1116 Podonosti trojúhelníků, goniometriké funke Předpokldy: 010104, úhel Pedgogiká poznámk: Zčátek zryhlit α γ β K α' l M γ' m k β' L Trojúhelníky KLM n nšem orázku mjí stejný tvr (vypdjí stejně), le liší se velikostí Říkáme, že jsou si podoné Jk tuto skutečnost vyjádřit exktně? Npříkld tím, že KLM je několikrát (udeme psát k krát) menší než Kždá jeho strn tedy musí ýt k krát menší než odpovídjíí strn trojúhelníků Pomoí rovni (vět sss): KL = k Toto lze již exktně ověřit LM KM Ze všeh rovni můžeme vyjádřit k: Dlší věty o podonosti Vět sus: KL = k α = α KM = k = k = k KL LM KM k = = = Vět uu: α = α β = β (i třetí dvojie úhlů se musí rovnt, protože součet všeh tří úhlů je 180 ) Důsledek věty uu pro prvoúhlý trojúhelník Dv prvoúhlé trojúhelníky jsou si podoné, pokud se shodují v jednom neprvém úhlu (jsné, druhý úhel do věty uu je ten prvý) pro prvoúhlé trojúhelníky stčí jeden shodný neprvý úhel hned jsou si podoné Př 1: Rozhodni, které z následujííh dvoji trojúhelníku jsou si podoné U kždé jsou zdány délky strn ) 12, 18, 24 36, 18, 27 ) 15, 20, 18 9, 11, 12 ) 12, 18, 24 36, 18, 27 Srovnáme délky podle velikosti (yh věděl o k čemu ptří) pk spočtu poměry 1
12, 18, 24 18, 27, 36 12 2 18 2 18 3 27 3 O trojúhelníky jsou si podoné 24 2 36 3 ) 15, 20, 18 9, 11, 12 Srovnáme délky podle velikosti (yh věděl o k čemu ptří) pk spočtu poměry 15, 18, 20 9, 11, 12 15 5 18 18 20 5 9 3 11 11 12 3 Trojúhelníky si nejsou podoné Pedgogiká poznámk: Znčný počet žáků zpomene uspořádt strny podle velikosti Zčátek rovnosti poměrů strn: KL LM k = = Uprvíme n KL LM = (pomoí znčení pro strny = k ) ze vzthu mezi strnmi různýh trojúhelníků jsme získli vzth mezi m strnmi téhož trojúhelník Odvozený vzore se dá přečíst tkto: Dv trojúhelníky jsou si podoné, když mjí stejný poměr krtší odvěsny přepony (podle nšeho orázku) Použijeme n prvoúhlý trojúhelník s úhlem α (všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α jsou si podoné) pro liovolný prvoúhlý trojúhelník získáme stejný poměr některýh dvou strn npříkld / (protilehlá odvěsn/přepon) Poměr / je tedy dán velikostí úhlu α, je jedno přes jký prvoúhlý trojúhelník ho spočteme poměr / je vlstně funkí úhlů Tuto funki nzýváme sinus je velmi důležitá jko spojnie mezi úhly (tvrem) strnmi (velikostí) Přehled goniometrikýh funkí prvoúhlého trojúhelník: α protilehlá sinus: sin α = přepon = osinus: os přilehlá α = = přepon γ protilehlá tngens: tg α = přilehlá = kotngens: otg přilehlá α = = protilehlá Pomoí goniometrikýh funkí můžeme npříkld dopočítt velikosti zývjííh strn prvoúhlého trojúhelníku β 2
protilehlá Poznámk: Vzore sinα = pltí vždy, vzore sinα = pltí pouze v přípdě, že přepon písmenkem yl oznčen protilehlá odvěsn k úhlu α písmenkem přepon Při doszování je důležitý význm čísel ne jejih oznčení písmenem Ve všeh následujííh příkldeh se udeme snžit určit poždovné hodnoty přímo z údjů v zdání Odpdjí tk prolémy s postupným zkreslováním výsledku několikerým zokrouhlováním zmenšuje se prvděpodonost, že jednou hyou zkzíme i všehny osttní výpočty Př 2: Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem γ s úhlem α = 30 má velikost přepony = 15m Urči jeho osttní strny úhly =15 m Pro β pltí β = 180 γ α = 180 90 30 = 60 Pro strnu : protilehlá ( ) Vystupuje npříkld v poměru: = = sinα přepon sinα = = sinα = sin 30 15 = 7,5 m Pro strnu : osα = = osα = os 30 15 = 13, 00 m Vhodný orázek může řešení příkldu hodně usndnit Měl y splňovt minimálně tyto poždvky: oshuje všehny speiální vlstnosti popsné v zdání (prvoúhlost, úhel α je menší než úhel β ), neoshuje speiální vlstnosti, které nejsou popsné v zdání (rovnostrnnost, rovnormennost, ) Orázek můžeme použít ke kontrole výsledků Př 3: Urči vlstnosti, které musí mít určovné délky strn velikosti úhlů, y yly v souldu s orázkem Strny, musí ýt menší než strn Strn je menší než strn Úhel β je větší než úhel α Pedgogiká poznámk: Diskuse o orázíh je důležitá, i když se nedá předpokládt, že y žái ihned zčli kreslit užitečné orázky Zokrouhlování v tomto okmžiku neřešíme 3
Pedgogiká poznámk: Před počítáním s goniometrikými funkemi je potře dát pozor n přepínání jednotek n klkulčkáh D-R-G Vždyky se njde někdo, kdo má zpnutého něo jiného než stupně Př 4: Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem γ s úhlem α = 80 má velikost přepony = 3000 m Urči jeho osttní strny úhly =3000 m Pro β pltí β = 180 γ α = 180 90 80 = 10 Pro strnu : protilehlá ( ) Vystupuje npříkld v poměru: = = sinα přepon sinα = = sinα = sin 80 3000 = 2954 m Pro strnu : osα = = osα = os80 3000 = 521m Př 5: Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem γ s úhlem α = 40 má velikost odvěsny = 9m Urči jeho osttní strny úhly =9 m Pro β pltí β = 180 γ α = 180 90 40 = 50 9 Pro strnu : sinα = = = = 14,00m sinα sin 40 9 Pro strnu : tgα = = = = 10, 73m tgα tg 40 4
Př 6: Prvoúhlý trojúhelník s prvým úhlem γ s úhlem β = 50 má velikost přepony = 10 m Urči jeho osttní strny úhly =10 m Pro α pltí α = 180 γ β = 180 90 50 = 40 Pro strnu : protilehlá ( ) Vystupuje npříkld v poměru: = = sin β přepon sin β = = sin β = sin 50 10 = 7, 7 m Pro strnu : os β = = os β = os 50 10 = 6, 4 m Př 7: Přepon v prvoúhlém trojúhelníku s prvým úhlem α s úhlem β = 25 má velikost 10 m Urči jeho osttní strny úhly =10 m Prvý úhel α přepon = 10 m vyjádření poměrů ve strnáh ude jiné než v předhozíh příkldeh Pro γ pltí γ = 180 β = 180 90 25 = 65 Pro strnu : protilehlá ( ) Vystupuje npříkld v poměru: = = sin β přepon sin β = = sin β = sin 25 10 = 4, 2 m Pro strnu : os β = = os β = os 25 10 = 9,1m Shrnutí: Díky tomu, že jsou si všehny prvoúhlé trojúhelníky s ostrým úhlem α podoné můžeme zvést pro úhly goniometriké funke jko npříkld protilehlá odvěsn sinα = přepon 5