Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky úseček, doplnění limit, suprem, infim, des rozvoj:,, Z, n {,, 9} pro n N R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl: { + jy :, y R}, j reálná os Tvrzení Číslo je ircionální Důkz: Sporem, předpokládejme b,, b N nesoudělná Pk b ; je dělitelné ; eistuje c N tk, že c; b c ; b je dělitelné ;, b soudělná spor Tvrzení Rcionální čísl jsou právě t, která mjí konečný nebo periodický desetinný rozvoj Důkz: : Při použití lgoritmu dělení celých čísel /b jsou možné zbytky jen,,, b, po přechodu přes desetinnou čárku se připisují jen, tkže se po nejvýše b ) krocích vše opkuje : Přenásobením číslem délk periody odečtením dostneme, že celočíselný násobek má konečný desetinný rozvoj Tvrzení Nenulová čísl s konečným desetinným rozvoje mjí dv desetinné rozvoje /7,4857, /3,3, /6,6;,7 7 74 ;,73, ) 7,4, 99 ;,3,9 Definice Reálné číslo se nzývá: kldné, pokud > ; záporné, pokud < ; nezáporné, pokud ; nekldné, pokud Definice Pro kždé, b R, < b, rozeznáváme tyto typy intervlů s krjními body, b:, b) { R : < < b} otevřený);, b { R : b} pro, b R uzvřený);, b { R : < b} pro b R zlev otevřený, zprv uzvřený);, b) { R : < b} pro R zlev uzvřený, zprv otevřený) Body intervlu, které nejsou krjní, nzýváme vnitřní Tvrzení V kždém intervlu eistuje nekonečně mnoho rcionálních i ircionálních čísel hustot Q, R \ Q v R) Definice Rozšířená množin reálných čísel je R R {, + }, kde + se nzývjí nevlstní čísl Pro kždé R pokládáme: ) < < + ) + + 3) +, +,,, { +, >,,, <, Nedefinujeme:,, Poznámk Využití: věty o limitách, popisy intervlů:, ) { R : < < } { R : < },, + ) R otevřené i s ± ) Definice Nechť M R Číslo k R se nzývá: horní mez množiny M, pokud k pro kždé M; dolní mez množiny M, pokud k pro kždé M Množin M se nzývá: shor omezená, pokud má horní mez; zdol omezená, pokud má dolní mez; omezená, pokud má horní i dolní mez ) N je zdol omezená, není shor omezená ) Z není omezená ni zdol, ni shor 3), ) je omezená Definice Nechť M R je neprázdná Supremum množiny M sup M) je nejmenší horní mez množiny M + pro shor neomezenou), infimum množiny M inf M) je největší dolní mez množiny M pro zdol neomezenou) sup N +, sup, min, + ), sup, ) min, + ) Poznámk Jestliže eistuje mimum minimum) množiny, pk je zároveň supremem infimem) této množiny Vět Kždá neprázdná množin reálných čísel má supremum i infimum Řez A B): A, B Q neprázdné, A B Q, A < B Řezy s m A q nebo min B q, q Q ztotožňujeme) odpovídjí q, řezy, pro které m A ni min B neeistují, odpovídjí ircionálním číslům A B ) A B ) pro A A sup α M A α B α ) A B), kde A α M A α, B Q \ A, pokud přidáme Q, ) + Vět princip vnořených intervlů) Jsou-li I n n N) uzvřené intervly I I, pk n N I n Jestliže nvíc délky intervlů I n klesjí k nule, pk je tento průnik jednobodový Důkz: Oznčme I n n, b n pro kždé n N Z předpokldů vyplývá, že 3 b 3 b b Množin { n : n N} je neprázdná, shor omezená kždým číslem b n, má tedy v R supremum, oznčme ho Protože b n pro kždé n N, má množin {b n : n N} v R infimum, oznčme ho b Protože b, je n N I n { R : b} Jestliže délky intervlů I n klesjí k nule, pk b Poznámk Podmínk uzvřenosti intervlů ve výše uvedené větě je podsttná: je-li I n, n ) pro kždé n N, pk I I I 3 n N I n Funkce Definice Reálná) funkce reálné proměnné) f je zobrzení A R, kde A R je neprázdná Množin A je definiční obor funkce f Df)), množin fa) {f) : A} je obor hodnot funkce f Rf)) Grf funkce f je množin {[, f)] : Df)}
Poznámk Pokud není zdán definiční obor, bereme mimální možný Definice Funkce f : A B je: prostá, pokud různým vzorům odpovídjí různé obrzy; n B, pokud její obor hodnot je B f : A n B); vzájemně jednoznčná bijekce), pokud je prostá n B ) není prostá f) f )), je n, + ) ) 3 je prostá n R Poznámk Neostré uspořádání f g operce sčítání, odčítání, násobení dělení funkcí definujeme bodově Definice Složení funkcí f : A B g : B C je funkce g f : A C definovná předpisem g f)) g f) ) Příkld f), g) : g f)) g f) ) f) ) ) 4, f g)) f g) ) g) Definice Funkce g : Rf) A je inverzní k funkci f : A B, pokud g f)) pro kždé A Znčíme g f Vět Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá Pk Df ) Rf), Rf ) Df), f je inverzní funkce k f grf f je symetrický s grfem f podle osy prvního třetího kvdrntu přímky o rovnici y ) Příkld f) e : R n, + ) je prostá, má inverzní f ) ln :, + ) n R; f f f f Definice Funkce f je zdol, shor) omezená n A Df), pokud je zdol, shor) omezená množin fa) Poznámk Pokud neurčujeme A, myslíme Df) ) je zdol omezená ), není shor omezená ) rctg je omezená 3) 3 není omezená zdol ni shor Definice Funkce f je rostoucí klesjící, neklesjící, nerostoucí ) n množině A Df), pokud f) < fy) f) > fy), f) fy), f) fy)) pro všechn, y A tková, že < y Tkové funkce se nzývjí monotónní, rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotónní ) je klesjící n,, rostoucí n, + ) ) sign je neklesjící 3) sin není monotónní Vět Rostoucí klesjící ) funkce je prostá má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí klesjící ) Definice Funkce f je: sudá, pokud f ) f) pro kždé Df); lichá, pokud f ) f) pro kždé Df) ) je sudá ) 3 je lichá Poznámk Grf sudé funkce je osově symetrický podle osy y, grf liché funkce je středově symetrický podle počátku Definice Funkce f je periodická s periodou p >, pokud f + p) f p) f) pro kždé Df) Poznámk Má-li funkce periodu p, má i periody np n N) Nejmenší period pokud eistuje) se nzývá zákldní Příkld Funkce sin má zákldní periodu π Lineární trnsformce grf funkce: ) Grf f) + c je posunutý o c ve směru osy y ) Grf f + c) je posunutý o c ve směru osy 3) Grf c f) je c-krát roztžený od osy pro c < včetně překlopení) 4) Grf fc) c ) je c-krát stžený k ose pro c < včetně překlopení) Definice Množiny A, B mjí stejnou mohutnost krdinlitu), pokud eistuje bijekce A n B Množiny které jsou konečné nebo mjí mohutnost N, se nzývjí spočetné Tvrzení Q je spočetná, R je nespočetná Důkz: ) Rcionální čísl v zákldním tvru b přiřzujeme postupně přirozeným číslům: primárně vzestupně podle + b, pk vzestupně podle b, pk podle znménk ) Pro f : N R njdeme desetinný rozvoj čísl, které nebude v fn): jko n-tou cifru desetinného rozvoje vybereme cifu různou od n-té cifry desetinného rozvoje fn) od 9 Elementární funkce mocniny i pro rcionální p q, p Z \ {}, q N, p, q nesoudělné: q liché q sudé ) p > R, + ) p < ) R \ {}, + ) pro R\Q pokládáme e ln, tedy Df), + ) eponenciální o zákldu, ) \ {}: implicitně e ) inverzní: logritmus o zákldu > : log log log dekdický, ln log e přirozený) Pro kždé, y R kždé > pltí +y y, ) y y Pro kždé, ), + ) pltí log y) log + log y,, y >, log y y log, >
goniometrické: sin, cos, tg sin cos cos, cotg sin inverzní: rcsin, rccos, rctg, rccotg sin + cos sin + y) sin cos y + cos sin y cos + y) cos cos y sin sin y sin cos cos + cos hyperbolické: sinh e e cosh e + e, tgh sinh cosh,, cotgh cosh sinh inverzní: rgsinh, rgcosh, rgtgh, rgcotgh cosh sinh sinh + y) sinh cosh y + cosh sinh y cosh + y) cosh cosh y + sinh sinh y Limity funkcí Definice Okolí bodu R o poloměru r > je U, r) { R : < r} r, + r) Prstencové okolí bodu R o poloměru r > je P, r) U, r) \ {} r, ), + r) Okolí bodů ± jsou r je reálné číslo): U, r) P, r) { R : < r}, r), U+, r) P +, r) { R : > r} r, + ) Definice Funkce f definovná v prstencovém okolí bodu R má v bodě limitu b R lim f) b, f) b), jestliže pltí: Ke kždému okolí U bodu b eistuje prstencové okolí P bodu tk, že fp ) U Poznámk Obecněji se definuje limit v hromdném bodě definičního oboru Tvrzení Pro kždé R pltí: ) lim c c pro kždé c R ) lim Důkz: ) f U) R pro kždé U, npř P P, ) ) f U) U pro kždé U, npř P U \ {} Příkld lim + sin neeistuje: pro b R eistuje U b,, f U b ) neobshuje prstencové okolí + Jednostrnné limity zlev/zprv pro levá/prvá prstencová okolí body prstencového okolí nlevo/nprvo od ) Příkld lim sign, lim + sign + Vět Pro funkci f definovnou v prstencovém okolí bodu R je lim f) b právě tehdy, když lim f) lim + f) b Poznámk Věty lze formulovt i pro jednostrnné limity Vět o jednoznčnosti) Kždá funkce má v kždém bodě nejvýše jednu limitu Důkz: Pokud má v limitu b, tk jiné číslo c R není limitou: eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c, f U c ) je disjunktní s f U b ) neobshuje tedy prstencové okolí Vět o monotonii) Je-li f g n prstencovém okolí bodu, lim f) b, lim g) c, pk b c Důkz sporem): Pro b > c eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c prstencová okolí P f f U b ), P g g U c ) bodu, pro P f P g je f) > g) spor Příkld Ne pro <: < n, + ), v + stejná limit Vět Funkce s vlstní limitou v bodě je omezená n prstencovém okolí bodu Důkz: Eistuje omezené okolí U limity, k němu P Vět Funkce s kldnou zápornou) limitou v bodě je n prstencovém okolí bodu kldná záporná) Důkz: Eistuje okolí U limity neobshující, k němu P Vět lim právě tehdy, když lim f) Důkz: f) U, ε) právě tehdy, když f) U, ε) Vět Monotonní funkce n intervlu má v jeho krjních bodech příslušné jednostrnné limity supremum infimum funkčních hodnot) Důkz pro f neklesjící n I, b)): c sup fi), okolí U bodu c má levý krjní bod d, eistuje e d, c) fi), f U) f e), b) levé prstencové okolí b Příkld e : R n, + ) je rostoucí, tedy lim e inf, + ), lim + e sup, + ) + Příkld lim + +, >,,,, <, lim +, >,,, +, < Vět limit součtu, rozdílu, součinu podílu funkcí) Limit součtu rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet rozdíl, součin, podíl) limit, pokud je definován včetně opercí s nevlstními čísly) Důkz pro součet vlstních limit): Pro Ub+c, ε) uvžujme fp f ) Ub, ε ) fp g) Uc, ε ), pk f + g)p f P g ) Ub + c, ε) ) lim + 3 + ) + nedefinováno lim + 3 + ) + ) +, lim + ) + nedefinováno 3) lim lim + +, nedefinováno lim ) + ) lim +
Vět Je-li lim f) >, lim g) g > n prstencovém okolí bodu, pk lim f)/g) + Poznámk ± ± ) ) 3) lim ± lim ) ln ) lim 4 ± ± + + Vět o sevření) Je-lif h g n prstencovém okolí, lim f) lim g) b, pk lim h) b Příkld sin lim stčí + sudá), π ), vět o sevření: sin < < sin cos < sin < cos > sin > cos Vět Je-li lim f), g je omezená n prstencovém okolí, pk lim f) g) Důkz: g M, f) g) M f), vět o sevření Poznámk om om ± Příkld lim sin om Vět Je-li f g n prstencovém okolí, lim f) +, lim g) ), pk lim g) + lim f) ) Vět Je-li lim f) b {± } g je omezená n prstencovém okolí, pk lim f) + g) ) b Důkz: Pro + : g M, f)+g) f)+m + Poznámk ± + om ± Příkld lim + cos ) + + om + Tvrzení Jestliže lim f) neeistuje, pk pltí: ) Je-li lim g) vlstní, pk lim f) ± g) ) neeistuje ) Je-li lim g) vlstní nenulová, pk neeistují lim f) g) ) lim f)/g) ) Důkz: Sporem, eistovl by lim f) podle věty o limitě součtu, součinu, podílu Příkld lim + sin nee neeistuje Vět limit složené funkce) Nechť pro, b, c R pltí: ) lim f) b R, ) lim y b gy) c R, 3) gb) c nebo f) b n prstencovém okolí Pk lim g f)) c Důkz: U c ): eistuje P b : P b g Uc f ): eistuje P : P Pb {b} 3): pro gb) c je P b {b} g g f U c, P U c, jink eistuje P : P f P b, P g f U c Příkld lim + e / lim y e y ) Příkld f) sin : lim f) gy) pro y, g) : lim y gy) g f)) pro { kπ : k Z \ {}}, jink lim g f)) neeistuje Poznámk Podmínk gb) c ve větě o limitě složené funkce znmená spojitost funkce g v bodě b Spojitost funkcí Definice Funkce f je spojitá v bodě Df), pokud ke kždému okolí U bodu f) eistuje okolí V bodu tk, že f V Df) ) U Funkce je spojitá, pokud je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Vět Funkce f definovná v okolí bodu je v bodě spojitá právě tehdy, když lim f) f) Poznámk Funkce f je spojitá v izolovných bodech Df) pro které je Df) disjunktní s některým prst okolím) Poznámk Podobně spojitosti zlev/zprv ) je spojitá ) sign je spojitá v bodech R \ {}, není spojitá v bodě 3) Chrkteristická funkce, + ) je spojitá v bodech R \ {}, zprv spojitá v 4) Dirichletov funkce není spojitá v žádném bodě v žádném nemá limitu) {, Q, d), / Q Poznámk Po částech spojitá funkce: v kždém omezeném intervlu jen konečně mnoho bodů nespojitosti, v nich konečné jednostrnné limity Vět ) Jsou-li f, g spojité v, pk f ±g, f g, f/g pokud je definován), f jsou spojité v ) Je-li f spojitá v, pk je omezená n okolí 3) Je-li f spojitá v, f) >, pk f) > n okolí 4) Je-li f spojitá v, g v f), pk g f je spojitá v Vět Polynomy rcionální funkce jsou spojité funkce Důkz: Spojitost konstnt, identity, součtu, součinu podílu
Vět Mocniny, eponenciální, goniometrické hyperbolické funkce funkce k nim inverzní jsou spojité Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá největší nejmenší hodnoty Vět o mezihodnotě) Je-li funkce f spojitá n intervlu I nbývá-li v něm hodnot m M, m < M, pk v tomto intervlu nbývá všech hodnot z intervlu m, M Vět Inverzní funkce k ryze monotónní funkci n intervlu je spojitá Důsledky ) Pro spojitou nekonstntní funkci je obrzem intervlu intervl uzvřeného uzvřený) ) Spojitá funkce n intervlu je prostá má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotónní Inverzní funkce je pk spojitá Posloupnosti Definice Nekonečná) posloupnost reálných čísel) je zobrzení N R Znčíme n ) n, n je n-tý člen nekonečněrozměrný ritmetický vektor ) n ) n, 4, 8, ) n q n geometrická s kvocientem q ), 3, 5, 7, ) n + n )d ritmetická s diferencí d 3) rekurentně, n+ n + n+ :,,, 3, 5, 8,, ) Fiboncciho) Pojmy věty jko pro funkce: omezená, monotónní stčí vzthy mezi n, n+ ), limit Posloupnost s vlstní limitou je omezená nejen lokálně) Vět Posloupnost n ) n má limitu R lim n n n, n ), pokud pro kždé okolí U bodu eistuje n N tk, že pro všechn n > n je n U Definice Posloupnost s vlstní limitou je konvergentní Vět lim f) b právě tehdy, když lim n f n ) b pro kždou posloupnost n ) n čísel z Df) \ {} s lim n n Příkld lim + sin neeistuje: lim n πn +, lim n sin πn, lim n π + πn) +, lim n sin π + πn) Definice Vybrná posloupnost podposloupnost) z posloupnosti n ) n je posloupnost kn ) n, kde k n ) n je rostoucí posloupnost přirozených čísel Poznámk n fn), k n gn): kn f g)n) Definice Číslo R je hromdná hodnot posloupnosti, pokud v kždém okolí leží nekonečně mnoho jejích členů Vět Limit posloupnosti je její hromdnou hodnotou Hromdná hodnot posloupnosti je limitou některé její vybrné posloupnosti Důkz: Zřemé Okolí U n hromdné hodnoty smršťující se k ní, kn U n tk, by k n ) n byl rostoucí Příkld Posl ) n) má hromdné hodnoty ± n Vět Kždá posloupnost má lespoň jednu hromdnou hodnotu omezená posloupnost vlstní ) Důkz: nebo +, pokud není omezená Pro omezenou sestrojíme posloupnost vnořených poloviční délky) uzvřených intervlů obshujících nekonečně mnoho členů posloupnosti, jejich průnik obshuje hromdnou hodnotu Vět Supremum infimum množiny hromdných hodnot posloupnosti jsou hromdné hodnoty této posloupnosti Důkz: Okolí U obshuje hrom hodnotu její okolí U U limes superior lim sup n n ) limes inferior lim inf n n ) Vět Pro posloupnost je ekvivlentní: ) Má limitu ) Má jedinou hromdnou hodnotu 3) Limes inferior limes superior posloupnosti jsou stejné 4) Kždá vybrná posloupnost má stejnou limitu Derivce funkce Okmžitá změn funkce jko limit průměrných změn Definice Derivce funkce f v bodě je Poznámky ) df d ) f f + h) f) ) lim h h f f) f) ) lim ) Podobně jednostrnné derivce 3) Derivce funkce v bodě: f ) číslo, i nevlstní) Derivce funkce: f : f ) funkce, jen vlstní hod) Derivce: : f f operátor) 4) Funkce f má derivci n intervlu I, pokud f eistuje n I v přípdných krjních bodech I příslušná jednostrnná) Příkld Pro funkci f) 3 je 3 h 3 f ) lim lim h h h 3 h + + Vět ) ) ) 3) c) R c R je konstnt) ) R pro N), e ) e R sin ) cos R cos ) sin R pro Z), > pro Q)
Důkz: ) c) lim h c c h lim h ) pro N: n ) lim h h [ + h)n n ] lim h h n + n n h + + h n n ) lim h n n + + h n ) n n ) e ) lim h e +h e h e lim h e h h e e 3) pro sin : sin ) lim h sin+h) sin h lim h cos+h/) sin h/ h lim h cos + h/) lim h/ sin h/ h/ cos cos ) 3 ) 3 3 3, R ) 3 ) /3 ) 3 /3 / 3 3 ), Vět Funkce je spojitá v kždém bodě, ve kterém má vlstní derivci Důkz: f) f) + f) f) f) + f ) f) ) ) sign je nespojitá v, sign sign h sign ) lim h h lim h h + + ) f) 3 je spojitá v, f ) + 3) f) je spojitá v, f ) neeistuje: f ±) lim h ± h h lim h ± ± ± Vět o derivci součtu, rozdílu, součinu podílu) Mjí-li funkce f, g vlstní derivce v bodě, pk: ) f ± g) ) f ) ± g ); ) f g) ) f ) g) + f) g ); 3) je-li g), pk Důkz: f g f ± g)) f ± g)) f ) ± g ) ; ) ) f ) g) f) g ) g) f) f) f g)) f g)) f) f) g) + f) f g ± g) g) f ) g) + f) g ) ; ) ) f ) g ) [ f) f) g) f) g) g) [ f g) ) g) f) g ) ] g) g) ] g) g) Poznámky ) Podobně pro derivce funkcí nejen v bodě) ) Pro c R je cf) c) f +cf cf derivce násobku je násobek derivce ) 3) Zobrzení : f f je lineární 4) f + f + + f n ) f + f + + f n, f f f n ) f f f n + f f f n + + f f f n ) 3 + + 7) 6 + ) e sin ) e sin + e sin + e cos 3) tg ) ) sin cos sin ) cos sin cos ) cos cos +sin cos cos Vět o derivci složené funkce) Má-li f vlstní derivci v, g vlstní derivci v f) b, pk g f má v derivci g f) ) g b) f ) Důkz: Oznčme f) y Funkce { gy) gb) y b, y b, ty) g b), y b, je spojitá v b, v okolí b je gy) gb) ty) y b), pltí g f)) g f)) g f) ) g f) ) gy) gb) ty) y b) f) f) y b) ty) g b) f ) Poznámky ) Schemticky pro f) y, gy) z: dz d dz dy dy d ) f n f f ) f n f f ) sin ) cos ) e cos 3 ) e cos 3 sin 3 ) 3 3) f) ) f ) Poznámk Obecnější vzorce pro R n R): e ) e, sin ) cos, cos ) sin Derivcí f f)) dostneme f f) ) f ) Vět o derivci inverzní funkce) Je-li funkce f spojitá ryze monotónní n intervlu I eistuje-li nenulová derivce funkce f v I, pk f ) f) f ) Důkz: Oznčme y f), b f) fi) je otevřený intervl, eistuje spojitá f n fi) f y) f b) y b f) f) y b ) f ) Poznámk Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivci chceme spočítt, tkže podmínky monotonie nenulovosti derivce ověřujeme pro inverzní funkci Příkld ln je inverzní k e y, která je spojitá, rostoucí má nenulovou derivci Pro Dln), + ) je ln ) e y ) e y e ln
Vět rctg ) +, rccotg ) +, R rcsin ), rccos ),, ) Příkld Důkz vzorce o derivci pro Q: ) e ln ) e ln Definice Derivci řádu n n-tou derivci) funkce f znčíme f n) nebo dn f d definujeme rekurentně f ) f, f n) f n )) pro n N Příkld Pro f) / dostáváme f ) ), f ) ) ) ) ) 3, f ) ) ) 3) ) ) 3) 4, f n) ) ) n n! n+ Poznámky ) Derivce řádu n je lineární zobrzení, tkže f + f + + f k ) n) f n) + f n) + + f n) k ) Derivce součinu dvou funkcí se počítjí následovně: f) f) fg) f g + fg, fg) f g + fg ) f g + f g + fg, fg) f g + 3f g + 3f g + fg, fg) n) n k ) n f n k) g k) k Aplikce derivcí Geometrické plikce směrnice sečny body [, f)], [, f)] f ) směrnice tečny v [, f)] tečn: y f) f ) ) y f) + f ) ) T ) směrový vektor tečny kolmý k normále):, f ) ) normál: + f ) y + f ) f), pro f ), y f) f ) ) pro f ) Příkld Určete tečnu normálu grfu funkce f) e v bodě [,?] f) e, f ) e, f ) e tečn: y f) + f ) ) e + e ) e normál: y e + e ) e + e + e ) Věty o střední hodnotě Vět Rolleov) Nechť pro funkci f pltí ) je spojitá n intervlu, b ; ) má derivci v kždém bodě intervlu, b); 3) f) fb) Pk f c) pro některý bod c, b) Důkz: pro konstntní je f n, b); nekonstntní nbývá minim nebo mim uvnitř, b ; npříkld pro mimum v bodě c, b): f c) f c) lim c f) fc) c, f c) f +c) lim c+ f) fc) c ) Funkce f) n, ), f) nesplňuje ) ) Funkce f) n, nesplňuje ) 3) Funkce f) n, nesplňuje 3) Vět Lgrngeov, o přírůstku funkce) Nechť funkce f je spojitá n, b má derivci v kždém bodě, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) f c) b ) Důkz: funkce g) f) f) fb) f) b ) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): g c) f c) fb) f) b Tvrzení Je-li funkce f spojitá v bodě zprv eistuje-li f +), pk f +) f +) Důkz: podle Lgrngeovy věty pro > tková, že, ) Df), eistuje c, ); pro + je c +; f +) f) f) lim + lim + f c ) f +) Poznámk Podobně pro derivci zlev, oboustrnnou Příkld Pro f) rcsin je f + ) lim + + + Vět Cuchyov) Nechť funkce f, g jsou spojité n intervlu, b, mjí vlstní derivci n, b) g ) n, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) gb) g) f c) g c) Důkz: funkce h) fb) f) ) g) gb) g) ) f) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): h c) fb) f) ) g c) gb) g) ) f c), protože g ) n intervlu, b), je g c) tké gb) g)
l Hospitlovo prvidlo Vět l Hospitlovo prvidlo) Nechť pro funkce f, g pltí: ) lim + f) lim + g) nebo lim + g) +, f ) eistuje lim ) + g ) R Pk f) lim + g) lim f ) + g ) Důkz: pro lim + f) lim + g) : f, g eistují g ) n některém, b, položme f) g) pk f, g jsou spojité n, b ); podle Cuchyovy věty pro,, b)) eistuje c, ): f) g) f) f) g) g) f c ) + g c ) lim + f ) c g + ) Poznámky ) Podobně pro limitu zlev či oboustrnnou ) L Hospitlovo prvidlo lze použít opkovně ln+) ) lim l H + lim ln ) lim + + + l H / lim + /) / lim + e 3) lim + + + l H e lim + + + l H e lim + + ln 4) lim + ln ) lim + / + l H / lim + / lim + ) 5) lim + + /) ep[lim + ln + /)] ep [ ln+/) ] lim + / l H ep [ lim + /+/) )/ / ] ep[lim + +/ ] ep e 6) lim + ln ) lim + ln e Poznámk Pokud limit podílu derivcí neeistuje, nelze l Hospitlovo prvidlo použít To neznmená, že limit podílu funkcí neeistuje: lim + sin omez +, le cos limit podílu derivcí lim + neeistuje Poznámk L Hospitlovo prvidlo lze použít i pro výpočet limit posloupností, pokud njdeme vhodnou funkci Npříkld lim n e n /n lim + e / + Tylorův polynom Vět Tylorov) Nechť funkce f má spojité derivce do řádu n n,, f n+) eistuje v kždém bodě, ) Pk eistuje c, ) tk, že f) f) + f )! ) + f ) ) + +! + f n) ) ) n + f n+) c) n! n + )! )n+ Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n T n ), zbytek v Lgrngeově tvru Poznámky ) Podobně pro, ) n : f) f) + f c) ) Lgrnge) 3) f n+) spojitá, blízko c blízko f n+) c) blízko f n+) ) T n+ přesnější Důkz: T n ) f) T n) f ) T n n) ) f n) ) f) T n ) + M ) n+ gt) ft) T n t) Mt ) n+, t, Rolle n + )-krát: g) g) c, ): g c ) g ) c, c ): g c ) g ) c n, c n ): g n) c n ) g n) ) c, c n ): g n+) c) f n+) c) M n + )! M f n+) c) n + )! e +! +! + + n! n cos! + 4! 4 6! 6 + sin 3! 3 + 5! 5 7! 7 + Poznámk Tylorův polynom sudé liché) funkce v je funkce sudá lichá) Příkld Spočtěte číslo e s přesností 3, víte-li, že e < 3 f) e,, e f) T n ) e chyb c n+)! n+ 3 n+)! < 3 pro n 6 T 6 ),78 5, chyb, 6, odhd, 595 Asymptotické chování funkcí posloupností Definice Nechť funkce g je definován v prstencovém okolí bodu R ) Funkce f je třídy Og) f Og), f Og)) pro, pokud eistuje číslo M prstencové okolí P bodu tk, že f) M g) pro kždé P ) Nechť g je nvíc nezáporná v prstencovém okolí bodu Funkce f je třídy Θg) f Θg), f Θg)) pro, pokud eistují kldná čísl m, M prstencové okolí P bodu tk, že m g) f) M g) pro kždé P Poznámk Podobně pro jednostrnné limity okolí) pro limity posloupností, obvykle, +, n Vět f) ) Je-li lim g) R, pk f Og) pro f) ) Je-li lim g), + ) g je kldná n prstencovém okolí bodu, pk f Θg) pro
Důkz: ) Eistence vlstní limity znmená omezenost některým číslem M n prstencovém okolí P bodu, tj f) M n P g) ) Oznčíme-li dnou limitu b, pk eistuje m, b), M b, ) prstencové okolí P bodu tk, že m f) g) M g) > n P Příkld f) + 5 lim + f), + ), f Θ ) pro + lim f) 5, + ), f Θ) pro Vět Uvžujme pro R, g, g, g funkce n prstencovém okolí ) Tříd Og) tvoří lineární prostor je uzvřen n násobek součet) ) Je-li f Og ) f Og ), pk f f Og g ) Důkz: ) f, f Og), c, c R; pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g) n P i ; c f ) + c f ) c f ) + c f ) c M + c M ) g) n P P ) Pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g i ) n P i ; f ) f ) M M g ) g ) n P P Příkld lim cos ) lim +O 3 )) ) lim + O 3 ) ) lim + O)) Průběh funkce Monotonie etrémy Vět o monotonii) Je-li funkce f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I derivci, pk: ) Je-li f ) > uvnitř I, pk f je rostoucí v I ) Je-li f ) < uvnitř I, pk f je klesjící v I 3) Je-li f ) uvnitř I, pk f je neklesjící v I 4) Je-li f ) uvnitř I, pk f je nerostoucí v I Důkz:, y I, < y Lgrnge: f) fy) f c) y), c, y) ) f) fy) < f) < fy) rostoucí ) 4) podobně Poznámky ) Je-li f n intervlu, pk f je konstntní ) Je-li f g n intervlu, pk f, g se liší o konstntu Příkld f) 3 3 + f ) 3 3 3 ) + ) f > n, ), + ) f rostoucí n,,, + ) f < n, ) f klesjící n, Příkld f) 3 f ) 3 f > n, ),, + ) f rostoucí n,,, + ) rostoucí n R Vět Je-li f ) >, pk eistuje okolí U bodu tk, že pro, y U, < < y, je f) < f) < fy) f je rostoucí v bodě ) Důkz: < f ) { lim f) f), f) < f) vlevo lim y + fy) f) y, fy) > f) vprvo Poznámky ) f ) < f je klesjící v bodě ) Pro f ) se nic netvrdí Definice Funkce f má v bodě lokální minimum lokální mimum), jestliže f) f) f) f)) n některém prstencovém okolí bodu Poznámky ) Lokální etrém: lok minimum nebo lok mimum ) Ostrý lokální etrém: ostrá nerovnost Vět Má-li funkce f v bodě lokální etrém, pk buď f ) neeistuje nebo f ) je stcionární bod f) Důkz: f ) > f rostoucí v není lokální etrém f ) < f klesjící v není lokální etrém Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3, eistuje všude, nulová v ± f ) 3 ostré lokální mimum f) ostré lokální minimum Příkld f) f ) sign pro, f ) neeistuje f) ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3 eistuje všude, nulová v f) není lokální etrém Vět Nechť f ) ) Je-li f ) >, pk f má v ostré lokální minimum ) Je-li f ) <, pk f má v ostré lokální mimum Důkz: ) f ) > f rostoucí v f ) < f ) < f y) pro < < y v některém okolí f klesjící vlevo, rostoucí vprvo v ostré lok minimum ) podobně nebo přechodem k f Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3,, ±, f ) 6 f ) 6 < ostré lokální mimum f ) 6 > ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3,,, f ) 6 f ) kritérium nerozhodne, není l e Příkld f) 4 f ) 4 3,,,3, f) ostré lok minimum f ), f ) kritérium nerozhodne, je l e f 3) ) 4, f 3) ) f 4) ) 4, f 4) ) 4 >
Poznámk Pro f ) f n ) ) : ) f n) ) > ostré lokální minimum, ) f n) ) < ostré lokální mimum f) p + q Asymptoty Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mim minim) buď v bodě, ve kterém má lokální mimum minimum), nebo v některém krjním bodě intervlu Důkz: Etrém ve vnitřním bodě je lokální Poznámk Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivce není nebo je nulová, v krjních bodech intervlu, které do něj ptří Ověříme limity v neptřících krjních bodech Příkld f) + n, + ) f ) +, nemá derivci:, stcionární body:, f ), ptřící krjní body:, f ), neptřící krjní body: +, lim + f) +, min f f ), m f neeistuje Konveit, konkvit, inflení body Konveit: ) spojnice grfu nd grfem, ) tečn pod grfem, 3) směrnice sečen rostou Definice Funkce f je konvení n intervlu I, jestliže pro kždé, y, z I, < y < z, pltí fy) f) fz) fy) y z y konkávní pro, ryze konv pro <, ryze konk pro >) Vět Je-li f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I druhou derivci, pk: ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konvení ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konkávní Důkz: ) < y < z: f je neklesjící, Lgrnge eistují c, y), d y, z): fy) f) y f c) f d) fz) fy) z y Poznámk Podobně pro ostré nerovnosti s ryze Definice Bod [, f)] je inflením bodem grfu funkce f funkce f má v bodě inflei), pokud je funkce f spojitá v bodě, eistuje f ) funkce f je n některém jednostrnném okolí ryze konvení n některém jednostrnném okolí ryze konkávní Vět ) Má-li f v inflei, pk f ) neeistuje nebo f ) ) Je-li f ), f ), pk f má v inflei Poznámk f ) f n) ), f n+) ) inflee v Příkld f) 3 3 + f ) 3 3, f ) 6, f ) 6, f ) je inflení bod nebo: f < pro <, f > pro > Definice Má-li funkce f v bodě R lespoň jednu jednostrnnou limitu nevlstní, nzýváme přímku o rovnici symptotou grfu funkce f v bodě Asymptot grfu funkce f v bodě {± } je přímk o rovnici y p + q tková, že: ) f) p q lim Příkld f) +, Df) R \ {} lim ± f) ± je symptot v lim ± f) ) y je symptot v ± Vět Grf funkce f má v {± } symptotu o rovnici y p + q právě tehdy, když f) lim p, lim ) f) p q Příkld f) sin lim f)/ lim sin nee s v + nee Příkld f) lim f)/ lim + s v + nee Příkld f) ln lim ln )/ lim l H) lim ln ) + s v + nee Příkld f) + + +, Df) R \ {} lim ± ± symptot f) ) lim +, lim + f) symptot y + v + f) lim, lim f) symptot y v Poznámky ) Je-li lim f) b R pro {± }, pk symptot v má rovnici y b ) Eistují-li symptot v {± } o rovnici y p + q lim f ), pk p lim f ) Příkld f) sin lim ± f) symptot y v ± lim ± f ) lim ± sin + cos ) nee Shrnutí vyšetřování průběhu funkce f: definiční obor, sudost, lichost, period, spojitost, limity v hrničních bodech Df), v bodech nespojitosti, symptoty f : monotonie, lokální) etrémy, obor hodnot, tečny grfu v hrničních bodech Df), Df ) f : konveit/konkvit, inflení body včetně tečen) Grf Příkld f) 3 3 + 3 Příkld f) +)
Neurčitý integrál Definice Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n intervlu I, jestliže F f n I Poznámky ) V krjních bodech jednostrnné derivce ) Lze zobecnit: n sjednocení intervlů; F f ž n konečnou či jinou) množinu 3) Ne všechny funkce mjí primitivní Vět vlstnost mezihodnoty pro derivci) Nechť f je derivcí F n intervlu I,, b I, f) < d < fb) Pk eistuje c mezi, b tkové, že fc) d Důkz: G) F ) d má vlstní derivci je spojitá nbývá minim v c G ±) ) < < G ±)b), tj c mezi, b G c) fc) d Příkld sign není derivcí žádné funkce Vět Spojitá funkce n intervlu má primitivní funkci Poznámk Primitivní funkce k e eistuje, le nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí Vět ) Je-li F primitivní funkce k f n I, c R, pk F + c je primitivní funkce k f n I ) Jsou-li F, F primitivní funkce k f n I, pk F F je konstntní n I Důkz: ) F + c) F + F f ) F F ) F F f f F F konst n I Příkld N disjunktních intervlech mohou být konstnty různé, npř pro f) sign, : { + c, <, F ) + c, > Definice Množinu všech primitivních funkcí k funkci f n intervlu I nzýváme neurčitým integrálem f n I pokud je neprázdná) f f) d {F + c : c R} F + c Tbulkové integrály: d + + + c, intervly D ) ) d ln + c,, ),, + ) e d e + c, R ) sin d cos + c, R ) cos d sin + c, R ) d + rctg + c, R d rcsin + c,, ) ) 6 d 7 7 + c, R ) d 3 + c,, ),, + ) 3) 4 d 4 5 4 + c,, + ) 4) 5 d 5 6 5 + c, R Vět linerit) Jsou-li F,, F n primitivní funkce k f,, f n n I, c,, c n R, pk c F + + c n F n je primitivní funkce k c f + + c n f n n I Důkz: c F + + c n F n ) c F + + c n F n c f + + c n f n Příkld +3) +6+9 ln +c,, ),, + ) Vět integrce per prtes) Nechť n intervlu I eistují u, v, u v Pk uv uv u v n I Důkz: uv u v) u v + uv u v uv Příkld + ) sin d u + v sin u v cos + ) cos cos d + ) cos + sin + c, R Příkld e d + 4) e + c, R Poznámk Podobně P ) e, P ) sin, P ) cos P polynom, ) Příkld I e sin d u e u e e cos + e cos d u e u e e cos + e sin I I e sin cos ) + c, R v sin v cos v cos v sin Poznámk Podobně e sin b, e cos b, b ) Příkld ln d ln + c,, + ) Příkld ln d ln d u ln v u v ln d ln ) + c,, ) Poznámk Podobně ln ) Vět substituce) Nechť α, β) ϕ, b) f R, ϕ eistuje n α, β), F ) je primitivní funkce k f) n, b) ) f ϕt) ) ϕ t) dt F ϕt) ) + c n α, β) ) Je-li ϕ : α, β) n, b) prostá G je primitivní funkce k f ϕt) ) ϕ t) n α, β), pk f) d G ϕ ) ) + c n, b) Důkz: ) d dt F ϕt) ) F ϕt) ) ϕ t) f ϕt) ) ϕ t) ) Gt) i F ϕt) ) jsou primitivní k f ϕt) ) ϕ t) Gt) F ϕt) ) + c; eistuje ϕ ) G ϕ ) ) F ) + c je primitivní k f
Používáme v obou směrech) zápis: f) d ϕt) d ϕ t) dt f ϕt) ) ϕ t) dt ) sin 3 t cos t dt sin t cos t dt d 3 d 4 4 +c 4 sin4 t + c, R ) e d t d dt et + c, R 3) ln d ln t d dt ln + c,, + ) ) ln d e t d e t dt ln + c,, + ) ) sin t d cos t dt dt t + c rcsin + c,, ), t π, π ) Poznámky ) f+b) d + b t d dt F +b)+c ) ) f ) f) d f) t f ) d dt ln f) + c ) + ) 4 d 5 + )5 + c, R ) 3 ) d 33 ),, 3 ), 3, + ) 3) tg d ln cos + c, π, π ) + kπ, k Z 4) 4+5 d ln 4 + 5) + c, R 5) rctg d rctg ln + ) + c, R Integrce rcionálních funkcí Rozkld rcionální funkce Definice Rcionální lomená) funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde Q je nenulový Ryze lomená funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde st P < st Q st ) Prciální zlomky jsou funkce ve tvru A ) n, A + B, A, B,, p, q R, n N, + p + q) n kde + p + q) nemá reálný kořen, tj p 4q < Poznámk V C jen první typ prciálních zlomků Vět Nenulový polynom lze jednoznčně) npst ve tvru ) k r ) kr +p +q ) l +p s +q s ) ls, kde r, s N {}, k,, k r, l,, l s N,,,, r, p,, p s, q,, q s R,,, r jsou různé reálné kořeny, +p i +q i i,, s) jsou různé nemjí reálné kořeny Vět Rcionální funkce se dá jednoznčně) rozložit n součet polynomu prciálních zlomků Jmenovtelé těchto zlomků dělí jmenovtel dné rcionální funkce Důkz: částečný) Dělením polynomů dostneme součet polynomu ryze lomené funkce P +L Pro jiný zápis P +L je P P L L polynom i ryze lomená funkce, tj nulová funkce tedy P P, L L Pro ryze lomenou funkci P/Q k-násobný kořen polynomu Q k > ) je Q) ) k Q ) pro některý polynom Q s Q ) P ) P ) Q) Q) ) k P ) P ) Q) Q ) ) k Q ) Čittel má z kořen, je tedy roven )P ), P ) Q) P ) Q) ) k P ) ) k Q ) Snížili jsme stupeň jmenovtele, pokrčujeme dokud je kořen jmenovtele pk pro dlší kořeny Postup: ) Dělení polynom + ryze lomená funkce) ) Rozkld jmenovtele n součin kořenových činitelů ireducibilních kvdrtických polynomů 3) Rozpis n prciální zlomky s neurčitými koeficienty 4) Určení koeficientů soustv lineárních rovnic, zkrývcí prvidlo) Příkld + 4 8 + 4 + 3 + Příkld +5 ) +) ) + + + Integrce prciálních zlomků ) Mocnin lineárního polynomu ve jmenovteli: d ) n t dt d dt t n ) Mocnin kvdrtického polynomu ve jmenovteli: A + B A + p + q) n d + p) + B Ap ) + p + q) n d ) V čitteli derivce kvdrtického polynomu: + p + p + q) n d + p + q t dt + p) d dt t n b) V čitteli konstnt: převedeme n dt t +) I n n Pro n > uprvíme I n dt t + ) n u t v t t +) n t + t t + ) n dt I n + u v n )t +) n I n + t n )t + ) n n ) I n, t dt t + ) n dostneme rekurentní vzorec: t n 3 I n n )t + + ) n n I n, n N \ {}, I rctg t + c Příkld t 5 5 +5 d 5 dt t + d ) +4 5 4 d 4 ) +
Příkld 6+) d 3) + t ) d 3 t I t t + + I t + + rctg t + c + rctg 3) + c, R 3 6+ 3c) sin n cos m d: pro liché m či n viz 3b); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému rgumentu sin cos ), cos + cos ) Příkld sin 3 cos 4 d cos t t 6 t 4 ) dt ) Integrce dlších typů funkcí e t Re ) d ln t d t dt Rt) t dt R t, + ) ) Příkld e 4 + e +3 e 4 d e t t +t+3 tt ) dt, e 4 + e +3 e 4 d e t t 4 +t +3 tt 4 ) dt ) Rln ) d ln t d dt Rt) dt Příkld ln +4) d ln t 3) t +4 dt tg Rsin, cos ) d t rctg t d sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos t + dt π, π) t R tg tg + t t + tg tg + t t + Někdy nutno spojovt přes sousední intervly Příkld 5 3 cos d 4t + rctg tg ) + c + kπ pro π, π) + kπ k Z), limity v π + kπ 3) sudé mocniny R sin, cos ) Rsin, cos )): tg y Rsin, cos, sin cos ) d rctg t d t + dt π, π ) t R sin sin sin + cos tg tg + t t + cos cos sin + cos tg + t + sin cos sin cos sin + cos tg tg + t t + 3b) lichá v sin nebo v cos: cos t Rsin, cos ) sin d sin d dt sin t sin t Rsin, cos ) cos d cos d dt cos t Příkld d cos 3 sin t dt t ) Příkld sin 4 d 4 cos + 4 cos ) d 3 8 cos + 8 cos 4) d 4) n >, d bc : ) n +b R, n + b c+d t d c + d R t) d R t) dt ++ d + Příkld + + t t +t 4t t ) dt + + d 5) R, + b + c) d, : vytknutím, doplněním n čtverec lineární substitucí uprvíme n integrál ve tvru R, ± ± ), > Lze použít goniometrické, Eulerovy nebo hyperbolické substituce 5) R, ) d,, ): sin t, t π, π ), cos t; uprvíme + ) )/ + ) použijeme substituci pro typ 4 Eulerov substituce) Příkld 4 d sin t 4 cos t dt rcsin + 4 + c,, 5b) R, ) d,, ),, + ): /sin t); + t Eulerov substituce); cosh t, + sinh t Příkld d + t dt t 5c) R, + ) d, R: tg t; + + t, Eulerov substituce); sinh t, + cosh t Příkld d ++5 d + sinh t dt +) +4 Určitý integrál Definice Dělení intervlu, b je konečná množin D, b obshující, b Znčíme D {,, n }, < < < n b
Definice Pro omezenou funkci f n, b dělení D intervlu, b zvádíme dolní horní integrální součet: n Sf, D) inf f i, i ) i i ) Sf, D) i n sup f i, i ) i i ) i Přidáme-li k dělení dlší bod, dolní součet se nezmenší horní se nezvětší Pro libovolná dělení D, D dostneme: b ) inf f Sf, {, b}) Sf, D ) Sf, D D ) Sf, D D ) Sf, D ) Sf, {, b}) b ) sup f Kždý dolní součet je menší nebo roven kždému hornímu součtu, supremum dolních integrálních součtů je menší nebo rovno infimu horních integrálních součtů Definice Je-li pro omezenou funkci f n, b supremum dolních integrálních součtů rovno infimu horních integrálních součtů, nzýváme tuto hodnotu určitý Riemnnův) integrál funkce f n, b Čísl, b se nzývjí dolní horní mez integrálu Znčení: b f, b f) d, R) b f, R) b f) d Poznámk Pro nd) m{ i i : i {,, n}} n lim fc i ) i i ), c i i, i nd) i Vět Pro omezenou funkci f n, b eistuje b f právě tehdy, když eistuje posloupnost D n ) n dělení, b tková, že lim Sf, D n) lim Sf, D n) n n V tkovém přípdě je integrál roven těmto limitám Důkz: : eistují D n) n, D n) n: Sf, D n) n b f, Sf, D n) n b f, Sf, D n) Sf, D n D n) Sf, D n D n) Sf, D n), D n D n) n je hledná posloupnost dělení; : sup D Sf, D) lim n Sf, D n ) lim n Sf, D n ) inf D Sf, D) sup D Sf, D), všude rovnosti Příkld b c d cb ) Sc, D n ) Sc, D n ) n i c i i ) cb ) Příkld d : D n {, n, n,, } Sf, D n ) n i i n n n n n Sf, D n ) n i i n n n +n n Příkld sign d : D n {, n, }, Sf, D n) n n n n, Sf, D n ) Poznámk Hodnot integrálu nezávisí n hodnotách funkce v konečně mnoh bodech Poznámk Lebesqueův integrál dělení v oboru hodnot: d i λ f y i, y i )) ), d i y i, y i ) i Nezávisí n hodnotách funkce ve spočetně mnoh bodech Příkld d) pro Q, jink R) d) d nee: Sf, D), Sf, D) L) d) d L) d, nebo λ, \ Q) + λ, Q) λq) ) Vět Monotónní funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál Důkz: D n {, + b n,, b} ekvidistntní n n částí), Sf, D n ) Sf, D n ) b n fb) f) n Vět Z kždého pokrytí uzvřeného intervlu otevřenými lze vybrt konečné pokrytí Důkz: Sporem Střed intervlu je pokryt některým otevřeným intervlem, zůstnou nejvýše nepokryté uzvřené intervly, lespoň jeden se nedá pokrýt konečně mnoh dnými intervly, ten vezmeme postup opkujeme Dostneme posloupnost I n ) n vnořených uzvřených intervlů, jejichž délky klesjí k nule n I n {c}, c je pokryto některým otevřeným intervlem, který le pokrývá všechny dosttečně krátké I n spor Definice Funkce f je stejnoměrně spojitá, pokud pro kždé ε > eistuje δ > tk, že fy) fz) < ε pro y, z Df) tková, že y z < δ Poznámk Funkce n intervlu s omezenou derivcí je stejnoměrně spojitá důsledek Lgrngeovy věty) Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu je stejnoměrně spojitá Důkz: f n I, ε > ; pro I e δ > : fy) f) < ε pro y U, δ ) I; fy) fz) < ε pro y, z U, δ ) I; {U, δ ) : I} je pokrytí I, vezmeme konečné; oznčme δ nejmenší vzdálenost krjních bodů v I); pro y, z I, y z < δ e U, δ ) y, z Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál Důkz: f n, b ; pro n e δ n: fy) fz) < n pro y z < δ n, y, z, b ; e D n s intervly krtšími než δ n ; Sf, D n ) Sf, D n ) < n n b ) Vět Nechť f, g jsou omezené n, b, b f, b g eistují, c R Pk: ) b f + g) b f + b g, ) b cf c b f, 3) je-li f g n, b, pk b f b g, 4) b f b f Důkz: ) inff + g)i) inf fi) + inf gi), Sf + g, D) Sf, D) + Sg, D), sup D Sf + g, D) b f + b g, inf D Sf + g, D) b f + b g podobně protože sup D Sf + g, D) inf D Sf + g, D), jsou rovnosti
) c : sup Scf, D) sup csf, D) c sup Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c inf Sf, d) c b f; c < : sup Scf, D) sup csf, D) c inf Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c sup Sf, d) c b f 3) Sf, D) Sg, D) sup Sf, D) sup Sg, D) 4) f + ) m{f), }, f ) m{ f), }, e D n ) n: Sf, D n ), Sf, D n ) b f, Sf +, D n ) Sf +, D n ) Sf, D n ) Sf, D n ) n, b f + e, b f b f + f) e, b f b f + +f ) e, f f f b f b f b f Poznámk Omezené integrovtelné fnkce n, b tvoří lineární prostor, zobrzení b : f b f je lineární Vět Nechť < b < c, f je omezená n, b Pk c eistuje právě tehdy, když eistují b f c f V tkovém b přípdě c f b f + c b f Důkz: D dělení, b, D dělení b, c, D D D je dělení, c obshující b, Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), suprem infim dostneme jko vhodné limity: sup Sf, D ) + sup Sf, D ) sup Sf, D) D D D inf Sf, D D ) + inf Sf, D D ) inf Sf, D) D stejné sčítnce pod sebou právě tehdy, když stejné součty Definice Definujeme f, b f b f f pro < b Poznámk Rovnost v předešlé větě pro libovolná, b, c Poznámk Po částech spojité funkce konečně mnoho bodů nespojitosti s konečnými jednostrnnými limitmi) i po částech monotónní funkce jsou integrovtelné Vět Nechť f je omezená n, b, b f eistuje, F ) ft) dt pro, b Pk ) F je spojitá ) F ) f) v bodech spojitosti funkce f Důkz: F je definován ditivit n definičním oboru) F +h) F ) +h ft) dt ft) dt +h ft) dt, ) f M n, b, F +h) F ) +h ft) dt +h sign h ft) dt sign h +h M dt M h h ±) ) ) h F + h) F ) f) +h h ft) dt +h h f) dt +h ) h ft) f) dt +h h ft) f) dt f spoj v : pro ε > je ft) f) < ε n okolí ) +h h ε dt h hε ε Důkz: I, F ) ft) dt přípdně +F )) Poznámk Derivce integrálu podle horní meze pro f d spojitou): d ft) dt f) Poznámk Po částech spojitá f: jednostrnné derivce F jsou rovny příslušným jednostrnným limitám f Příkld f) sign : { F ) ft) dt dt, } dt,, F ) f ), F +) f+) Vět Newtonov Leibnizov formule) Nechť f je omezená n, b, b f eistuje F je primitivní funkce k f n, b) Pk b f) d [ F ) ] b F b ) F +) Důkz: f M n, b, n + n, b pro n n, pro, n ) Lgrnge): F ) F n ) fc,n ) n )) M n, F, n ) ) F n ) M n, F n) + M n I n, I n ) nn uzvřené vnořené intervly délek M n n, nn I n {F +)}, F +) eistuje podobně F b )); D {,,, n }, F b+) F ) n i F i ) F i ) ) Lgrnge) n i F c i ) i i ) n i fc i) i i ) Sf, D) F b+) F ) Sf, D) sup D Sf, D) F b+) F ) inf D Sf, D) ) d [ ] ) π sin d u v sin u v cos [ cos ] π + π cos d π +[ sin ] π π+ ) π 3) + d + t d dt t dt 8 3 4) π sin cos d sin t cos d dt t dt Poznámk Newtonův int: N) b f) F b ) F +) Eistuje-li Riemnnův i Newtonův integrál, jsou stejné ) r) b pro b, Z, b N nesoudělná, jink, N) r) d nee, R) r) d ) N) d e, R) d e, F nelze dobře e e vyjádřit 3) N) / d, R) 4) N) d, R) / d nee d nee Nevlstní integrál I neomezené funkce či intervly, nevlstní hodnoty Důsledek Funkce spojitá n intervlu má n tomto intervlu primitivní funkci
Definice Nechť f :, b) R, b R)) není omezená nebo, b) není omezený, d f eistuje pro kždý c, d c, b) Definujeme nevlstní integrál: b f) d lim c + e c f) d + lim d b d e f) d, pokud je výrz vprvo definován pro některé e, b) Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje Poznámk Výběr e není podsttný, pro e je: e lim c + c f lim e c + c f + e e f, d d lim d b f lim e d b e f e e f ) + ) + 3) + d + [rctg ] π π ) π, konverguje d [ln ], eistuje, nekonverguje [ + d ln + ) ], neeistuje Poznámk Zákldní vlstnosti linerit, monotonie, odhd bsolutní hodnoty integrálem z bsolutní hodnoty) pltí i pokud připustíme nevlstní integrály pokud eistují výrzy s přípdnými nevlstními hodnotmi) ) + e d u v e u v e [ e ) ] + lim + e ) + ) + e / d t d dt et dt [ e t] e 3) + d + + ) [ ] + d ln + + ln, nelze + d + + d Poznámk Nevlstní integrál lterntivně:, b) i i, b i skoro disjunktní, f + ) m{f), }, f ) m{ f), }, b f bi i i f + bi i i f Konvergence integrálu funkce pk znmená konvergenci integrálu její bsolutní hodnoty, což pro Newtonův integrál nepltí, npř pro + sin d Vět ) Jestliže f g n, b), b g konverguje f je po částech spojitá, pk b f konvergje ) Jestliže f g n, b), b spojitá, pk b g + f + g je po částech [ln ] { ), d [ ] + + + +, < + +, > [ln ] {, d [ ] + + +, > + +, < Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, Q nemá v, + ) kořeny Pk + P Q konverguje právě tehdy, když st Q st P + Důkz: n st P st Q Z P ) lim Q) A R \ {}, npř A > n P ) eistuje b >, tk, že Q) n A, 3 A) pro > b An < P ) Q) < 3 An P Q Θn )) b b 3 An konv pro n <, b An pro n P Q P Q konv právě pro n <, tj n +4+5 4 + d konv, +4+5 3 + d + Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, c, b je jediný kořen polynomu Q násobnosti větší než polynomu P Pk b P Q {± } pro n sudé nebo c {, b}, jink neeistuje Důkz: P Q se v okolí c chová jko ± c) n +4+5 3 + d nee, +4+5 +) 3 d + Příkld Lplceov trnsformce) Nechť funkce f :, + ) R je po částech spojitá má omezený eponenciální růst, tj eistují konstnty M, R tk, že ft) M e t f Oe t )) Lplceovým obrzem funkce f je funkce F dná předpisem F p) + ft) e pt dt Je definován pro p > Re p > v C): ft) e pt M e p)t, M e p)t dt [ M p e p)t] M p konverguje Příkld Γ) + t e t dt Konverguje pro > : t e t t, t dt konverguje pro > ; pro n je t e t t n e t, t n e t dt per prtes) [P n t) e t ] P n ) e konverguje Γ) e t dt [ e t ] ) Γ + ) t e t dt u t v e t u t v e t [ t e t] + t e t dt Γ) Γn) n )Γn ) n )! Γ) n )! Aplikce určitého integrálu Definice Střední hodnot funkce f n intervlu, b je b f) d, b pokud integrál konverguje Příkld Střídvé npětí ut) U sin πt T okmžitý výkon pt) R u t) U R sin πt T má n odporu R Jeho střední hodnot npříkld n intervlu, T ) je U R což pro stejnosměrný proud odpovídá npětí U e U efektivní npětí střídvého proudu)
Vět o střední hodnotě) Spojitá spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá své střední hodnoty Důkz: f n, b má primitivní F, podle Lgrngeovy věty je F c) fc) pro některé c, b) F b) F ) b Vět Nechť funkce f g jsou po částech spojité n, b),, b R Obsh {[, y] : < < b, f) y g)} je b g) f) ) d Důkz: c, d, b): e D f,n ) n: Sf, D f,n ), Sf, D f,n ) n d c f, e D g,n ) n: Sg, D g,n ), Sg, D g,n ) n d c g, pro D n D f,n D g,n : Sg, D n ) Sf, D n ) P Sg, D n ) Sf, D n ), d c g f) P d g f) ; c limity c +, d b Příkld Obsh plochy uvnitř elipsy /) + y/b) je 4 b /) d πb Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Délk grfu funkce f je b + [f )] d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně limity): délk supremum délek po částech lineárních interpolcí, ld) n i i i ) + [f i ) f i )] n i i i ) + [f c i ) i i )] n i + [f c i )] i i ), c i i, i ), S + f ), D) ld) S + f ), D), integrál i supremum délek interpolcí jko limity Příkld Délk stroidy /r) /3 + y/r) /3 je 4 r + [r /3 /3 ) 3/ ) ] d 6r Vět Nechť funkce f je po částech spojitá n, b),, b R Objem {[, y, z] : < b <, y + z f )} je π b f ) d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně limity): pro dělení D uvžujeme vepsné/opsné válce: Sπf, D) V Sπf, D) π b f V π b f Příkld Objem kužele f) r v n, v ) je π v r /v d 3 πr v Příkld Objem koule f) r n r, r ) je π r r ) d 4 3 πr3 Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Obsh plochy vzniklé rotcí grfu f kolem osy je π b f) + [f )] d Důkz náznk pro uzvřený intervl): supremum pro po částech lineární interpolce f, obsh pláště komolého kužele: π r+r s, n i π fc i) i i ) + [f i ) f i )] n i π fc i) + [f c i )] i i ) Sπf + f ), D) π b f + f ) Příkld Obsh sféry f) r n r, r ) je π r r + [ r r ) / ) ] d 4πr Souřdnice těžiště v rovině: T M y m, y T M m Momenty lineárních útvrů λ je lineární hustot): M y λ M λ b b + [f )] d, f) + [f )] d Příkld Těžiště čtvrtkružnice f) r n, r ) má souřdnice T y T π r Momenty plošných útvrů f, σ je plošná hustot): M y σ b f) d, M σ b f ) d Příkld Těžiště plochy pod obloukem kosinusoidy f) cos n π, π ) má souřdnice T, y T π 8 Numerická integrce Chyby: metody, výpočtu Metody: n pokus, iterční posloupnost konv k řešení) Řád: popisuje rychlost konv při zlepšování prmetru I b f) d b ) w f ) + + w k f k ) ) Aproimujeme střední hodnotu funkce váženým průměrem hodnot v uzlech i, b s váhmi w i w + +w k ) Uzly dle metody, váhy pro největší řád, integrují se přesně polynomy menšího stupně M n m,b f n) ) Gussov metod Optimální volb uzlů, řád je dvojnásobek jejich počtu Řešíme soustvu rovnic pro střední hodnoty mocnin Pro k je w, +b, odhd chyby M b ) 3 /4 Pro k n, je w,,, ± /3 řešením : w + w : w + w : 3 w + w 3 : w 3 + w 3 Odhd chyby je M 4 b ) 5 /43
Newtonovy Cotesovy metody Uzly z ekvidistntního dělení, b, včetně uzvřená metod) nebo bez otevřená metod) krjních bodů, b Řád metody je počet uzlů zokrouhlený n sudé číslo nhoru Poznámk Někdy nekonvergují pro rostoucí počet uzlů) Složené metody Intervl, b rozdělíme n n částí délek b )/n h s krjními body < < < n b, n kždé použijeme vybrnou metodu Zlepšujeme zvětšováním n Obdélníková metod používá otevřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro jeden uzel uprostřed, váh je ): Rh) h [ f ) + + + f n + n )] Vět Má-li f n, b spojitou druhou derivci, pk I Rh) M 4 b )h, M m,b f ) Důkz:,, s + )/ Tylorov vět: f) fs ) + f s ) s ) + f c ) s ) pro některý bod c, ) Chyb integrce je f) d h fs ) f) fs ) ) d f s ) s ) d + f c ) s ) d } {{} f c ) s ) d M s ) d s t h/ d dt M t [ dt M t 3 ] h/ 3 M 4 h3 Stejný odhd je n osttních podintervlech: I Rh) M 4 h3 n M 4 b )h Poznámk Pokud bychom použili hodnotu npř) v levém krjním bodě pro funkci dnou tbulkou), dostli bychom metodu řádu s odhdem chyby M b )h Lichoběžníková metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro uzly váhy jsou /): T h) h [ f) + f ) + + f n ) + fb)] Vět Je-li P lineární interpolce funkce f se spojitou druhou derivcí n intervlu, tj P je lineární funkce, P ) f ), P ) f )), pk pro, je f) P ) M ) ) Důkz: Pro, ) má funkce gt) ft) P t) f) P ) ) t )t ) ) ) tři nulové body,, Podle Rolleovy věty má g dv nulové body v, ) g nulový bod c, ): g c ) f c ) f) P ) ) ) ) f) P ) f c ) ) ), f) P ) M ) ) Poznámk Je-li P polynomiální interpolce funkce f se spojitou derivcí řádu n + n intervlu, b pro různé body,, n, b, pk pro, b je f) P ) Mn+ n+)! ) n ) Vět Má-li f n, b spojitou druhou derivci, pk I T h) M b )h, M m,b f ) Důkz:,, s + )/ Chyb integrce je ) f) P ) d f) P ) d M ) ) d s t d dt M h/ ) h 4 [ t dt M 4 h t 3 t3] h/ h/ M 8 h3 4 h3) M h3 Stejný odhd je n osttních podintervlech: I T h) M h3 n M b )h Poznámk Odhd chyby obdélníkové metody je lepší než u lichoběžníkové, přestože se používá horší polynom Využití středu intervlu odpovídá totiž proimci tečnou Simpsonov metod používá uzvřenou Newtonovu Cotesovu metodu pro 3 uzly Rozděluje tedy kždý podintervl n dv Pro lepší srovnání oznčme n sudý) počet všech tkto vzniklých podintervlů Hodnoty vh získáme integrcí kvdrtické interpolce, kterou dostneme lineární kombincí Lgrngeových polynomů P i, P i j ) δ i,j : P ) d ) ht d h dt h P t) dt h f ) P t) + f ) P t) + f ) P t) ) dt h f ) t )t ) ) ) + f ) t+)t ) +) ) + + f ) t+)t ) +) )) dt h [ 3 f ) + 4 3 f ) + 3 f )] Sečtením přes dvojice podintervlů dostneme Sh) h 3 [f )+4 f )+ f )+ +4 f n )+f n )] Vět Má-li f n, b spojitou čtvrtou derivci, pk I Sh) M4 8 b )h4, M 4 m,b f 4) ) Poznámk Simpsonov metod je řádu 4 je tedy přesná i pro polynomy stupně 3 Richrdsonov etrpolce Pro metodu F řádu p konvergující k F ) je F h) F ) + h p + Oh q ), kde R, q N, q > p Uvžujme h > proložme body [h p, F h)] [h) p, F h)] přímku: P ) F h) + F h) F h) p )h p h p )
Richrdsonov etrpolce je P ) F h) + F h) F h) p F h) F ) Vět Nechť F h) F ) + h p + Oh q ), p, q N, p < q Pk F h) F ) + Oh q ) Důkz: Oh q ) je uzvřeno n lineární kombince: F h) F ) + p h p + Oh q ) F h) F ) + h p + p )h p p + Oh q ) F ) + Oh q ) Uvedené metody mjí chyby jen sudých řádů: ) T h) T h) + 3 T h) T h) Sh) řádu 4, ) S h) Sh) + 5 Sh) Sh) řádu 6 Poznámky Odstrníme chybu nejnižšího řádu ) Dostneme přesnější metodu ) Přičítná hodnot dobře odhduje chybu nemusí to být horní odhd), což můžeme použít v iterčním postupu: Spočteme pro h, opkovně počítáme pro poloviční krok odhdujeme chybu, dokud nedosáhneme poždovné přesnosti Pro lichoběžníkovou Simpsonovu metodu stčí dopočítt hodnoty jen v nových bodech můžeme mít dokonce uloženy součty pro předcházející krok) Rombergov metod Zčneme s lichoběžníkovou metodou, při přechodu k polovičnímu kroku dopočítáme všechny dostupné Richrdsonovy etrpolce v k-tém sloupci je metod řádu k), odhdujeme chyby hodnot pod digonálou: T h) T h/) T h/) T h/4) T h/4) T h/4) T h/8) T h/8) T h/8) T 3 h/8) Příkld Spočtěte π e / d s přesností ε 6 Pro uvedené složené metody R, T, S) můžeme využít odhdy chyb, ve kterých přepíšeme h b )/n M m, π e / ) π, M 4 m π e / 4 6 + 3) 3 π, ε > M b ) 3 4n R ε > M b ) 3 n T ε > M 4b ) 5 8n 4 S M b ) n R > 3 4ε M b ) n T > 3 ε n S > 4 M4 b ) 5 8ε 8,9 n R 9 8,3 n T 83 7, n S 8 Skutečné chyby jsou o něco menší: metod R T S 6 chyb,66,6,66 Stčilo by: metod R T S Romberg Guss dělení 43 8 4 hodnot 44 9 5 3 Iterční proces by skončil: metod R T S R {, + }, C { } dělení 8 56 8 hodnot 55 57 9 Číselné řdy Definice Nekonečná číselná) řd je výrz k k, kde k ) k je posloupnost čísel Číslo k je k-tý člen, s n n k k je n-tý částečný součet, s lim n s n je součet pokud eistuje, píšeme k k s) Řekneme, že řd konverguje, je-li s C; diverguje, je-li s {±, }; osciluje, pokud lim n s n neeistuje ) k diverguje: s n n, lim n s n + ) k )k + + osciluje: s n pro n liché, s n pro n sudé 3) k )k osciluje v R, diverguje v C Definice Geometrická řd s kvocientem q je řd k q k + q + q + Vět k q k q pro q <, pro q řd nekonverguje Důkz: s n + q + + q n ) qs n q + + q n + q n ) q)s n q n ) s n q n ) q, q ) Vět Komplení řd k k konverguje právě tehdy, když konvergují řdy k Re k k Im k Pk k k k Re k + j k Im k Vět Jestliže k k, k b k konvergují, c C, pk ) k k + b k ) k k + k b k ) k c k c k k Vět nutná podmínk konvergence) konverguje, pk lim k k Důkz: lim k k lim k s k s k ) lim k s k lim k s k s s Vět Řd s nezápornými členy má součet Jestliže k k Důkz: s n ) n je neklesjící, tj lim n s n eistuje Vět srovnávcí kr) Nechť k b k pro kždé k N ) Konverguje-li k b k, pk i k k konverguje ) Diverguje-li k k, pk i k b k diverguje