ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami =0,=1,=1,= k ose jestliže jeho hustota je dána funkcí,= c) Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami =0,=1,=1,=, který rotuje kolem osy jestliže jeho hustota je dána funkcí,= d) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní oblasti, která je ohraničena kružnicí 1 + =1, jestliže její hustota je dána funkcí (oblast je homogenní, hustota je tedy konstantní),=1 Řešení 1a Máme vypočítat hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 Situace je jasná. Zahájíme tedy výpočet. 1 1 = ++1 = ++1 =++1 Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí =++1, = ++1 =1 1 = 1 1 ++1 Vrátíme se k výpočtu hmotnosti 1 = ++1 1 = + +1 1 + 1+1 = 1 1 +5 + 1 +3 V tuto chvíli již jde při hledání primitivních funkcí o prosté integrování podle vzorce. Výpočet již snadno dokončíme. = 1 ln +5 +ln +3 = 1 ln 3+5 +ln 3+3 ln 1+5 +ln 1+3 = 1 ln8+ln6 ln6+ln4=1 ln8+ln6+ln6 ln4=1 ln6 6 8 4 = 1 ln3 3 4 =1 ln 8 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Řešení 1b Máme vypočítat statický moment čtverce ohraničeného přímkami =0,=1,=1,= k ose jestliže jeho hustota je dána funkcí,= Situace je jasná, můžeme ihned zahájit výpočet. =,= = Integrace v tuto chvíli není problematická, protože proměnnou je x, s y zacházíme jako s konstantou. Snadno tedy podle vzorce dostáváme = +1 = 1 +1 0 +1 = 1 +1 0 = 1 =ln +1 +1 +1 =ln +1 ln 1+1 =ln3 ln=ln 3 Řešení 1c Máme vypočítat moment setrvačnosti čtverce ohraničeného přímkami =0,=1,=1,=, který rotuje kolem osy jestliže jeho hustota je dána funkcí,= Situace je jasná, můžeme ihned zahájit výpočet. =,= = Integrace v tuto chvíli není problematická, protože proměnnou je x, s y zacházíme jako s konstantou. Snadno tedy podle vzorce dostáváme = +1 = 1 +1 0 +1 = 1 +1 0 = 1 =ln +1 +1 +1 =ln +1 ln 1+1 =ln3 ln=ln 3 Řešení 1d Máme vypočítat souřadnice těžiště homogenní oblasti, která je ohraničena kružnicí 1 + =1, jestliže její hustota je dána funkcí (oblast je homogenní, hustota je tedy konstantní),=1 Na začátku výpočtu je třeba si uvědomit, že pro výpočet těžiště potřebujeme nejprve zjistit hmotnost a statické momenty k osám a. Tyto hodnoty si tedy vypočteme nejprve samostatně a pak je dosadíme do vzorců pro těžiště. Protože počítáme s kruhem, je zřejmé, že bude výhodné převést úlohu do polárních souřadnic. Položíme =cos, =sin,,=,,, 0,cos Nejprve vypočteme hmotnost.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 =,=1= = = 4cos = cos = cos Potřebnou primitivní funkci jsme již nalezli v M1a, část. Můžeme ale předložit i jinou variantu jejího nalezení. cos =cos +sin +cos sin =1+cos=+ 1 sin =+sincos Můžeme se vrátit k výpočtu hmotnosti. =+sincos = +sin cos +sin cos = +1 0 + 1 0= +0 +0 + = Nyní budeme počítat statický moment vůči ose. =,== sin= sin = 3 = 8 3 cos sin sin= cos sin= 8cos sin 3 3 V tuto chvíli volíme pro nalezení primitivní funkce substituci =cos, = sin cos sin 1 = 4 = 1 4 1 4 cos Vrátíme se k výpočtu statického momentu. = 1 4 cos = 1 4 cos 1 4 cos = 1 4 0 1 4 0 = 1 4 0 1 4 0=0 0=0 Nakonec budeme počítat statický moment vůči ose. =,== cos= cos 3
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 = 3 cos= cos cos= 8cos cos 3 3 = 8 3 cos cos= 8 3 cos Poslední výraz upravíme s využitím známých vzorců cos =cos = 1 cos = 1 cos +sin +cos sin = 1 1+cos = 1 4 1+cos Vrátíme se zpět k výpočtu statického momentu. = 8 3 1 4 1+cos = 3 1+cos = 3 1+cos+cos Opět si přichystáme úpravy pro poslední člen. cos = 1 cos = 1 cos = 1 cos +sin +cos sin = 1 1+cos4=1 +1 cos4 Vrátíme se zpět k výpočtu statického momentu. = 3 1+cos+cos = 3 1+cos+1 +1 cos4 = 3 3 +cos+1 cos4 = 3 3 +sin+1 8 sin4 = 3 3 +sin +1 8 sin4 3 +sin +1 8 sin4 = 3 3 4 +sin+1 8 sin 3 4 +sin +1 8 sin = 3 3 4 +0+1 8 0 3 4 +0+1 8 0= 3 3 4 +3 4 = 3 6 4 = Nyní již snadno získáme souřadnice těžiště = = =1, = =0 =0 Poznámka Naše oblast je homogenní kruh o poloměru 1 posunutý o jednotku ve směru osy, je tedy zřejmé, že těžiště musí být nutně ve středu tohoto kruhu, tedy v bodu 1,0. To je to, co jsme právě relativně pracně spočítali. Běžné situace ze života ale nebývají tak zřejmé. 4
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad a) Vypočtěte souřadnice těžiště homogenní křivky (jedná se o část cykloidy), jejíž parametrizace je = sin,1cos, 0, b) Vypočtěte hmotnost části elipsy zadané níže, jestliže její hustota je v každém bodě, 1, 0, 0 4 c) Najděte souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací sin,a 1cos, 0,, 0 d) Drát má tvar kružnice y Vypočítejte jeho moment setrvačnosti vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota,. Řešení a Máme vypočítat souřadnice těžiště homogenní křivky (jedná se o část cykloidy), jejíž parametrizace je = sin,1cos, 0, Zadanou křivku si znázorníme na obrázku. Jedná se o homogenní křivku, budeme tedy předpokládat, že má v každém bodě hustotu rovnou 1. Souřadnice těžiště jsou v případě homogenní křivky (plochy i tělesa) na této konstantě nezávislé. Nejprve si vypočteme derivaci zadané parametrizace. Dostaneme 1cos,sin Pro výpočet těžiště potřebujeme znát hmotnost a statické momenty. Nejprve si vypočteme hmotnost zadané křivky. sin 1cos Výraz pod odmocninou postupně upravíme 1cos sin 1coscos sin 5
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 = 1cos1 cos1cos cos sin cos sin sin sin sin 4sin sin 4cos 4cos 4cos0 4 04 104=4 Nyní se budeme věnovat výpočtu statických momentů. Nejprve vypočítáme první z nich. == + =1cossin 1cos Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti dostáváme a dále upravujeme 1cossin 4 1cos sin 4sin sin 41cos sin Pro nalezení primitivní funkce volíme substituci cos, 1 sin 1cos sin 1 1 3 cos cos 3 Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. 8cos cos 8cos 3 cos 3 cos0 cos0 3 80 0 3 11 3 800 3 11 3 80 3 16 3 Nyní vypočítáme druhý statický moment. sinsin 1cos Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti a statického momentu dostáváme a dále upravujeme. sinsin sinsin sin sinsin Poslední případ rozdělíme na dva integrály. 6
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 =sin sinsin sin sin cos sin sin sin cos Pro nalezení primitivní funkce v prvním z těchto integrálů volíme per partes, sin, 1, cos sin cos 1cos cos cos cos 4sin Pro nalezení primitivní funkce v druhém z těchto integrálů volíme substituci sin, 1 cos sin cos 4 =4 3 =4 3 4 3 sin Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. cos 4sin 4 3 sin cos 4sin cos0 4sin0 4 3 sin 4 3 sin0 04 1 04 0 4 3 1 4 3 0 04 00 4 3 14 3 04 04 3 0 4 4 3 =16 3 Nakonec zbývá jen vyjádřit souřadnice těžiště. Dostáváme 16 3 4 =16 1 4 3, 16 3 4 =16 1 4 3 Řešení b Máme vypočítat hmotnost části elipsy zadané níže, je-li její hustota v každém bodě,= + =1, 0, 0 4 Zadanou křivku budeme nejprve parametrizovat. Položíme =, 36 4, 0,3 Vypočteme derivaci této parametrizace =1, 1 8 36 4 =1, 4 36 4 7
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Zadanou křivku si znázorníme na obrázku. Nyní můžeme počítat hmotnost zadané křivky., + = 36 4 = 36 4 1 + 4 36 4 = 36 4 1+ 4 36 4 = 36 4 = 34 36 81 5 1+ 4 36 4 + 16 81 + 36 4 = 36 4 1+ 4 36 4 = 36 4 + 4 = 18 0 = 81 5 1 15 5 = 1 15 5 3 1 15 5 0 = 1 15 5 1 15 5 0 8
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 = 1 15 81 45 1 15 81 0 = 1 15 36 1 15 81 = 1 15 6 1 15 = 15 6 + = 3 3 5 +3 = 5 8+7= 5 1=38 5 Řešení c Máme naleznout souřadnice těžiště homogenního oblouku cykloidy s parametrizací = sin, 1cos, 0,, 0 Zadanou křivku (pro 1) si znázorníme na obrázku. Jedná se o homogenní křivku, budeme tedy předpokládat, že má v každém bodě hustotu rovnou 1. Souřadnice těžiště jsou v případě homogenní křivky (plochy i tělesa) na této konstantě nezávislé. Nejprve si vypočteme derivaci zadané parametrizace. Dostaneme 1cos,sin Pro výpočet těžiště potřebujeme znát hmotnost a statické momenty. Nejprve si vypočteme hmotnost zadané křivky. sin 1cos 1cos sin 1coscos sin Výraz pod odmocninou postupně upravíme 1cos1 cos 1cos cos sin cos sin sin sin sin 4sin sin 4cos
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Dosadíme a upravíme. = 4cos 4cos0 4 14 1448 Nyní se budeme věnovat výpočtu statických momentů. Nejprve vypočítáme první z nich. 1cossin 1cos Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti dostáváme a dále upravujeme 1cossin 4 1cos sin 4 sin sin 4 1cos sin Pro nalezení primitivní funkce volíme substituci cos, 1 sin 1cos sin 1 1 3 cos cos 3 Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. 8 cos cos 8 3 cos cos cos 0 0 3 cos 3 8 1 1 3 11 3 8 1 1 3 11 3 8 3 3 8 4 3 3 3 Nyní vypočítáme druhý statický moment. sinsin 1cos Po stejných úpravách pod odmocninou jako v případě hmotnosti a statického momentu dostáváme a dále upravujeme. sinsin sinsin sin sinsin Poslední případ rozdělíme na dva integrály. 10
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 = sin sinsin sin sin cos sin sin sin cos Pro nalezení primitivní funkce v prvním z těchto integrálů volíme per partes, sin, 1, cos sin cos 1cos cos cos cos 4sin Pro nalezení primitivní funkce v druhém z těchto integrálů volíme substituci sin, 1 cos sin cos 4 4 3 4 3 4 3 sin Vrátíme se k výpočtu statického momentu a postupnými úpravami ho dokončíme. cos 4sin 4 3 sin cos 4sin cos0 4sin0 4 3 sin 4 3 sin0 14 0 0 04 0 4 3 0 4 3 0 4000 4 3 04 3 04000 408 Nakonec zbývá jen vyjádřit souřadnice těžiště. Dostáváme 8 8, 3 3 8 4 3 Řešení d Máme vypočítat moment setrvačnosti drátu tvaru kružnice : +y = vzhledem k jeho průměru, je-li jeho hustota,= +. Kružnice je zadána se středem v počátku souřadnic a poloměrem. Máme počítat moment setrvačnosti vzhledem k průměru. Za průměr si můžeme zvolit kteroukoli z os či. Výsledek musí být vzhledem k zadání úlohy stejný. Pro náš konkrétní výpočet si zvolíme výpočet momentu setrvačnosti drátu kolem průměru ležícímu v ose. Je důležité si uvědomit, v jakých intervalech se budou pohybovat integrační proměnné. V tomto případě to bude,,, Můžeme přistoupit k výpočtu. 11
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 =,= + Dále je třeba si uvědomit chování absolutní hodnoty v různých částech našeho prostoru. Poslední integrál musíme rozdělit na čtyři případy postupně v jednotlivých kvadrantech a každý z nich řešit zvlášť. Je zřejmé, že řešení budou velmi obdobná. Celkový moment setrvačnosti bude součtem těchto čtyř případů. Dostáváme tedy = ++ ++ + Každý z těchto integrálů budeme řešit jednotlivě. = += + = 3 + 4 = 3 = 3 + 4 + 4 0 3 +0 4 1