + π [m ]. 8 y dy = + rcsin y dy = P P, = + 4π Cvičení 6.. Vypočtěte plošný obsh dného rovinného obrzce A: ) A = {[x, y] R : y < 3x 3, y <, x y <, x > }; x b) A = {[x, y] R : y < rctg x, y >, x < }. Cvičení 6.3. Vypočtěte obsh oblsti omezené osou x křivkou s prmetrickými rovnicemi: ) x = (t sin t), y = ( cos t), t (, π), > ; b) x = cosh t, y = sinh t, t (, ). 6.3 Objem rotčního těles. Necht < < b < necht f je spojitá n (, b). Uvžujme těleso vzniklé rotcí plochy P = {[x, y] R : < x < b, < y < f(x) } kolem osy x. Odvodíme vzorec pro výpočet objemu V x tkto dného rotčního těles. Uvžujme dělení intervlu, b R s dělicími body = x < x < x < < x n = b. Oznčme V i objem válce o výšce x i = x i x i poloměru f(ξ i ), kde x i ξ i x i. Potom V i = πf (ξ i ) x i. Součet n n V n = V i = π f (ξ i ) x i. i= i=
je pk přibližně objemem těles. Položme ν n = mx { x, x,..., x n } přejděme ve výrzu V n k limitě. Bude-li existovt limit lim V n = lim ν n νn pk ji nzveme objemem těles. Pltí b V x = π n f (ξ i ) x i, i= f (x) dx. Podobně lze odvodit vzorec pro výpočet objemu V y těles vzniklého rotcí plochy P = {[x, y] R : c < y < d, < x < g(y) } kolem osy y, kde g je spojitá n (c, d). Pltí d V y = π g (y) dy. c V přípdě prmetrického zdání máme β V x = π β V y = π ψ (t) ϕ (t) dt, ψ(t), ϕ (t), ϕ (t) ψ (t) dt, ϕ(t), ψ (t). Příkld 6.7. Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí kolem osy x plochy P = { } [x, y] R : h/p < x < h/p, < y < px + h, kde p, h > jsou dné konstnty. Řešení. b V x = π = π f (x) dx = π h/p h/p h/p ( px + h ) dx ( px + h ) dx = π [ = π 5 p x 5 ] 3 hpx3 + h h/p x h/p ( p x 4 phx + h ) dx = 6 5 πh h p [m3 ]. 3
Cvičení 6.4. Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí dného rovinného obrzce A kolem dné osy: ) A = { [x, y] R : y < x +, y > x, x > } kolem osy x; b) A = { [x, y] R : < x < π, < y < e x sin x } kolem osy x; c) A = { [x, y] R : y > x, y < x } kolem osy y. Cvičení 6.5. Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí kolem osy y rovinného obrzce vymezeného křivkou x = ( cos t cos t), y = ( sin t sin t), 6.4 Obsh rotční plochy. t (, π ). () Rotcí plochy P = {[x, y] R : < x < b, < y < f(x) } (f konečná n (, b)) kolem osy x, resp. rotcí plochy P = {[x, y] R : c < y < d, < x < g(y) } (g konečná n (c, d)) kolem osy y. Uvžujme dělení intervlu, b R, < b konečná, reálná s dělicími body = x < x < x < < x n = b. Oznčme P i obsh pláště komolého kužele o poloměrech f(x i ), f(x i ) výšce x i, pk Součet P i = π f(x i ) + f(x i ) (x i x i ) + [f(x i ) f(x i )]. n n P n = P i = π i= i= f(x i ) + f(x i ) (x i x i ) + [f(x i ) f(x i )] je přibližně obsh pláště těles. Nyní n výrz pod odmocninou použijeme větu o střední hodnotě f(x i ) f(x i ) = f (ξ i ) (x i x i ) = f (ξ i ) x i f(x i ) + f(x i ). = f(ξ i ), kde ξ i je bod ležící v intervlu (x i, x i ), i =,..., n. Položme ν n = mx { x, x,..., x n } přejděme ve výrzu P n k limitě, tj. bude-li existovt limit lim P n = lim ν n νn π n i= f(ξ i ) + [f (ξ i )] x i, 4
pk tuto limitu nzveme plochou pláště těles. Dostáváme b P x = π d f(x) + [f (x)] dx, P y = π (b) V přípdě prmetrického zdání máme pro oblouk kde ψ(t), pro t (, β), kde ϕ(t), pro t (, β). β P x = π β P y = π ψ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, ϕ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, Příkld 6.8. Vypočtěte povrch koule o poloměru r. Řešení. b P x = π = πr r r r f(x) + [f (x)] dx = π r dx = πr [x] r r = 4πr [m ]. c g(y) + [g (y)] dy, r x + x r x dx Příkld 6.9. Vypočtěte povrch těles, které vznikne rotcí plochy omezené horní polovinou steroidy o prmetrických rovnicích x = ϕ(t) = cos 3 t, y = ψ(t) = sin 3 t, t, π osou x. Řešení. Ze symetrie těles plyne, že stčí vypočítt polovinu obshu. ϕ (t) = 3 cos t sin t, ψ (t) = 3 sin t cos t, [ϕ (t)] + [ψ (t)] = 9 cos 4 t sin t, +9 sin 4 t cos t = 3 sin t cos t, β P x = π = 6π [ 5 sin5 t ψ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt = 6π ] π/ Potom celá ploch P x = 5 π [m ]. = 6 5 π [m ]. 5 π/ sin 4 t cos t dt
Cvičení 6.6. Vypočtěte obsh pláště rotčního těles vzniklého rotcí dné plochy A kolem dné osy rotce: ) A = {[x, y] R : < x < π } 4, < y < tg x kolem osy x; b) A = { [x, y] R : 3 < x <, < y < 4 + x } kolem osy x. Cvičení 6.7. Vypočtěte obsh plochy vzniklé rotcí dné křivky γ kolem dné osy: ( ) γ : x = cos 3 t, y = sin 3 t, t, π ) kolem osy y; b) γ : x = 4( t), y = 4 3 t t, t (, ) kolem osy x. 7 Aplikce určitého integrálu v mechnice. 7. Hmotnost, sttický moment moment setrvčnosti soustvy hmotných bodů. Hmotnost soustvy m je n m = m i. i= Sttický moment hmotného bodu o hmotnosti m vzhledem k přímce p je definován vzthem S p = md, kde d je orientovná kolmá vzdálenost hmotného bodu od přímky. Sttický moment soustvy hmotných bodů o hmotnostech m i vzhledem k přímce p je definován vzthem n n S p = S i = m i d i, i= kde d i jsou orientovné kolmé vzdálenosti hmotných bodů od přímky p. Těžiště soustvy hmotných bodů je bod T = [x T, y T ], který má tu vlstnost, že kdyby v něm byl soustředěn veškerá hmot soustvy, pk by měl stejný sttický moment jko celá soustv. Moment setrvčnosti hmotného bodu o hmotnosti m vzhledem k přímce p je definován vzthem I p = md, kde d je kolmá vzdálenost hmotného bodu od přímky. i= 6
Moment setrvčnosti soustvy hmotných bodů o hmotnostech m i vzhledem k přímce p je definován vzthem n n I p = I i = m i d i, i= i= kde d i jsou kolmé vzdálenosti hmotných bodů od přímky p. 7. Hmotnost, sttické momenty, těžiště momenty setrvčnosti tenké homogenní rovinné desky A = {[x, y] R : < x < b, g(x) y f(x)} o plošné hustotě σ [kg m ]. Hmotnost b m = σ [f(x) g(x)] dx, Nyní odvodíme sttické momenty vzhledem k souřdným osám (viz Obr. 4) m i = σ [f(ξ i ) g(ξ i )] x i, S i x = [f(ξ i) + g(ξ i )] m i = σ [ f (ξ i ) g (ξ i ) ] x i, n S x (n) = Sx i = n i= σ [ f (ξ i ) g (ξ i ) ] x i i= Obrázek 3: Sttický moment soustvy hmotných bodů. 7
to je Riemnnův integrální součet pro funkci σ [f (x) g (x)]. Položme ν n = mx { x, x,..., x n } přejděme ve výrzu S x (n) k limitě, tj. bude-li existovt limit σ lim S n x(n) = lim ν n νn σ [ f (ξ i ) g (ξ i ) ] x i, i= pk tuto limitu nzveme sttickým momentem S x tenké rovinné desky s plošnou hustotou σ vzhledem k ose x. Sy i = ξ i m i = σ [f(ξ i ) g(ξ i )] ξ i x i ( = σ [f(ξ i ) g(ξ i )] x i + ) x i x i = σ [f(ξ i ) g(ξ i )] x i x i + σ [f(ξ i) g(ξ i )] ( x i ), S y (n) = n Sy i i= = n σ [f(ξ i ) g(ξ i )] x i x i + n i= σ [f(ξ i ) g(ξ i )] ( x i ). i= První součet je Riemnnův integrální součet pro funkci σ x [f(x) g(x)]. Přejděme ve výrzu S y (n) k limitě, tj. bude-li existovt limit n lim S y(n) = σ lim [f(ξ i ) g(ξ i )] x i x i ν n νn i= + n σ lim [f(ξ i ) g(ξ i )] ( x i ), ν n i= Obrázek 4: Sttické momenty tenké homogenní rovinné desky. 8
pk tuto limitu nzveme sttickým momentem S y tenké rovinné desky s plošnou hustotou σ vzhledem k ose y. Dá se ukázt, že druhá limit v předešlém výrzu je nulová. Celkem dostáváme S x = b σ pro souřdnice těžiště máme Momenty setrvčnosti I x = b 3 σ Vyjádření v polárních souřdnicích S x = β 3 σ [ f (x) g (x) ] b dx, S y = σ T = [x T, y T ] = [ Sy m, S ] x. m [ f 3 (x) g 3 (x) ] b dx, I y = σ m = β σ r 3 (ϕ) sin ϕ dϕ, r (ϕ) dϕ, S y = β 3 σ x [f(x) g(x)] dx x [f(x) g(x)] dx, r 3 (ϕ) cos ϕ dϕ. Příkld 7.. Vypočtěte souřdnice těžiště tenké homogenní rovinné desky Ω = { [x, y] R : y > x, y < /( + x ) }. Řešení. Je zřejmé, že S y =, protože desk je homogenní symetrická vzhledem k ose y b m = σ = = 3π 3 S x = b σ = ( (f (x) g(x)) dx = ( ) + x x dx = [kg]. =.475 [kg], ( f (x) g (x) ) dx = 4 ( + x ) x4 ) = + π 5 = 5π + 8 dx = ( ) + x x dx [ rctg x ] ( π 3 x3 = 3) ( 4 ( + x ) x4 ) dx [ ( ) x x + + rctg x x5] 5 [kg m]. =.37 [kg m], 9
[ Sy T = [x T, y T ] = m, S ] [ ] x 3 (5π + 8).= =, [,.958]. m (3π ) Příkld 7.. Vypočtěte souřdnice těžiště homogenní rovinné kruhove výseč o hustotě σ [kg/m ] o poloměru R středovém úhlu β, < β π, vzhledem k souřdnicovým osám. Použijte polární souřdnice. Řešení. m = β σ r (ϕ) dϕ = = (β )R [kg], β R dϕ = R β dϕ = R [ϕ] β S x = β 3 σ r 3 (ϕ) sin ϕ dϕ = 3 R3 = 3 R3 (cos cos β) [kg m], S y = β 3 σ r 3 (ϕ) cos ϕ dϕ = 3 R3 β β sin ϕ dϕ = 3 R3 [ cos ϕ] β cos ϕ dϕ = 3 R3 [sin ϕ] β = 3 R3 (sin β sin ) [kg m], [ Sy T = [x T, y T ] = m, S ] [ ] x R(sin β sin ) R(cos β cos ) =,. m 3(β ) 3(β ) Obrázek 5: Ω = { [x, y] R : y > x, y < /( + x ) }. 3
7.3 Hmotnost, sttické momenty, těžiště momenty setrvčnosti homogenního rovinného oblouku. Pro rovinný drát ve tvru křivky o prmetrických rovnicích pltí následující vzthy β S x = σ x = ϕ(t), y = ψ(t), t (, β) β m = σ [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, β ψ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, S y = σ b S x = σ Momenty setrvčnosti β I x = σ b I x = σ b m = σ + [f (x)] dx, b f(x) + [f (x)] dx, S y = σ T = [x T, y T ] = [ Sy m, S ] x. m b f (x) + [f (x)] dx, I y = σ β ψ (t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt, I y = σ Vyjádření v polárních souřdnicích: β m = σ β S x = σ β S y = σ g (ϕ) + [g (ϕ)] dϕ, g(ϕ) sin ϕ g (ϕ) + [g (ϕ)] dϕ, g(ϕ) cos ϕ g (ϕ) + [g (ϕ)] dϕ. ϕ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt. x + [f (x)] dx, x + [f (x)] dx. ϕ (t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt. 3
Příkld 7.3. Vypočtěte souřdnice těžiště homogenního rovinného drátu o hustotě σ = [kg m ], ve tvru jednoho oblouku cykloidy o prmetrických rovnicích x = (t sin t), y = ( cos t), t, π, >. Řešení. ϕ (t) = ( cos t), ψ (t) = sin t [ϕ (t)] + [ψ (t)] = ( cos t) + sin t = cos t = sin t β π m = σ [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt = sin t π dt = sin t dt [ = cos t ] π = 4( cos π + cos ) = 8 [kg], β S x = σ ψ(t) π = [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt = ] π { [ = cos t ( = 4 + 4 ) = 3 3 3 [kg m], β S y = σ π = π ( cos t) sin t dt sin t π dt sin t cos t dt [ 3 cos 3 t + cos ] π } t ϕ(t) [ϕ (t)] + [ψ (t)] dt = ] π π (t sin t) sin t dt t sin t π dt sin t sin t dt [ sin t 3 sin 3 ] π } t = { [ 4 sin t t cos t = (4π ) = 8π [kg m], [ Sy T = [x T, y T ] = m, S ] [ x = π, 4 m 3 ]. 3
7.4 Guldinovy věty Vět 7.. (První Guldinov vět.) Obsh pláště plochy, který vznikne otáčením křivky kolem osy, která tuto křivku neprotíná je rovn součinu délky L této křivky délky kružnice, kterou opíše těžiště této křivky. P = πl y T. Příkld 7.4. Pomocí předešlé věty vypočtěte velikost pláště plochy, která vznikne rotcí kolem osy x části roviny omezené obloukem cykloidy o rovnicích x = (t sin t), y = ( cos t), t, π, >, osou x. (Využijte výsledky z Příkldu 6. Příkldu 7.3.) Řešení. V Příkldě 6. jsme spočetli délku dného oblouku je L = 8 [m] z Příkldu 7.3 nvíc víme, že y T = 4/3 [m]. Podle předešlé věty potom máme P = πl y T = 64 3 π [m ]. Vět 7.. (Druhá Guldinov vět.) Objem těles, které vznikne otáčením plochy kolem osy, která tuto plochu neprotíná, je roven součinu velikosti obshu P této plochy délky kružnice, kterou opíše těžiště této plochy. V = πp y T. Příkld 7.5. Pomocí předešlé věty určete těžiště homogenní rovinné desky { } h h A = [x, y] R : p < x < p, < y < px + h, kde p, h >, o hustotě σ = [kg m]. (Využijte výsledky z Příkldu 6.7.) Řešení. Z Příkldu 6.7 předešlého odstvce známe objem V. Ploch obrzce je dán h/p b ( P = f(x) dx = px + h ) h/p ( dx = px + h ) dx h/p [ = ] h/p 3 px3 + hx = 4 h 3 h p m. Z Věty 7. potom máme y T = V 6 πp = 5 πh h p 8π 3 h h p = 5 h [m], tedy T = [, 5 h]. 33
8 Některé dlší fyzikální plikce. Příkld 8.. Ve stěně nádrže nplněné vodou je obdélníkový otvor. Horní hrn otvoru je ve vzdálenosti h metrů pod hldinou dolní hrn h metrů. ířk otvoru je s metrů. Určete, jké množství vody Q [m 3 ] vyteče tímto otvorem z sekundu. Řešení. Situce je nkreslen n Obr. 6. V hloubce h [m] pod hldinou vytéká vod rychlostí (Toricelliho vzorec) v = gh [m s ], kde g =. 9.8 [m s ] je grvitční zrychlení. Množství vody, které vyteče z pásu o výšce h šířce s je Q = vs h = gh s h [m 3 s ], celkové množství je Q = g s h h ) h dh = g s (h h h h 3 [m 3 s ]. Poznámk 8.. Ve skutečnosti je le výtok menší vlivem tření ve vodě vlivem zúžení proudu vody. Q = ) g 3 µ s (h h h h [m 3 s ], kde µ < je tbulkový koeficient. Příkld 8.. Vypočtěte práci, kterou musíme vykont, bychom vyčerpli rotčně symetrickou nádrž o výšce v metrů (viz Obr. 7), která je celá nplněn kplinou o hustotě ϱ [kg m 3 ]. Řešení. Element válce vody výšky y poloměru h(y), který má hmotnost m = πϱh (y) y [kg], musíme zvednout do výšky v y, tím vykonáme práci Celková práce potom je W = πgϱh (y)(v y) y [J]. v W = πgϱ h (y)(v y) dy [J]. 34
Obrázek 6: Příkld 8.. Obrázek 7: Příkld 8.. 35
Příkld 8.3. Jkou celkovou tlkovou silou působí kplin n stěnu nádrže, která je nplněn kplinou o hustotě ϱ[kg m 3 ] do výšky h metrů od dn nádrže. Délk stěny je metrů (viz Obr. 8). Řešení. N plošný element S = x v hloubce h x pod hldinou působí síl Celková tlková síl je h F = ϱg F = ϱg(h x) S = ϱg(h x) x. [ (h x) dx = ϱg hx ] h x = ϱgh [N]. Obrázek 8: Příkld 8.3. 36
9 Kontrolní otázky. Kdy je funkce F zobecněnou primitivní funkcí k funkci f n intervlu (, b)? Čím se liší zobecněná primitivní funkce od primitivní funkce zvedené v modulu Neurčitý integrál? Co rozumíme Newtonovým integrálem funkce f n intervlu (, b)? Co je to Riemnnův integrální součet funkce f n intervlu, b? Jk se definuje určitý Riemnnův integrál? Jká je postčující podmínk pro rovnost Newtonov Riemnnov integrálu funkce f n intervlu, b? Uved te zákldní vlstnosti Newtonov integrálu. Uved te větu o integrci metodou per prtes pro určité integrály. Zformulujte větu o substituci pro určité integrály. Uved te integrální součty odpovídjící vzthy pro výpočet ) délky křivky, b) plošného obshu vybrných rovinných obrzců, c) objemu rotčního těles, d) obshu pláště rotčního těles. Co rozumíme sttickým momentem momentem setrvčnosti soustvy hmotných bodů vzhledem k přímce? Vysvětlete vzthy pro výpočet těžiště homogenní rovinné desky homogenního rovinného oblouku. 37
Výsledky cvičení. Cvičení 4.. ) f) b). g) π3 =.5839 c) ln =..369 h) 9 π 3 =..9 d) e =..783 i) 4 π + ln =..3 e) j) 4 Cvičení 6.. ) rgtnh( ) [m]. =.884 [m] b) 4 ln ln 5 [m]. =.63 [m] c) + e + rgtnh rgtnh [m] =..35 [m] + e d) [m] e) 3 [m] f) π [m] Cvičení 6.. ) 3.3 [m ] b) 4 π ln [m ]. =.4388 [m ] Cvičení 6.3. ) 3 π [m ] b) (sinh ) [m ] =..467 [m ] Cvičení 6.4. ) π [m 3 ]. = 3.46 [m ] b) c) Cvičení 6.5. 5 π ( + e π) [m 3 ] =..695 [m 3 ] 3 π [m3 ] =..945 [m 3 ] π( π) [m 3 ]. =.6767 [m 3 ] 38
Cvičení 6.6. ( ) 5 5 ) π + rgtnh rgtnh 5 5 b) 6 π ( 5 5 ) [m ] =. 59.5958 [m ] Cvičení 6.7. ) 6 5 π [m ] =. 3.7699 [m ] b) 6 9 π ( ) [m ] =..9 [m ] [m ]. = 3.839 [m ] 39
Studijní prmeny. [] Bourbki, N.: Funkcii dejstvitelnovo peremennovo. Moskv 965. [] Brbec, J., Hrůz, B.: Mtemtická nlýz I. SNTL, Prh 985. [3] Dněček, J., Dlouhý, O., Koutková, H., Prudilová, K., Sekninová, J., Sltinský, E.: Sbírk příkldů z mtemtik I. VUT FAST Cerm, Brno. [4] Fichtengolc, G. M.: Kurz diferencilnovo i integrlnovo iscislenij II. Nuk, Moskv 95. [5] Milot, J.: Mtemtická nlýz I II. SPN, Prh 978. [6] Prudnikov, A. P., Bryčkov, J. A., Mričev, O. I.: Integrály i rjdy. Nuk, Moskv 98. [7] Rektorys, K. kol.: Přehled užité mtemtiky I. Prometheus, Prh 995. [8] Schwbik, Š.: Integrce v R. Kurzweilov teorie. Krolinum, UK Prh 999. [9] Škrášek, J., Tichý, Z.: Zákldy plikovákovné mtemtiky II. SNTL, Prh 986. [] Ungermnn Z.: Mtemtik řešení fyzikálních úloh. SPN, Prh 99. 4
A Pojem křivky v rovině. Motivce. Uvžujme v rovině trjektorii pohybujícího se hmotného bodu po kružnici o rovnici γ : x + y = r. Polohu bodu v kždém čsovém okmžiku můžeme určit tké tk, že kždému číslu t z intervlu, π přiřdíme bod o souřdnicích x = ϕ(t) = r cos t y = ψ(t) = r sin t. Dostáváme tk zobrzení pro které pltí: Γ = (ϕ, ψ) :, π R, Křivku γ můžeme vyjádřit jko{ obrz intervlu t, π při} zobrzení Γ, tj. Γ(, π ) = γ. Píšeme též γ = [ϕ(t), ψ(t)] R : t, π. Zobrzení Γ je prosté n (, π) křivk γ je uzvřená, protože Γ() = Γ(π). Zobrzení Γ má pouze jeden tzv. dvojnásobný bod, nebo pro dvě různé hodnoty prmetru t =, t = π dostáváme stejný bod [, ] = ϕ() = ϕ(π). Γ je spojité n intervlu, π, tj. složky ϕ, ψ jsou spojité n intervlu, π. Γ = (ϕ, ψ ) je třídy C n intervlu, π, tj. složky mjí spojité derivce n uvedeném intervlu. Γ (t) pro všechn t, π, nebo Γ (t) = pro t, π. [ϕ (t)] + [ψ (t)] = r sin t + cos t = r > Abychom mohli ke křivkám zřdit tké lomené čáry, steroidu pod., zvedeme následující definici: Definice A.. Množinu γ R nzveme křivkou v rovině, jestliže existuje spojité zobrzení Γ intervlu, b n množinu γ tkové, že pltí: ) Zobrzení Γ je prosté s výjimkou konečně mnoh bodů. ) Zobrzení Γ je po částech třídy C n, b, tj. Γ je spojitá s výjimkou konečně mnoh bodů, v nichž existují jednostrnné derivce, které mohou být různé. 3) Γ má ž n konečně mnoho bodů nenulovou hodnotu v kždém bodě intervlu, b. Zobrzení pk Γ nzýváme prmetrizcí křivky γ. 4
Necht k N. ekneme, že bod C je k-násobným bodem křivky γ, jestliže existuje právě k různých hodnot prmetru t,..., t k, b tkových, že C = Γ(t i ) pro i =,,..., k. Křivk γ se nzývá jednoduchá, když nemá vícenásobné body. Křivk γ se nzývá uzvřená, jestliže Γ() = Γ(b). Uzvřenou křivku nzveme jednoduchou, jestliže nemá žádný vícenásobný bod kromě dvojnásobného bodu Γ(). Je-li I, I,..., I n dělení intervlu, b, pk obrzy dělicích intervlů Γ(I ), Γ(I ),..., Γ(I n ) jsou opět křivky. Posloupnost těchto křivek nzveme dělením křivky γ. Definice A.. Je-li prmetrizce Γ křivky γ prosté zobrzení třídy C n celém intervlu, b má přitom nenulovou derivci (v bodech, b uvžujeme jednostrnné derivce) v kždém bodě intervlu, b, nzýváme γ obloukem zobrzení Γ jeho prmetrizcí. Oblouk γ je sjednocením podoblouků γ, γ,..., γ n, jestliže γ = γ γ γ n oblouky γ i, γ j, i j, mjí společné nejvýše krjní body. Poznámk A.. V technických plikcích se čsto křivk γ popisuje bu vektorovou rovnicí γ : r(t) = ϕ(t) i + ψ(t) j, t, b, nebo prmetrickými rovnicemi γ : x = ϕ(t), y = ψ(t), t, b. Poznámk A.. Některé křivky je výhodné vyjádřit v polárních souřdnicích. Je-li křivk zdán v krtézských souřdnicích rovnicí F (x, y) =, pk doszením z x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dostneme rovnici G(r, ϕ) = v polárních souřdnicích. Pokud je možné zpst tuto rovnici ve tvru r = g(ϕ), ϕ, β, pk říkáme, že jde o explicitní tvr rovnice křivky v polárních souřdnicích. Npříkld pro Bernoulliovu lemniskátu o rovnici ( x + y ) + (y x ) = dostáváme ( r cos ϕ + r sin ϕ ) + (r sin ϕ r cos ϕ) = odtud r = cos ϕ, ϕ π 4, π 4 3 4 π, 5 4 π. Příkldy křivek. 4
. Elips. Hyperbol (x x ) + (y y ) =,, b > b Γ(t) = (x + cos t, y + b sin t), t, π x y b = Γ(t) = (± cosh t, b sinh t), t (, ) 3. Polokubická prbol 4. Asteroid y x 3 =, x, ), > ( ) t Γ(t) = 3, t 3, t (, ) x /3 + y /3 /3 =, > Γ(t) = ( cos 3 t, sin 3 t), t, π 5. Steinerov hypocykloid ( x + y ) ( + 8x 3y x ) + 8 ( x + y ) 7 4 =, > Γ(t) = ( ( cos t + cos t), ( sin t sin t)), t, π 6. Cykloid x = rccos y y y, y,, > Γ(t) = ((t sin t), ( cos t)), t, π 7. Krdioid (srdcovk) ( x + y ) 6 ( x + y ) + 8 3 x 3 4 =, > Γ(t) = ( ( cos t cos t), ( sin t sin t)), t, π 8. Descrtův list x 3 + y 3 3xy =, > ( 3t Γ(t) = + t, 3t ), t (, ), t 3 + t 3 43
9. Bernoulliov lemniskát ( x + y ) ( + y x ) =, ( ) cos t cos t sin t Γ(t) = + sin, t + sin, t π, π t r = cos ϕ, ϕ π 4, π 3 4 4 π, 5 4 π. Dioklov kisoid x3 y x =, >, x ( t Γ(t) = + t, t 3 ), t (, ) + t. Logritmická spirál Γ(t) = b ( e t cos t, e t sin t ), t (, ),, b > r = e bϕ, ϕ, ). Archimédov spirál Γ(t) = (t sin t, t cos t), t, ), > r = ϕ, ϕ, ) 44
Obrázek 9: ASTEROIDA =. Obrázek : LEMNISKÁTA =. 45
Obrázek : KARDIOIDA =. Obrázek : CYKLOIDA =. 46
B Vzorová zdání kontrolních testů. Mtemtik,. semestr Zprcovl: Test č. 5 Jméno:............................................... Adres:............................................... Vypočtěte určité integrály: ) d) g) j) π 3 π/4 sin x dx b) x rctg x dx e) 4 x dx h) cos 4 x sin x dx 3 e ln 8 ln 4 3x dx c) ln( + x) dx f) e x ex 3 e x + dx i) π/3 π/4 π/ π/3 π/3 π/4 x sin x dx e x cos x dx cos x sin 3 x cos x dx. Rozhodněte o konvergenci nevlstních integrálů v přípdě konvergence určete jejich hodnotu: ) d) + dx b) x ( x + ) + x x dx + rctg x dx c) + x π/ cos x dx př. b c d e f g h i j b c d oprvil() mx. bodů 6 zís. bodů
Mtemtik,. semestr Zprcovl: Test č. 5 Jméno:............................................... Adres:............................................... Vypočtěte obsh množiny Nčrtněte obrázek.. Vypočtěte obsh množiny Nčrtněte obrázek. A = { [x, y] R : y x + 4x, x + y }. B = { [x, y] R : y x 3, y /x, x y, x }. 3. Vypočtěte obsh omezené části roviny ohrničené prbolou y = x 6x + 8 jejími tečnmi v bodech A = [, 3], B = [4, ] Nčrtněte obrázek. 4. Vypočtěte obsh množiny omezené křivkou zdnou prmetricky x = cos 3 t, y = sin 3 t, t, π, kde > konstnt. 5. Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = ln ex + e x kde, b jsou konstnty tkové, že < < b. z podmínky x b, 6. Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky zdné prmetricky x = (cos t + t sin t), y = (sin t t cos t), t, π, > je konstnt. 7. Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce M = { [x, y] R : x π/, e x y + sin x } kolem osy x. Nčrtněte obrázek. 8. Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí rovinného obrzce ohrničeného osou x křivkou zdnou prmetricky kolem osy x x = t, y = t t 3 /3, t 3,
9. Vypočtěte obsh rotční plochy vzniklé rotcí křivky x + (y b) =, kde < < b jsou konstnty, kolem osy x. Nčrtněte obrázek.. Vypočtěte obsh rotční plochy vzniklé rotcí křivky zdné prmetricky x = t, y = t ( t 3 ), t, 3, kolem osy x. 3. Vypočtěte těžiště homogenní rovinné oblsti určené nerovnostmi x + y, x + y, x, y, b kde < b < jsou konstnty. Nčrtněte obrázek.. Vypočtěte těžiště homogenního rovinného obrzce omezeného osou x křivkou zdnou prmetricky x = (t sin t), y = ( cos t), t, π, kde >. 3. Vypočtěte těžiště homogenních rovinných oblouků, jestliže: ) y = x 4 ln x, x ; b) x = t, y = t t3 3, t 3. př. 3 4 5 6 7 8 9 3 3b oprvil() mx. bodů 8 zís. bodů