TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Eletomagetié zářeí Z modulu 3 víme že to eletomagetié eegie oietovaou plošou ds je dá součiem dφ = P ds = PdS de P E H je Poytigův veto Plohu ds lze vyjádřit pomoí postoového úhlu dω vztahem dφ = P dω ds = dω odud Poud Poytigův veto P (přesěji omálová složa P ) učitého oétího řešeí Maxellovýh ovi ubývá s duhou moiou vzdáleosti tj jao je to eegie PS d S přes eoečě vzdáleou plohu (ozumí se uzavřeou plohu obepíajíí zdoj zářeí) eulový Taová řešeí azýváme adiačími řešeími a příslušé postoové oblasti adiačími (taé vlovými) zóami Hovoříme o eletomagetiém zářeí (adiai) Má-li Poytigův veto ubývat jao Eletiý dipólový momet Po soustavu bodovýh ábojů Je-li p hovoříme o eletiém dipólu Typiý eletiý dipól je a obázu a platí po ěj p musí vetoy pole (apř E a H ) ubývat jao defiujeme eletiý dipólový momet vztahem = l - l p = Po spojité ozložeí áboje platí p = ρ ( ) dv Eletiý vadupólový momet Po soustavu bodovýh ábojů defiujeme tezo eletiého vadupólového mometu q vztahem qij = ( 3xi xj δ ij ) ( q ij je složa tezou q s idexy i j symbol δ ij představuje zámé Koeeovo delta) Je-li q hovoříme o eletiém vadupólu Po symetié ozložeí áboje vůči jedé ose (apř ose x) dostáváme veličiu q ( 3x ) q = azýváme eletiým vadupólovým mometem Typiý eletiý vadupól je a obázu a platí po ěj l - q 4l = l q q/ q/ de q 3x x dv Po spojité ozložeí áboje platí ij = ρ( i j δij )
Magetiý dipólový momet TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Po soustavu bodovýh ábojů s yhlostmi v defiujeme magetiý dipólový momet m = v Je-li m hovoříme o magetiém dipólu vztahem ( ) Po spojité ozložeí áboje v postou platí m= ρ( ) v( )d V = j( )dv de jsme při úpavě použili vztah j = ρv Typiým případem magetiého dipólu je oviá smyča potéaá poudem (viz obáze) Dá se po i odvodit m= I S de S je oietovaá ploha smyčy ladě oietovaá vůči směu tou poudu I I S I Multipólový ozvoj adiačího pole Budeme se zabývat polem ve vauu Vetoový poteiál je zde obeě dá vztahem ( v ) j t At d 3 = ad Hledáme tzv adiačí poteiál A teý ubývá se vzdáleostí jao / Dá se odvodit (viz semiář přílad ) důležitý závě: Radiačí vetoový poteiál soustavy bodovýh ábojů lze apoximovat řadou jejíž pví tři čley vypadají tato: + ( ) + ( ) A ad ε p m 6 q Pví čle (eletiý dipólový) A = p souvisí s elovým eletiým dipólovým mometem p zdojů pole Duhý čle (magetiý dipólový) A m ε ( M) = 3 ( ) souvisí s elovým magetiým dipólovým mometem m zdojů pole Třetí čle (eletiým vadupólový) A ε ( E) = 3 ( q ) souvisí s elovým eletiým vadupólovým mometem q zdojů pole Veličiy p m q a pavé staě jsou fuí tzv společého etadovaého času τ = t (blíže v odvozeí) teča ad symbolem zameá deivai podle τ a = je jedotový veto ve směu
TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Eletiá dipólová apoximae Vetoy pole B E a ásledě i Poytigův veto P spočítáme z A (viz semiář přílad ) Čley teé ubývají se vzdáleostí yhleji ež z výsledu odstaíme Mluvíme o eletié dipólové apoximai začíme E Naoe obdžíme vztahy B = p E E = B = ( p ) P = ( p ) 6πε 3 Při úpavě jsme využili vztah = ε Itezita zářeí eletiého dipólu Na záladě zalosti Poytigova vetou je možství eegie vyzářeé za jedotu času do postoového úhlu dω d Φ E = P d Ω= p d 3 6πε Ω ebo E p dφ = si ϑ dω 3 6πε de ϑ je úhel mezi vetoy p a Itegaí přes plý postoový úhel dostaeme elovou itezitu zářeí eletiého dipólu (viz semiář přílad 3) p 3 6πε Φ = Stále platí že a pavé staě jsou veličiy závislé a společém etadovaém čase tj p = p τ Bzdé zářeí Po jedu částii je eletiý dipólový momet p = a tedy 3 6πε Φ = Nabitá částie pohybujíí se zyhleě emituje eletomagetié zářeí Potože v paxi je toto zářeí ejčastěji pozoováo při áazu částie a přeážu hovoříme o bzdém zářeí Hetzův dipól zářeí lieáí atéy Použijme zísaé výsledy a tzv Hetzův dipól mitajíí hamoiy p ( τ ) = p si ωτ Taový dipól může být modelem záříího atomu ebo lieáí atéy Jedoduhým dosazeím do vztahů po itezitu zářeí eletiého dipólu dostaeme po středí hodotu vyzářeého výou (tj půměou hodotu za jedu peiodu) ω p d Φ = si ϑdω 4 E 3 3πε ω p Φ = 4 E 3 πε
TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Středí itezita (to) emitovaého zářeí je tedy úměá duhé moiě amplitudy eletiého dipólového mometu a čtvté moiě fevee mitů Směová haateistia je dáa pví ovií Je zřejmé že maximálí itezita zářeí astává ve směu olmém oietai dipólu U již zmíěé lieáí atéy dély l se áboj a oi atéy měí podle daého poudu I a dp d platí p = l = l I dτ dτ Betatoové zářeí Taé magetié bzdé zářeí Betato je uhový uyhlovač abitýh části eletomagetiým polem Částie s ábojem o hmotosti m se pohybuje v magetiém poli se zyhleím = v B m Předpoládáme že yhlost částie v<< a vější magetié pole B je homogeí a v čase epoměé Dosazeím p = = v B do vztahů po bzdé apětí obdžíme ovie m 4 ( β) d Φ = 3 ( v B) dω 6πεm Φ = 6πε m 4 ( β ) 3 ( v B) Nabité částie emitují při pohybu v magetiém poli eletomagetié zářeí jehož itezita je přímo úměá čtvté moiě áboje a epřímo úměá duhé moiě hmotosti částie Itezita zářeí magetiého dipólu Podobě jao po čley E můžeme odvodit itezitu zářeí (eegetiý to) po čley M a E Např po itezitu magetiého dipólového zářeí obdžíme ( M) d Φ = d si d 3 3 6 m 6 m ϑ π Ω= π Ω Φ = 6π ( M) m 3 de ϑ je úhel mezi vetoy m a Vzoe jsou velmi podobé vzoům po itezitu zářeí eletiého dipólu
TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Zářeí ámové atéy Jedoduhým příladem zdoje magetiého dipólového zářeí je ámová atéa (viz obáze) Po její magetiý momet platí m= IS de I je poud potéajíí atéou a S je veto plohy atéy ladě oietovaý vůči tou poudu a teý považujeme za pevě daý Dosazeím m = I S do vztahů po itezitu magetiého dipólového zářeí dostaeme apř směovou haateistiu zářeí ámové atéy ( M) d Φ = d si d 3 3 6 I S 6 I S ϑ π Ω= π Ω de ϑ je úhel mezi vetoy S a Itegaí přes plý postoový úhel dostaeme elovou itezitu zářeí magetiého dipólu ( M) Φ = I S 3 6π Výpočet středí hodoty itezity po hamoiý poud atéy (viz semiář přílad 4) Čeeovovo zářeí ( M) 4 Φ = I 3 ω S π I = I osωτ je obdobý jao u lieáí V oe 934 zjistil P A Čeeov že při bombadováí apali zářeím γ vziá viditelé světlo teé je aposto odlišé od lumiisee a bzdého zářeí apř silou aizotopií (směovostí) Později se uázalo že stejé zářeí vziá i při použití zářeí β (eletoů) Vysvětleí podali o tři oy později I E Tamm a I M Fa teří uázali že se jedá o zářeí adsvětelýh eletoů tj eletoů jejihž yhlost je větší ež fázová yhlost světla v daém postředí Jedoduhé vysvětleí a záladě Huygesova piipu posytuje obáze Eleto uazí za čas t vzdáleost v t Pole budeme poládat za supepozii sféiýh vl teé se se šíří yhlostí = de je absolutí idex lomu postředí Tyto vly itefeeí vytvářejí vloplohu tvau povhu užele s vholem v místě výsytu částie Smě šířeí světla je olmý a uvedeou vloplohu a svíá se směem pohybu částie úhel ϑ po teý lze z obázu sado odvodit t osϑ = = = v t v v Eleto předbíhá pole teé sám vytváří ož je aalogie ázové vly adzvuového letadla Zářeí je tudíž emitováo
TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí pouze ve směu povhu užele zvaého Čeeovův užel o úhlu ϑ Výpočet tvau adiačího pole je matematiy áočější a ebudeme jej zde povádět Uveďme pouze že byhom vyšli z ehogeíh vlovýh ovi po poteiály v dieletiu ( v) ρ ( v) A= j ϕ = de za ρ a j je třeba dosadit příslušé δ -fue t t ε popisujíí ovoměý přímočaý pohyb bodového áboje (viz apř Kvasiova učebie) Přílad (řešeý) Semiář Odvoďte multipólový ozvoj adiačího pole uvedeý v předáše Řešeí Po vetoový poteiál jsme v modulu 8 odvodili ovii At t = t je etadovaý čas = ( v ) j ( t ) 3 de d Zajímá ás pole adiačí ubývajíí jao Čley ubývajíí yhleji budeme z řešeí odstaňovat Hledáme pole v bodě ve velé vzdáleosti od zdojů loalizovaýh v bodeh blízo počátu souřadi tudíž >> Pví apoximae: výaz v itegadu ahadíme Dostaeme ovii ad ( v ) A t = j ( t ) d 3 Duhá apoximae: použijeme Tayloův ozvoj = + de = Pa etadovaý čas t t ( ) = τ + Veličia τ = t je tzv společý etadovaý čas a představuje dobu za teou sigál pojde vzdáleost mezi počátem souřadi a bodem pozoováí ( v Třetí apoximae: povedeme ozvoj ) ( v) j ( t ) = j τ + v Tayloovu řadu v časové ( v ) ( v poměé a vezmeme pví dva čley: ) ( v ) j ( τ ) j t j ( τ ) + τ ad ( Pa ) ( A t A ( t) + A ) ( t) de ( ) ( v ) A t = j ( τ ) d 3 ( ) ( v A ( t) = ( ) j ) ( τ ) d 3 τ Přejděme yí výpočtu adiačíh polí A t A t
TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Soustavu bodovýh ábojů můžeme popsat poudovou hustotou yhlost v a poloha se beou ve společém etadovaém čase τ a platí j v ( v ) ( τ) = δ ( ) v d = dτ de Dosazeím a jedoduhou itegaí δ -fuí obdžíme A A v p Teča () = = ad symbolem zameá deivai podle společého etadačího času τ Tím máme odvoze pví čle ozvoje ( Poačujme čleem ) ( v A ( t) = ( ) j ) ( τ ) d 3 τ Dosazeím poudové hustoty ( v j ) ( τ) = v δ ( ( ) obdžíme po itegai ) A ( t) = ( ) v τ Zavedeím magetiého dipólového mometu m a tezo eletiého vadupólového mometu q můžeme po poměě složitýh úpaváh teé již euvádíme (viz apř Kvasiova ( M) ( E) učebie) psát A = A + A de A M 3 4 m = πε ( E) A = 3 ( q ) čímž jsou ε odvzey duhý i třetí čle multipólového ozvoje Přílad (eletiá dipólová apoximae) A p Vypočtěte vetoy E a B z vetoového poteiálu = Návod: Použijte vztahů B = ot A E = B Čley ubývajíí yhleji z výsledu odstaňte Nezapomeňte že společý etadovaý čas τ = t je fuí souřadi Výslede: Viz vztahy uvedeé v předáše Přílad 3 (itezita zářeí eletiého dipólu) Na záladě zámé směové haateistiy zářeí eletiého dipólu p dφ = si ϑ dω E 3 6πε vypočtěte elovou itezitu Návod: Itegujte přes plý postoový úhel Difeeiál postoového úhlu vyjádřete ve sféiýh ds souřadiíh tato: dω= = ( hϕdϕ hϑ dϑ) = ( siϑdϕ dϑ) = siϑdϕdϑ Výslede: Φ = p 3 6πε
Přílad 4 (zářeí ámové atéy) TELMG Modul 9: Nestaioáí pole III - Zářeí Odvoďte vztah po středí hodotu zářeí ámové atéy potéaé střídavým poudem v magetié ω dipólové apoximai Vypočtěte oétě po I = A f = MHz S = m π Návod: Dosaďte do vztahu po oamžitou hodotu itezity zářeí T ( M ) d T Φ τ τ ( M) Φ hamoiý poud a itegujte Výslede: ( M) 4 Obeě Φ = I 3 ω S oétě π ( M) Φ 3 W