13. Exponenciální a logaritmická funkce

Podobné dokumenty
Logaritmická funkce teorie

8. Elementární funkce

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Správné řešení písemné zkoušky z matematiky- varianta A Přijímací řízení do NMgr. studia učitelských oborů 2010

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

a r Co je to r-tá mocnina čísla a, za jakých podmínek má smysl, jsme důkladně probrali v kurzu ČÍSELNÉ MNOŽINY. Tam jsme si mj.

Logaritmické rovnice I

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice Řeš v R rovnici: = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

26. listopadu a 10.prosince 2016

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

( a) Okolí bodu

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b b2 2.

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Neurčité výrazy

METODICKÝ NÁVOD MODULU

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT listopad r r. . b = A

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

Zvyšování kvality výuky technických oborů

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

skripta MZB1.doc /81

{ } ( ) ( ) Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

Přednáška 9: Limita a spojitost

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

2.5.9 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

3. Kvadratické rovnice

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Výraz. podmínky (B) 1 (E) (A) 56 (B) 144 (C) 512 (D) (E) Taková čísla neexistují. Počet všech přirozených čísel, která vyhovují

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Funkce jedné proměnné

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Logaritmus. Předpoklady: 2909

Symbolicko - komplexní metoda I Opakování komplexních čísel z matematiky

1.2 Množina komplexních čísel... 10

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

x + F F x F (x, f(x)).

Technická univerzita v Liberci. Pedagogická fakulta. Katedra matematiky a didaktiky matematiky. Matematika I. (Obor: Informatika a logistika)

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

Riemannův určitý integrál.

Obsah rovinného obrazce

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

14 Kuželosečky v základní poloze

Základní elementární funkce.

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

Základní pojmy: Číselné obory a vztahy mezi nimi Zákony pro počítání s číselnými množinami

4. cvičení z Matematiky 2

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

( ) ( ) Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Větu o spojitosti a jejich užití

Logaritmus. Logaritmus kladného čísla o základu kladném a různém od 1 je exponent, kterým. umocníme základ a, abychom dostali číslo.

Základy teorie matic

Ohýbaný nosník - napětí

Matematika (KMI/PMATE)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

Matematika II: Testy

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.

Matematika I (KMI/PMATE)

8. Elementární funkce

Transkript:

@11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze všechn kldná reálná čísl. Když změníme konstntu nezávisle proměnnou, dostneme předpis g: y =, R, >0 kde zákld smí být pouze kldný reálný, >0, nezávisle proměnná, eponent, může nbývt libovolné reálné hodnoty. Úkol: Eistuje jedn hodnot zákldu >0, pro kterou dostneme již dříve známou funkci. Která je to hodnot která je to funkce? výsledek

@14 Úkol: Je číslo 1 0,7 ( ) větší nebo menší než jedn? Nepoužijte klkulčku le mozek. 7 je větší než 1 je menší než 1

@17 Co je ep (-)? 1 1 ep ( ) ( ) ep1 ( ) Funkce eponenciální o zákldu je osově souměrná s eponenciální funkcí o zákldu 1/. Příkld: Pro který zákld pltí ep = 5? Řešení: Zápis znmená ep = = 5 => = 5 Úkol: Určete zákldy eponenciálních funkcí, pro které pltí: ep 4 = 16 ep b (-1) = ep c (-1/) = 1/ ep d (1/) = ep e 1 = - výsledek

@140 Eponenciální funkce je prostá proto k ní eistuje inverzní funkce. Její definice následuje: Definice: Funkce inverzní k funkci eponenciální o zákldu se nzývá logritmická funkce o zákldu, R + \{1}. Znčí se y = log Je-li = e =,718818, pk mluvíme o přirozeném logritmu znčíme jej ln (někdy lg). Je-li = 10, pk mluvíme o dekdickém logritmu znčíme jej log. Poznámk: Funkce inverzní k logritmické funkci je eponenciální funkce o stejném zákldu nopk. Úkol: N zákldě znlostí o průběhu eponenciální funkce, popište vlstnosti průběhu logritmické funkce: - definiční obor obor hodnot - význčné body, průsečíky - symptoty - monotonost - grfem je logritmická křivk, udělejte náčrtky výsledek

@14 Úvh: Studujme mocninu u = t Připomeňme si, že pro nvzájem inverzní funkce pltí f(u) = t u = f -1 (t) f(f -1 ()) = f -1 (f()) = Uvedenou mocninu můžeme zpst jko funkční hodnotu eponenciely ep (t) = u Protože logritmus eponenciel jsou vzájemně inverzní funkce, lze též psát t=log (u) Definice: Číslo t se nzývá logritmus o zákldu z čísl u, právě když pltí t=log (u) <=> u = t Vět: Pro u > 0, t R pltí u = log (u) t=log ( t ) Vět: Vlstnosti logritmické funkce, prvidl počítání s logritmy, pro,y > 0, r R: ) log (.y) = log () + log (y) b) log ( y ) = log () - log (y) c) log ( r ) = r.log () d) log (1)= 0 e) log () = 1 Poznámk: V době počítčů kpesních klkulček ztrtily logritmy část svého význmu pro numerické výpočty. V 17. století, kdy byly objeveny, pomohly npříkld J. Keplerovi (německý mtemtik stronom n dvoře Rudolf II. v Prze) k objevu jeho plnetárních zákonů. Jejich význm spočívá v tom, že složitější početní operce převádí n jednodušší: násobení n sčítání (vlstnost ), dělení n odečítání (vlstnost b) mocnění n násobení (vlstnost c). Důkz: vychází z vlstností mocnin z toho, že pro,y > 0, r R, R + \{1} jsou mocninné funkce prosté. Stčí porovnt eponenty. log (. y) log ( ) y r log ( ). y y r log log ( log y log. ) r log y log log r.log log log y y

pokrčování

@146 Zlogritmujte výrz t = s + r Řešení: log t = log(s + r) Dál to nejde uprvit! Pokusy uprvit logritmus součtu je čstou chybou. Pozor n to, logritmus součtu (rozdílu) nelze uprvit jink, než součet (rozdíl) nejprve provést pk teprve určit logritmy. pokrčování

@1 f: y =, R, >0 Pro = 1 nám předpis dává funkci f: y = 1, což je konstntní funkce. Jkožto málo zjímvou již popsnou funkci ji v následující definici vyloučíme. Definice: Nechť (0; 1) (1; + ). Eponenciální funkce o zákldu se znčí ep je dán předpisem ep : y = Je-li = e =,718818..., pk mluvíme o přirozené eponenciele znčíme ji ep. Poznámk: Číslo e se nzývá Eulerovo číslo je ircionální. Uvedená hodnot je jen prvních 7 desetinných míst. Číslo e je stejně důležité jko číslo Pythgorovo π. Definiční obor: celá množin reálných čísel R Symetrie: Eponenciální funkce není ni lichá ni sudá ni periodická. Pro všechny eponenciální funkce libovolného zákldu pltí ep (0) = 0 = 1 Úkol: Co to znmená pro grfy eponenciálních funkcí? výsledek

@15 Je číslo 1 0,7 ( ) větší nebo menší než jedn? 7 Je to funkční hodnot eponenciální funkce o zákldu 1/7, oznčme ji po jednoduchost f. 1 0,7 f : y ( ) 7 Zákld je větší než 1, jde tedy o funkci rostoucí, což znmená, že pro kždá dvě reálná čísl 1, pltí 1 < => f( 1 ) < f( ) Pro kždá dvě čísl, tedy i pro 1 = 0 = 0,7 0 < 0,7 => f(0) < f(0,7) 1 0,7 tj. 1 ( ) 7 Úkol: Závislost tlku p [P] vzduchu n ndmořské výšce h [km] lze vyjádřit přibližně vzthem h p p0 0, 88 kde p 0 = 1,01 10 5 P je tlk v ndmořské výšce 0 km. Vrchol Sněžky je v ndmořské výšce 1604 m. Je v Benátkách nižší nebo vyšší tlk vzduchu než n Sněžce? výsledek

@18 Určete zákldy eponenciálních funkcí, pro které pltí ep 4 = 16 => = ep b (-1) = => b = 1/ ep c (-1/) = ½ => c = 4 ep d (1/) = => d = 7 ep e 1 = - => tkový zákld neeistuje, neboť eponenciální funkce je vždy kldná Úkol: Pro která p je funkce p 1 g : y ( ) rostoucí? výsledek

@141 Úkol: N zákldě znlostí o průběhu eponenciální funkce, popište vlstnosti průběhu logritmické funkce: - definiční obor obor hodnot - význčné body, průsečíky - symptoty - monotonost - grfem je logritmická křivk, udělejte náčrtky Řešení: Grf funkce funkce k ní inverzní je symetrický kolem osy I. III. kvdrntu. eponenciální funkce y = logritmická funkce y = log definiční obor (- ; + ) (0; + ) obor hodnot (0; + ) (- ; + ) všechny grfy [0; 1] [1; 0] procházejí bodem symptot os os y monotonost (0;1) klesjící n R klesjící n R + (1; + ) rostoucí n R rostoucí n R + pokrčování

@144 Příkld: Zlogritmujte výrz dekdickým logritmem r d c b Řešení: b log r log( ) z podílu bude rozdíl d c log( b) log( d c součin se převede n součet 1 log( ) log( b ) log( d) log( c ) mocnění n součin 1 log log b log( d) log c Úkol: Zlogritmujte výrzy tu v ( b ) b w ( ) cd výsledek

@1 Všechny grfy všech eponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1], což je tké jediný průsečík s osou y. Ať je zákld mocniny libovolné číslo z definičního oboru stejně tk eponent mocniny, je hodnot mocniny vždy kldná. Tedy grfy všech eponenciálních funkcí jsou vždy nd osou. Asymptoty: Os je symptotou pro všechny eponenciální funkce. pokrčování

@16 Zákld eponenciální funkce p = p 0.0,88 h je menší než 1, proto je funkce klesjící. Což znmená, že čím výše nd mořem tím je tlk nižší. Benátky jsou u moře, vrchol Sněžky nikoli. Tedy n Sněžce je nižší tlk vzduchu než v Benátkách. Úkol: Výměn z - nás přivedl k pojmu funkce sudá (lichá) víme, že to souvisí se symetrií grfu kolem osy y (středová symetrie určená počátkem souřdnic). Eponenciální funkce není symetrická. Co tedy je ep (-)? výsledek

@19 Pro která p je funkce p 1 g : y ( ) rostoucí? Řešení: g je funkce eponenciální. O tom, zd je rostoucí rozhoduje zákld, který musí být větší než 1. Tedy musí pltit p 1 1 Sndno vyřešíme tuto nerovnici, která pltí pro kždé p >. Funkce g je tedy rostoucí pro p (; + ). Poznámk: Zákldní vlstnosti eponenciální funkce získáme připomenutím porovnáním s vlstnostmi mocnin: 1) +y =. y ep (+y) = ep.ep y ).y = ( ) y ep (.y) = (ep ) y ) 0 = 1 ep 0 = 1 4) 1 = ep 1 = První vlstnost se dá volně vyslovit tk, že eponenciální funkce převádí operci sčítání n operci násobení místo sečíst čísl y pk nlézt funkční hodnotu, můžeme nejprve nlézt funkční hodnoty eponenciely pro čísl y pk výsledné hodnoty vynásobit. Že je to neekonomické (z jednoduššího plus dělt obtížnější krát), je prvd. Uvádíme to jen pro kontrst s následující funkcí. Úkol: Doplňte následující tvrzení tk, by to byl prvdivý výrok. Eponenciální funkce je... proto k ní eistuje... funkce. výsledek

@14 Příkld: Určete definiční obor následujících funkcí. Užijte k tomu náčrtků funkcí v rgumentu logritmů. f : y log(4 ) g : y ln( Řešení: Definičním oborem logritmů jsou pouze čísl kldná. Uděláme si rychlý náčrtek funkce v rgumentu odečteme z něj, kdy je grf nd osou. ) Pokud bychom nevyužili náčrtku grfu rgumentů řešili úlohu lgebricky, řešili bychom nerovnice 4 > > (-; ) 4 0 0 pro < 0 < 0 < < / (- ; 0) (/; + ) pro > 0 > 0 > > / pokrčování

@145 Zlogritmujte výrzy Řešení: log v 1 (log log w (log tu v ( b ) b w ( ) cd 1 log t log u) (log b log ) 1 log b log c log d) Úkol: Zlogritmujte výrz t = s + r výsledek

@147 Úvh: Mějme mocninu u = t Zlogritmujme ji přirozeným logritmem ln u = t ln Lze tedy vždycky npst (eponenciel logritmus o zákldu e jsou funkce inverzní) t = u = e ln u = e t ln Závěr 1: Kždou eponencielu o libovolném zákldu ep (t) = t eponencielu o zákldu e = ep(t ln ) lze převést n Přidejme definici u = t t = log u u = t = e t ln = e log u ln = e ln u = u porovnáním eponentů dostneme ln( u) ln( )log u či jink log ( u) ln( u) ln( ) Závěr : Kždý logritmus o libovolném zákldu lze převést n logritmus přirozený. Tyto dv závěry uvádíme proto, že přirozený logritmus eponenciel o zákldu e mjí velký význm jk v různých oblstech teorie mtemtiky, tk ve fyzice, chemii, rcheologii dlších oborech. Přirozenost těchto funkcí je mj. v tom, že mjí nejjednodušší derivci 1 ( e )' e (ln )' pokrčování

@888 Ještě shrnutí do tlsu funkcí 9 eponenciální funkce název: eponenciální funkce o zákldu z předpis: y z, z>0, z 1 zřzení: ptří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: množin všech reálných čísel R obor hodnot: množin kldných reálných čísel R grf: křivk: eponenciel symptoty: má jednu symptotu, kterou je os funkce inverzní: eponenciální funkce je prostá, funkcí inverzní je logritmická funkce o zákldu z y log derivce: y z ln z, speciální přípd pro z=e: ( e ) e užití: velmi čsté v ekonomii, fyzice stronomii poznámk: kždou eponenciální funkci o zákldu z lze převést n eponenciální funkci o zákldu e - Eulerovo číslo: y z e ln z zvláštní přípd: pro z=e je derivce funkce rovn stejné funkci grfy všech eponenciálních funkcí procházejí bodem [0; 1] z 10 logritmická funkce název: logritmická funkce o zákldu z předpis: y log z, z>0, z 1 zřzení: ptří do skupiny eponenciálních funkcí definiční obor: množin kldných reálných čísel R obor hodnot: množin všech reálných čísel R

grf: grfy logritmické funkce eponenciální funkce jsou zrcdlové podle osy 1.. kvdrntu křivk: eponenciel (někdy se uvádí logritmická křivk) symptoty: má jednu symptotu, kterou je os y funkce inverzní: logritmická funkce je prostá, funkcí inverzní je eponenciální funkce o zákldu z derivce: y 1 ln z y z, speciální přípd pro z=e: (ln ) 1 užití: velmi čsté v ekonomii, fyzice stronomii poznámk: funkce dekdického přirozeného logritmu je vydáván v tbulkách; logritmus převádí násobení n sčítání, mocnění n násobení; byl to nástroj, který pomohl Keplerovi s výpočtem pohybu plnet zformulování jeho pohybových zákonů kždou logritmickou funkci o zákldu z lze převést n logritmickou funkci o zákldu e - ln Eulerovo číslo: y log z ln z zvláštní přípd: některé zákldy mjí zvláštní pojmenování z=10 dekdický logritmus y=log z = e přirozený logritmus y=ln grfy všech logritmických funkcí procházejí bodem [1; 0] KONEC LEKCE