Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený pohyb), c) v(t) = 3t 2 [m/s]. Jakou dráhu urazí za 10s? Řešení: a) + b) známe ze SŠ z fyziky a) s(t) = vt = 3t = 30[m] b) s(t) = 1 2 at2 = 1 2 2 100 = 100[m] c) víme že s (t) = v(t) a lze uhodnout s(t), aby s (t) = 3t 2. Zřejmě s(t) = t 3 = 1000[m] Pozn. i v příkladech a) + b) lze využít s (t) = v(t) a dostaneme totéž (d.ú.) Pozn. Pro složitější fce v(t) neumíme zpaměti uhodnout s(t), aby s (t) = v(t). Tento postup (opačný k derivování) bude hlavním tématem následující kapitoly.

Neurčitý integrál 3/17 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, nebo také neurčitým integrálem funkce f a označujeme ji F(x) = f (x) dx.. Poznámka: Je-li F primitivní funkce k funkci f na intervalu I a G(x) = F(x) + c pro x I, kde c je konstanta, je G také primitivní funkce k funkci f na intervalu I.

Existence primitivní funkce. 4/17 Věta: O existenci primitivní funkce Necht funkce f je spojitá na intervalu I, potom f má na intervalu I primitivní funkci. Poznámka: Existují funkce, které podle předchozí věty mají primitivní funkci, my ji ale neumíme nalézt pomoci známých funkcí. Můžeme ji tedy definovat pomoci integrálu. Např.: e x 2 sin x dx, dx,... x Umíme již počítat některé primitivní funkce? ANO! Stačí otočit vzorce pro derivování!

Tabulka primitivních funkcích. x n dx = x n+1 n+1 n R, n 1 1 x dx = ln x sin x dx = cos x cos x dx = sin x a x dx = ax ln a a > 0, a 1 dx = arctg x 1+x 2 = arcsin x dx 1 x 2 dx cos 2 x = tg x dx sin 2 x = cotg x dx x 2 +a = ln x + x 2 + a a 0 f (x) f (x) = ln f (x) 5/17

Vlastnosti integrálů 6/17 Věta: Platí (i) f (x) dx = f (x). ( (ii) f (x) dx) = f (x). (iii) k f (x) dx = k f (x) dx, kde k je konstanta. (iv) (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx. Dk: Z definice prim. fce a vlastností derivací.

Metody výpočtů neurčitých integrálů. 7/17 Metoda per partes. Věta: Necht funkce u a v mají v intervalu I spojité derivace. Potom v intervalu I platí u(x) v (x) dx = u(x) v(x) u (x) v(x) dx. Zkráceně: u v = u v u v Dk: Plyne z derivace součinu.

Kdy se hodí per partes? 8/17 1 součin polynomu a goniometrické nebo exponenciální fce např. x sin x dx, x 3 e 2x dx, (x + 3) 2 x dx (pozn. polynom derivujeme) 2 součin polynomu a cyklometrické nebo logaritmické fce např. arcsin x dx, x 2 ln x dx, x log x dx (pozn. polynom integrujeme) 3 součin goinometrické a exponenciální fce nebo dvou goniometrických fcí např. e 2x sin x dx, 2 x cos x dx, sin 2 x dx (vede na rovnici)

9/17 Metoda substituční Věta: Necht funkce f (t) je spojitá na intervalu (a, b) a necht funkce t = ϕ(x) má spojitou první derivaci v intervalu (α, β) a zobrazuje interval (α, β) na interval (a, b). Pak f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt = F(t) = F(ϕ(x)), kde F je primitivní funkce k f na (a, b). Pozn. t = ϕ(x) je použitá substituce. Dk: Plyne z derivace složené funkce. Příklady: sin x cos 2 x dx, e 2x 5 dx, x x 2 + 1 dx

Integrace racionálních lomených funkcí 10/17 dělení polynomů rozklad polynomu na součin kořenových činitelů rozklad ryze lomených racionálních funkcí na součet parciálních zlomků integrace parciálních zlomků

11/17 Rozklad polynomu na kořenové činitele Definice: Polynom n-tého stupně... P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 a 0, a 1,..., a n R jsou koeficienty a a n 0 Kořen polynomu P n (x) je číslo α C t.ž. P n (α) = 0. Náš cíl = rozklad na lineární, resp. kvadratické činitele P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = =a n (x α 1 )(x α 2 ) (x α k ) (x 2 +p 1 x +q 1 ) (x 2 +p l x +q l ) α i jsou právě všechny reálné kořeny P(x) (x 2 + p j x + q j ) nemají reálné kořeny, tj. D j < 0. (x 2 + p j x + q j ) = (x α 1 )(x α 2 ), kde α 1,2 jsou komplexní kořeny x 2 + p j x + q j.

Rozklad polynomu na kořenové činitele (2) Věta: Je-li číslo α kořenem polynomu P n (x), potom P n (x) = (x α)q(x), kde Q(x) je polynom (n 1)-ního stupně. Definice: α je k-násobným kořenem P(x), jestliže P(x) = (x α) k Q(x), Q(x) je polynom, Q(α) 0. Poznámka: α je k-násobným kořenem polynomu P(x) P(α) = 0, P (α) = 0,..., P k 1 (α) = 0 a P k (α) 0. Známe ze SŠ: ax 2 + bx + c = a (x α 1 ) (x α 2 ), kde α 1,2 jsou kořeny ax 2 + bx + c. 12/17

Rozklad polynomu na kořenové činitele (3) 13/17 Věta: Má-li polynom P n (x) dva komplexně sdružené kořeny a ± ib, potom P n (x) = (x 2 + p x + q)q(x), kde Q(x) je polynom (n 2)-hého stupně a kořeny a ± ib jsou kořeny polynomu x 2 + p x + q. Věta (Základní věta algebry): Každý polynom n-tého stupně má právě n kořenů, přitom každý kořen počítáme s jeho násobností (některé kořeny mohou být komplexní).

Racionálně lomené funkce. 14/17 Definice: Funkce tvaru P(x), kde P(x), Q(x) jsou polynomy, nazýváme racionální lomenou funkcí. Q(x) Je-li stupeň P(x) menší než stupeň Q(x) nazýváme funkci ryze lomenou racionální funkcí. Je-li stupeň P(x) větší než stupeň Q(x) nazýváme funkci neryze lomenou racionální funkcí. Věta: Každá racionální lomená funkce je součtem polynomu a ryze lomené racionální funkce. Poznámka: Polynom umíme integrovat. Musíme se naučit integrovat ryze lomenou racionální funkci. Ryze lomenou racionální funkci musíme rozložit na parciální zlomky.

15/17 Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 1 Jmenovatel rozložíme na kořenové činitele. 2 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomek A (a x + b), kde A je nějaká vhodná reálná konstanta. 3 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x + b) k, k = 2, 3,..., odpovídají v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomky A 1 (a x + b), A 2 (a x + b) 2,..., A k (a x + b) k, kde A 1, A 2,..., A k jsou nějaké vhodné reálné konstanty.

16/17 Rozklad ryze lomené fce na parciální zlomky. 4 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x 2 + b x + c), odpovídá v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomek A x + B (a x 2 + b x + c), kde A, B jsou nějaké vhodné reálné konstanty. 5 Je-li v rozkladu jmenovatele výraz (a x 2 + b x + c) k, k = 2, 3,..., odpovídají v rozkladu racionální lomené funkce tomuto činiteli zlomky A 1 x + B 1 (a x 2 + b x + c), A 2 x + B 2 (a x 2 + b x + c) 2,..., A k x + B k (a x 2 + b x + c) k, kde A 1, B 1,,..., A k, B k jsou nějaké vhodné reálné konstanty.

Integrace parciálních zlomků 17/17 1 2 3 A a x+b dx = A a ln a x + b (substitucí t = a x + b ) A (a x+b) k dx = A a(k 1) 1 (a x+b) k 1 (substitucí t = a x + b ) A x+b (a x 2 +b x+c) dx = A 1 (2a x+b) (a x 2 +b x+c) dx + B 1 (a x 2 +b x+c) dx ad (3) A 1, B 1 jsou nové konstanty. První integrál spočteme substitucí t = a x 2 + b x + c, všimněte si, že dt = (2a x + b)dx. Druhý integrál vede na arctg.